Bạn đang chơi một trò chơi điện tử và muốn chỉ cho bạn mình vị trí của một kho báu ẩn trong thế giới ba chiều. Nói kho báu ở phía trước thì chưa đủ, nói ở phía trên cũng chưa đủ, bạn cần cả ba thông tin: đi bao xa theo chiều dài, bao xa theo chiều rộng và cao bao nhiêu. Trong toán học lớp 12, ba thông tin đó chính là tọa độ của một điểm trong không gian Oxyz, và chỉ cần ba con số là bạn đã xác định được chính xác một điểm giữa muôn vàn điểm trong không gian.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ tọa độ của một điểm trong không gian một cách có hệ thống: từ cách dựng hệ trục Oxyz, cách đọc và viết tọa độ của một điểm, hình chiếu của điểm lên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ điểm M có tọa độ (x; y; z) thì hình chiếu của nó lên mặt phẳng Oxy là (x; y; 0), bạn đã nắm được chìa khóa của cả bài học.
Tọa độ của một điểm trong không gian Oxyz là gì?
Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O, cùng với ba vectơ đơn vị i⃗, j⃗, k⃗ lần lượt nằm trên ba trục. Một điểm M bất kì trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba số (x; y; z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của điểm M. Bạn viết M(x; y; z) và đọc là điểm M có hoành độ x, tung độ y, cao độ z. Ba con số này chính là tọa độ của ba hình chiếu của điểm M lên ba trục Ox, Oy, Oz, và thứ tự x, y, z không bao giờ được đổi chỗ cho nhau.
Hình chiếu của một điểm lên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ tuân theo một quy tắc rất dễ nhớ: khi chiếu lên mặt phẳng nào thì bạn giữ nguyên hai tọa độ tương ứng với mặt phẳng đó và cho tọa độ còn lại bằng 0. Cụ thể, hình chiếu của M(x; y; z) lên mặt phẳng Oxy là (x; y; 0), lên mặt phẳng Oxz là (x; 0; z), lên mặt phẳng Oyz là (0; y; z). Khi chiếu lên một trục thì bạn chỉ giữ lại tọa độ tương ứng với trục đó: hình chiếu lên trục Ox là (x; 0; 0), lên trục Oy là (0; y; 0), lên trục Oz là (0; 0; z). Bạn hãy hình dung như một cái bóng: chiếu điểm M xuống sàn nhà Oxy thì cái bóng mất đi chiều cao z, còn chiếu lên một bức tường thì cái bóng chỉ còn lại một chiều.
Ngoài hình chiếu, bạn còn cần nhớ hai phép đối xứng hay gặp trong bài tập. Điểm đối xứng của M(x; y; z) qua gốc tọa độ O là M'(−x; −y; −z), tức là đổi dấu cả ba tọa độ. Điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy là M'(x; y; −z), chỉ đổi dấu cao độ z, còn qua mặt phẳng Oxz là (x; −y; z) và qua mặt phẳng Oyz là (−x; y; z). Một điểm đặc biệt nữa là điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ: điểm thuộc mặt phẳng Oxy khi và chỉ khi z = 0, thuộc mặt phẳng Oxz khi y = 0, thuộc mặt phẳng Oyz khi x = 0. Tương tự, điểm nằm trên trục Ox khi y = 0 và z = 0, trên trục Oy khi x = 0 và z = 0, trên trục Oz khi x = 0 và y = 0. Khi cần kiểm tra lại một phép tính tọa độ, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Điểm M(1; 2; 3) có hình chiếu lên mặt phẳng Oxy là điểm nào?
Bạn áp dụng quy tắc hình chiếu lên mặt phẳng Oxy: giữ nguyên hoành độ x = 1 và tung độ y = 2, cho cao độ z = 0. Vậy hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy là điểm (1; 2; 0). Bạn hãy kiểm tra lại: điểm hình chiếu nằm trên mặt phẳng Oxy nên cao độ của nó phải bằng 0, đúng như kết quả vừa tính. Đây là ví dụ đơn giản nhất nhưng cũng là quan trọng nhất, vì mọi bài tập về hình chiếu đều bắt đầu từ việc nhận ra quy tắc giữ hai, cho không một.
