Các công thức về tính chất của tích phân lớp 12

Bạn đã biết nguyên hàm là một họ hàm số. Tích phân xác định thì khác: nó là một con số, diện tích có dấu của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành trên một đoạn. Muốn tính được con số đó nhanh và đúng, bạn không thể lúc nào cũng quay về định nghĩa với tổng Riemann, mà cần những tính chất giúp bạn biến đổi tích phân thành những tích phân đơn giản hơn. Đó chính là nội dung của bài này.

Bài này sẽ giúp bạn làm chủ các tính chất của tích phân một cách có hệ thống: hằng số đưa ra ngoài dấu tích phân, tích phân của tổng và hiệu, tính chất chèn điểm, tính chất đổi cận, cùng công thức Newton–Leibniz nối tích phân với nguyên hàm. Bạn sẽ làm 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ tích phân cũng có tính tuyến tính giống nguyên hàm, cộng thêm vài tính chất riêng về cận, bạn sẽ tính đúng mọi bài toán dạng này.

Các tính chất của tích phân là gì?

Tính chất đầu tiên là tính tuyến tính, giống hệt nguyên hàm: hằng số k có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là ∫ₐᵇ k·f(x)dx bằng k nhân với ∫ₐᵇ f(x)dx; và tích phân của tổng hoặc hiệu hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu các tích phân của chúng, tức là ∫ₐᵇ [f(x) cộng hoặc trừ g(x)]dx bằng ∫ₐᵇ f(x)dx cộng hoặc trừ ∫ₐᵇ g(x)dx. Nhờ tính chất này, bạn có thể tách một tích phân phức tạp thành nhiều tích phân đơn giản rồi cộng kết quả lại, giống như cách bạn đã làm với nguyên hàm. Ví dụ ∫₀¹ 2x dx bằng 2 nhân với ∫₀¹ x dx, mà ∫₀¹ x dx bằng 1/2 nên kết quả bằng 1.

Tính chất thứ hai là tính chất chèn điểm, còn gọi là tính chất cộng đoạn: với mọi điểm c, ta có ∫ₐᵇ f(x)dx bằng ∫ₐᶜ f(x)dx cộng ∫_cᵇ f(x)dx. Tính chất này cho phép bạn chia một đoạn lớn thành nhiều đoạn nhỏ để tính riêng từng đoạn, rất hữu ích khi hàm số có biểu thức khác nhau trên các đoạn khác nhau, hoặc khi hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối và đổi dấu tại điểm c. Tính chất thứ ba là tính chất đổi cận: ∫ₐᵇ f(x)dx bằng trừ ∫_bᵃ f(x)dx, tức là đổi thứ tự hai cận thì tích phân đổi dấu. Tính chất thứ tư là tích phân trên một đoạn có hai cận trùng nhau bằng 0: ∫ₐᵃ f(x)dx bằng 0.

Tính chất quan trọng nhất nối tích phân với nguyên hàm là công thức Newton–Leibniz: nếu F là một nguyên hàm của f trên đoạn [a; b] thì ∫ₐᵇ f(x)dx bằng F(b) trừ F(a). Công thức này biến việc tính tích phân thành việc tìm nguyên hàm rồi thay cận, và nó là công cụ chính để bạn tính mọi tích phân trong chương trình lớp 12. Bạn hãy nhớ thứ tự: lấy nguyên hàm tại cận trên trừ nguyên hàm tại cận dưới, viết ngược lại sẽ sai dấu. Ngoài ra, bạn cũng nên nhớ hai tính chất hay dùng trong bài tập trắc nghiệm: nếu f là hàm số chẵn thì ∫₋ₐᵃ f(x)dx bằng 2 nhân với ∫₀ᵃ f(x)dx, còn nếu f là hàm số lẻ thì ∫₋ₐᵃ f(x)dx bằng 0. Hai tính chất này giúp bạn tính nhanh nhiều tích phân đối xứng mà không cần tìm nguyên hàm.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính ∫₀¹ 2x dx.
Đưa hằng số 2 ra ngoài dấu tích phân, ta được 2 nhân với ∫₀¹ x dx. Nguyên hàm của x là x² chia 2, nên ∫₀¹ x dx bằng 1² chia 2 trừ 0² chia 2, tức là bằng 1/2. Nhân với 2, kết quả cuối cùng bằng 1. Bạn hãy để ý: đây chính là diện tích của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 1, một cách kiểm tra hình học rất hay cho kết quả vừa tính. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 2 (dùng công thức Newton–Leibniz): Tính tích phân từ 0 đến π của sin x.
Nguyên hàm của sin x là trừ cos x. Áp dụng công thức Newton–Leibniz, tích phân từ 0 đến π của sin x bằng mở ngoặc trừ cos π đóng ngoặc trừ mở ngoặc trừ cos 0 đóng ngoặc, tức là 1 trừ mở ngoặc trừ 1 đóng ngoặc và bằng 2. Kết quả này có ý nghĩa hình học rõ ràng: diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng sin x, trục hoành và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng π đúng bằng 2 đơn vị diện tích. Bạn hãy nhớ cos π bằng trừ 1 và cos 0 bằng 1, hai giá trị lượng giác này xuất hiện rất thường xuyên trong các bài tích phân.

