Hãy tưởng tượng một quả bóng nảy trong một căn phòng có trần nhà và sàn nhà. Dù nó nảy lên nảy xuống thế nào, nó cũng không bao giờ vượt qua trần nhà và cũng không bao giờ chui xuống dưới sàn nhà. Dãy số cũng vậy: có những dãy mà mọi số hạng đều nằm gọn trong một khoảng cố định, không bao giờ "vọt" ra ngoài — người ta gọi đó là dãy bị chặn. Và cũng có những dãy cứ lớn dần mãi không có điểm dừng, giống như một quả bóng bay thẳng lên trời, không có trần nhà nào giữ nó lại.
Bài này sẽ giúp bạn nhận biết một dãy số có bị chặn hay không một cách có hệ thống: từ định nghĩa bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn, cách tìm chặn trên và chặn dưới, mối liên hệ với dãy tăng, dãy giảm và dãy hội tụ, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học nền tảng của chương dãy số — học chắc nó, bạn sẽ bước vào các bài về giới hạn và cấp số nhân lùi vô hạn một cách nhẹ nhàng.
Dãy bị chặn là gì? Trần và sàn của một dãy số
Cho dãy số (uₙ). Dãy được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho uₙ ≤ M với mọi n. Số M đó được gọi là một chặn trên của dãy. Tương tự, dãy được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho uₙ ≥ m với mọi n, và số m đó được gọi là một chặn dưới của dãy. Một dãy được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số m và M sao cho m ≤ uₙ ≤ M với mọi n. Bạn hãy nhớ: chặn trên và chặn dưới không duy nhất — nếu 1 là một chặn trên thì 2, 3 hay 100 cũng đều là chặn trên, vì mọi số hạng đều nhỏ hơn chúng.
Ví dụ quen thuộc nhất là dãy uₙ = 1/n. Với n = 1, 2, 3, ... ta có các số hạng 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Tất cả đều lớn hơn 0 và không vượt quá 1, tức là 0 < uₙ ≤ 1 với mọi n. Vậy dãy này bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi 0, nên nó là dãy bị chặn. Một ví dụ khác là dãy uₙ = (−1)ⁿ với các số hạng −1, 1, −1, 1, ... nhảy qua nhảy lại giữa hai giá trị −1 và 1. Rõ ràng −1 ≤ uₙ ≤ 1 với mọi n, nên dãy này cũng bị chặn, dù nó không tăng cũng không giảm và không tiến về một giới hạn nào cả.
Ngược lại, dãy uₙ = 2n + 1 với các số hạng 3, 5, 7, 9, ... thì không bị chặn trên: dù bạn chọn M lớn đến đâu, chỉ cần lấy n đủ lớn là uₙ sẽ vượt qua M. Tuy nhiên, dãy này vẫn bị chặn dưới bởi 3, vì mọi số hạng đều lớn hơn hoặc bằng 3. Một dãy chỉ bị chặn một phía như vậy thì không được gọi là dãy bị chặn. Bạn hãy ghi nhớ: muốn kết luận một dãy bị chặn, bạn phải chứng minh được cả hai phía; chỉ cần một phía "vỡ" là dãy không bị chặn.
Có một định lí quan trọng nối khái niệm này với giới hạn: mọi dãy hội tụ đều bị chặn. Nghĩa là nếu dãy (uₙ) có giới hạn hữu hạn L thì chắc chắn tồn tại hai số m và M kẹp mọi số hạng của dãy lại. Điều ngược lại thì không đúng: dãy bị chặn chưa chắc đã hội tụ — ví dụ dãy (−1)ⁿ bị chặn nhưng cứ nhảy qua nhảy lại giữa −1 và 1, không tiến về một số nào. Ngoài ra, dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ, dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ — đây là một trong những tiêu chuẩn hội tụ quan trọng nhất mà bạn sẽ dùng nhiều trong các bài sau. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Xét tính bị chặn của dãy uₙ = 1/n.