Ví dụ 2: Cho điểm M(2; −1; 4). Tìm hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxz và lên trục Oz.
Bạn chiếu M lên mặt phẳng Oxz bằng cách giữ nguyên x = 2 và z = 4, cho y = 0, được điểm (2; 0; 4). Bạn chiếu M lên trục Oz bằng cách chỉ giữ lại z = 4, cho x = 0 và y = 0, được điểm (0; 0; 4). Bạn hãy để ý sự khác nhau: hình chiếu lên mặt phẳng giữ hai tọa độ, hình chiếu lên trục chỉ giữ một tọa độ. Nếu bạn nhầm hai trường hợp này thì sẽ cho ra đáp án sai ngay, vì vậy bạn hãy luôn đọc kĩ đề bài hỏi chiếu lên mặt phẳng hay lên trục.
Ví dụ 3: Tìm điểm đối xứng của M(1; 2; 3) qua mặt phẳng Oxy và qua gốc tọa độ O.
Bạn tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng Oxy bằng cách giữ nguyên x = 1 và y = 2, đổi dấu z = 3 thành −3, được điểm (1; 2; −3). Bạn tìm điểm đối xứng qua gốc tọa độ O bằng cách đổi dấu cả ba tọa độ, được điểm (−1; −2; −3). Bạn hãy hình dung: đối xứng qua mặt phẳng Oxy giống như soi gương qua mặt sàn, điểm ảnh nằm ngay dưới điểm gốc với cùng khoảng cách, còn đối xứng qua gốc O giống như quay điểm một nửa vòng quanh gốc, cả ba tọa độ đều đổi dấu.
Ví dụ 4: Điểm M(3; 0; 5) nằm trên mặt phẳng tọa độ nào? Giải thích.
Bạn nhìn vào tọa độ của M và thấy tung độ y = 0, trong khi x = 3 và z = 5 đều khác 0. Vì điểm thuộc mặt phẳng Oxz khi và chỉ khi y = 0, bạn kết luận M nằm trên mặt phẳng Oxz. Bạn hãy chú ý: điểm M không nằm trên mặt phẳng Oxy vì cao độ z = 5 khác 0, và cũng không nằm trên mặt phẳng Oyz vì hoành độ x = 3 khác 0. Một điểm chỉ nằm trên một trục khi hai trong ba tọa độ của nó bằng 0, còn điểm M chỉ có một tọa độ bằng 0 nên nó nằm trên một mặt phẳng chứ không nằm trên trục nào.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm thứ tự x, y, z khi đọc tọa độ.
Nhiều bạn đọc M(1; 2; 3) thành x = 2 hoặc z = 1 vì không để ý thứ tự. Cách tránh: bạn hãy nhớ thứ tự luôn là hoành độ x, tung độ y, cao độ z, giống như thứ tự bảng chữ cái x, y, z. Khi viết đáp án, bạn hãy viết lại đầy đủ M(x; y; z) rồi mới thay số vào từng vị trí.
Lỗi 2: Chiếu lên mặt phẳng Oxy mà giữ nguyên z.
Nhiều bạn cho hình chiếu của M(1; 2; 3) lên Oxy là (1; 2; 3), tức là quên cho z bằng 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ hình chiếu nằm trên mặt phẳng Oxy nên cao độ của nó phải bằng 0, và kiểm tra lại đáp án bằng cách xem tọa độ tương ứng đã bằng 0 hay chưa.
Lỗi 3: Nhầm hình chiếu lên trục Ox với hình chiếu lên mặt phẳng Oxy.
Nhiều bạn cho hình chiếu của M lên trục Ox là (x; y; 0) thay vì (x; 0; 0). Cách tránh: bạn hãy nhớ hình chiếu lên trục chỉ giữ một tọa độ, hình chiếu lên mặt phẳng giữ hai tọa độ. Bạn có thể nhẩm nhanh: trục có một chữ cái nên giữ một số, mặt phẳng có hai chữ cái nên giữ hai số.
