Các công thức về tính chất của nguyên hàm lớp 12

Bạn đã quen với đạo hàm: cho một hàm số, bạn tính được tốc độ thay đổi của nó tại mỗi điểm. Nguyên hàm là bài toán ngược lại: cho tốc độ thay đổi, bạn tìm lại hàm số ban đầu. Nghe thì đơn giản, nhưng bài toán ngược này mở ra cả một chương lớn của Toán 12, vì từ nguyên hàm bạn sẽ đi tới tích phân, rồi tới diện tích, thể tích và vô số ứng dụng thực tế. Muốn đi xa trong chương này, bạn phải nắm chắc các tính chất của nguyên hàm ngay từ đầu.

Bài này sẽ giúp bạn làm chủ các tính chất của nguyên hàm một cách có hệ thống: nguyên hàm của tổng và hiệu, nguyên hàm của một hằng số nhân với hàm số, nguyên hàm của đạo hàm, cùng bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. Bạn sẽ làm 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ đạo hàm và nguyên hàm là hai phép toán ngược nhau, bạn sẽ suy ra được hầu hết các tính chất mà không cần học thuộc lòng.

Các tính chất của nguyên hàm là gì?

Trước hết, bạn hãy nhớ định nghĩa: hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên một khoảng nếu F′(x) bằng f(x) với mọi x trong khoảng đó. Từ định nghĩa này, bạn suy ra ngay tính chất đầu tiên: nguyên hàm của đạo hàm bằng chính hàm số ban đầu cộng một hằng số, tức là ∫f′(x)dx bằng f(x) cộng C. Ví dụ ∫(2x)dx bằng x² cộng C, vì đạo hàm của x² chính là 2x. Tính chất này cho thấy đạo hàm và nguyên hàm triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại hằng số C mà đạo hàm đã làm mất đi.

Tính chất thứ hai là tính chất tuyến tính, gồm hai phần: nguyên hàm của một hằng số nhân với hàm số bằng hằng số đó nhân với nguyên hàm của hàm số, tức là ∫k·f(x)dx bằng k nhân với ∫f(x)dx; và nguyên hàm của tổng hoặc hiệu hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu các nguyên hàm của chúng, tức là ∫[f(x) cộng hoặc trừ g(x)]dx bằng ∫f(x)dx cộng hoặc trừ ∫g(x)dx. Nhờ hai tính chất này, bạn có thể tách một nguyên hàm phức tạp thành nhiều nguyên hàm đơn giản rồi cộng kết quả lại. Ví dụ ∫(2x cộng 1)dx bằng ∫2xdx cộng ∫1dx, tức là x² cộng x cộng C. Bạn hãy để ý: hằng số C chỉ cần viết một lần ở cuối, vì tổng của nhiều hằng số vẫn là một hằng số.

