Bạn leo một cầu thang: mỗi bậc cao hơn bậc trước, bạn càng leo càng lên cao. Bạn thả một quả bóng từ trên cao xuống đất: mỗi lần nảy lên, nó lại thấp hơn lần trước. Bạn tung một đồng xu: mặt ngửa, mặt sấp, mặt ngửa, mặt sấp... chẳng theo quy luật lên hay xuống nào cả. Ba dãy số trong ba câu chuyện ấy chính là ba loại dãy số mà bài học hôm nay nói đến: dãy tăng, dãy giảm và dãy không tăng không giảm. Biết cách nhận ra chúng, bạn sẽ đọc được "tính cách" của một dãy số chỉ bằng một phép trừ đơn giản.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ công thức xét tính tăng, giảm của dãy số một cách có hệ thống: từ định nghĩa dãy tăng và dãy giảm, ba cách xét phổ biến nhất — hiệu, thương và hàm số — cách xử lí dãy đan dấu và dãy phân thức, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học mở đầu cho chương dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, vì vậy hãy học thật chắc, vì mọi bài toán về cấp số sau này đều bắt đầu từ việc xét tính tăng giảm.
Dãy tăng, dãy giảm: chỉ cần xét hiệu hai số hạng kề nhau
Một dãy số (uₙ) được gọi là dãy tăng nếu mọi số hạng sau đều lớn hơn số hạng trước nó, tức là uₙ₊₁ > uₙ với mọi số tự nhiên n. Ngược lại, dãy được gọi là dãy giảm nếu mọi số hạng sau đều nhỏ hơn số hạng trước nó, tức là uₙ₊₁ < uₙ với mọi n. Bạn hãy chú ý hai chữ "mọi n": chỉ cần một cặp số hạng kề nhau vi phạm quy luật, dãy đã không còn là dãy tăng hay dãy giảm nữa. Ví dụ dãy 3, 5, 7, 9, 11... là dãy tăng vì mỗi số hạng đều lớn hơn số hạng trước nó đúng 2 đơn vị; dãy 1, 1/2, 1/3, 1/4... là dãy giảm vì mỗi số hạng đều nhỏ hơn số hạng trước nó.
Cách xét phổ biến nhất là xét dấu của hiệu uₙ₊₁ − uₙ. Bạn tính hiệu hai số hạng kề nhau rồi xét dấu: nếu hiệu luôn dương với mọi n thì dãy tăng, nếu hiệu luôn âm với mọi n thì dãy giảm, nếu hiệu đổi dấu tùy theo n thì dãy không tăng không giảm. Ví dụ với uₙ = 2n + 1, bạn tính uₙ₊₁ − uₙ = (2(n + 1) + 1) − (2n + 1) = 2 > 0 với mọi n, nên dãy tăng. Cách này làm việc với hầu hết các dãy cho bởi công thức tổng quát, đặc biệt là các dãy có chứa n ở dạng đa thức hoặc phân thức đơn giản.
Cách thứ hai là xét thương uₙ₊₁ / uₙ, áp dụng khi mọi số hạng của dãy đều dương. Bạn tính thương rồi so sánh với 1: nếu thương luôn lớn hơn 1 thì dãy tăng, nếu thương luôn nhỏ hơn 1 thì dãy giảm. Ví dụ với uₙ = 2ⁿ, bạn tính uₙ₊₁ / uₙ = 2ⁿ⁺¹ / 2ⁿ = 2 > 1, nên dãy tăng. Cách này đặc biệt tiện với các dãy có dạng lũy thừa hoặc giai thừa, nơi hiệu khó tính nhưng thương lại rất gọn. Bạn hãy nhớ: cách xét thương chỉ dùng được khi mọi số hạng đều dương, vì nếu dãy có số hạng âm thì việc so sánh thương với 1 sẽ cho kết luận sai.