Lỗi 4: Đối xứng qua mặt phẳng Oxy mà đổi dấu cả ba tọa độ.
Nhiều bạn nhầm đối xứng qua mặt phẳng với đối xứng qua gốc tọa độ. Cách tránh: bạn hãy nhớ đối xứng qua mặt phẳng chỉ đổi dấu tọa độ vuông góc với mặt phẳng đó, hai tọa độ còn lại giữ nguyên. Đối xứng qua mặt phẳng Oxy thì chỉ z đổi dấu, đối xứng qua gốc O thì cả ba đều đổi dấu.
Lỗi 5: Nghĩ điểm có z = 0 thì nằm trên trục Oz.
Nhiều bạn thấy một tọa độ bằng 0 là kết luận điểm nằm trên trục. Cách tránh: bạn hãy nhớ điểm nằm trên trục Oz phải có x = 0 và y = 0, tức là hai tọa độ bằng 0. Điểm chỉ có z = 0 thì nằm trên mặt phẳng Oxy, còn điểm chỉ có một tọa độ bằng 0 thì luôn nằm trên một mặt phẳng, không nằm trên trục nào. Nếu muốn ôn lại cách tính tọa độ của vectơ nối hai điểm, bạn hãy xem bài tọa độ của một vectơ trong không gian Oxyz.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra lại từng tọa độ trước khi chọn đáp án.
Câu 1: Điểm M(1; 2; 3) có hình chiếu lên mặt phẳng Oxy là điểm nào?
A. (1; 2; 0)
B. (1; 0; 3)
C. (0; 2; 3)
D. (0; 0; 3)
Câu 2: Điểm (0; 5; 0) nằm trên trục tọa độ nào?
A. Ox
B. Oy
C. Oz
D. Không nằm trên trục nào
Câu 3: Hình chiếu của điểm M(−2; 3; 1) lên trục Ox là điểm nào?
A. (−2; 0; 0)
B. (0; 3; 0)
C. (0; 0; 1)
D. (−2; 3; 0)
Câu 4: Điểm đối xứng của M(1; −2; 3) qua gốc tọa độ O là điểm nào?
A. (−1; 2; −3)
B. (1; 2; 3)
C. (−1; −2; −3)
D. (1; −2; −3)
Câu 5: Điểm M(4; 0; −2) thuộc mặt phẳng tọa độ nào?
A. Oxy
B. Oxz
C. Oyz
D. Cả ba mặt phẳng
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A ((1; 2; 0)) đúng: Hình chiếu lên mặt phẳng Oxy giữ nguyên x = 1 và y = 2, cho z = 0, được điểm (1; 2; 0). Đáp án B sai vì đó là hình chiếu lên mặt phẳng Oxz. Đáp án C sai vì đó là hình chiếu lên mặt phẳng Oyz. Đáp án D sai vì đó là hình chiếu lên trục Oz.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (Oy) đúng: Điểm (0; 5; 0) có x = 0 và z = 0, chỉ còn y = 5 khác 0, nên điểm nằm trên trục Oy. Đáp án A sai vì điểm trên trục Ox phải có y = 0 và z = 0. Đáp án C sai vì điểm trên trục Oz phải có x = 0 và y = 0. Đáp án D sai vì điểm thỏa mãn điều kiện nằm trên trục Oy.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A ((−2; 0; 0)) đúng: Hình chiếu lên trục Ox chỉ giữ lại x = −2, cho y = 0 và z = 0, được điểm (−2; 0; 0). Đáp án B sai vì đó là hình chiếu lên trục Oy. Đáp án C sai vì đó là hình chiếu lên trục Oz. Đáp án D sai vì đó là hình chiếu lên mặt phẳng Oxy.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A ((−1; 2; −3)) đúng: Đối xứng qua gốc O đổi dấu cả ba tọa độ: x = 1 thành −1, y = −2 thành 2, z = 3 thành −3, được điểm (−1; 2; −3). Đáp án B sai vì đó là chính điểm M. Đáp án C sai vì bạn đã giữ nguyên dấu của y. Đáp án D sai vì đó là điểm đối xứng qua mặt phẳng Oxy.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (Oxz) đúng: Điểm M(4; 0; −2) có y = 0 nên thuộc mặt phẳng Oxz. Đáp án A sai vì điểm trên mặt phẳng Oxy phải có z = 0, mà z = −2 khác 0. Đáp án C sai vì điểm trên mặt phẳng Oyz phải có x = 0, mà x = 4 khác 0. Đáp án D sai vì điểm chỉ thỏa mãn điều kiện của một mặt phẳng.
