Bạn đã bao giờ đứng trước một mái nhà hình chóp và tự hỏi: người thợ cần bao nhiêu tấm tôn để lợp kín bốn mặt mái ấy? Hay một chiếc lều cắm trại hình chóp chứa được bao nhiêu không khí bên trong? Cả hai câu hỏi đều dẫn về cùng một khối hình quen thuộc trong chương trình Toán 8: hình chóp tứ giác đều. Nó xuất hiện ở khắp nơi — từ nóc của những ngôi đền cổ, mái của tháp chuông, cho tới hộp quà hình chóp trong cửa hàng lưu niệm. Chỉ với hai công thức gọn nhẹ, bạn có thể tính được diện tích phần mái và thể tích phần ruột của bất kì hình chóp tứ giác đều nào.
Trong bài viết này, bạn sẽ nắm chắc hình chóp tứ giác đều là gì, phân biệt được ba đoạn thẳng hay bị nhầm lẫn nhất là chiều cao, trung đoạn và cạnh bên, rồi học hai công thức tính diện tích xung quanh và thể tích. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước, tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn hiểu vì sao thể tích hình chóp chỉ bằng một phần ba thể tích hình hộp cùng đáy và cùng chiều cao.
Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều là gì?
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và chân đường cao trùng với tâm của đáy. Gọi đỉnh của hình chóp là S, đáy là hình vuông ABCD, tâm của đáy là O. Khi đó SO là chiều cao của hình chóp, kí hiệu là h, và SO vuông góc với mặt phẳng đáy. Bốn mặt bên của hình chóp là bốn tam giác cân bằng nhau, chung đỉnh S. Mỗi mặt bên có một đường cao kẻ từ S xuống cạnh đáy của nó — đoạn thẳng này gọi là trung đoạn, kí hiệu là d. Ví dụ, gọi M là trung điểm của cạnh BC thì SM chính là trung đoạn ứng với mặt bên SBC. Bạn cần nhớ rõ: trung đoạn là đường cao của tam giác mặt bên, còn chiều cao h là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đáy — hai đoạn này hoàn toàn khác nhau.
Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều, kí hiệu là Sxq, là tổng diện tích của bốn mặt bên, không tính diện tích đáy. Vì bốn mặt bên là bốn tam giác cân bằng nhau nên diện tích mỗi mặt bên bằng một nửa tích của cạnh đáy với trung đoạn, và tổng bốn mặt cho công thức Sxq bằng p nhân d chia 2, trong đó p là chu vi đáy và d là trung đoạn. Sách giáo khoa viết công thức này dưới dạng Sxq bằng p nhân d với p là nửa chu vi đáy — hai cách viết cho cùng một kết quả, bạn dùng cách nào cũng đúng, chỉ cần nhớ p trong mỗi cách viết là gì. Nếu muốn tính diện tích toàn phần Stp thì cộng thêm diện tích đáy: Stp bằng Sxq cộng Sđáy, với đáy là hình vuông cạnh a thì Sđáy bằng a nhân a.
Thể tích của hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức V bằng một phần ba nhân Sđáy nhân h, trong đó Sđáy là diện tích đáy và h là chiều cao của hình chóp. Con số một phần ba không phải là quy ước tùy tiện: nếu bạn lấy một hình hộp chữ nhật có cùng diện tích đáy và cùng chiều cao rồi đổ đầy cát vào hình chóp, bạn sẽ cần đúng ba lần đổ đầy hình chóp mới lấp đầy hình hộp. Ba đoạn thẳng quan trọng của hình chóp liên hệ với nhau bằng định lí Pythagore trong tam giác vuông SOM: d bình phương bằng h bình phương cộng với bình phương của một nửa cạnh đáy, tức d² = h² + (a/2)². Nhờ hệ thức này, chỉ cần biết hai trong ba đại lượng a, h, d là bạn tính được đại lượng còn lại. Khi cần tính nhanh các phép nhân chia và căn bậc hai trong bài toán hình chóp, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Muốn thấy rõ sự khác nhau giữa hình chóp tứ giác đều và hình chóp tam giác đều, bạn hãy xem bài công thức diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều — hai khối hình dùng chung một cặp công thức, chỉ khác nhau ở hình dạng của đáy và số mặt bên. Còn bây giờ, hãy bắt tay vào tính toán với bốn ví dụ dưới đây, từ ví dụ mẫu trong sách tới bài toán thực tế về chiếc lều cắm trại.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 4 cm, trung đoạn d bằng 5 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp, rồi tính chiều cao h và thể tích V của nó.
