Bạn đẩy một chiếc tủ nặng trượt trên sàn nhà. Bạn dùng lực 100 N, nhưng bạn không đẩy thẳng theo hướng tủ trượt mà đẩy chếch lên một góc 60 độ. Vậy thực ra chỉ một phần của lực bạn bỏ ra làm tủ chuyển động, phần còn lại bị lãng phí theo hướng khác. Phần lực có ích đó được tính bằng 100 nhân với côsin của 60 độ, tức là 50 N. Trong toán học, phép tính này có một cái tên rất quen thuộc: tích vô hướng của hai vectơ. Lên lớp 12, bạn gặp lại tích vô hướng trong không gian ba chiều, nơi mọi vật đều có thêm một hướng nữa để di chuyển, và công thức vẫn giữ nguyên vẻ đẹp đơn giản của nó.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ tích vô hướng của hai vectơ trong không gian một cách có hệ thống: từ định nghĩa và ý nghĩa hình học, điều kiện để hai vectơ vuông góc, các tính chất hay dùng nhất, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ một công thức duy nhất là a⃗ · b⃗ bằng tích hai độ dài nhân với côsin góc giữa chúng, bạn đã nắm được chìa khóa của cả bài học.
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian là gì?
Tích vô hướng của hai vectơ a⃗ và b⃗ trong không gian, kí hiệu là a⃗ · b⃗, được định nghĩa bằng công thức a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos(a⃗, b⃗), trong đó |a⃗| và |b⃗| là độ dài của hai vectơ, còn (a⃗, b⃗) là góc giữa hai vectơ, luôn lấy trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ. Bạn hãy để ý điểm quan trọng nhất: kết quả của tích vô hướng là một số, không phải một vectơ. Vì vậy người ta còn gọi nó là tích vô hướng để phân biệt với tích có hướng mà bạn sẽ học ở bài sau, vốn cho kết quả là một vectơ. Khi góc giữa hai vectơ là góc nhọn thì côsin dương nên tích vô hướng dương, khi góc tù thì côsin âm nên tích vô hướng âm, và khi hai vectơ vuông góc thì côsin bằng 0 nên tích vô hướng bằng 0.
Từ định nghĩa, bạn suy ra ngay điều kiện vuông góc rất hay dùng trong bài tập: hai vectơ a⃗ và b⃗ khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a⃗ · b⃗ = 0. Đây là cách kiểm tra vuông góc nhanh nhất trong không gian, nhanh hơn nhiều so với việc vẽ hình hay đo góc. Ngoài ra còn có hai trường hợp đặc biệt bạn cần nhớ. Nếu hai vectơ cùng hướng thì góc giữa chúng bằng 0 độ, côsin bằng 1, nên a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗|. Nếu hai vectơ ngược hướng thì góc bằng 180 độ, côsin bằng −1, nên a⃗ · b⃗ = −|a⃗| · |b⃗|. Đặc biệt, tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bình phương độ dài của nó, tức là a⃗ · a⃗ = |a⃗|², một hệ thức bạn sẽ dùng rất nhiều khi tính độ dài của tổng hai vectơ.
Tích vô hướng có ba tính chất giống hệt phép nhân các số thông thường, và bạn nên thuộc lòng cả ba. Thứ nhất là tính giao hoán: a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗, thứ tự hai vectơ không quan trọng. Thứ hai là tính phân phối đối với phép cộng vectơ: a⃗ · (b⃗ + c⃗) = a⃗ · b⃗ + a⃗ · c⃗. Thứ ba là tính kết hợp với phép nhân một số với vectơ: (k · a⃗) · b⃗ = k · (a⃗ · b⃗) = a⃗ · (k · b⃗). Từ các tính chất này, bạn tính được bình phương độ dài của tổng hai vectơ theo công thức |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² + 2 · a⃗ · b⃗. Công thức này chính là định lí côsin viết dưới dạng vectơ, và nó là cầu nối giữa hình học vectơ với hình học tam giác mà bạn đã học ở lớp 10. Khi hai vectơ vuông góc với nhau thì số hạng 2 · a⃗ · b⃗ bằng 0, công thức trở thành định lí Pythagore quen thuộc.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho |a⃗| = 2, |b⃗| = 3 và góc giữa hai vectơ bằng 60 độ. Tính a⃗ · b⃗.