Ví dụ 3 (kết hợp nhiều tính chất): Tính ∫₁² (x cộng 1/x)dx.
Tách thành ∫₁² x dx cộng ∫₁² (1/x)dx. Nguyên hàm của x là x² chia 2, nên ∫₁² x dx bằng 2² chia 2 trừ 1² chia 2, tức là 2 trừ 1/2 và bằng 3/2. Nguyên hàm của 1/x là ln trị tuyệt đối của x, nên ∫₁² (1/x)dx bằng ln 2 trừ ln 1, tức là bằng ln 2. Cộng lại, kết quả bằng 3/2 cộng ln 2, xấp xỉ 2,19. Bạn hãy để ý: vì x chạy từ 1 tới 2 nên x luôn dương, ta được phép bỏ dấu trị tuyệt đối trong ln, một chi tiết nhỏ nhưng nhiều bạn hay lúng túng.

Ví dụ 4 (dùng tính chất chèn điểm với trị tuyệt đối): Tính ∫₀² |x trừ 1|dx.
Hàm số |x trừ 1| đổi dấu tại x bằng 1: khi x nhỏ hơn 1 thì |x trừ 1| bằng 1 trừ x, khi x lớn hơn 1 thì |x trừ 1| bằng x trừ 1. Áp dụng tính chất chèn điểm tại c bằng 1, ta có ∫₀² |x trừ 1|dx bằng ∫₀¹ (1 trừ x)dx cộng ∫₁² (x trừ 1)dx. Tính từng phần: ∫₀¹ (1 trừ x)dx bằng 1 trừ 1/2 và bằng 1/2; ∫₁² (x trừ 1)dx bằng mở ngoặc 2 trừ 2 đóng ngoặc trừ mở ngoặc 1/2 trừ 1 đóng ngoặc và bằng 1/2. Cộng lại, kết quả bằng 1. Bạn hãy nhớ: gặp trị tuyệt đối trong tích phân, việc đầu tiên là tìm điểm đổi dấu rồi chèn điểm tại đó, tuyệt đối không được bỏ dấu trị tuyệt đối một cách tùy tiện.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Quên đổi dấu khi đổi thứ tự hai cận.
Nhiều bạn viết ∫ₐᵇ f(x)dx bằng ∫_bᵃ f(x)dx mà không đổi dấu. Cách tránh: bạn hãy nhớ đổi cận thì đổi dấu, tức là ∫ₐᵇ f(x)dx bằng trừ ∫_bᵃ f(x)dx. Lỗi này hay xảy ra khi bạn đổi biến số và quên đổi cận theo.

Lỗi 2: Chèn điểm c nằm ngoài đoạn [a; b].
Nhiều bạn áp dụng ∫ₐᵇ f(x)dx bằng ∫ₐᶜ f(x)dx cộng ∫_cᵇ f(x)dx với c nằm ngoài đoạn đang xét. Cách tránh: bạn hãy nhớ tính chất chèn điểm chỉ đúng khi c nằm trong đoạn [a; b], và điểm chèn thường là điểm hàm số đổi dấu hoặc đổi biểu thức.