Với mọi số nguyên dương n, ta có 1/n > 0 vì tử số và mẫu số đều dương. Mặt khác, vì n ≥ 1 nên 1/n ≤ 1/1 = 1. Vậy 0 < uₙ ≤ 1 với mọi n, tức là dãy bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi 0. Kết luận: dãy (uₙ) bị chặn. Bạn hãy để ý: số 0 ở đây là chặn dưới nhưng không phải là số hạng của dãy, vì 1/n không bao giờ bằng 0 — chặn dưới không nhất thiết phải là một số hạng của dãy, chỉ cần mọi số hạng đều lớn hơn hoặc bằng nó.
Ví dụ 2 (dãy dao động): Xét tính bị chặn của dãy uₙ = (−1)ⁿ.
Các số hạng của dãy là −1, 1, −1, 1, ... xen kẽ nhau. Với mọi n, uₙ chỉ nhận một trong hai giá trị −1 hoặc 1, nên −1 ≤ uₙ ≤ 1 với mọi n. Vậy dãy bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi −1, do đó dãy bị chặn. Bạn hãy để ý: ở đây chặn trên 1 và chặn dưới −1 đều là những số hạng thực sự của dãy (u₂ = 1, u₁ = −1). Khi một chặn trên đồng thời là số hạng lớn nhất của dãy thì nó được gọi là giá trị lớn nhất, còn chặn dưới đồng thời là số hạng nhỏ nhất thì được gọi là giá trị nhỏ nhất — dãy này có cả giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng −1.
Ví dụ 3 (chỉ bị chặn một phía): Xét tính bị chặn của dãy uₙ = 2n + 1.
Với mọi n ≥ 1, ta có uₙ = 2n + 1 ≥ 3, nên dãy bị chặn dưới bởi 3. Tuy nhiên, dãy không bị chặn trên: với bất kì số M nào, bạn luôn tìm được n đủ lớn sao cho 2n + 1 > M (chỉ cần lấy n > (M − 1)/2). Vì dãy chỉ bị chặn dưới mà không bị chặn trên nên dãy không bị chặn. Bạn hãy để ý: dãy này tăng nghiêm ngặt và tiến ra vô cùng, đó là dấu hiệu điển hình của một dãy không bị chặn trên. Nhiều bạn thấy dãy có chặn dưới là vội kết luận "bị chặn" — đó là lỗi rất hay gặp, bạn hãy tránh.
Ví dụ 4 (bị chặn nhờ biến đổi): Xét tính bị chặn của dãy uₙ = (n + 1)/n.
Bạn viết lại uₙ = (n + 1)/n = 1 + 1/n. Vì 0 < 1/n ≤ 1 với mọi n ≥ 1 nên 1 < uₙ ≤ 2 với mọi n. Vậy dãy bị chặn trên bởi 2 và bị chặn dưới bởi 1, do đó dãy bị chặn. Bạn hãy để ý thêm: khi n càng lớn thì 1/n càng nhỏ, uₙ càng tiến gần về 1 nhưng không bao giờ bằng 1 — số 1 là chặn dưới nhưng không phải số hạng của dãy. Nếu muốn ôn lại dãy tăng, dãy giảm, bạn hãy xem bài dãy tăng, dãy giảm.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Thấy dãy có chặn trên là kết luận "bị chặn".
Nhiều bạn thấy dãy uₙ = −n² có chặn trên là −1 thì kết luận dãy bị chặn, quên mất dãy này không bị chặn dưới vì nó tiến về −∞. Cách tránh: bạn hãy luôn kiểm tra cả hai phía — chỉ khi có cả chặn trên và chặn dưới thì mới được kết luận dãy bị chặn.
Lỗi 2: Cho rằng dãy tăng thì không bị chặn.
Nhiều bạn thấy dãy tăng là nghĩ ngay nó "đi lên mãi" nên không bị chặn. Cách tránh: bạn hãy nhớ dãy uₙ = 1 − 1/n tăng nghiêm ngặt nhưng mọi số hạng đều nhỏ hơn 1, tức là bị chặn trên bởi 1. Dãy tăng vẫn có thể bị chặn trên, và khi đó nó hội tụ.