Bạn áp dụng trực tiếp định nghĩa: a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos 60 độ. Thay số vào, bạn được a⃗ · b⃗ = 2 · 3 · 1/2 = 3. Bạn hãy kiểm tra lại từng bước: độ dài hai vectơ nhân với nhau được 6, côsin của 60 độ bằng 1/2, nên kết quả cuối cùng là 3. Đây là ví dụ đơn giản nhất nhưng cũng là quan trọng nhất, vì mọi bài tập tích vô hướng đều bắt đầu từ việc nhận ra ba đại lượng trong công thức: hai độ dài và góc giữa chúng. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2: Cho |a⃗| = 5, |b⃗| = 4 và a⃗ · b⃗ = 10. Tính góc giữa hai vectơ a⃗ và b⃗.
Bạn biến đổi công thức định nghĩa để tìm côsin của góc: cos(a⃗, b⃗) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|). Thay số vào, bạn được cos(a⃗, b⃗) = 10 / (5 · 4) = 10 / 20 = 1/2. Vì góc giữa hai vectơ nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ, bạn suy ra góc đó bằng 60 độ. Bạn hãy để ý: dạng bài này là bài toán ngược của ví dụ 1, đề bài cho tích vô hướng và hỏi góc, và cách làm chỉ là đảo ngược công thức. Một mẹo nhỏ là bạn luôn kiểm tra xem giá trị côsin có nằm trong khoảng từ −1 đến 1 hay không, nếu vượt ra ngoài thì chắc chắn bạn đã tính sai ở đâu đó.
Ví dụ 3: Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (2; −1; 0). Chứng minh hai vectơ vuông góc với nhau.
Bạn tính tích vô hướng của hai vectơ bằng biểu thức tọa độ: a⃗ · b⃗ = 1 · 2 + 2 · (−1) + 3 · 0 = 2 − 2 + 0 = 0. Vì tích vô hướng bằng 0 mà cả hai vectơ đều khác vectơ 0, bạn kết luận a⃗ vuông góc với b⃗. Bạn hãy chú ý: ở đây bạn dùng công thức tọa độ để tính tích vô hướng, một công thức bạn sẽ học kĩ trong bài về biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Cách làm này rất nhanh và chính xác, đặc biệt khi đề bài cho sẵn tọa độ của hai vectơ thay vì cho độ dài và góc. Bạn cũng có thể kiểm tra lại bằng cách tính độ dài của từng vectơ, nhưng cách dùng tọa độ trực tiếp luôn gọn hơn.
Ví dụ 4: Cho |a⃗| = 3, |b⃗| = 4 và a⃗ vuông góc với b⃗. Tính |a⃗ + b⃗|.
Bạn dùng công thức bình phương độ dài của tổng: |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² + 2 · a⃗ · b⃗. Vì hai vectơ vuông góc với nhau nên a⃗ · b⃗ = 0, công thức còn lại |a⃗ + b⃗|² = 9 + 16 + 0 = 25. Bạn lấy căn bậc hai hai vế và được |a⃗ + b⃗| = 5. Bạn hãy nhận ra đây chính là bộ ba số Pythagore 3, 4, 5 quen thuộc: hai vectơ vuông góc đóng vai trò hai cạnh góc vuông, còn tổng của chúng là cạnh huyền. Nếu hai vectơ không vuông góc, bạn vẫn dùng đúng công thức này, chỉ cần thay giá trị a⃗ · b⃗ đã biết vào là xong.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm tích vô hướng với tích có hướng.
Nhiều bạn thấy hai phép nhân vectơ đều có dấu nhân nên dùng lẫn lộn. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích vô hướng cho kết quả là một số, còn tích có hướng cho kết quả là một vectơ. Khi đề bài hỏi một số như góc, độ dài hay điều kiện vuông góc thì bạn dùng tích vô hướng, khi đề bài hỏi một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đã cho thì bạn dùng tích có hướng.
