Bạn có hai vectơ trong không gian và muốn biết chúng có vuông góc với nhau hay không, nhưng đề bài không cho góc giữa chúng mà chỉ cho tọa độ của từng vectơ. Bạn sẽ làm thế nào? Câu trả lời là bạn nhân từng cặp tọa độ tương ứng với nhau rồi cộng tất cả lại: nếu tổng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc, nếu tổng khác 0 thì bạn còn tính được cả góc giữa chúng. Trong toán học lớp 12, đó chính là biểu thức tọa độ của tích vô hướng, công thức biến một bài toán hình học thành một phép tính số học đơn giản.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ biểu thức tọa độ của tích vô hướng một cách có hệ thống: từ công thức nhân từng cặp tọa độ tương ứng, công thức độ dài vectơ và côsin góc giữa hai vectơ, điều kiện vuông góc bằng tọa độ, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ tích vô hướng bằng tổng ba tích từng cặp tọa độ, bạn đã nắm được chìa khóa của cả bài học.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng là gì?
Cho hai vectơ a⃗ = (x₁; y₁; z₁) và b⃗ = (x₂; y₂; z₂) trong không gian Oxyz. Tích vô hướng của hai vectơ được tính bằng biểu thức tọa độ: a⃗ · b⃗ = x₁ · x₂ + y₁ · y₂ + z₁ · z₂, tức là nhân từng cặp tọa độ tương ứng với nhau rồi cộng tất cả lại. Bạn hãy đọc công thức này thành một câu thần chú: nhân từng cặp rồi cộng. Công thức này tương đương với định nghĩa a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos(a⃗, b⃗) mà bạn đã học, nhưng nó tiện lợi hơn nhiều khi đề bài cho sẵn tọa độ của hai vectơ, vì bạn không cần biết góc giữa chúng mà vẫn tính được tích vô hướng.
Từ biểu thức tọa độ của tích vô hướng, bạn suy ra ngay công thức độ dài của một vectơ: với a⃗ = (x; y; z), ta có |a⃗|² = a⃗ · a⃗ = x² + y² + z², nên |a⃗| = √(x² + y² + z²). Bạn cũng suy ra công thức tính côsin của góc giữa hai vectơ: cos(a⃗, b⃗) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|) = (x₁ · x₂ + y₁ · y₂ + z₁ · z₂) / (√(x₁² + y₁² + z₁²) · √(x₂² + y₂² + z₂²)). Công thức này cho bạn cách tính góc giữa hai vectơ chỉ từ tọa độ của chúng, không cần vẽ hình hay đo góc. Khi cần kiểm tra lại một phép tính căn bậc hai, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Điều kiện vuông góc bằng tọa độ là ứng dụng quan trọng nhất của biểu thức này: hai vectơ a⃗ và b⃗ khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi x₁ · x₂ + y₁ · y₂ + z₁ · z₂ = 0. Bạn hãy nhớ: chỉ cần tổng ba tích từng cặp bằng 0 là hai vectơ vuông góc, không cần tính góc hay độ dài. Ngoài ra, dấu của tích vô hướng còn cho biết góc giữa hai vectơ là nhọn hay tù: tích vô hướng dương thì góc nhọn, tích vô hướng âm thì góc tù, tích vô hướng bằng 0 thì góc vuông. Đây là cách phân loại góc nhanh nhất trong bài tập tọa độ không gian.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6). Tính a⃗ · b⃗.
Bạn nhân từng cặp tọa độ tương ứng rồi cộng lại: a⃗ · b⃗ = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 4 + 10 + 18 = 32. Bạn hãy kiểm tra lại từng phép nhân: 1 · 4 = 4, 2 · 5 = 10, 3 · 6 = 18, tổng của ba số là 32. Đây là ví dụ đơn giản nhất nhưng cũng là quan trọng nhất, vì mọi bài tập về tích vô hướng bằng tọa độ đều bắt đầu từ việc nhân từng cặp rồi cộng.
Ví dụ 2: Cho a⃗ = (1; 2; 2). Tính độ dài |a⃗|.
Bạn dùng công thức độ dài: |a⃗| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3. Bạn hãy để ý: bình phương của từng thành phần là 1, 4 và 4, tổng bằng 9, căn bậc hai của 9 bằng 3. Bạn hãy cẩn thận: độ dài bằng căn bậc hai của tổng bình phương, không phải tổng bình phương, và cũng không phải tổng các thành phần.
Ví dụ 3: Cho a⃗ = (1; 0; 0) và b⃗ = (1; 1; 0). Tính góc giữa hai vectơ a⃗ và b⃗.
