Bạn đứng ở góc phòng và muốn đi tới chiếc bàn đặt ở góc đối diện. Bạn không chỉ cần biết bàn ở đâu, mà còn cần biết mình phải bước bao xa theo từng hướng: tiến mấy bước, sang phải mấy bước và không cần lên xuống vì bàn cùng độ cao với sàn. Trong toán học lớp 12, ba con số mô tả bước đi đó chính là tọa độ của vectơ nối từ vị trí của bạn tới chiếc bàn, và công thức tính nó đơn giản đến bất ngờ: lấy tọa độ điểm đến trừ đi tọa độ điểm đi.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ tọa độ của một vectơ trong không gian một cách có hệ thống: từ công thức tọa độ của vectơ AB, cách tính độ dài của một vectơ, điều kiện để hai vectơ bằng nhau, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ vectơ AB có tọa độ bằng tọa độ điểm B trừ tọa độ điểm A, bạn đã nắm được chìa khóa của cả bài học.
Tọa độ của một vectơ trong không gian Oxyz là gì?
Cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) trong không gian Oxyz. Vectơ AB⃗ có tọa độ là AB⃗ = (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A), tức là lấy tọa độ của điểm cuối B trừ đi tọa độ của điểm đầu A theo từng thành phần. Bạn hãy đọc công thức này thành một câu thần chú: cuối trừ đầu. Nếu bạn làm ngược lại, lấy điểm đầu trừ điểm cuối, bạn sẽ được vectơ BA⃗, là vectơ đối của AB⃗, có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Một vectơ a⃗ bất kì trong không gian cũng có tọa độ dạng a⃗ = (x; y; z), nghĩa là a⃗ = x · i⃗ + y · j⃗ + z · k⃗, trong đó i⃗, j⃗, k⃗ là ba vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz.
Độ dài của một vectơ được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương ba thành phần tọa độ: |a⃗| = √(x² + y² + z²) với a⃗ = (x; y; z). Công thức này là định lí Pythagore mở rộng ra ba chiều, và bạn có thể kiểm chứng bằng ví dụ quen thuộc: vectơ (3; 4; 0) có độ dài bằng √(9 + 16 + 0) = 5, đúng bằng bộ ba số Pythagore 3, 4, 5 mà bạn đã biết. Khoảng cách giữa hai điểm A và B trong không gian cũng được tính bằng công thức tương tự: AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²), chính là độ dài của vectơ AB⃗. Khi cần kiểm tra lại một phép tính căn bậc hai, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi ba thành phần tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một: a⃗ = b⃗ khi và chỉ khi x₁ = x₂, y₁ = y₂ và z₁ = z₂. Điều này có nghĩa là hai vectơ bằng nhau thì cùng hướng và cùng độ dài, nhưng điểm đặt của chúng có thể khác nhau, vì vectơ trong hình học là vectơ tự do, không gắn với một điểm cố định. Từ công thức tọa độ, bạn cũng suy ra cách tìm tọa độ điểm khi biết vectơ: nếu biết điểm A và vectơ AB⃗ thì tọa độ điểm B bằng tọa độ điểm A cộng với tọa độ vectơ AB⃗ theo từng thành phần, tức là B = A + AB⃗. Đây là dạng bài toán ngược rất hay gặp trong đề thi, và cách làm chỉ là cộng từng thành phần một cách cẩn thận.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho A(1; 2; 3) và B(3; 6; 5). Tìm tọa độ của vectơ AB⃗.
Bạn áp dụng công thức cuối trừ đầu: AB⃗ = (3 − 1; 6 − 2; 5 − 3) = (2; 4; 2). Bạn hãy kiểm tra lại từng thành phần: hoành độ 3 − 1 = 2, tung độ 6 − 2 = 4, cao độ 5 − 3 = 2, tất cả đều đúng. Đây là ví dụ đơn giản nhất nhưng cũng là quan trọng nhất, vì mọi bài tập về tọa độ vectơ đều bắt đầu từ việc nhận ra thứ tự cuối trừ đầu. Nếu bạn làm ngược lại, lấy A trừ B, bạn sẽ được (−2; −4; −2), đó là vectơ BA⃗ chứ không phải AB⃗.
Ví dụ 2: Cho A(0; 1; 2) và B(4; 1; 2). Tính tọa độ và độ dài của vectơ AB⃗.
Bạn tính tọa độ vectơ AB⃗ = (4 − 0; 1 − 1; 2 − 2) = (4; 0; 0). Bạn tính độ dài |AB⃗| = √(4² + 0² + 0²) = √16 = 4. Bạn hãy để ý: vectơ AB⃗ chỉ có thành phần x khác 0, hai thành phần còn lại bằng 0, nên vectơ này song song với trục Ox và độ dài của nó đúng bằng giá trị tuyệt đối của thành phần x. Dạng vectơ này gặp rất nhiều trong bài tập, vì vậy bạn hãy nhận ra ngay khi thấy hai thành phần bằng 0 thì vectơ song song với trục còn lại.