Bạn tính diện tích xung quanh trước: chu vi đáy p bằng 4 nhân 4 bằng 16 cm, trung đoạn d bằng 5 cm, nên Sxq bằng 16 nhân 5 chia 2 bằng 80 chia 2 bằng 40 cm². Bạn tính chiều cao h bằng hệ thức d² = h² + (a/2)²: thay số 5² = h² + 2², tức 25 = h² + 4, suy ra h² = 21, nên h bằng √21, xấp xỉ 4,58 cm. Bạn tính thể tích: diện tích đáy Sđáy bằng 4 nhân 4 bằng 16 cm², nên V bằng một phần ba nhân 16 nhân 4,58, tức 73,28 chia 3, xấp xỉ 24,43 cm³. Bạn kiểm tra: trung đoạn d bằng 5 lớn hơn chiều cao h bằng 4,58 — đúng như quan hệ cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông trong tam giác SOM. Bạn hãy để ý: chỉ từ hai số liệu a bằng 4 và d bằng 5, bạn đã tính được trọn bộ Sxq, h và V của hình chóp.
Ví dụ 2 (cho cạnh đáy và chiều cao): Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 6 cm, chiều cao h bằng 4 cm. Tính trung đoạn d, diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.
Bạn tính trung đoạn trước: một nửa cạnh đáy bằng 3 cm, áp dụng hệ thức d² = h² + (a/2)², ta có d² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, nên d bằng 5 cm. Bạn tính diện tích xung quanh: chu vi đáy p bằng 4 nhân 6 bằng 24 cm, nên Sxq bằng 24 nhân 5 chia 2 bằng 120 chia 2 bằng 60 cm². Bạn tính thể tích: diện tích đáy Sđáy bằng 6 nhân 6 bằng 36 cm², nên V bằng một phần ba nhân 36 nhân 4 bằng 144 chia 3 bằng 48 cm³. Bạn kiểm tra: ba số 3, 4, 5 là bộ ba Pythagore quen thuộc nên d ra số đẹp đúng 5 cm — nếu d ra số lẻ khó nhớ thì bạn nên kiểm tra lại phép tính. Bạn hãy để ý: bài này cho h trước rồi mới tìm d, ngược với Ví dụ 1 cho d trước rồi tìm h — cả hai chiều đều dùng chung một hệ thức d² = h² + (a/2)².
Ví dụ 3 (cho diện tích xung quanh, tìm ngược trung đoạn và chiều cao): Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 8 cm, diện tích xung quanh bằng 96 cm². Tính trung đoạn d, chiều cao h và thể tích V của hình chóp.
Bạn tìm trung đoạn từ công thức diện tích xung quanh: chu vi đáy p bằng 4 nhân 8 bằng 32 cm, Sxq bằng p nhân d chia 2 nên 96 bằng 32 nhân d chia 2, tức 96 bằng 16 nhân d, suy ra d bằng 6 cm. Bạn tính chiều cao: một nửa cạnh đáy bằng 4 cm, hệ thức d² = h² + (a/2)² cho 6² = h² + 4², tức 36 = h² + 16, suy ra h² = 20, nên h bằng √20, xấp xỉ 4,47 cm. Bạn tính thể tích: diện tích đáy Sđáy bằng 8 nhân 8 bằng 64 cm², nên V bằng một phần ba nhân 64 nhân 4,47, tức 286,08 chia 3, xấp xỉ 95,36 cm³. Bạn kiểm tra: d bằng 6 lớn hơn h bằng 4,47 là đúng, và thể tích 95,36 cm³ nhỏ hơn tích Sđáy nhân h bằng 286,08 cm³ đúng ba lần — vì V chỉ bằng một phần ba tích đó. Bạn hãy để ý: dạng bài "cho Sxq, tìm ngược d rồi tìm h" thường xuất hiện trong đề kiểm tra, và chìa khóa là đảo ngược công thức Sxq để tìm d trước.