Bạn tính tích vô hướng a⃗ · b⃗ = 1 · 1 + 0 · 1 + 0 · 0 = 1. Bạn tính độ dài |a⃗| = √(1 + 0 + 0) = 1 và |b⃗| = √(1 + 1 + 0) = √2. Bạn tính cos(a⃗, b⃗) = 1 / (1 · √2) = 1 / √2 = √2 / 2. Vì góc giữa hai vectơ nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ, bạn suy ra góc đó bằng 45 độ. Bạn hãy nhận ra đây là góc quen thuộc trong tam giác vuông cân: hai vectơ tạo thành một góc 45 độ vì một vectơ nằm trên trục Ox còn vectơ kia là đường chéo của hình vuông đơn vị.
Ví dụ 4: Cho a⃗ = (2; 1; −1) và b⃗ = (1; −1; 1). Chứng minh hai vectơ vuông góc với nhau.
Bạn tính tích vô hướng a⃗ · b⃗ = 2 · 1 + 1 · (−1) + (−1) · 1 = 2 − 1 − 1 = 0. Vì tích vô hướng bằng 0 mà cả hai vectơ đều khác vectơ 0, bạn kết luận a⃗ vuông góc với b⃗. Bạn hãy chú ý: bạn không cần tính góc hay độ dài, chỉ cần tổng ba tích từng cặp bằng 0 là đủ kết luận. Đây là cách kiểm tra vuông góc nhanh nhất trong bài tập tọa độ, và bạn nên dùng nó mỗi khi đề bài cho sẵn tọa độ của hai vectơ.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhân chéo các thành phần, lấy x₁ nhân với y₂.
Nhiều bạn tính a⃗ · b⃗ = x₁ · y₂ + y₁ · z₂ + z₁ · x₂ vì làm quá nhanh. Cách tránh: bạn hãy nhớ chỉ nhân các thành phần tương ứng với nhau: x với x, y với y và z với z. Bạn hãy viết hai vectơ thẳng cột rồi nhân từng hàng để không bị chéo.
Lỗi 2: Tính độ dài vectơ bằng x + y + z.
Nhiều bạn tính |(1; 2; 2)| = 1 + 2 + 2 = 5. Cách tránh: bạn hãy nhớ độ dài vectơ bằng căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần: √(1 + 4 + 4) = 3. Bạn hãy luôn viết dấu căn và dấu bình phương trước khi thay số.
Lỗi 3: Quên căn bậc hai khi tính độ dài.
Nhiều bạn tính |a⃗|² rồi cho đó là độ dài. Cách tránh: bạn hãy phân biệt rõ |a⃗|² = x² + y² + z² với |a⃗| = √(x² + y² + z²). Sau khi tính xong, bạn hãy kiểm tra: nếu kết quả là một số chính phương như 9 thì bạn đã quên lấy căn, vì độ dài phải là 3.
Lỗi 4: Tính côsin góc bằng tích vô hướng mà quên chia cho tích hai độ dài.
Nhiều bạn cho cos(a⃗, b⃗) = a⃗ · b⃗. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đầy đủ cos(a⃗, b⃗) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|). Bạn phải tính cả tích vô hướng ở tử số và tích hai độ dài ở mẫu số, rồi mới chia cho nhau.
Lỗi 5: Thấy a⃗ · b⃗ = 0 thì kết luận a⃗ = 0⃗.
Nhiều bạn áp dụng thói quen từ phép nhân các số, nơi tích bằng 0 thì một thừa số bằng 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích vô hướng bằng 0 còn có khả năng thứ hai là hai vectơ vuông góc với nhau, và đây mới là trường hợp gặp nhiều nhất trong bài tập. Nếu muốn ôn lại định nghĩa tích vô hướng bằng độ dài và góc, bạn hãy xem bài tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ nhân từng cặp tọa độ tương ứng rồi cộng lại.