Tính chất thứ ba là một hàm số có vô số nguyên hàm, và hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Nói cách khác, nếu F là một nguyên hàm của f thì mọi nguyên hàm của f đều có dạng F(x) cộng C, với C là một hằng số tùy ý. Vì vậy khi viết đáp án, bạn tuyệt đối không được quên cộng C, vì thiếu C nghĩa là bạn chỉ viết ra một nguyên hàm riêng, chưa phải họ nguyên hàm đầy đủ. Kết hợp với bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp — ∫xⁿdx bằng xⁿ⁺¹ chia cho n cộng 1 cộng C với n khác trừ 1, ∫(1/x)dx bằng ln trị tuyệt đối của x cộng C, ∫eˣdx bằng eˣ cộng C, ∫aˣdx bằng aˣ chia ln a cộng C, ∫sin x dx bằng trừ cos x cộng C, ∫cos x dx bằng sin x cộng C, ∫(1/cos²x)dx bằng tan x cộng C, ∫(1/sin²x)dx bằng trừ cot x cộng C — bạn đã có đủ công cụ để tính nguyên hàm của hầu hết các hàm số gặp trong chương trình lớp 12.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính ∫(2x cộng 1)dx.
Áp dụng tính chất nguyên hàm của tổng, ta tách thành ∫2xdx cộng ∫1dx. Nguyên hàm của 2x là x², vì đạo hàm của x² bằng 2x; nguyên hàm của 1 là x, vì đạo hàm của x bằng 1. Cộng lại, kết quả là x² cộng x cộng C. Bạn hãy kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm: đạo hàm của x² cộng x cộng C bằng 2x cộng 1, đúng bằng hàm số dưới dấu tích phân. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 2 (kết hợp nhiều tính chất): Tính ∫(3x² trừ 2sin x)dx.
Tách thành ∫3x²dx trừ ∫2sin xdx. Với số hạng đầu, đưa hằng số 3 ra ngoài: 3 nhân với ∫x²dx bằng 3 nhân với x³ chia 3, tức là x³. Với số hạng thứ hai, đưa hằng số 2 ra ngoài: 2 nhân với ∫sin xdx bằng 2 nhân với trừ cos x, tức là trừ 2cos x. Vì phép trừ đổi dấu, kết quả cuối cùng là x³ cộng 2cos x cộng C. Bạn hãy kiểm tra: đạo hàm của x³ cộng 2cos x cộng C bằng 3x² trừ 2sin x, đúng bằng hàm số ban đầu. Lỗi hay gặp ở đây là quên đổi dấu của cos x khi trừ đi nguyên hàm của sin x, nên bạn hãy viết từng bước rõ ràng thay vì làm tắt.

Ví dụ 3 (hàm mũ và phân thức): Tính ∫(1/x cộng 2ˣ)dx.
Tách thành ∫(1/x)dx cộng ∫2ˣdx. Nguyên hàm của 1/x là ln trị tuyệt đối của x, bạn nhớ phải có dấu trị tuyệt đối vì 1/x xác định với cả x âm. Nguyên hàm của 2ˣ là 2ˣ chia ln 2, vì đạo hàm của 2ˣ chia ln 2 bằng 2ˣ. Cộng lại, kết quả là ln trị tuyệt đối của x cộng với 2ˣ chia ln 2 cộng C. Bạn hãy để ý: nguyên hàm của aˣ luôn phải chia cho ln a, nhiều bạn quên bước này nên viết sai thành 2ˣ cộng C.

Ví dụ 4 (tìm nguyên hàm thỏa điều kiện): Tìm nguyên hàm F của hàm số f(x) bằng 2x cộng 1, biết F(0) bằng 3.
Họ nguyên hàm của f là F(x) bằng x² cộng x cộng C, theo ví dụ 1. Điều kiện F(0) bằng 3 cho ta 0² cộng 0 cộng C bằng 3, tức là C bằng 3. Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) bằng x² cộng x cộng 3. Bạn hãy nhớ: mỗi giá trị của C cho một nguyên hàm khác nhau, và điều kiện ban đầu giúp bạn chọn ra đúng một nguyên hàm trong cả họ vô số nguyên hàm đó. Dạng bài này rất hay gặp trong đề thi, vì nó kiểm tra cả việc tính nguyên hàm lẫn việc dùng điều kiện để xác định hằng số.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Quên cộng hằng số C.
Nhiều bạn viết ∫(2x cộng 1)dx bằng x² cộng x mà không cộng C. Cách tránh: bạn hãy tập thói quen viết cộng C ngay khi viết đáp án, vì một hàm số có vô số nguyên hàm sai khác nhau một hằng số, thiếu C là thiếu một phần của đáp án.

Lỗi 2: Tách nguyên hàm của tích thành tích các nguyên hàm.
Nhiều bạn viết ∫[f(x) nhân g(x)]dx bằng ∫f(x)dx nhân với ∫g(x)dx. Cách tránh: bạn hãy nhớ tính chất tuyến tính chỉ áp dụng cho tổng, hiệu và hằng số nhân hàm số, không áp dụng cho tích hay thương của hai hàm số. Muốn tính nguyên hàm của tích, bạn cần đổi biến số hoặc dùng nguyên hàm từng phần, những phương pháp sẽ học sau.