Lỗi 3: Viết ngược công thức Newton–Leibniz.
Nhiều bạn tính ∫ₐᵇ f(x)dx bằng F(a) trừ F(b) thay vì F(b) trừ F(a). Cách tránh: bạn hãy nhớ thứ tự cận trên trừ cận dưới, tức là lấy nguyên hàm tại b trừ nguyên hàm tại a. Một mẹo nhỏ: bạn hãy đọc tích phân từ a tới b theo chiều tăng dần của x, và kết quả cũng theo chiều đó.

Lỗi 4: Bỏ dấu trị tuyệt đối khi hàm số đổi dấu trên đoạn lấy tích phân.
Nhiều bạn tính ∫₀² |x trừ 1|dx bằng ∫₀² (x trừ 1)dx và ra kết quả 0, trong khi đáp án đúng là 1. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích phân của một hàm số có thể triệt tiêu lẫn nhau khi hàm đổi dấu, còn diện tích thì luôn cộng dồn. Gặp trị tuyệt đối, bạn phải chèn điểm tại nơi hàm đổi dấu rồi tính từng đoạn.

Lỗi 5: Tách tích phân của tích thành tích các tích phân.
Nhiều bạn viết ∫ₐᵇ [f(x) nhân g(x)]dx bằng ∫ₐᵇ f(x)dx nhân với ∫ₐᵇ g(x)dx. Cách tránh: bạn hãy nhớ tính tuyến tính chỉ áp dụng cho tổng, hiệu và hằng số nhân hàm số, giống như nguyên hàm. Muốn tính tích phân của tích, bạn cần đổi biến số hoặc tích phân từng phần. Nếu muốn ôn lại các tính chất của nguyên hàm làm nền tảng, bạn hãy xem bài các công thức về tính chất của nguyên hàm.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ áp dụng đúng tính chất trước khi tính nguyên hàm.

Câu 1: Tích phân ∫₀¹ 2x dx bằng
A. 1
B. 2
C. 1/2
D. 0

Câu 2: Tích phân tích phân từ 0 đến π của sin x bằng
A. 0
B. 1
C. 2
D. trừ 2

Câu 3: Tích phân ∫₁² (1/x)dx bằng
A. ln 2
B. 1
C. 2
D. 0

Câu 4: Tích phân ∫₋₁¹ x³ dx bằng
A. 2/3
B. 0
C. 1/2
D. 2

Câu 5: Biết ∫₀¹ f(x)dx bằng 3 và ∫₀¹ g(x)dx bằng 2. Tích phân ∫₀¹ [f(x) trừ g(x)]dx bằng
A. 5
B. 1
C. 6
D. 3/2

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (1) đúng: ∫₀¹ 2x dx bằng 2 nhân với ∫₀¹ x dx, mà ∫₀¹ x dx bằng 1/2 nên kết quả bằng 1. Đáp án B sai vì 2 là hằng số đưa ra ngoài, không phải kết quả. Đáp án C sai vì 1/2 là tích phân của x, chưa nhân với 2. Đáp án D sai vì hàm số 2x dương trên đoạn [0; 1] nên tích phân phải dương.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (2) đúng: Nguyên hàm của sin x là trừ cos x, nên tích phân từ 0 đến π của sin x bằng mở ngoặc trừ cos π đóng ngoặc trừ mở ngoặc trừ cos 0 đóng ngoặc và bằng 2. Đáp án A sai vì sin x dương trên đoạn [0; π] nên tích phân không thể bằng 0. Đáp án B sai vì 1 là một nửa của đáp án đúng. Đáp án D sai vì dấu của đáp án bị ngược.

Giải thích Câu 3 — Đáp án A (ln 2) đúng: Nguyên hàm của 1/x là ln trị tuyệt đối của x, nên ∫₁² (1/x)dx bằng ln 2 trừ ln 1 và bằng ln 2. Đáp án B sai vì 1 là độ dài đoạn lấy tích phân, không phải giá trị tích phân. Đáp án C sai vì 2 là cận trên, không phải kết quả. Đáp án D sai vì 1/x dương trên đoạn [1; 2] nên tích phân phải dương.

