Bạn đã biết tích phân tính được diện tích có dấu dưới một đường cong. Nhưng trong thực tế, người ta cần diện tích thật của một hình phẳng — diện tích của một mảnh đất, diện tích mặt cắt của một chi tiết máy, diện tích của một cánh cửa vòm. Muốn tính những diện tích đó bằng tích phân, bạn cần một công thức duy nhất, và bài này sẽ dạy bạn dùng nó thành thạo trong mọi tình huống, kể cả khi hai đồ thị cắt nhau hay khi đường cong nằm dưới trục hoành.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ công thức tính diện tích hình phẳng một cách có hệ thống: diện tích giới hạn bởi một đường cong và trục hoành, diện tích giới hạn bởi hai đường cong, cách tìm giao điểm để xác định cận, và cách chia đoạn khi hai đồ thị cắt nhau trong khoảng đang xét. Bạn sẽ làm 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ diện tích bằng tích phân của trị tuyệt đối của hiệu hai hàm số, bạn sẽ không bao giờ tính ra diện tích âm nữa.
Công thức tính diện tích hình phẳng là gì?
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y bằng f(x), trục hoành và hai đường thẳng x bằng a, x bằng b được tính bằng tích phân từ a tới b của trị tuyệt đối của f(x): S bằng ∫ₐᵇ |f(x)|dx. Dấu trị tuyệt đối là điểm quan trọng nhất của công thức, vì tích phân của một hàm số âm cho kết quả âm, còn diện tích thì luôn dương. Nếu f(x) không âm trên đoạn [a; b] thì bạn được phép bỏ dấu trị tuyệt đối và tính trực tiếp ∫ₐᵇ f(x)dx; nếu f(x) đổi dấu trên đoạn thì bạn phải tìm điểm đổi dấu, chia đoạn tại đó rồi tính từng phần với dấu thích hợp.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y bằng f(x) và y bằng g(x) cùng hai đường thẳng x bằng a, x bằng b được tính bằng tích phân từ a tới b của trị tuyệt đối của hiệu hai hàm số: S bằng ∫ₐᵇ |f(x) trừ g(x)|dx. Khi hai đồ thị không cắt nhau trên đoạn [a; b], một trong hai hàm số luôn lớn hơn hàm còn lại, bạn chỉ cần lấy hàm lớn trừ hàm nhỏ rồi tính tích phân bình thường. Khi hai đồ thị cắt nhau tại một điểm c trong đoạn, bạn phải chia đoạn tại c và tính diện tích từng phần riêng, vì hiệu f(x) trừ g(x) đổi dấu tại điểm cắt. Cận a và b thường là hoành độ giao điểm của hai đồ thị, bạn tìm chúng bằng cách giải phương trình f(x) bằng g(x).
Bạn hãy nhớ quy trình ba bước áp dụng cho mọi bài toán diện tích: bước một, xác định hình phẳng được giới hạn bởi những đường nào và tìm hoành độ giao điểm để có cận; bước hai, xác định hàm nào lớn hơn trên từng đoạn nhỏ, hay nói cách khác là xác định dấu của hiệu hai hàm số; bước ba, viết tích phân với trị tuyệt đối rồi bỏ dấu trị tuyệt đối theo đúng dấu trên từng đoạn và tính kết quả. Nếu bạn làm đúng ba bước này thì không có bài toán diện tích nào trong chương trình lớp 12 làm khó được bạn, dù đề bài cho hình phẳng giới hạn bởi một đường cong, hai đường cong hay một đường cong với trục hoành.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng x², trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 1.
Vì x² không âm trên đoạn [0; 1] nên ta bỏ được dấu trị tuyệt đối: S bằng ∫₀¹ x² dx. Nguyên hàm của x² là x³ chia 3, nên S bằng 1³ chia 3 trừ 0³ chia 3, tức là bằng 1/3 đơn vị diện tích. Kết quả này rất đẹp và hay được dùng làm bài tập mẫu, vì nó cho thấy diện tích dưới một parabol trên đoạn đơn vị chỉ bằng một phần ba diện tích hình chữ nhật bao quanh nó. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (hàm lũy thừa bậc ba): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng x³, trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 1.
Vì x³ không âm trên đoạn [0; 1] nên S bằng ∫₀¹ x³ dx. Nguyên hàm của x³ là x⁴ chia 4, nên S bằng 1⁴ chia 4 trừ 0 và bằng 1/4 đơn vị diện tích. Bạn hãy so sánh với ví dụ 1: diện tích dưới x³ nhỏ hơn diện tích dưới x² trên cùng đoạn [0; 1], vì với x trong khoảng từ 0 tới 1 thì x³ nhỏ hơn x². Quy luật này đúng cho mọi lũy thừa: trên đoạn [0; 1], lũy thừa càng cao thì đồ thị càng nằm sát trục hoành và diện tích càng nhỏ.