Ví dụ 3: Cho A(1; 0; 0) và B(1; 3; 4). Tính khoảng cách AB.
Bạn tính vectơ AB⃗ = (1 − 1; 3 − 0; 4 − 0) = (0; 3; 4). Bạn tính độ dài |AB⃗| = √(0² + 3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 5. Bạn hãy nhận ra bộ ba số 3, 4, 5 quen thuộc xuất hiện một lần nữa: hai điểm A và B chỉ khác nhau ở tung độ và cao độ, tạo thành một tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là 3 và 4, còn khoảng cách AB chính là cạnh huyền bằng 5.
Ví dụ 4: Cho A(2; 1; 0) và vectơ AB⃗ = (3; −2; 5). Tìm tọa độ điểm B.
Bạn dùng công thức điểm cuối bằng điểm đầu cộng vectơ: B = A + AB⃗ = (2 + 3; 1 + (−2); 0 + 5) = (5; −1; 5). Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách tính ngược: vectơ AB⃗ phải bằng (5 − 2; −1 − 1; 5 − 0) = (3; −2; 5), đúng với đề bài. Dạng bài này là bài toán ngược của ví dụ 1, đề bài cho điểm đầu và vectơ rồi hỏi điểm cuối, và cách làm chỉ là cộng từng thành phần. Bạn hãy cẩn thận với dấu âm ở thành phần thứ hai: 1 + (−2) = −1, không phải 3.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Lấy tọa độ điểm đầu trừ điểm cuối.
Nhiều bạn tính AB⃗ = A − B thay vì B − A. Cách tránh: bạn hãy đọc to câu thần chú cuối trừ đầu trước khi thay số, và nhớ vectơ AB⃗ đi từ A đến B nên điểm B là điểm cuối. Nếu bạn tính ra vectơ có dấu ngược với đáp án thì chắc chắn bạn đã trừ ngược.
Lỗi 2: Nhầm vectơ AB⃗ với vectơ BA⃗.
Nhiều bạn nghĩ hai vectơ này giống nhau vì cùng nối hai điểm A và B. Cách tránh: bạn hãy nhớ BA⃗ = −AB⃗, hai vectơ này đối nhau, có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Khi đề bài hỏi BA⃗ thì bạn lấy A trừ B, khi hỏi AB⃗ thì bạn lấy B trừ A.
Lỗi 3: Tính độ dài vectơ bằng tổng các thành phần.
Nhiều bạn tính |(3; 4; 0)| = 3 + 4 + 0 = 7. Cách tránh: bạn hãy nhớ độ dài vectơ bằng căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần, tức là √(3² + 4² + 0²) = 5. Bạn hãy luôn viết dấu căn trước khi thay số để không quên.
Lỗi 4: Quên căn bậc hai khi tính độ dài.
Nhiều bạn tính |a⃗|² rồi quên lấy căn, cho ra đáp án là bình phương của độ dài. Cách tránh: bạn hãy phân biệt rõ |a⃗|² = x² + y² + z² với |a⃗| = √(x² + y² + z²). Sau khi tính xong, bạn hãy kiểm tra đơn vị: độ dài là một số, không phải bình phương của một số.
Lỗi 5: Nghĩ hai vectơ bằng nhau chỉ cần cùng độ dài.
Nhiều bạn thấy hai vectơ có cùng độ dài là kết luận chúng bằng nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ hai vectơ bằng nhau phải thỏa mãn cả ba điều kiện: cùng hướng, cùng độ dài và ba thành phần tọa độ bằng nhau từng đôi một. Hai vectơ cùng độ dài nhưng khác hướng thì không bằng nhau. Nếu muốn ôn lại cách xác định tọa độ của một điểm, bạn hãy xem bài tọa độ của một điểm trong không gian Oxyz.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ áp dụng đúng thứ tự cuối trừ đầu.