Lỗi 2: Nhân thẳng hai độ dài mà quên nhân với côsin của góc.
Nhiều bạn tính a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| và bỏ qua thừa số cos(a⃗, b⃗). Cách tránh: bạn hãy viết đầy đủ công thức a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos(a⃗, b⃗) trước khi thay số, và chỉ bỏ thừa số côsin khi góc bằng 0 độ vì khi đó côsin bằng 1.
Lỗi 3: Nghĩ rằng a⃗ · b⃗ = 0 thì một trong hai vectơ phải bằng vectơ 0.
Nhiều bạn áp dụng thói quen từ phép nhân các số, nơi tích bằng 0 thì một thừa số bằng 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích vô hướng bằng 0 còn có khả năng thứ hai là hai vectơ vuông góc với nhau, và đây mới là trường hợp gặp nhiều nhất trong bài tập.
Lỗi 4: Lấy góc trong tam giác làm góc giữa hai vectơ.
Nhiều bạn đặt hai vectơ chung gốc rồi đo góc ở phía trong tam giác mà không để ý hướng của vectơ. Cách tránh: bạn hãy nhớ góc giữa hai vectơ luôn được đo khi hai vectơ có chung điểm đầu, và góc đó nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ. Nếu bạn đặt vectơ ngược hướng thì góc sẽ bù nhau, côsin đổi dấu, kết quả sai hoàn toàn.
Lỗi 5: Tính |a⃗ + b⃗| bằng |a⃗| + |b⃗|.
Nhiều bạn cộng thẳng hai độ dài mà quên rằng độ dài của tổng không bằng tổng các độ dài, trừ khi hai vectơ cùng hướng. Cách tránh: bạn hãy dùng công thức |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² + 2 · a⃗ · b⃗, và chỉ khi a⃗ · b⃗ = 0 thì công thức mới rút gọn thành định lí Pythagore. Nếu muốn ôn lại cách tính tích vô hướng bằng tọa độ, bạn hãy xem bài biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ viết đầy đủ công thức trước khi thay số.
Câu 1: Cho |a⃗| = 2, |b⃗| = 3 và góc giữa hai vectơ bằng 60 độ. Tích vô hướng a⃗ · b⃗ bằng
A. 6
B. 3
C. 2
D. 12
Câu 2: Cho a⃗ · b⃗ = 0 với a⃗ và b⃗ đều khác vectơ 0. Kết luận nào sau đây đúng?
A. a⃗ = 0⃗
B. b⃗ = 0⃗
C. a⃗ vuông góc với b⃗
D. |a⃗| = |b⃗|
Câu 3: Cho |a⃗| = 4, |b⃗| = 5 và a⃗ · b⃗ = 10. Côsin của góc giữa hai vectơ bằng
A. 1/2
B. 1/4
C. 1
D. 2
Câu 4: Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (2; −1; 0). Tích vô hướng a⃗ · b⃗ bằng
A. 0
B. 2
C. 4
D. −2
Câu 5: Cho |a⃗| = 3, |b⃗| = 4 và a⃗ vuông góc với b⃗. Độ dài |a⃗ + b⃗| bằng
A. 7
B. 5
C. 1
D. 12
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | A | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (3) đúng: Bạn áp dụng định nghĩa a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos 60 độ = 2 · 3 · 1/2 = 3. Đáp án A sai vì 6 là tích hai độ dài mà chưa nhân với côsin. Đáp án C sai vì 2 chỉ là độ dài của vectơ a⃗. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 12.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Tích vô hướng bằng 0 và hai vectơ đều khác vectơ 0 thì hai vectơ vuông góc với nhau. Đáp án A sai vì đề bài đã cho a⃗ khác vectơ 0. Đáp án B sai vì đề bài đã cho b⃗ khác vectơ 0. Đáp án D sai vì tích vô hướng bằng 0 không nói gì về độ dài của hai vectơ.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A (1/2) đúng: Bạn dùng cos(a⃗, b⃗) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|) = 10 / (4 · 5) = 10 / 20 = 1/2. Đáp án B sai vì 1/4 là kết quả khi bạn lấy 10 chia cho 40. Đáp án C sai vì côsin bằng 1 chỉ khi hai vectơ cùng hướng. Đáp án D sai vì côsin không bao giờ lớn hơn 1.