Ví dụ 4 (bài toán thực tế): Một chiếc lều cắm trại có dạng hình chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông cạnh 3 m, chiều cao của lều là 2 m. Tính diện tích vải bạt cần dùng để may bốn mặt bên của lều (không tính đáy) và thể tích không khí bên trong lều.
Bạn tính trung đoạn trước: một nửa cạnh đáy bằng 1,5 m, hệ thức d² = h² + (a/2)² cho d² = 2² + 1,5² = 4 + 2,25 = 6,25, nên d bằng 2,5 m. Bạn tính diện tích vải bạt, chính là diện tích xung quanh: chu vi đáy p bằng 4 nhân 3 bằng 12 m, nên Sxq bằng 12 nhân 2,5 chia 2 bằng 30 chia 2 bằng 15 m². Bạn tính thể tích không khí: diện tích đáy Sđáy bằng 3 nhân 3 bằng 9 m², nên V bằng một phần ba nhân 9 nhân 2 bằng 18 chia 3 bằng 6 m³. Bạn kiểm tra: lều cao 2 m với đáy 3 m nhân 3 m chứa được 6 m³ không khí — đủ cho hai người ngồi thoải mái. Bạn hãy để ý: trong bài toán thực tế, người ta thường hỏi diện tích xung quanh vì phần mái lều không có đáy, còn thể tích cho biết lều có đủ rộng hay không — đúng hai công thức của bài này.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm trung đoạn với cạnh bên.
Nhiều bạn lấy độ dài cạnh bên SB thay cho trung đoạn d khi tính Sxq. Cách tránh: bạn hãy nhớ trung đoạn SM kẻ từ đỉnh S xuống TRUNG ĐIỂM của cạnh đáy, còn cạnh bên SB nối đỉnh S với ĐỈNH của đáy — hai đoạn này khác nhau, trung đoạn luôn ngắn hơn cạnh bên. Trong hình vẽ, trung đoạn là đoạn thẳng "đi vào giữa" một mặt bên, còn cạnh bên là mép ngoài của hình chóp.
Lỗi 2: Nhầm chiều cao h với trung đoạn d.
Nhiều bạn thay h vào công thức Sxq hoặc thay d vào công thức V. Cách tránh: bạn hãy nhớ Sxq cần d (trung đoạn), V cần h (chiều cao) — mỗi công thức dùng đúng một đoạn. Muốn phân biệt nhanh: chiều cao SO là đoạn thẳng ĐỨNG, vuông góc với mặt đáy; trung đoạn SM là đoạn thẳng NGHIÊNG, nằm trên mặt bên.
Lỗi 3: Quên chia 2 khi tính diện tích xung quanh, quên nhân một phần ba khi tính thể tích.
Nhiều bạn tính Sxq bằng p nhân d (quên chia 2) hoặc tính V bằng Sđáy nhân h (quên nhân một phần ba). Cách tránh: bạn hãy nhớ mỗi mặt bên là một TAM GIÁC nên diện tích của nó phải chia 2, và hình chóp chỉ chiếm một phần ba hình hộp cùng đáy cùng chiều cao nên thể tích phải nhân một phần ba. Trước khi ghi đáp số, bạn tự hỏi: "mình đã chia 2 chưa, đã nhân một phần ba chưa?"
Lỗi 4: Nhầm chu vi đáy với nửa chu vi đáy trong công thức Sxq.
Nhiều bạn dùng p là chu vi đáy rồi vẫn nhân với d mà không chia 2, hoặc dùng p là nửa chu vi rồi lại chia 2 thêm lần nữa. Cách tránh: bạn hãy chọn MỘT cách viết và bám theo nó đến cùng: nếu p là chu vi đáy thì Sxq bằng p nhân d chia 2; nếu p là nửa chu vi đáy thì Sxq bằng p nhân d, không chia thêm. Trong bài này, chúng ta dùng p là chu vi đáy nên luôn có phép chia 2.
Lỗi 5: Tính chiều cao bằng công thức sai d² = h² + a².
