Bạn có hai bước đi trong không gian: bước thứ nhất tiến 1 mét, sang phải 2 mét và lên cao 3 mét, bước thứ hai tiến 4 mét, sang phải 5 mét và lên cao 6 mét. Nếu bạn đi liên tiếp hai bước thì tổng cộng bạn đã đi bao xa theo từng hướng? Câu trả lời thật đơn giản: bạn cộng từng hướng lại với nhau, được 5 mét về phía trước, 7 mét sang phải và 9 mét lên cao. Trong toán học lớp 12, đó chính là phép cộng hai vectơ tính theo tọa độ, và phép trừ hay phép nhân với một số cũng làm theo đúng cách cộng trừ từng thành phần như vậy.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ các phép toán với vectơ theo tọa độ một cách có hệ thống: từ công thức cộng và trừ hai vectơ, công thức nhân một vectơ với một số, điều kiện để hai vectơ cùng phương, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ mọi phép toán đều làm theo từng thành phần tọa độ, bạn đã nắm được chìa khóa của cả bài học.
Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ là gì?
Cho hai vectơ a⃗ = (x₁; y₁; z₁) và b⃗ = (x₂; y₂; z₂) trong không gian Oxyz. Tổng của hai vectơ được tính bằng cách cộng từng thành phần tương ứng: a⃗ + b⃗ = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂). Hiệu của hai vectơ được tính bằng cách trừ từng thành phần tương ứng: a⃗ − b⃗ = (x₁ − x₂; y₁ − y₂; z₁ − z₂). Bạn hãy để ý: phép cộng và phép trừ vectơ không có gì bí ẩn, chúng chỉ là phép cộng và phép trừ thông thường áp dụng riêng cho từng tọa độ, giống như bạn cộng hai bước đi theo từng hướng ở ví dụ mở đầu. Vì vậy, chỉ cần bạn cộng trừ đúng từng cặp số thì kết quả luôn đúng.
Phép nhân một số với một vectơ cũng làm theo từng thành phần: với số thực k bất kì, k · a⃗ = (k · x₁; k · y₁; k · z₁), tức là nhân số k với cả ba thành phần tọa độ. Khi k > 0 thì vectơ k · a⃗ cùng hướng với a⃗ và dài gấp |k| lần, khi k < 0 thì vectơ k · a⃗ ngược hướng với a⃗ và dài gấp |k| lần, khi k = 0 thì k · a⃗ là vectơ 0. Đặc biệt, vectơ đối của a⃗ là −a⃗ = (−x₁; −y₁; −z₁), có cùng độ dài nhưng ngược hướng với a⃗. Bạn hãy nhớ: nhân một số với vectơ là nhân cả ba thành phần, không được bỏ sót thành phần nào. Khi cần kiểm tra lại một phép nhân, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Từ các công thức trên, bạn suy ra điều kiện cùng phương rất hay dùng trong bài tập: hai vectơ a⃗ và b⃗ khác vectơ 0 cùng phương với nhau khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho b⃗ = k · a⃗, tức là ba thành phần tọa độ của hai vectơ tỉ lệ với nhau: x₂ / x₁ = y₂ / y₁ = z₂ / z₁. Bạn cũng có thể kết hợp các phép toán: ví dụ 3 · a⃗ − 2 · b⃗ được tính bằng cách nhân 3 với từng thành phần của a⃗, nhân 2 với từng thành phần của b⃗, rồi trừ từng thành phần tương ứng. Dạng bài tập này gặp rất nhiều trong đề thi, vì vậy bạn hãy làm thật chậm và cẩn thận với dấu âm ở từng thành phần.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6). Tính a⃗ + b⃗ và 2 · a⃗.
Bạn tính tổng bằng cách cộng từng thành phần: a⃗ + b⃗ = (1 + 4; 2 + 5; 3 + 6) = (5; 7; 9). Bạn tính 2 · a⃗ bằng cách nhân 2 với từng thành phần: 2 · a⃗ = (2 · 1; 2 · 2; 2 · 3) = (2; 4; 6). Bạn hãy kiểm tra lại từng thành phần: tổng thì cộng đúng từng cặp, nhân thì nhân đúng cả ba thành phần, không bỏ sót số nào. Đây là ví dụ đơn giản nhất nhưng cũng là quan trọng nhất, vì mọi phép toán với vectơ đều bắt đầu từ việc làm đúng từng thành phần.
Ví dụ 2: Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6). Tính a⃗ − b⃗.
Bạn tính hiệu bằng cách trừ từng thành phần: a⃗ − b⃗ = (1 − 4; 2 − 5; 3 − 6) = (−3; −3; −3). Bạn hãy để ý: cả ba thành phần đều âm vì mỗi thành phần của a⃗ đều nhỏ hơn thành phần tương ứng của b⃗. Bạn hãy cẩn thận với dấu: 1 − 4 = −3, 2 − 5 = −3, 3 − 6 = −3. Nếu bạn đổi thứ tự phép trừ, lấy b⃗ − a⃗, bạn sẽ được (3; 3; 3), là vectơ đối của a⃗ − b⃗.