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (0) đúng: Bạn tính a⃗ · b⃗ = 1 · 2 + 2 · (−1) + 3 · 0 = 2 − 2 + 0 = 0. Đáp án B sai vì bạn đã cộng nhầm dấu của số hạng thứ hai. Đáp án C sai vì 4 là kết quả khi bạn bỏ qua dấu trừ. Đáp án D sai vì bạn đã tính 2 − 2 − 2 thay vì 2 − 2 + 0.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (5) đúng: Vì a⃗ vuông góc với b⃗ nên a⃗ · b⃗ = 0, do đó |a⃗ + b⃗|² = 9 + 16 + 0 = 25, suy ra |a⃗ + b⃗| = 5. Đáp án A sai vì 7 là tổng hai độ dài, chỉ đúng khi hai vectơ cùng hướng. Đáp án C sai vì 1 là hiệu hai độ dài. Đáp án D sai vì 12 là tích hai độ dài, không liên quan tới độ dài của tổng.
Câu hỏi thường gặp về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Hỏi: Tích vô hướng cho kết quả là số hay vectơ?
Đáp: Tích vô hướng cho kết quả là một số. Đó chính là lí do nó có tên là tích vô hướng. Bạn đừng nhầm với tích có hướng, phép nhân còn lại của hai vectơ trong không gian, cho kết quả là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ ban đầu.
Hỏi: Góc giữa hai vectơ được tính như thế nào?
Đáp: Bạn đặt hai vectơ có chung điểm đầu, góc nhỏ hơn tạo bởi hai tia đó chính là góc giữa hai vectơ, luôn nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ. Khi biết độ dài và tích vô hướng, bạn tính côsin của góc bằng công thức cos(a⃗, b⃗) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|).
Hỏi: Khi nào tích vô hướng âm?
Đáp: Tích vô hướng âm khi góc giữa hai vectơ là góc tù, tức là lớn hơn 90 độ và nhỏ hơn 180 độ, vì khi đó côsin âm. Trong thực tế, điều này có nghĩa là hai vectơ có xu hướng ngược hướng nhau, giống như một lực kéo ngược chiều chuyển động sẽ làm công âm trong vật lí.
Hỏi: Tích vô hướng có liên quan gì tới công trong vật lí?
Đáp: Công của một lực không đổi tác dụng lên vật chuyển động thẳng được tính bằng A = F · s · cos α, trong đó F là độ lớn của lực, s là quãng đường và α là góc giữa lực và hướng chuyển động. Đó chính là tích vô hướng của vectơ lực và vectơ độ dời, một ứng dụng rất đẹp của toán học trong vật lí.
Hỏi: Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bao nhiêu?
Đáp: Bằng bình phương độ dài của vectơ đó, tức là a⃗ · a⃗ = |a⃗|². Bạn dùng hệ thức này để tính độ dài của một vectơ khi biết tích vô hướng của nó với chính nó, hoặc để chứng minh các đẳng thức về độ dài trong bài tập hình học không gian.
Kết luận
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian chỉ gói gọn trong một công thức: a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos(a⃗, b⃗), với kết quả là một số và điều kiện vuông góc là a⃗ · b⃗ = 0. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn nhân thêm côsin của góc, tích bằng 0 chưa chắc vectơ bằng 0 mà có thể hai vectơ vuông góc, và độ dài của tổng vectơ phải tính bằng công thức bình phương chứ không cộng thẳng. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính góc, kiểm tra vuông góc và tính độ dài trong mọi bài toán vectơ không gian — và đó là nền tảng để bạn học tiếp biểu thức tọa độ của tích vô hướng ở bài sau.