Cách thứ ba là xét hàm số f(x) mà dãy là một trường hợp riêng của nó. Nếu uₙ = f(n) và hàm số f đồng biến trên khoảng chứa mọi số tự nhiên n thì dãy tăng; nếu f nghịch biến thì dãy giảm. Ví dụ uₙ = n² là dãy tăng vì hàm f(x) = x² đồng biến trên khoảng (0; +∞); uₙ = 1/n là dãy giảm vì hàm f(x) = 1/x nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Cách này gắn dãy số với kiến thức hàm số bạn đã học ở lớp 10, giúp bạn dùng đạo hàm hoặc bảng biến thiên để xét tính tăng giảm một cách chắc chắn.
Cuối cùng, bạn cần biết rằng không phải dãy nào cũng tăng hoặc giảm. Dãy uₙ = (−1)ⁿ, tức là −1, 1, −1, 1..., lúc tăng lúc giảm nên không tăng không giảm. Dãy uₙ = (−2)ⁿ, tức là −2, 4, −8, 16..., cũng không tăng không giảm vì các số hạng đổi dấu liên tục. Khi gặp những dãy như vậy, bạn đừng cố gán cho chúng tính tăng hay giảm — đáp án đúng là "không tăng, không giảm". Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Xét tính tăng, giảm của dãy số uₙ = 2n + 1.
Bạn tính số hạng thứ n + 1: uₙ₊₁ = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3. Bạn tính hiệu: uₙ₊₁ − uₙ = (2n + 3) − (2n + 1) = 2 > 0 với mọi số tự nhiên n. Vì hiệu luôn dương nên dãy (uₙ) là dãy tăng. Bạn kiểm tra bằng vài số hạng đầu: u₁ = 3, u₂ = 5, u₃ = 7, u₄ = 9 — mỗi số hạng sau đều lớn hơn số hạng trước đúng 2 đơn vị, khớp với kết luận dãy tăng. Bạn hãy để ý: hiệu uₙ₊₁ − uₙ bằng đúng hệ số của n trong công thức, và vì hệ số này dương nên dãy tăng.
Ví dụ 2 (dãy phân thức giảm): Xét tính tăng, giảm của dãy số uₙ = 1/n.
Bạn tính hiệu: uₙ₊₁ − uₙ = 1/(n + 1) − 1/n = (n − (n + 1)) / (n(n + 1)) = −1 / (n(n + 1)) < 0 với mọi số tự nhiên n, vì mẫu số n(n + 1) luôn dương. Vì hiệu luôn âm nên dãy (uₙ) là dãy giảm. Bạn kiểm tra bằng vài số hạng đầu: u₁ = 1, u₂ = 1/2, u₃ = 1/3, u₄ = 1/4 — mỗi số hạng sau đều nhỏ hơn số hạng trước, khớp với kết luận dãy giảm. Bạn hãy để ý: dãy này giảm dần về 0 nhưng không bao giờ chạm tới 0, vì 1/n luôn dương với mọi n.
Ví dụ 3 (dãy không tăng không giảm): Xét tính tăng, giảm của dãy số uₙ = (−1)ⁿ.
Bạn liệt kê vài số hạng đầu: u₁ = −1, u₂ = 1, u₃ = −1, u₄ = 1. Bạn tính hiệu: u₂ − u₁ = 1 − (−1) = 2 > 0, nhưng u₃ − u₂ = −1 − 1 = −2 < 0. Hiệu đổi dấu tùy theo n, lúc dương lúc âm, nên dãy không phải là dãy tăng cũng không phải là dãy giảm. Bạn hãy nhớ: dãy đan dấu như (−1)ⁿ là ví dụ điển hình của dãy không tăng không giảm, và bạn chỉ cần tìm một cặp số hạng vi phạm là đủ để kết luận.
Ví dụ 4 (dãy bình phương tăng): Xét tính tăng, giảm của dãy số uₙ = n².
Bạn tính hiệu: uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)² − n² = 2n + 1 > 0 với mọi số tự nhiên n, vì n ≥ 1 nên 2n + 1 ≥ 3 > 0. Vì hiệu luôn dương nên dãy (uₙ) là dãy tăng. Bạn kiểm tra bằng vài số hạng đầu: u₁ = 1, u₂ = 4, u₃ = 9, u₄ = 16 — dãy tăng ngày càng nhanh, khoảng cách giữa hai số hạng kề nhau là 3, 5, 7... cũng tăng dần. Bạn hãy để ý: dãy tăng không có nghĩa là hiệu phải không đổi — hiệu có thể tăng dần như ở đây, miễn là nó luôn dương. Nếu muốn ôn lại dãy bị chặn, bạn hãy xem bài dãy bị chặn.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Kết luận dãy tăng chỉ từ hai số hạng đầu.
