Bạn chụp một bức ảnh, rồi phóng to nó gấp đôi trên màn hình điện thoại. Mọi đường nét vẫn y nguyên, chỉ lớn hơn — khuôn mặt không bị méo, ngôi nhà không bị lùn đi. Bạn mở bản đồ, thu nhỏ cả thành phố vào một tờ giấy, các con đường vẫn giữ đúng hình dạng, chỉ ngắn lại theo cùng một tỉ lệ. Hiện tượng "giữ nguyên hình dạng, chỉ đổi kích thước" này có một cái tên trong Toán 8: hai hình đồng dạng phối cảnh. Và con số quyết định mọi sự thay đổi kích thước ấy gọi là tỉ số đồng dạng k.
Trong bài viết này, bạn sẽ hiểu hình đồng dạng phối cảnh là gì, tỉ số đồng dạng k được tính ra sao, và vì sao độ dài, chu vi thì gấp k lần nhưng diện tích lại gấp k² lần. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước, tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn phân biệt được đồng dạng với bằng nhau và biết khi nào hai hình chỉ giống nhau về hình dạng mà không giống nhau về kích thước.
Tỉ số đồng dạng của hai hình đồng dạng phối cảnh là gì?
Hai hình được gọi là đồng dạng phối cảnh khi một hình là ảnh phóng to hoặc thu nhỏ của hình kia theo cùng một tỉ lệ từ một điểm cố định gọi là tâm phối cảnh. Hãy tưởng tượng bạn đặt một ngọn đèn tại điểm O rồi chiếu bóng của một hình lên bức tường phía sau: bóng của hình trên tường chính là hình đồng dạng phối cảnh của hình gốc, với tâm phối cảnh là ngọn đèn. Nếu gọi hình gốc là H và hình ảnh là H′, tỉ số giữa một đoạn thẳng bất kì trên hình ảnh và đoạn thẳng tương ứng trên hình gốc là một hằng số, kí hiệu là k, gọi là tỉ số đồng dạng. Ví dụ, với hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật A′B′C′D′ đồng dạng phối cảnh, ta có A′B′ chia AB bằng B′C′ chia BC bằng C′D′ chia CD bằng D′A′ chia DA bằng k.
Tỉ số đồng dạng k quyết định mọi sự thay đổi kích thước giữa hai hình. Nếu k lớn hơn 1, hình ảnh là bản phóng to của hình gốc; nếu k nhỏ hơn 1, hình ảnh là bản thu nhỏ; nếu k bằng 1, hai hình bằng nhau. Cụ thể hơn, mọi độ dài trên hình ảnh đều gấp k lần độ dài tương ứng trên hình gốc — cạnh gấp k lần, đường cao gấp k lần, đường chéo cũng gấp k lần. Chu vi, vì là tổng các độ dài, cũng gấp k lần. Nhưng diện tích thì khác: diện tích là tích của hai độ dài, mỗi độ dài gấp k lần nên diện tích gấp k nhân k, tức k² lần. Đây chính là điểm mấu chốt của bài này: với k bằng 2, chu vi gấp 2 lần nhưng diện tích gấp 4 lần; với k bằng 3, chu vi gấp 3 lần nhưng diện tích gấp 9 lần. Nếu đổi vai hai hình cho nhau, tỉ số đồng dạng đổi thành nghịch đảo 1 chia k — hình lớn so với hình nhỏ có tỉ số k thì hình nhỏ so với hình lớn có tỉ số 1 chia k.