Ví dụ 3 (hàm lượng giác): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng sin x, trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng π.
Vì sin x không âm trên đoạn [0; π] nên S bằng tích phân từ 0 đến π của sin x. Nguyên hàm của sin x là trừ cos x, nên S bằng mở ngoặc trừ cos π đóng ngoặc trừ mở ngoặc trừ cos 0 đóng ngoặc, tức là 1 trừ mở ngoặc trừ 1 đóng ngoặc và bằng 2 đơn vị diện tích. Bạn hãy để ý: nếu lấy tích phân từ 0 tới 2π thì kết quả bằng 0 vì hai nửa sóng triệt tiêu nhau, nhưng diện tích thật trên đoạn [0; 2π] bằng 4, vì bạn phải lấy trị tuyệt đối trước khi tính. Đây là ví dụ rõ ràng nhất cho thấy vì sao công thức diện tích bắt buộc phải có dấu trị tuyệt đối.
Ví dụ 4 (diện tích giữa hai đồ thị): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y bằng x² và y bằng x.
Trước hết, tìm giao điểm bằng cách giải phương trình x² bằng x, tức là x nhân với mở ngoặc x trừ 1 đóng ngoặc bằng 0, được x bằng 0 hoặc x bằng 1. Trên đoạn [0; 1], ta có x lớn hơn hoặc bằng x², nên diện tích S bằng ∫₀¹ (x trừ x²)dx. Nguyên hàm là x² chia 2 trừ x³ chia 3, thay cận 0 và 1 được 1/2 trừ 1/3 và bằng 1/6 đơn vị diện tích. Bạn hãy nhớ: khi đề bài không cho cận, cận chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị, và bạn phải tự tìm chúng trước khi tính tích phân.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên dấu trị tuyệt đối khi hàm số âm.
Nhiều bạn tính diện tích dưới đồ thị y bằng sin x trên đoạn [π; 2π] bằng tích phân từ π đến 2π của sin x và ra kết quả trừ 2. Cách tránh: bạn hãy nhớ diện tích luôn dương, nên công thức đúng là S bằng ∫ₐᵇ |f(x)|dx. Khi hàm số âm trên cả đoạn, bạn lấy trừ của tích phân để được diện tích dương.
Lỗi 2: Không tìm giao điểm trước khi xác định cận.
Nhiều bạn thấy đề cho hai đồ thị mà không cho cận thì lúng túng không biết lấy tích phân từ đâu tới đâu. Cách tránh: bạn hãy giải phương trình f(x) bằng g(x) để tìm hoành độ giao điểm, đó chính là cận dưới và cận trên của tích phân.
Lỗi 3: Lấy hiệu hai hàm số ngược dấu mà không có trị tuyệt đối.
Nhiều bạn tính diện tích giữa y bằng x² và y bằng x bằng ∫₀¹ (x² trừ x)dx và ra kết quả trừ 1/6. Cách tránh: bạn hãy nhớ diện tích bằng tích phân của trị tuyệt đối của hiệu, nên bạn phải xác định hàm nào lớn hơn trên đoạn đang xét rồi lấy hàm lớn trừ hàm nhỏ.
Lỗi 4: Dùng sai cận khi hai đồ thị cắt nhau trong khoảng.
Nhiều bạn tính diện tích giữa hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trong khoảng mà chỉ tính một tích phân duy nhất từ đầu tới cuối. Cách tránh: bạn hãy chia đoạn tại điểm cắt, tính diện tích từng phần rồi cộng lại, vì hiệu hai hàm số đổi dấu tại điểm cắt nên không thể dùng một biểu thức duy nhất cho cả đoạn.
Lỗi 5: Nhầm diện tích với tích phân có dấu.
Nhiều bạn tính tích phân từ 0 đến 2π của sin x bằng 0 rồi kết luận diện tích bằng 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích phân có thể triệt tiêu khi hàm số đổi dấu, còn diện tích thì cộng dồn phần trên và phần dưới trục hoành. Diện tích dưới y bằng sin x trên đoạn [0; 2π] bằng 4 chứ không phải 0. Nếu muốn ôn lại các tính chất của tích phân làm nền tảng, bạn hãy xem bài các công thức về tính chất của tích phân.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tìm giao điểm trước khi tính diện tích giữa hai đồ thị.