Nhiều bạn thấy u₁ < u₂ thì kết luận ngay dãy tăng, mà không kiểm tra các cặp số hạng sau. Cách tránh: bạn hãy nhớ định nghĩa yêu cầu uₙ₊₁ > uₙ với mọi n — bạn phải chứng minh hiệu luôn dương với mọi n, không phải chỉ với n = 1.
Lỗi 2: Dùng cách xét thương khi dãy có số hạng âm.
Nhiều bạn tính uₙ₊₁ / uₙ = 2 rồi kết luận dãy tăng, trong khi dãy có số hạng âm thì thương dương không đồng nghĩa với tăng. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra mọi số hạng có dương hay không trước khi dùng cách xét thương; nếu dãy có số hạng âm hoặc bằng 0 thì dùng cách xét hiệu.
Lỗi 3: Nhầm dãy không đổi với dãy tăng.
Nhiều bạn thấy dãy hằng uₙ = 5 thì cho rằng đó là dãy tăng vì các số hạng bằng nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ dãy tăng yêu cầu uₙ₊₁ > uₙ, dấu lớn hơn hẳn, không phải lớn hơn hoặc bằng — dãy hằng không tăng cũng không giảm.
Lỗi 4: Tính sai uₙ₊₁ khi thay n + 1 vào công thức.
Nhiều bạn tính uₙ₊₁ của dãy uₙ = 2n + 1 thành 2n + 2 mà quên cộng 1, hoặc tính (n + 1)² thành n² + 1 mà quên số hạng 2n. Cách tránh: bạn hãy thay n + 1 vào công thức một cách cẩn thận, đặt trong ngoặc rồi khai triển từng bước.
Lỗi 5: Kết luận dãy giảm khi hiệu âm với một vài n.
Nhiều bạn tính u₂ − u₁ < 0 rồi kết luận dãy giảm, mà không kiểm tra các n khác. Cách tránh: bạn hãy xét dấu của hiệu với mọi n — chỉ cần một n làm hiệu đổi dấu là dãy đã không còn đơn điệu nữa.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ chứng minh hiệu uₙ₊₁ − uₙ giữ nguyên dấu với mọi n.
Câu 1: Dãy số uₙ = 3n − 2 là dãy
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng không giảm
D. Không xác định được
Câu 2: Dãy số uₙ = 5 − 2n là dãy
A. Tăng
B. Giảm
C. Không đổi
D. Không xác định được
Câu 3: Dãy số uₙ = 2ⁿ là dãy
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng không giảm
D. Dãy hằng
Câu 4: Dãy số uₙ = (−2)ⁿ là dãy
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng không giảm
D. Bị chặn trên bởi 0
Câu 5: Dãy nào sau đây là dãy giảm?