Hai hình H và H′ được gọi là đồng dạng (không nhất thiết phải là đồng dạng phối cảnh) nếu có một hình đồng dạng phối cảnh của H bằng H′ — tức là sau khi phóng to hoặc thu nhỏ H theo tỉ số k rồi di chuyển, xoay hoặc lật hình, ta được đúng H′. Nói cách khác, hai hình đồng dạng là hai hình có cùng hình dạng, chỉ khác nhau về kích thước. Hai tam giác đồng dạng cũng tuân theo quy luật này: các góc tương ứng bằng nhau từng đôi một, các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau theo tỉ số k, chu vi tỉ lệ k và diện tích tỉ lệ k². Khi cần tính nhanh chu vi và diện tích của hình đồng dạng, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Kiến thức về tỉ số đồng dạng là nền tảng để bạn học tiếp ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác — cạnh-cạnh-cạnh, cạnh-góc-cạnh và góc-góc — trong đó chỉ cần kiểm tra một vài cặp cạnh hoặc góc là đủ để kết luận hai tam giác đồng dạng. Muốn xem trường hợp chỉ cần hai góc bằng nhau là đủ, bạn hãy đọc bài công thức trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác (góc–góc) — ở đó, tỉ số đồng dạng k cũng xuất hiện ngay sau khi hai tam giác được chứng minh là đồng dạng.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Hai hình chữ nhật đồng dạng phối cảnh với tỉ số đồng dạng k bằng 2. Hình nhỏ có chu vi bằng 14 cm và diện tích bằng 12 cm². Tính chu vi và diện tích của hình lớn, rồi kiểm chứng bằng cách tính trực tiếp từ các cạnh.
Bạn tính chu vi hình lớn trước: chu vi gấp k lần nên chu vi hình lớn bằng 14 nhân 2 bằng 28 cm. Bạn tính diện tích hình lớn: diện tích gấp k² lần, k² bằng 4, nên diện tích hình lớn bằng 12 nhân 4 bằng 48 cm². Bạn kiểm chứng bằng cách tính trực tiếp: hình nhỏ có cạnh 3 cm và 4 cm (chu vi 14 cm, diện tích 12 cm² đúng như đề bài), hình lớn có các cạnh gấp 2 lần là 6 cm và 8 cm, chu vi bằng 2 nhân (6 cộng 8) bằng 28 cm, diện tích bằng 6 nhân 8 bằng 48 cm² — khớp hoàn toàn với kết quả vừa tính. Bạn hãy để ý: chu vi chỉ gấp 2 lần nhưng diện tích gấp tới 4 lần, vì diện tích là tích của hai độ dài, mỗi độ dài gấp 2 lần nên tích gấp 2 nhân 2 bằng 4 lần.
Ví dụ 2 (tỉ số k bằng 3): Một tam giác có một cạnh bằng 5 cm và diện tích bằng 10 cm². Tam giác đồng dạng phối cảnh với nó theo tỉ số k bằng 3 có cạnh tương ứng và diện tích bằng bao nhiêu?
Bạn tính cạnh tương ứng: độ dài gấp k lần nên cạnh tương ứng bằng 5 nhân 3 bằng 15 cm. Bạn tính diện tích: diện tích gấp k² lần, k² bằng 9, nên diện tích tam giác mới bằng 10 nhân 9 bằng 90 cm². Bạn kiểm tra: nếu tam giác gốc có cạnh đáy 5 cm và chiều cao tương ứng 4 cm thì diện tích bằng một nửa nhân 5 nhân 4 bằng 10 cm²; tam giác mới có cạnh đáy 15 cm và chiều cao 12 cm, diện tích bằng một nửa nhân 15 nhân 12 bằng 90 cm² — khớp. Bạn hãy để ý: với k bằng 3, diện tích tăng tới 9 lần, gần gấp ba lần mức tăng của chu vi — càng phóng to nhiều, diện tích càng tăng nhanh hơn chu vi rất nhiều.
Ví dụ 3 (tỉ số k nhỏ hơn 1 — thu nhỏ): Một hình vuông có cạnh bằng 8 cm và diện tích bằng 64 cm². Hình đồng dạng phối cảnh với nó theo tỉ số k bằng một phần hai có cạnh và diện tích bằng bao nhiêu?