Lỗi 3: Viết nguyên hàm của 1/x là ln x mà quên trị tuyệt đối.
Nhiều bạn viết ∫(1/x)dx bằng ln x cộng C. Cách tránh: bạn hãy nhớ hàm số 1/x xác định với cả x âm, nên nguyên hàm đúng là ln trị tuyệt đối của x cộng C. Chỉ khi đề cho x dương thì bạn mới được bỏ dấu trị tuyệt đối.

Lỗi 4: Nhầm dấu của nguyên hàm sin x và cos x.
Nhiều bạn viết ∫sin xdx bằng cos x cộng C hoặc ∫cos xdx bằng trừ sin x cộng C. Cách tránh: bạn hãy nhớ cặp đối xứng: đạo hàm của sin x là cos x nên nguyên hàm của cos x là sin x; đạo hàm của cos x là trừ sin x nên nguyên hàm của sin x là trừ cos x. Dấu trừ chỉ xuất hiện ở nguyên hàm của sin x.

Lỗi 5: Quên chia cho ln a khi tính nguyên hàm của aˣ.
Nhiều bạn viết ∫2ˣdx bằng 2ˣ cộng C. Cách tránh: bạn hãy nhớ nguyên hàm của aˣ là aˣ chia ln a cộng C, vì đạo hàm của aˣ là aˣ nhân ln a. Riêng với eˣ thì ln e bằng 1 nên không cần chia, đó là lí do eˣ là hàm số đặc biệt nhất trong bảng nguyên hàm. Nếu muốn xem các tính chất này được dùng như thế nào trong tích phân, bạn hãy xem bài các công thức về tính chất của tích phân.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ viết cộng C ở mọi đáp án nguyên hàm và kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm.

Câu 1: Nguyên hàm ∫(2x cộng 1)dx bằng
A. x² cộng x cộng C
B. 2x² cộng x cộng C
C. x² cộng 1 cộng C
D. x² cộng x

Câu 2: Nguyên hàm ∫(3x² trừ 2sin x)dx bằng
A. 3x³ cộng 2cos x cộng C
B. x³ cộng 2cos x cộng C
C. x³ trừ 2cos x cộng C
D. x³ cộng 2sin x cộng C

Câu 3: Nguyên hàm ∫(eˣ cộng 1/x)dx bằng
A. eˣ trừ ln trị tuyệt đối của x cộng C
B. eˣ cộng 1/x² cộng C
C. eˣ cộng ln trị tuyệt đối của x cộng C
D. eˣ cộng ln x cộng C

Câu 4: Nếu F là một nguyên hàm của f thì ∫f′(x)dx bằng
A. F(x) cộng C
B. f′(x) cộng C
C. 0
D. f(x) cộng C

Câu 5: Nguyên hàm ∫(sin x cộng cos x)dx bằng
A. cos x trừ sin x cộng C
B. trừ cos x cộng sin x cộng C
C. trừ cos x trừ sin x cộng C
D. sin x cộng cos x cộng C

Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: ∫2xdx bằng x² và ∫1dx bằng x, cộng lại được x² cộng x cộng C. Đáp án B sai vì nguyên hàm của 2x là x² chứ không phải 2x². Đáp án C sai vì nguyên hàm của 1 là x chứ không phải 1. Đáp án D sai vì thiếu hằng số C.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: ∫3x²dx bằng x³ và ∫2sin xdx bằng trừ 2cos x, mà phép trừ đổi dấu nên kết quả là x³ cộng 2cos x cộng C. Đáp án A sai vì 3 nhân với x³ chia 3 bằng x³ chứ không phải 3x³. Đáp án C sai vì quên đổi dấu khi trừ nguyên hàm của sin x. Đáp án D sai vì nguyên hàm của sin x là trừ cos x chứ không phải sin x.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: ∫eˣdx bằng eˣ và ∫(1/x)dx bằng ln trị tuyệt đối của x, cộng lại được eˣ cộng ln trị tuyệt đối của x cộng C. Đáp án A sai vì dấu của ln phải là cộng. Đáp án B sai vì nguyên hàm của 1/x không phải 1/x². Đáp án D sai vì thiếu dấu trị tuyệt đối, ln x chỉ đúng khi x dương.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: Theo tính chất nguyên hàm của đạo hàm, ∫f′(x)dx bằng f(x) cộng C. Đáp án A sai vì F(x) là nguyên hàm của f(x) chứ không phải của f′(x). Đáp án B sai vì f′(x) là hàm số dưới dấu tích phân, không phải kết quả. Đáp án C sai vì tích phân của một đạo hàm không bằng 0.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: ∫sin xdx bằng trừ cos x và ∫cos xdx bằng sin x, cộng lại được trừ cos x cộng sin x cộng C. Đáp án A sai vì dấu của cả hai số hạng đều ngược. Đáp án C sai vì nguyên hàm của cos x là sin x chứ không phải trừ sin x. Đáp án D sai vì đó là hàm số ban đầu, không phải nguyên hàm của nó.

Câu hỏi thường gặp về tính chất của nguyên hàm

Hỏi: Nguyên hàm là gì và khác gì với đạo hàm?
Đáp: Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm. Nếu F′(x) bằng f(x) thì F là nguyên hàm của f. Đạo hàm cho bạn tốc độ thay đổi của một hàm số, còn nguyên hàm cho bạn hàm số ban đầu khi biết tốc độ thay đổi của nó. Hai phép toán triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại hằng số C.

Hỏi: Vì sao đáp án nguyên hàm luôn phải có cộng C?
Đáp: Vì đạo hàm của mọi hằng số đều bằng 0, nên nếu F là nguyên hàm của f thì F cộng C với C là hằng số bất kì cũng là nguyên hàm của f. Họ nguyên hàm đầy đủ gồm vô số hàm số sai khác nhau một hằng số, và cộng C là cách viết gọn cả họ đó.

Hỏi: Một hàm số có bao nhiêu nguyên hàm?
Đáp: Một hàm số có vô số nguyên hàm, tất cả đều có dạng F(x) cộng C với C là hằng số tùy ý. Nếu đề bài cho thêm một điều kiện như F(0) bằng 3 thì bạn xác định được C và chỉ còn một nguyên hàm duy nhất thỏa điều kiện đó.

Hỏi: Mọi hàm số liên tục có nguyên hàm không?
Đáp: Có. Mọi hàm số liên tục trên một khoảng đều có nguyên hàm trên khoảng đó. Đây là một định lí quan trọng của giải tích, và nó đảm bảo rằng các bài toán tìm nguyên hàm trong chương trình lớp 12 luôn có đáp án.

Hỏi: Tính chất tuyến tính có áp dụng cho tích và thương không?
Đáp: Không. Nguyên hàm của tích hai hàm số không bằng tích các nguyên hàm, và nguyên hàm của thương cũng vậy. Muốn tính nguyên hàm của tích, bạn cần phương pháp đổi biến số hoặc nguyên hàm từng phần. Đây là một trong những lỗi sai phổ biến nhất khi mới học nguyên hàm.

Kết luận

Các tính chất của nguyên hàm chỉ gói gọn trong ba ý: nguyên hàm của đạo hàm bằng chính hàm số cộng C, nguyên hàm có tính tuyến tính với tổng, hiệu và hằng số nhân hàm số, và một hàm số có vô số nguyên hàm sai khác nhau một hằng số. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn viết cộng C ở cuối đáp án, chỉ tách tổng và hiệu chứ không tách tích hay thương, và kiểm tra lại đáp án bằng cách lấy đạo hàm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính nguyên hàm của bất kì hàm số nào được tạo thành từ các hàm số sơ cấp — và đó là nền tảng để bạn bước sang chương tích phân ngay sau đây.