A. uₙ = n + 1
B. uₙ = 1/(n + 1)
C. uₙ = 2n
D. uₙ = n²
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | C | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: uₙ₊₁ − uₙ = (3(n + 1) − 2) − (3n − 2) = 3 > 0 với mọi n, nên dãy tăng. Đáp án B sai vì hiệu dương chứ không âm. Đáp án C sai vì hiệu giữ nguyên dấu dương với mọi n. Đáp án D sai vì hiệu tính được rõ ràng bằng 3.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: uₙ₊₁ − uₙ = (5 − 2(n + 1)) − (5 − 2n) = −2 < 0 với mọi n, nên dãy giảm. Đáp án A sai vì hiệu âm chứ không dương. Đáp án C sai vì các số hạng thay đổi theo n, không phải dãy hằng. Đáp án D sai vì hiệu tính được rõ ràng bằng −2.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: uₙ₊₁ / uₙ = 2ⁿ⁺¹ / 2ⁿ = 2 > 1, mọi số hạng đều dương nên dãy tăng. Đáp án B sai vì thương lớn hơn 1 chứ không nhỏ hơn 1. Đáp án C sai vì thương giữ nguyên giá trị 2 với mọi n. Đáp án D sai vì các số hạng 2, 4, 8, 16... khác nhau, không phải dãy hằng.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: Các số hạng là −2, 4, −8, 16..., đổi dấu liên tục nên hiệu uₙ₊₁ − uₙ đổi dấu theo n, dãy không tăng không giảm. Đáp án A sai vì u₂ = 4 > u₁ = −2 nhưng u₃ = −8 < u₂ = 4. Đáp án B sai vì u₂ > u₁. Đáp án D sai vì dãy có số hạng dương lớn tùy ý, không bị chặn trên bởi 0.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Với uₙ = 1/(n + 1), hiệu uₙ₊₁ − uₙ = 1/(n + 2) − 1/(n + 1) = −1/((n + 1)(n + 2)) < 0 với mọi n, nên dãy giảm. Đáp án A sai vì uₙ = n + 1 có hiệu bằng 1 > 0, là dãy tăng. Đáp án C sai vì uₙ = 2n có hiệu bằng 2 > 0, là dãy tăng. Đáp án D sai vì uₙ = n² có hiệu 2n + 1 > 0, là dãy tăng.
Câu hỏi thường gặp về dãy số tăng, dãy số giảm
Hỏi: Dãy tăng có nhất thiết phải tăng đều không?
Đáp: Không. Dãy tăng chỉ yêu cầu mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước, còn tăng bao nhiêu thì tùy. Dãy 1, 4, 9, 16... tăng ngày càng nhanh, dãy 1, 1,5, 1,75, 1,875... tăng ngày càng chậm, cả hai đều là dãy tăng.
Hỏi: Dãy hằng có phải là dãy tăng không?
Đáp: Không. Dãy hằng có uₙ₊₁ = uₙ với mọi n, hiệu bằng 0, không thỏa mãn điều kiện uₙ₊₁ > uₙ của dãy tăng cũng không thỏa mãn uₙ₊₁ < uₙ của dãy giảm. Dãy hằng là dãy không tăng không giảm.
Hỏi: Khi nào thì dùng cách xét thương thay vì cách xét hiệu?
Đáp: Bạn dùng cách xét thương khi mọi số hạng của dãy đều dương và công thức có dạng lũy thừa, giai thừa hoặc tích, nơi hiệu khó tính nhưng thương lại gọn. Ví dụ uₙ = 2ⁿ, uₙ = n! hay uₙ = 3ⁿ/n! đều nên xét bằng thương.
Hỏi: Một dãy vừa tăng vừa bị chặn có được không?
Đáp: Được. Ví dụ dãy uₙ = 1 − 1/n tăng dần về 1 nhưng không bao giờ vượt quá 1, nên vừa tăng vừa bị chặn trên bởi 1. Dãy tăng và bị chặn là hai tính chất độc lập, một dãy có thể có cả hai, một trong hai, hoặc không có tính chất nào.
Hỏi: Học tính tăng giảm của dãy số để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Tính tăng giảm là bước đầu tiên khi bạn xét một cấp số cộng hay cấp số nhân: cấp số cộng tăng khi công sai dương, giảm khi công sai âm; cấp số nhân tăng hay giảm tùy thuộc vào công bội và số hạng đầu. Nắm chắc bài này, bạn sẽ học cấp số cộng và cấp số nhân rất nhanh.
Kết luận
Dãy số (uₙ) tăng khi uₙ₊₁ > uₙ với mọi n, giảm khi uₙ₊₁ < uₙ với mọi n. Bạn có ba cách xét: xét dấu của hiệu uₙ₊₁ − uₙ, xét thương uₙ₊₁ / uₙ với 1 khi mọi số hạng đều dương, và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f mà uₙ = f(n). Bạn hãy nhớ: chỉ cần một cặp số hạng vi phạm là dãy đã không còn đơn điệu, và dãy hằng hay dãy đan dấu đều là dãy không tăng không giảm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xét tính tăng giảm của bất kì dãy số nào trong chương.