Bạn tính cạnh hình mới: độ dài gấp k lần nên cạnh mới bằng 8 nhân một phần hai bằng 4 cm. Bạn tính diện tích hình mới: diện tích gấp k² lần, k² bằng một phần tư, nên diện tích mới bằng 64 nhân một phần tư bằng 16 cm². Bạn kiểm tra: hình vuông cạnh 4 cm có diện tích bằng 4 nhân 4 bằng 16 cm² — khớp. Bạn hãy để ý: thu nhỏ một nửa cạnh thì diện tích chỉ còn một phần tư, tức giảm tới 75% — đây là lí do vì sao in một bức ảnh nhỏ lại chỉ tốn một phần tư lượng mực so với in ảnh gấp đôi kích thước.
Ví dụ 4 (tìm tỉ số k rồi tính ngược diện tích): Hai hình đồng dạng phối cảnh có hai cạnh tương ứng là A′B′ bằng 9 cm và AB bằng 6 cm. Biết diện tích của hình lớn bằng 36 cm², tính diện tích của hình nhỏ.
Bạn tìm tỉ số đồng dạng trước: k bằng A′B′ chia AB bằng 9 chia 6 bằng 3 chia 2, tức 1,5. Bạn lập quan hệ diện tích: diện tích hình lớn gấp k² lần diện tích hình nhỏ, k² bằng 9 chia 4, nên diện tích hình nhỏ bằng diện tích hình lớn chia cho k², tức 36 chia 9 nhân 4 bằng 16 cm². Bạn kiểm tra: hình nhỏ có diện tích 16 cm², nhân với k² bằng 9 chia 4 cho ra 16 nhân 9 chia 4 bằng 36 cm² — khớp với diện tích hình lớn. Bạn hãy để ý: bài này cho cạnh tương ứng để tìm k trước, rồi mới dùng k² để tính diện tích — thứ tự "tìm k rồi mới tính diện tích" là chìa khóa của dạng bài tính ngược.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cho rằng diện tích cũng gấp k lần như chu vi.
Nhiều bạn tính diện tích hình mới bằng diện tích hình cũ nhân k. Cách tránh: bạn hãy nhớ diện tích là tích của HAI độ dài, mỗi độ dài gấp k lần nên diện tích gấp k nhân k bằng k² lần. Bạn tự nhắc mình bằng câu thần chú: "dài gấp k, chu vi gấp k, diện tích gấp k bình phương".
Lỗi 2: Nhầm tỉ số đồng dạng k với nghịch đảo 1 chia k.
Nhiều bạn lấy AB chia A′B′ thay vì A′B′ chia AB, hoặc dùng k của hình nhỏ so với hình lớn để tính diện tích hình lớn. Cách tránh: bạn hãy xác định rõ "hình nào so với hình nào" trước khi tính — k bằng cạnh của hình ĐANG XÉT chia cho cạnh của hình GỐC. Nếu đề hỏi hình lớn từ hình nhỏ thì k lớn hơn 1; nếu hỏi hình nhỏ từ hình lớn thì k nhỏ hơn 1.
Lỗi 3: Chỉ kiểm tra một cặp cạnh rồi kết luận hai hình đồng dạng.
Nhiều bạn thấy một cặp cạnh tỉ lệ bằng 2 rồi kết luận hai hình đồng dạng. Cách tránh: bạn hãy nhớ tỉ số đồng dạng yêu cầu MỌI cặp cạnh tương ứng đều có cùng một tỉ số k, và các góc tương ứng phải bằng nhau. Chỉ một cặp cạnh tỉ lệ là chưa đủ — phải kiểm tra tất cả các cặp cạnh và các góc.
Lỗi 4: Quên rằng các góc tương ứng của hai hình đồng dạng bằng nhau.
Nhiều bạn chỉ chú ý tới độ dài mà quên mất góc. Cách tránh: bạn hãy nhớ đồng dạng nghĩa là CÙNG HÌNH DẠNG — góc nào cũng giữ nguyên số đo, chỉ có độ dài thay đổi. Nếu hai hình có một cặp góc tương ứng khác nhau thì chúng không thể đồng dạng, dù các cạnh có tỉ lệ đẹp đến đâu.