Giải thích Câu 4 — Đáp án B (0) đúng: Hàm số x³ là hàm số lẻ nên tích phân trên đoạn đối xứng [trừ 1; 1] bằng 0, vì phần diện tích phía trên trục hoành và phía dưới trục hoành triệt tiêu lẫn nhau. Đáp án A sai vì 2/3 là tích phân của x² trên đoạn [trừ 1; 1]. Đáp án C sai vì 1/2 là tích phân của x² trên đoạn [0; 1]. Đáp án D sai vì không có cơ sở tính toán nào cho ra 2.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (1) đúng: Theo tính chất tích phân của hiệu, ∫₀¹ [f(x) trừ g(x)]dx bằng ∫₀¹ f(x)dx trừ ∫₀¹ g(x)dx, tức là 3 trừ 2 và bằng 1. Đáp án A sai vì 5 là tổng chứ không phải hiệu. Đáp án C sai vì 6 là tích của hai số. Đáp án D sai vì 3/2 là thương của hai số, không liên quan tới tính chất này.

Câu hỏi thường gặp về tính chất của tích phân

Hỏi: Tích phân xác định khác nguyên hàm như thế nào?
Đáp: Nguyên hàm là một họ hàm số, còn tích phân xác định là một con số. Tích phân ∫ₐᵇ f(x)dx cho bạn diện tích có dấu của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên đoạn [a; b]. Công thức Newton–Leibniz là cầu nối giữa hai khái niệm: bạn dùng nguyên hàm để tính tích phân.

Hỏi: Vì sao tích phân trên đoạn có hai cận trùng nhau bằng 0?
Đáp: Vì đoạn [a; a] chỉ có một điểm duy nhất, không có độ rộng nên diện tích bằng 0. Theo công thức Newton–Leibniz, ∫ₐᵃ f(x)dx bằng F(a) trừ F(a) và bằng 0, hoàn toàn phù hợp với ý nghĩa hình học.

Hỏi: Tính chất chèn điểm thường dùng trong trường hợp nào?
Đáp: Tính chất chèn điểm thường dùng khi hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối, khi hàm số được cho bởi nhiều biểu thức trên các đoạn khác nhau, hoặc khi bạn muốn tách một tích phân khó thành nhiều tích phân dễ hơn. Điểm chèn thường là điểm hàm số đổi dấu hoặc đổi biểu thức.

Hỏi: Hằng số k có đưa ra ngoài dấu tích phân được không?
Đáp: Được. Với mọi hằng số k, ∫ₐᵇ k·f(x)dx bằng k nhân với ∫ₐᵇ f(x)dx. Tính chất này giúp bạn đơn giản hóa bài toán ngay từ đầu, chẳng hạn đưa hệ số 2 ra ngoài trước khi tính tích phân của x.

Hỏi: Công thức Newton–Leibniz phát biểu như thế nào?
Đáp: Nếu F là một nguyên hàm của f trên đoạn [a; b] thì ∫ₐᵇ f(x)dx bằng F(b) trừ F(a). Đây là công thức quan trọng nhất của chương tích phân, vì nó biến việc tính diện tích thành việc tìm nguyên hàm rồi thay cận, một việc bạn đã thành thạo từ bài nguyên hàm.

Kết luận

Các tính chất của tích phân chỉ gói gọn trong vài ý: tính tuyến tính với hằng số, tổng và hiệu; tính chất chèn điểm để chia đoạn; tính chất đổi cận thì đổi dấu; và công thức Newton–Leibniz nối tích phân với nguyên hàm. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn kiểm tra dấu khi đổi cận, chèn điểm tại nơi hàm số đổi dấu khi gặp trị tuyệt đối, và lấy nguyên hàm tại cận trên trừ nguyên hàm tại cận dưới. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính bất kì tích phân nào được tạo thành từ các hàm số sơ cấp — và đó là nền tảng để bạn bước sang các ứng dụng hình học của tích phân ngay sau đây.