Câu hỏi thường gặp về tọa độ của một điểm trong không gian Oxyz
Hỏi: Vì sao một điểm trong không gian cần tới ba số để xác định?
Đáp: Vì không gian có ba chiều độc lập: dài, rộng và cao. Hai số chỉ xác định được một điểm trên mặt phẳng, còn trong không gian bạn cần thêm số thứ ba là cao độ z. Ba số x, y, z giống như địa chỉ nhà có số nhà, tên đường và số tầng, thiếu một thứ là không tìm được vị trí chính xác.
Hỏi: Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng tọa độ là gì?
Đáp: Hình chiếu của điểm M lên một mặt phẳng là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống mặt phẳng đó. Bạn tìm nó bằng cách giữ nguyên hai tọa độ tương ứng với mặt phẳng và cho tọa độ còn lại bằng 0. Ví dụ hình chiếu của M(1; 2; 3) lên mặt phẳng Oxy là (1; 2; 0).
Hỏi: Điểm nằm trên mặt phẳng Oxy có đặc điểm gì?
Đáp: Điểm nằm trên mặt phẳng Oxy có cao độ z = 0, vì mặt phẳng Oxy là tập hợp tất cả các điểm có z = 0. Tương tự, điểm nằm trên mặt phẳng Oxz có y = 0 và điểm nằm trên mặt phẳng Oyz có x = 0. Bạn dùng đặc điểm này để kiểm tra một điểm có thuộc mặt phẳng nào hay không.
Hỏi: Điểm đối xứng qua gốc tọa độ khác gì với điểm đối xứng qua mặt phẳng?
Đáp: Điểm đối xứng qua gốc O đổi dấu cả ba tọa độ, còn điểm đối xứng qua một mặt phẳng chỉ đổi dấu tọa độ vuông góc với mặt phẳng đó. Ví dụ điểm đối xứng của M(1; 2; 3) qua gốc O là (−1; −2; −3), còn qua mặt phẳng Oxy là (1; 2; −3).
Hỏi: Tọa độ của một điểm có bao giờ âm không?
Đáp: Có, tọa độ âm chỉ cho biết điểm nằm ở phía âm của trục tương ứng so với gốc O. Ví dụ điểm (−2; 3; 1) có hoành độ âm nên nằm về phía âm của trục Ox, còn tung độ và cao độ dương nên nằm về phía dương của trục Oy và Oz. Dấu của tọa độ cho biết hướng, còn giá trị tuyệt đối cho biết khoảng cách tới mặt phẳng tọa độ.
Kết luận
Tọa độ của một điểm trong không gian Oxyz chỉ gói gọn trong bộ ba số (x; y; z), với quy tắc hình chiếu rất dễ nhớ: chiếu lên mặt phẳng thì giữ hai cho không một, chiếu lên trục thì giữ một cho không hai. Bạn hãy nhớ ba điều: thứ tự x, y, z không bao giờ đổi chỗ, điểm nằm trên mặt phẳng nào thì tọa độ vuông góc với mặt phẳng đó bằng 0, và đối xứng qua gốc O thì đổi dấu cả ba tọa độ. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để đọc tọa độ, tìm hình chiếu và xác định vị trí của bất kì điểm nào trong không gian — và đó là nền tảng để bạn học tiếp tọa độ của vectơ ở bài sau.