Lỗi 5: Nhầm đồng dạng với bằng nhau.
Nhiều bạn cho rằng hai hình đồng dạng thì phải có kích thước bằng nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ bằng nhau là trường hợp RIÊNG của đồng dạng khi k bằng 1. Hai hình đồng dạng có thể khác nhau về kích thước rất nhiều — một con tem và một tấm áp phích cùng hình ảnh là đồng dạng nhưng không bằng nhau. Ngược lại, hai hình bằng nhau thì luôn đồng dạng với k bằng 1.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ phân biệt rõ chu vi gấp k lần và diện tích gấp k² lần.
Câu 1: Hai hình đồng dạng phối cảnh với tỉ số đồng dạng k bằng 2. Chu vi của hình lớn gấp chu vi của hình nhỏ bao nhiêu lần?
A. 4 lần
B. 2 lần
C. 1 lần
D. 8 lần
Câu 2: Hai hình đồng dạng phối cảnh với tỉ số đồng dạng k bằng 3. Diện tích của hình lớn gấp diện tích của hình nhỏ bao nhiêu lần?
A. 3 lần
B. 6 lần
C. 9 lần
D. 27 lần
Câu 3: Hai hình đồng dạng phối cảnh có hai cạnh tương ứng là A′B′ bằng 10 cm và AB bằng 4 cm. Tỉ số đồng dạng k của hình lớn so với hình nhỏ bằng bao nhiêu?
A. 0,4
B. 2,5
C. 5
D. 4
Câu 4: Một hình có diện tích bằng 20 cm². Hình đồng dạng phối cảnh với nó theo tỉ số k bằng một phần hai có diện tích bằng bao nhiêu?
A. 5 cm²
B. 10 cm²
C. 40 cm²
D. 2,5 cm²
Câu 5: Hai hình đồng dạng phối cảnh với tỉ số đồng dạng k bằng 3. Chu vi của hình lớn bằng 30 cm. Chu vi của hình nhỏ bằng bao nhiêu?
A. 90 cm
B. 3 cm
C. 30 cm
D. 10 cm
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | B | A | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Chu vi là tổng các độ dài, mỗi độ dài gấp k bằng 2 lần nên chu vi gấp 2 lần. Đáp án A sai vì 4 lần là tỉ số diện tích (k² bằng 4), không phải tỉ số chu vi. Đáp án C sai vì 1 lần chỉ đúng khi k bằng 1, tức hai hình bằng nhau. Đáp án D sai vì 8 lần là k³, không có đại lượng nào trong bài gấp k³ lần.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Diện tích gấp k² lần, k² bằng 3² bằng 9, nên diện tích hình lớn gấp 9 lần diện tích hình nhỏ. Đáp án A sai vì 3 lần là tỉ số chu vi, không phải tỉ số diện tích. Đáp án B sai vì 6 lần là kết quả khi lấy k nhân 2 — không có công thức nào như vậy. Đáp án D sai vì 27 lần là k³, không phải k².
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Tỉ số đồng dạng k bằng A′B′ chia AB bằng 10 chia 4 bằng 2,5. Đáp án A sai vì 0,4 là nghịch đảo 1 chia k, tức tỉ số của hình nhỏ so với hình lớn. Đáp án C sai vì 5 là kết quả khi lấy 10 chia 2. Đáp án D sai vì 4 là độ dài cạnh AB, không phải tỉ số.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Diện tích gấp k² lần, k² bằng một phần tư, nên diện tích hình mới bằng 20 nhân một phần tư bằng 5 cm². Đáp án B sai vì 10 cm² là kết quả khi lấy diện tích nhân k (một phần hai) thay vì nhân k². Đáp án C sai vì 40 cm² là kết quả khi lấy diện tích chia k thay vì nhân k². Đáp án D sai vì 2,5 cm² là kết quả khi lấy diện tích nhân một phần tám.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: Chu vi hình lớn gấp k bằng 3 lần chu vi hình nhỏ, nên chu vi hình nhỏ bằng 30 chia 3 bằng 10 cm. Đáp án A sai vì 90 cm là kết quả khi lấy 30 nhân 3 — nhầm chiều của tỉ số. Đáp án B sai vì 3 cm là chính tỉ số k, không phải chu vi. Đáp án C sai vì 30 cm là chu vi hình lớn, không phải hình nhỏ.