Lỗi 3: Chỉ kiểm tra vài số hạng đầu rồi kết luận.
Nhiều bạn tính u₁, u₂, u₃ thấy đều nằm trong một khoảng là kết luận dãy bị chặn. Cách tránh: bạn hãy nhớ định nghĩa đòi hỏi bất đẳng thức phải đúng với mọi n — một dãy có thể "ngoan ngoãn" ở vài số hạng đầu rồi vượt ra ngoài sau đó, ví dụ uₙ = n/100 nhỏ hơn 1 trong 100 số hạng đầu nhưng sau đó lớn dần vô hạn.
Lỗi 4: Nhầm chặn trên nhỏ nhất với chặn trên bất kì.
Nhiều bạn chứng minh dãy bị chặn trên bởi 100 rồi cho rằng 100 là chặn trên nhỏ nhất. Cách tránh: bạn hãy nhớ có vô số chặn trên — muốn tìm chặn trên nhỏ nhất (còn gọi là cận trên đúng), bạn phải chứng minh không có số nào nhỏ hơn nó mà vẫn là chặn trên. Với dãy 1/n, chặn trên nhỏ nhất là 1, còn 2 hay 100 chỉ là những chặn trên "thừa".
Lỗi 5: Cho rằng dãy bị chặn thì hội tụ.
Nhiều bạn học định lí "dãy hội tụ thì bị chặn" rồi đảo ngược lại thành "dãy bị chặn thì hội tụ". Cách tránh: bạn hãy nhớ ví dụ phản chứng kinh điển (−1)ⁿ: bị chặn nhưng không hội tụ vì nó cứ nhảy qua nhảy lại. Muốn kết luận hội tụ, bạn cần thêm điều kiện đơn điệu (tăng và bị chặn trên, hoặc giảm và bị chặn dưới).
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra cả hai phía chặn trên và chặn dưới trước khi kết luận.
Câu 1: Dãy số nào sau đây bị chặn?
A. uₙ = n²
B. uₙ = 1/n
C. uₙ = 2ⁿ
D. uₙ = n³
Câu 2: Mệnh đề nào sau đây đúng về dãy uₙ = (−1)ⁿ?
A. Bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi −1
B. Chỉ bị chặn trên
C. Chỉ bị chặn dưới
D. Không bị chặn
Câu 3: Dãy uₙ = n/(n + 1) có tính chất nào sau đây?
A. Bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi 0
B. Không bị chặn trên
C. Bị chặn dưới bởi 1
D. Không bị chặn dưới
Câu 4: Dãy số nào sau đây KHÔNG bị chặn?
A. uₙ = cos n
B. uₙ = 1/(n + 1)
C. uₙ = 3n − 1
D. uₙ = (−1)ⁿ/n
Câu 5: Dãy uₙ = 2 + (−1)ⁿ/n có tính chất nào sau đây?