Câu 1: Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6). Tích vô hướng a⃗ · b⃗ bằng
A. 32
B. 18
C. 27
D. 30
Câu 2: Cho a⃗ = (3; 4; 0). Độ dài |a⃗| bằng
A. 25
B. 7
C. 5
D. 12
Câu 3: Cho a⃗ = (1; 0; 0) và b⃗ = (0; 1; 0). Góc giữa hai vectơ bằng
A. 45 độ
B. 0 độ
C. 90 độ
D. 180 độ
Câu 4: Cho a⃗ = (2; 1; −1) và b⃗ = (1; −1; 1). Tích vô hướng a⃗ · b⃗ bằng
A. 2
B. 0
C. −2
D. 4
Câu 5: Cho a⃗ = (1; 2; 2). Độ dài |a⃗| bằng
A. 5
B. 9
C. 4
D. 3
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | C | B | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (32) đúng: Bạn tính a⃗ · b⃗ = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 4 + 10 + 18 = 32. Đáp án B sai vì 18 chỉ là tích của cặp thứ ba. Đáp án C sai vì 27 là tổng 4 + 10 + 13, bạn đã tính nhầm 3 · 6. Đáp án D sai vì 30 là kết quả khi bạn cộng nhầm một số hạng.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (5) đúng: Bạn tính |a⃗| = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Đáp án A sai vì 25 là bình phương của độ dài, bạn đã quên lấy căn. Đáp án B sai vì 7 là tổng các thành phần 3 + 4 + 0. Đáp án D sai vì 12 là tích 3 · 4.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (90 độ) đúng: Bạn tính a⃗ · b⃗ = 1 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 = 0, nên hai vectơ vuông góc với nhau, góc bằng 90 độ. Đáp án A sai vì góc 45 độ ứng với côsin bằng √2 / 2. Đáp án B sai vì góc 0 độ chỉ khi hai vectơ cùng hướng. Đáp án D sai vì góc 180 độ chỉ khi hai vectơ ngược hướng.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (0) đúng: Bạn tính a⃗ · b⃗ = 2 · 1 + 1 · (−1) + (−1) · 1 = 2 − 1 − 1 = 0. Đáp án A sai vì bạn đã cộng nhầm dấu của số hạng thứ hai. Đáp án C sai vì bạn đã tính 2 − 1 − 3 thay vì 2 − 1 − 1. Đáp án D sai vì 4 là kết quả khi bạn bỏ qua dấu trừ.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D (3) đúng: Bạn tính |a⃗| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3. Đáp án A sai vì 5 là tổng các thành phần 1 + 2 + 2. Đáp án B sai vì 9 là bình phương của độ dài, bạn đã quên lấy căn. Đáp án C sai vì 4 là bình phương của thành phần thứ hai.
Câu hỏi thường gặp về biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Hỏi: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng là gì?
Đáp: Với a⃗ = (x₁; y₁; z₁) và b⃗ = (x₂; y₂; z₂), tích vô hướng bằng a⃗ · b⃗ = x₁ · x₂ + y₁ · y₂ + z₁ · z₂. Bạn nhân từng cặp tọa độ tương ứng với nhau rồi cộng tất cả lại. Công thức này tương đương với định nghĩa a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos(a⃗, b⃗).
Hỏi: Độ dài của vectơ được tính bằng tọa độ như thế nào?
Đáp: Độ dài của vectơ a⃗ = (x; y; z) bằng căn bậc hai của tổng bình phương ba thành phần: |a⃗| = √(x² + y² + z²). Ví dụ vectơ (1; 2; 2) có độ dài bằng √(1 + 4 + 4) = 3.
Hỏi: Tính góc giữa hai vectơ bằng tọa độ như thế nào?
Đáp: Bạn dùng công thức cos(a⃗, b⃗) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|), trong đó tử số là tích vô hướng tính bằng tọa độ, mẫu số là tích hai độ dài. Ví dụ a⃗ = (1; 0; 0) và b⃗ = (1; 1; 0) thì cos = 1 / √2 nên góc bằng 45 độ.
Hỏi: Kiểm tra hai vectơ vuông góc bằng tọa độ như thế nào?
Đáp: Bạn tính tổng ba tích từng cặp tọa độ: nếu tổng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc với nhau. Ví dụ a⃗ = (2; 1; −1) và b⃗ = (1; −1; 1) có tích vô hướng bằng 2 − 1 − 1 = 0 nên hai vectơ vuông góc. Bạn không cần tính góc hay độ dài.
Hỏi: Dấu của tích vô hướng cho biết điều gì về góc giữa hai vectơ?
Đáp: Tích vô hướng dương thì góc giữa hai vectơ là góc nhọn, tích vô hướng âm thì góc là góc tù, tích vô hướng bằng 0 thì góc vuông. Bạn dùng dấu của tích vô hướng để phân loại góc nhanh nhất trong bài tập tọa độ không gian.
Kết luận
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng chỉ gói gọn trong một công thức: a⃗ · b⃗ = x₁ · x₂ + y₁ · y₂ + z₁ · z₂, với công thức độ dài |a⃗| = √(x² + y² + z²) và công thức côsin cos(a⃗, b⃗) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|). Bạn hãy nhớ ba điều: chỉ nhân các thành phần tương ứng với nhau, độ dài bằng căn bậc hai của tổng bình phương, và tích vô hướng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính tích vô hướng, độ dài và góc giữa hai vectơ chỉ từ tọa độ — và đó là nền tảng để bạn học tiếp tích có hướng của hai vectơ ở bài sau.