Câu 1: Cho A(1; 2; 3) và B(3; 6; 5). Tọa độ của vectơ AB⃗ bằng
A. (2; 4; 2)
B. (−2; −4; −2)
C. (4; 8; 8)
D. (2; 4; 8)
Câu 2: Cho A(0; 0; 0) và B(3; 4; 0). Độ dài của vectơ AB⃗ bằng
A. 7
B. 5
C. 12
D. 25
Câu 3: Cho vectơ AB⃗ = (1; −2; 3) và A(2; 1; 1). Tọa độ điểm B bằng
A. (3; −1; 4)
B. (1; 3; −2)
C. (3; 1; 4)
D. (−1; 3; −2)
Câu 4: Cho A(1; 2; 3) và B(3; 6; 5). Tọa độ của vectơ BA⃗ bằng
A. (−2; −4; −2)
B. (2; 4; 2)
C. (4; 8; 8)
D. (−2; 4; −2)
Câu 5: Cho M(1; 1; 1) và N(4; 5; 1). Tọa độ của vectơ MN⃗ bằng
A. (3; 4; 0)
B. (5; 6; 2)
C. (3; 4; 2)
D. (−3; −4; 0)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | A | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A ((2; 4; 2)) đúng: Bạn tính AB⃗ = (3 − 1; 6 − 2; 5 − 3) = (2; 4; 2). Đáp án B sai vì đó là vectơ BA⃗, lấy A trừ B. Đáp án C sai vì bạn đã cộng hai điểm thay vì trừ. Đáp án D sai vì cao độ 5 − 3 = 2 chứ không phải 8.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (5) đúng: Bạn tính AB⃗ = (3; 4; 0) rồi tính độ dài |AB⃗| = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5. Đáp án A sai vì 7 là tổng các thành phần 3 + 4 + 0. Đáp án C sai vì 12 là tích 3 · 4. Đáp án D sai vì 25 là bình phương của độ dài, bạn đã quên lấy căn.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A ((3; −1; 4)) đúng: Bạn tính B = A + AB⃗ = (2 + 1; 1 + (−2); 1 + 3) = (3; −1; 4). Đáp án B sai vì bạn đã lấy A trừ AB⃗. Đáp án C sai vì tung độ 1 + (−2) = −1 chứ không phải 1. Đáp án D sai vì bạn đã trừ ngược cả ba thành phần.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A ((−2; −4; −2)) đúng: Bạn tính BA⃗ = A − B = (1 − 3; 2 − 6; 3 − 5) = (−2; −4; −2). Đáp án B sai vì đó là vectơ AB⃗. Đáp án C sai vì bạn đã cộng hai điểm. Đáp án D sai vì tung độ 2 − 6 = −4 chứ không phải 4.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A ((3; 4; 0)) đúng: Bạn tính MN⃗ = (4 − 1; 5 − 1; 1 − 1) = (3; 4; 0). Đáp án B sai vì bạn đã cộng hai điểm. Đáp án C sai vì cao độ 1 − 1 = 0 chứ không phải 2. Đáp án D sai vì đó là vectơ NM⃗.
Câu hỏi thường gặp về tọa độ của một vectơ trong không gian Oxyz
Hỏi: Vì sao tọa độ vectơ AB lại bằng tọa độ điểm B trừ tọa độ điểm A?
Đáp: Vì vectơ AB⃗ mô tả bước đi từ A đến B, nên mỗi thành phần của nó là độ thay đổi của tọa độ tương ứng khi đi từ A sang B. Hoành độ tăng từ x_A lên x_B nên thành phần x của vectơ là x_B − x_A, tương tự cho y và z. Đây là quy tắc cuối trừ đầu mà bạn cần thuộc lòng.
Hỏi: Vectơ BA⃗ khác vectơ AB⃗ như thế nào?
Đáp: Vectơ BA⃗ là vectơ đối của AB⃗, có cùng độ dài nhưng ngược hướng, tọa độ của nó bằng tọa độ của AB⃗ đổi dấu toàn bộ. Ví dụ với A(1; 2; 3) và B(3; 6; 5), AB⃗ = (2; 4; 2) còn BA⃗ = (−2; −4; −2). Bạn hãy luôn đọc kĩ đề bài hỏi vectơ nào.
Hỏi: Độ dài của vectơ được tính như thế nào?
Đáp: Độ dài của vectơ a⃗ = (x; y; z) bằng căn bậc hai của tổng bình phương ba thành phần: |a⃗| = √(x² + y² + z²). Đây là định lí Pythagore mở rộng ra ba chiều. Ví dụ vectơ (3; 4; 0) có độ dài bằng √(9 + 16) = 5.
Hỏi: Hai vectơ bằng nhau khi nào?
Đáp: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi ba thành phần tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một. Hai vectơ bằng nhau thì cùng hướng và cùng độ dài, nhưng điểm đặt có thể khác nhau vì vectơ trong hình học là vectơ tự do.
Hỏi: Biết điểm A và vectơ AB⃗ thì tìm điểm B như thế nào?
Đáp: Bạn cộng tọa độ điểm A với tọa độ vectơ AB⃗ theo từng thành phần: B = A + AB⃗. Ví dụ A(2; 1; 0) và AB⃗ = (3; −2; 5) thì B = (5; −1; 5). Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách tính ngược AB⃗ = B − A.
Kết luận
Tọa độ của một vectơ trong không gian Oxyz chỉ gói gọn trong một công thức: AB⃗ = (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A), với câu thần chú cuối trừ đầu và công thức độ dài |a⃗| = √(x² + y² + z²). Bạn hãy nhớ ba điều: lấy điểm cuối trừ điểm đầu, độ dài bằng căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần, và hai vectơ bằng nhau khi ba thành phần tọa độ bằng nhau từng đôi một. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính tọa độ vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm và tìm điểm khi biết vectơ — và đó là nền tảng để bạn học tiếp các phép toán với vectơ ở bài sau.