A. Bị chặn trên bởi 3 và bị chặn dưới bởi 1
B. Bị chặn trên bởi 2
C. Không bị chặn dưới
D. Bị chặn trên bởi 2,5 và bị chặn dưới bởi 1,5
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | A | C | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Với uₙ = 1/n, ta có 0 < 1/n ≤ 1 với mọi n nên dãy bị chặn. Đáp án A sai vì n² lớn dần vô hạn, không bị chặn trên. Đáp án C sai vì 2ⁿ cũng lớn dần vô hạn. Đáp án D sai vì n³ lớn dần vô hạn.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Dãy (−1)ⁿ chỉ nhận hai giá trị −1 và 1 nên −1 ≤ uₙ ≤ 1 với mọi n, tức là bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi −1. Đáp án B sai vì dãy còn bị chặn dưới bởi −1. Đáp án C sai vì dãy còn bị chặn trên bởi 1. Đáp án D sai vì dãy bị chặn cả hai phía.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Ta có uₙ = n/(n + 1) = 1 − 1/(n + 1), với 1/2 ≤ uₙ < 1 nên 0 ≤ uₙ < 1, tức là bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi 0. Đáp án B sai vì uₙ < 1 với mọi n. Đáp án C sai vì uₙ < 1 nên không thể bị chặn dưới bởi 1. Đáp án D sai vì uₙ ≥ 1/2 > 0.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: Dãy uₙ = 3n − 1 lớn dần vô hạn khi n tăng nên không bị chặn trên, do đó không bị chặn. Đáp án A sai vì |cos n| ≤ 1 nên dãy bị chặn. Đáp án B sai vì 0 < 1/(n + 1) ≤ 1/2 nên bị chặn. Đáp án D sai vì |(−1)ⁿ/n| = 1/n ≤ 1 nên bị chặn.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Ta có |(−1)ⁿ/n| ≤ 1 nên 2 − 1 ≤ uₙ ≤ 2 + 1, tức là 1 ≤ uₙ ≤ 3 — dãy bị chặn trên bởi 3 và bị chặn dưới bởi 1 (u₁ = 1 đạt đúng chặn dưới). Đáp án B sai vì u₂ = 2,5 > 2. Đáp án C sai vì uₙ ≥ 1 với mọi n. Đáp án D sai vì u₁ = 1 < 1,5.
Câu hỏi thường gặp về dãy bị chặn
Hỏi: Một dãy bị chặn trên bởi 100 thì có bị chặn không?
Đáp: Chưa chắc. Muốn kết luận dãy bị chặn, bạn còn phải kiểm tra phía dưới: dãy phải bị chặn dưới nữa thì mới gọi là bị chặn. Ví dụ dãy uₙ = −n² bị chặn trên bởi −1 nhưng không bị chặn dưới nên không phải là dãy bị chặn.
Hỏi: Chặn trên và chặn dưới có duy nhất không?
Đáp: Không. Nếu 1 là một chặn trên của dãy 1/n thì 2, 5 hay 100 cũng đều là chặn trên, vì mọi số hạng đều nhỏ hơn chúng. Trong các chặn trên, số nhỏ nhất được gọi là chặn trên đúng; tương tự, trong các chặn dưới, số lớn nhất được gọi là chặn dưới đúng.
Hỏi: Dãy tăng có bao giờ bị chặn không?
Đáp: Có. Dãy uₙ = 1 − 1/n tăng nghiêm ngặt nhưng mọi số hạng đều nhỏ hơn 1 nên bị chặn trên bởi 1. Hơn nữa, một dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ — đây là một tiêu chuẩn hội tụ rất quan trọng.
Hỏi: Dãy bị chặn thì có hội tụ không?
Đáp: Không nhất thiết. Dãy (−1)ⁿ bị chặn nhưng không hội tụ vì nó cứ nhảy qua nhảy lại giữa −1 và 1. Định lí đúng là chiều ngược lại: dãy hội tụ thì bị chặn. Muốn dãy bị chặn hội tụ, bạn cần thêm tính đơn điệu.
Hỏi: Học dãy bị chặn để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Tính bị chặn là điều kiện cần để xét giới hạn của dãy số, để chứng minh một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng, và để hiểu vì sao dãy tăng bị chặn trên thì hội tụ. Bạn sẽ gặp lại nó trong mọi bài về giới hạn của chương này. Nếu muốn ôn lại dãy tăng, dãy giảm, bạn hãy xem bài dãy tăng, dãy giảm.
Kết luận
Dãy bị chặn chỉ gói gọn trong một ý tưởng đơn giản: mọi số hạng đều nằm gọn giữa hai "bức tường" m và M, tức là m ≤ uₙ ≤ M với mọi n. Bạn hãy nhớ ba điều: phải kiểm tra cả hai phía chặn trên và chặn dưới; dãy tăng vẫn có thể bị chặn trên và dãy bị chặn chưa chắc đã hội tụ; và mọi dãy hội tụ đều bị chặn. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xét tính bị chặn của bất kì dãy số nào trong chương trình lớp 11.