Ví dụ 3: Cho a⃗ = (1; 0; 2) và b⃗ = (2; 1; 0). Tính 3 · a⃗ − 2 · b⃗.
Bạn tính 3 · a⃗ = (3 · 1; 3 · 0; 3 · 2) = (3; 0; 6). Bạn tính 2 · b⃗ = (2 · 2; 2 · 1; 2 · 0) = (4; 2; 0). Bạn trừ từng thành phần: 3 · a⃗ − 2 · b⃗ = (3 − 4; 0 − 2; 6 − 0) = (−1; −2; 6). Bạn hãy làm theo đúng thứ tự: nhân trước, trừ sau, và kiểm tra lại từng thành phần một lần nữa trước khi kết luận. Dạng bài tập kết hợp nhân và trừ này rất hay gặp trong đề thi học kì.
Ví dụ 4: Tìm vectơ x⃗ sao cho x⃗ + a⃗ = b⃗ với a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6).
Bạn biến đổi phương trình vectơ giống như phương trình số thông thường: x⃗ = b⃗ − a⃗. Bạn tính b⃗ − a⃗ = (4 − 1; 5 − 2; 6 − 3) = (3; 3; 3). Vậy x⃗ = (3; 3; 3). Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách cộng ngược: x⃗ + a⃗ = (3 + 1; 3 + 2; 3 + 3) = (4; 5; 6) = b⃗, đúng với đề bài. Dạng bài tìm vectơ chưa biết từ một phương trình vectơ luôn làm theo cách này: chuyển vế rồi tính theo từng thành phần.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cộng sai thành phần, lấy x₁ cộng với y₂.
Nhiều bạn cộng chéo các thành phần vì làm quá nhanh. Cách tránh: bạn hãy viết hai vectơ thẳng cột với nhau rồi cộng từng hàng, giống như cộng hai số có nhiều chữ số. Bạn chỉ cộng x với x, y với y và z với z, không bao giờ cộng x với y.
Lỗi 2: Nhân số k chỉ với thành phần đầu tiên.
Nhiều bạn tính 2 · a⃗ với a⃗ = (1; 2; 3) thành (2; 2; 3), quên nhân hai thành phần còn lại. Cách tránh: bạn hãy nhớ nhân một số với vectơ là nhân cả ba thành phần, và kiểm tra lại bằng cách xem cả ba thành phần đều đã thay đổi hay chưa.
Lỗi 3: Nghĩ a⃗ − b⃗ bằng b⃗ − a⃗.
Nhiều bạn nghĩ phép trừ vectơ có tính giao hoán như phép cộng. Cách tránh: bạn hãy nhớ a⃗ − b⃗ = −(b⃗ − a⃗), hai vectơ này đối nhau. Khi đề bài hỏi hiệu thì bạn phải đọc kĩ thứ tự: vectơ nào đứng trước dấu trừ thì lấy tọa độ của nó trừ đi tọa độ của vectơ còn lại.
Lỗi 4: Quên dấu âm khi trừ các thành phần.
Nhiều bạn tính 1 − 4 = 3 vì quên dấu trừ. Cách tránh: bạn hãy làm phép trừ từng thành phần một cách chậm rãi và viết rõ dấu âm trong kết quả. Sau khi tính xong, bạn hãy kiểm tra lại bằng cách cộng ngược: (a⃗ − b⃗) + b⃗ phải bằng a⃗.
Lỗi 5: Nhầm vectơ đối với vectơ nghịch đảo.
Nhiều bạn nghĩ vectơ đối của a⃗ là (1/x₁; 1/y₁; 1/z₁). Cách tránh: bạn hãy nhớ vectơ đối của a⃗ là −a⃗ = (−x₁; −y₁; −z₁), chỉ đổi dấu các thành phần chứ không lấy nghịch đảo. Vectơ không có phép chia, nên không có khái niệm nghịch đảo của vectơ. Nếu muốn ôn lại cách tính tọa độ của một vectơ, bạn hãy xem bài tọa độ của một vectơ trong không gian Oxyz.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính đúng từng thành phần tọa độ.