Nhiều bạn viết d² = h² + a², lấy nguyên cạnh đáy thay vì một nửa cạnh đáy. Cách tránh: bạn hãy nhớ tam giác vuông SOM có cạnh góc vuông OM bằng một nửa cạnh đáy (vì O là tâm hình vuông, M là trung điểm cạnh đáy nên OM bằng a chia 2), do đó hệ thức đúng là d² = h² + (a/2)². Bạn luôn viết (a/2)² chứ không bao giờ viết a² trong hệ thức này.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ phân biệt rõ chiều cao, trung đoạn và cạnh bên trước khi thay số.
Câu 1: Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 4 cm, trung đoạn d bằng 5 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp bằng bao nhiêu?
A. 20 cm²
B. 40 cm²
C. 80 cm²
D. 10 cm²
Câu 2: Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 6 cm, chiều cao h bằng 4 cm. Thể tích của hình chóp bằng bao nhiêu?
A. 144 cm³
B. 24 cm³
C. 48 cm³
D. 96 cm³
Câu 3: Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 10 cm, diện tích xung quanh bằng 60 cm². Trung đoạn d của hình chóp bằng bao nhiêu?
A. 3 cm
B. 6 cm
C. 12 cm
D. 1,5 cm
Câu 4: Hình chóp tứ giác đều có thể tích bằng 32 cm³, diện tích đáy bằng 16 cm². Chiều cao h của hình chóp bằng bao nhiêu?
A. 2 cm
B. 12 cm
C. 8 cm
D. 6 cm
Câu 5: Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 8 cm, trung đoạn d bằng 5 cm. Diện tích toàn phần của hình chóp bằng bao nhiêu?
A. 80 cm²
B. 144 cm²
C. 208 cm²
D. 128 cm²
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | A | D | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Chu vi đáy p bằng 4 nhân 4 bằng 16 cm, trung đoạn d bằng 5 cm, nên Sxq bằng 16 nhân 5 chia 2 bằng 40 cm². Đáp án A sai vì 20 cm² là kết quả khi lấy 16 nhân 5 chia 4 — chia 2 hai lần. Đáp án C sai vì 80 cm² là kết quả khi quên chia 2, lấy 16 nhân 5. Đáp án D sai vì 10 cm² là kết quả khi lấy diện tích một mặt bên chia 2 thêm lần nữa.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Diện tích đáy Sđáy bằng 6 nhân 6 bằng 36 cm², chiều cao h bằng 4 cm, nên V bằng một phần ba nhân 36 nhân 4 bằng 144 chia 3 bằng 48 cm³. Đáp án A sai vì 144 cm³ là tích Sđáy nhân h, quên nhân một phần ba. Đáp án B sai vì 24 cm³ là kết quả khi lấy một phần ba nhân 36 nhân 2 — nhầm chiều cao thành 2. Đáp án D sai vì 96 cm³ là kết quả khi lấy hai phần ba nhân 36 nhân 4.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Chu vi đáy p bằng 4 nhân 10 bằng 40 cm, Sxq bằng p nhân d chia 2 nên 60 bằng 40 nhân d chia 2, tức 60 bằng 20 nhân d, suy ra d bằng 3 cm. Đáp án B sai vì 6 cm là kết quả khi lấy 60 chia 10 — nhầm chu vi đáy thành cạnh đáy. Đáp án C sai vì 12 cm là kết quả khi lấy 60 nhân 40 chia 200. Đáp án D sai vì 1,5 cm là kết quả khi chia 3 thêm cho 2.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: Từ công thức V bằng một phần ba nhân Sđáy nhân h, suy ra h bằng 3 nhân V chia Sđáy, tức h bằng 3 nhân 32 chia 16 bằng 96 chia 16 bằng 6 cm. Đáp án A sai vì 2 cm là kết quả khi lấy V chia Sđáy, quên nhân 3. Đáp án B sai vì 12 cm là kết quả khi lấy 3 nhân V chia 8 — nhầm diện tích đáy thành 8. Đáp án C sai vì 8 cm là kết quả khi lấy V chia 4.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Chu vi đáy p bằng 4 nhân 8 bằng 32 cm, nên Sxq bằng 32 nhân 5 chia 2 bằng 80 cm²; diện tích đáy Sđáy bằng 8 nhân 8 bằng 64 cm²; diện tích toàn phần Stp bằng 80 cộng 64 bằng 144 cm². Đáp án A sai vì 80 cm² mới chỉ là diện tích xung quanh, chưa cộng diện tích đáy. Đáp án C sai vì 208 cm² là kết quả khi cộng thêm diện tích đáy hai lần. Đáp án D sai vì 128 cm² là kết quả khi lấy Sxq bằng 64 cộng Sđáy bằng 64.