Câu hỏi thường gặp về tỉ số đồng dạng
Hỏi: Vì sao diện tích lại gấp k² lần mà chu vi chỉ gấp k lần?
Đáp: Vì chu vi là tổng của các độ dài, mỗi độ dài gấp k lần nên tổng cũng gấp k lần. Còn diện tích là tích của hai độ dài, ví dụ dài nhân rộng, mỗi thừa số gấp k lần nên tích gấp k nhân k bằng k² lần. Bạn có thể hình dung: phóng to một hình vuông gấp đôi cạnh thì bạn cần tới 4 hình vuông nhỏ mới lấp đầy hình vuông lớn.
Hỏi: Tỉ số đồng dạng k có thể nhỏ hơn 1 không?
Đáp: Có, khi hình ảnh là bản thu nhỏ của hình gốc. Ví dụ, bản đồ thu nhỏ một thành phố theo tỉ số k bằng một phần mười nghìn — mọi độ dài trên bản đồ chỉ bằng một phần mười nghìn độ dài thực tế. Khi đó diện tích trên bản đồ chỉ bằng một phần một trăm triệu diện tích thực tế, vì k² bằng một phần một trăm triệu.
Hỏi: Hai hình bằng nhau có phải là hai hình đồng dạng không?
Đáp: Có, hai hình bằng nhau là trường hợp riêng của hai hình đồng dạng với tỉ số k bằng 1. Khi k bằng 1, mọi độ dài bằng nhau, chu vi bằng nhau và diện tích cũng bằng nhau (k² bằng 1). Ngược lại, hai hình đồng dạng chưa chắc đã bằng nhau — chúng chỉ bằng nhau khi k bằng 1.
Hỏi: Làm sao để biết hai hình có đồng dạng với nhau hay không?
Đáp: Bạn kiểm tra hai điều kiện: các góc tương ứng phải bằng nhau từng đôi một, và các cạnh tương ứng phải tỉ lệ với nhau theo cùng một tỉ số k. Cả hai điều kiện đều cần thiết — chỉ góc bằng nhau mà cạnh không tỉ lệ, hoặc chỉ cạnh tỉ lệ mà góc khác nhau, thì hai hình đều không đồng dạng.
Hỏi: Tỉ số đồng dạng có ứng dụng gì trong đời sống?
Đáp: Rất nhiều. Bản đồ dùng tỉ số đồng dạng để thu nhỏ địa hình, kiến trúc sư dùng mô hình thu nhỏ để hình dung tòa nhà, nhiếp ảnh gia phóng to ảnh mà không làm méo hình, và các nhà làm phim dùng mô hình thu nhỏ để quay cảnh cháy nổ an toàn. Trong tất cả các trường hợp đó, hình dạng được giữ nguyên còn kích thước thay đổi theo đúng tỉ số k.
Kết luận
Tỉ số đồng dạng k gói gọn trong một quy luật: độ dài gấp k lần, chu vi gấp k lần, diện tích gấp k² lần. Bạn hãy nhớ ba điều: k là tỉ số của hai đoạn thẳng tương ứng, diện tích luôn đi với k² chứ không phải k, và đồng dạng là cùng hình dạng chứ chưa chắc cùng kích thước. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính kích thước của bất kì hình phóng to hay thu nhỏ nào — từ bức ảnh trên điện thoại tới tấm bản đồ cả thành phố.