Câu 1: Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6). Vectơ a⃗ + b⃗ bằng
A. (5; 7; 9)
B. (4; 10; 18)
C. (5; 7; 8)
D. (3; 3; 3)
Câu 2: Cho a⃗ = (1; 2; 3). Vectơ 2 · a⃗ bằng
A. (2; 2; 3)
B. (2; 4; 6)
C. (1; 4; 6)
D. (3; 6; 9)
Câu 3: Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6). Vectơ a⃗ − b⃗ bằng
A. (3; 3; 3)
B. (−3; −3; −3)
C. (−3; 3; −3)
D. (5; 7; 9)
Câu 4: Cho a⃗ = (2; 1; 0) và b⃗ = (1; 2; 3). Vectơ 3 · a⃗ − b⃗ bằng
A. (7; 5; 3)
B. (5; 1; 3)
C. (5; 1; −3)
D. (6; 3; 0)
Câu 5: Cho a⃗ = (2; −1; 3). Vectơ −a⃗ bằng
A. (2; 1; 3)
B. (−2; −1; −3)
C. (2; −1; −3)
D. (−2; 1; −3)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | B | C | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A ((5; 7; 9)) đúng: Bạn cộng từng thành phần: (1 + 4; 2 + 5; 3 + 6) = (5; 7; 9). Đáp án B sai vì bạn đã nhân các thành phần với nhau. Đáp án C sai vì cao độ 3 + 6 = 9 chứ không phải 8. Đáp án D sai vì đó là hiệu b⃗ − a⃗.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B ((2; 4; 6)) đúng: Bạn nhân 2 với cả ba thành phần: (2 · 1; 2 · 2; 2 · 3) = (2; 4; 6). Đáp án A sai vì bạn chỉ nhân thành phần đầu tiên. Đáp án C sai vì bạn chỉ nhân hai thành phần sau. Đáp án D sai vì đó là 3 · a⃗.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B ((−3; −3; −3)) đúng: Bạn trừ từng thành phần: (1 − 4; 2 − 5; 3 − 6) = (−3; −3; −3). Đáp án A sai vì đó là b⃗ − a⃗. Đáp án C sai vì tung độ 2 − 5 = −3 chứ không phải 3. Đáp án D sai vì đó là tổng a⃗ + b⃗.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C ((5; 1; −3)) đúng: Bạn tính 3 · a⃗ = (6; 3; 0) rồi trừ b⃗: (6 − 1; 3 − 2; 0 − 3) = (5; 1; −3). Đáp án A sai vì bạn đã cộng b⃗ thay vì trừ. Đáp án B sai vì cao độ 0 − 3 = −3 chứ không phải 3. Đáp án D sai vì đó là 3 · a⃗, bạn quên trừ b⃗.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D ((−2; 1; −3)) đúng: Vectơ đối của a⃗ là −a⃗ = (−2; 1; −3), đổi dấu cả ba thành phần. Đáp án A sai vì bạn chỉ đổi dấu thành phần thứ hai. Đáp án B sai vì bạn giữ nguyên dấu của thành phần thứ hai. Đáp án C sai vì bạn chỉ đổi dấu thành phần thứ ba.
Câu hỏi thường gặp về biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ
Hỏi: Cộng hai vectơ theo tọa độ làm như thế nào?
Đáp: Bạn cộng từng thành phần tương ứng: a⃗ + b⃗ = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂). Ví dụ a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6) thì a⃗ + b⃗ = (5; 7; 9). Bạn chỉ cộng x với x, y với y và z với z, không bao giờ cộng chéo.
Hỏi: Nhân một số với vectơ thì nhân như thế nào?
Đáp: Bạn nhân số đó với cả ba thành phần tọa độ: k · a⃗ = (k · x₁; k · y₁; k · z₁). Ví dụ 2 · (1; 2; 3) = (2; 4; 6). Khi k > 0 thì vectơ cùng hướng với a⃗, khi k < 0 thì ngược hướng, khi k = 0 thì được vectơ 0.
Hỏi: Hai vectơ cùng phương khi nào?
Đáp: Hai vectơ khác vectơ 0 cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho b⃗ = k · a⃗, tức là ba thành phần tọa độ của hai vectơ tỉ lệ với nhau. Ví dụ vectơ (2; 4; 6) cùng phương với vectơ (1; 2; 3) vì nó bằng 2 lần vectơ kia.
Hỏi: Phép trừ vectơ có tính giao hoán không?
Đáp: Không, phép trừ vectơ không có tính giao hoán: a⃗ − b⃗ = −(b⃗ − a⃗). Hai vectơ này đối nhau, cùng độ dài nhưng ngược hướng. Bạn phải đọc kĩ thứ tự trong đề bài: vectơ nào đứng trước dấu trừ thì lấy tọa độ của nó trừ đi tọa độ của vectơ còn lại.
Hỏi: Vectơ đối của một vectơ được tính như thế nào?
Đáp: Vectơ đối của a⃗ = (x₁; y₁; z₁) là −a⃗ = (−x₁; −y₁; −z₁), chỉ đổi dấu cả ba thành phần. Ví dụ vectơ đối của (2; −1; 3) là (−2; 1; −3). Bạn đừng nhầm với nghịch đảo, vì vectơ không có phép chia.
Kết luận
Biểu thức tọa độ của các phép toán với vectơ chỉ gói gọn trong một nguyên tắc: mọi phép toán đều làm theo từng thành phần tọa độ, cộng thì cộng từng cặp, trừ thì trừ từng cặp, nhân với một số thì nhân cả ba thành phần. Bạn hãy nhớ ba điều: không bao giờ cộng chéo các thành phần, nhân số k thì nhân cả ba thành phần, và phép trừ không có tính giao hoán. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để cộng, trừ và nhân vectơ với một số trong mọi bài toán tọa độ không gian — và đó là nền tảng để bạn học tiếp tọa độ trung điểm và trọng tâm ở các bài sau.