Câu hỏi thường gặp về hình chóp tứ giác đều
Hỏi: Vì sao diện tích xung quanh lại bằng p nhân d chia 2?
Đáp: Vì bốn mặt bên là bốn tam giác cân bằng nhau, mỗi mặt có đáy là một cạnh đáy và đường cao là trung đoạn d. Diện tích một mặt bên bằng một nửa tích của cạnh đáy với d. Cộng bốn mặt lại, tổng các cạnh đáy thành chu vi đáy p, nên tổng diện tích bằng p nhân d chia 2. Phép chia 2 xuất phát từ công thức diện tích tam giác.
Hỏi: Vì sao thể tích hình chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân chiều cao?
Đáp: Vì một hình hộp có cùng diện tích đáy và cùng chiều cao chứa đúng ba hình chóp như thế. Bạn có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm: đổ cát đầy hình chóp rồi trút vào hình hộp cùng đáy cùng chiều cao, bạn phải đổ đúng ba lần mới đầy hộp. Đây là tính chất chung của mọi hình chóp, không riêng gì chóp tứ giác đều.
Hỏi: Trung đoạn, chiều cao và cạnh bên khác nhau thế nào?
Đáp: Chiều cao h là đoạn SO nối đỉnh với tâm đáy, vuông góc với mặt đáy. Trung đoạn d là đoạn SM nối đỉnh với trung điểm một cạnh đáy, nằm trên mặt bên. Cạnh bên là đoạn SB nối đỉnh với một đỉnh của đáy, là mép ngoài của hình chóp. Trong ba đoạn, cạnh bên dài nhất, trung đoạn ở giữa, chiều cao ngắn nhất.
Hỏi: Khi nào dùng công thức Sxq bằng p nhân d, khi nào dùng Sxq bằng p nhân d chia 2?
Đáp: Cả hai đều đúng, chỉ khác nhau ở ý nghĩa của p. Nếu p là nửa chu vi đáy thì Sxq bằng p nhân d. Nếu p là chu vi đáy thì Sxq bằng p nhân d chia 2. Bạn chỉ cần nhớ mình đang dùng p theo nghĩa nào và áp dụng đúng một công thức, đừng trộn lẫn hai cách viết trong cùng một bài.
Hỏi: Hình chóp tứ giác đều có phải lúc nào đáy cũng là hình vuông không?
Đáp: Đúng vậy, theo định nghĩa, hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông và chân đường cao trùng với tâm của đáy. Nếu đáy chỉ là hình chữ nhật không phải hình vuông, hoặc chân đường cao lệch khỏi tâm đáy, thì đó không còn là hình chóp tứ giác đều và công thức Sxq bằng p nhân d chia 2 không còn áp dụng được — bạn phải tính diện tích từng mặt bên rồi cộng lại.
Kết luận
Hình chóp tứ giác đều gói gọn trong hai công thức: Sxq bằng p nhân d chia 2 và V bằng một phần ba nhân Sđáy nhân h, nối với nhau bằng hệ thức d² = h² + (a/2)². Bạn hãy nhớ ba điều: trung đoạn khác chiều cao và khác cạnh bên, diện tích xung quanh không tính đáy, và thể tích luôn có thừa số một phần ba. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính diện tích mái chóp, thể tích lều trại hay bất kì khối chóp tứ giác đều nào — và cũng hiểu vì sao người xưa xây kim tự tháp lại chọn đúng hình dạng này: vừa vững chãi, vừa tiết kiệm vật liệu một cách đáng ngạc nhiên.