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng x², trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 1 bằng
A. 1/3
B. 1/2
C. 1
D. 2/3
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng sin x, trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng π bằng
A. 1
B. 2
C. π
D. 0
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y bằng x² và y bằng x bằng
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 1
Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng x³, trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 1 bằng
A. 1/3
B. 1/4
C. 1/2
D. 1
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y bằng căn x và y bằng x trên đoạn [0; 1] bằng
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 2/3
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (1/3) đúng: S bằng ∫₀¹ x² dx bằng 1/3. Đáp án B sai vì 1/2 là tích phân của x trên đoạn [0; 1]. Đáp án C sai vì 1 là diện tích hình chữ nhật bao quanh, không phải diện tích dưới parabol. Đáp án D sai vì 2/3 là 1 trừ 1/3, không liên quan tới bài toán.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (2) đúng: S bằng tích phân từ 0 đến π của sin x bằng 2. Đáp án A sai vì 1 là tích phân của sin x trên đoạn [0; π/2]. Đáp án C sai vì π là độ dài đoạn lấy tích phân, không phải diện tích. Đáp án D sai vì sin x dương trên đoạn [0; π] nên diện tích phải dương.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A (1/6) đúng: Hai đồ thị cắt nhau tại x bằng 0 và x bằng 1, trên đoạn [0; 1] có x lớn hơn x², nên S bằng ∫₀¹ (x trừ x²)dx bằng 1/2 trừ 1/3 và bằng 1/6. Đáp án B sai vì 1/3 là diện tích dưới x², không phải diện tích giữa hai đồ thị. Đáp án C sai vì 1/2 là diện tích dưới đường thẳng y bằng x. Đáp án D sai vì không có cơ sở tính toán nào cho ra 1.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (1/4) đúng: S bằng ∫₀¹ x³ dx bằng 1/4. Đáp án A sai vì 1/3 là diện tích dưới x². Đáp án C sai vì 1/2 là diện tích dưới x. Đáp án D sai vì 1 là diện tích hình vuông đơn vị, lớn hơn nhiều so với diện tích dưới x³.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (1/6) đúng: Trên đoạn [0; 1] có căn x lớn hơn hoặc bằng x, nên S bằng ∫₀¹ (căn x trừ x)dx bằng 2/3 trừ 1/2 và bằng 1/6. Đáp án B sai vì 1/3 là diện tích dưới x². Đáp án C sai vì 1/2 là diện tích dưới đường thẳng y bằng x. Đáp án D sai vì 2/3 là diện tích dưới căn x, không phải diện tích giữa hai đồ thị.
Câu hỏi thường gặp về diện tích hình phẳng
Hỏi: Vì sao công thức diện tích phải có dấu trị tuyệt đối?
Đáp: Vì tích phân của một hàm số âm cho kết quả âm, còn diện tích thì luôn là số dương. Dấu trị tuyệt đối đảm bảo phần đồ thị nằm dưới trục hoành vẫn đóng góp diện tích dương vào kết quả, thay vì triệt tiêu phần diện tích phía trên trục hoành.
Hỏi: Diện tích giữa hai đồ thị tính như thế nào?
Đáp: Diện tích giữa hai đồ thị y bằng f(x) và y bằng g(x) trên đoạn [a; b] bằng tích phân từ a tới b của trị tuyệt đối của hiệu f(x) trừ g(x). Nếu một hàm luôn lớn hơn hàm còn lại thì bạn bỏ dấu trị tuyệt đối và lấy hàm lớn trừ hàm nhỏ.
Hỏi: Khi nào cần chia đoạn để tính diện tích?
Đáp: Bạn cần chia đoạn khi hiệu hai hàm số đổi dấu trong khoảng đang xét, tức là khi hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trong khoảng đó, hoặc khi một đồ thị cắt trục hoành. Mỗi đoạn nhỏ có dấu không đổi thì bạn tính riêng rồi cộng các diện tích lại.
Hỏi: Diện tích hình phẳng có thể bằng 0 không?
Đáp: Diện tích chỉ bằng 0 khi hình phẳng suy biến thành một điểm hoặc một đoạn thẳng, chẳng hạn khi hai cận trùng nhau hoặc hai đồ thị trùng nhau hoàn toàn. Trong các bài toán thông thường, diện tích luôn là một số dương.
Hỏi: Công thức diện tích có ứng dụng gì trong thực tế?
Đáp: Rất nhiều. Kĩ sư dùng tích phân để tính diện tích mặt cắt của một chi tiết máy, kiến trúc sư dùng nó để tính diện tích của một mái vòm, nhà kinh tế dùng nó để tính thặng dư tiêu dùng từ đường cung và đường cầu. Mọi bài toán diện tích của một hình có biên cong đều có thể đưa về tích phân.
Kết luận
Công thức tính diện tích hình phẳng chỉ gói gọn trong một ý: diện tích bằng tích phân của trị tuyệt đối của hiệu hai hàm số, với cận là hoành độ giao điểm. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn có dấu trị tuyệt đối trong công thức, tìm giao điểm để xác định cận trước khi tính, và chia đoạn tại điểm hai đồ thị cắt nhau. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính diện tích của bất kì hình phẳng nào được giới hạn bởi các đồ thị hàm số — từ diện tích dưới một parabol cho tới diện tích giữa hai đường cong cắt nhau.