Trường hợp đồng dạng thứ ba (góc–góc): ví dụ lớp 8

Bạn đứng dưới một cây cổ thụ và muốn biết nó cao bao nhiêu, nhưng bạn không có thang, không có dây đo, chỉ có một cây cọc dài 1,5 m và một chiếc thước dây để đo bóng nắng. Bạn cắm cọc xuống đất, đo bóng của cọc dài 2 m, rồi đo bóng của cây dài 12 m — và chỉ với hai con số đó, bạn tính được cây cao 9 m. Vì sao một phép đo bóng nắng lại cho ra chiều cao thật? Vì tam giác tạo bởi cọc và bóng của nó đồng dạng với tam giác tạo bởi cây và bóng của nó, theo một trường hợp đồng dạng chỉ cần hai góc bằng nhau: trường hợp góc–góc.

Trong bài viết này, bạn sẽ hiểu trường hợp đồng dạng thứ ba (góc–góc) từ gốc: vì sao chỉ cần hai cặp góc tương ứng bằng nhau là đủ để kết luận hai tam giác đồng dạng, góc thứ ba tự động bằng nhau ra sao, và cách dùng trường hợp này để đo chiều cao gián tiếp trong đời sống. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước, tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn phân biệt rõ góc–góc với hai trường hợp đồng dạng còn lại. Bài này chỉ viết về trường hợp thứ ba góc–góc; hai trường hợp cạnh–cạnh–cạnh và cạnh–góc–cạnh đã có bài riêng trên ClassOn, bạn chỉ cần nhớ chúng tồn tại, không cần học lại ở đây.

Trường hợp đồng dạng thứ ba (góc–góc) là gì?

Trường hợp đồng dạng thứ ba (góc–góc) phát biểu như sau: nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. Kí hiệu: nếu  = Â', B̂ = B̂' thì tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'. Bạn hãy để ý: định lí chỉ đòi hỏi hai cặp góc bằng nhau, không đòi hỏi bất kì điều kiện nào về cạnh — đó là điểm làm cho trường hợp góc–góc trở thành trường hợp dễ áp dụng nhất trong ba trường hợp đồng dạng, vì trong thực tế, góc thường dễ đo và dễ so sánh hơn cạnh.

Vì sao chỉ cần hai góc bằng nhau là đủ? Vì tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180°, nên khi hai góc đã bằng nhau từng đôi một thì góc thứ ba cũng tự động bằng nhau: Ĉ = 180° − Â − B̂ và Ĉ' = 180° − Â' − B̂', mà Â = Â' và B̂ = B̂' nên Ĉ = Ĉ'. Ba cặp góc tương ứng đều bằng nhau, hai tam giác có cùng hình dạng, chỉ khác nhau về kích thước — đó chính là bản chất của hai tam giác đồng dạng. Khi hai tam giác đồng dạng, các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau theo cùng một tỉ số k, và tỉ số chu vi của hai tam giác cũng bằng k. Bạn có thể kiểm chứng nhanh mọi phép tính tỉ số bằng máy tính Casio online trên ClassOn mỗi khi làm bài tập về nhà.

Bạn cần phân biệt rõ trường hợp góc–góc với hai trường hợp còn lại. Trường hợp thứ nhất cạnh–cạnh–cạnh đòi hỏi ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia; trường hợp thứ hai cạnh–góc–cạnh đòi hỏi hai cạnh tỉ lệ và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau. Cả hai trường hợp đó đều cần đo cạnh, còn trường hợp góc–góc chỉ cần so sánh góc. Vì vậy, khi đề bài chỉ cho góc — chẳng hạn hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau, hay bài toán đo chiều cao bằng bóng nắng — bạn nghĩ ngay tới trường hợp góc–góc. Ngược lại, nếu đề bài cho độ dài các cạnh mà không cho góc, bạn dùng cạnh–cạnh–cạnh hoặc cạnh–góc–cạnh. Một trường hợp đặc biệt rất hay gặp: hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng với nhau, vì góc vuông đã là một cặp góc bằng nhau sẵn có, cộng thêm góc nhọn bằng nhau là đủ hai cặp góc — chi tiết này bạn sẽ gặp lại trong bài các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông.

Khi viết hai tam giác đồng dạng, bạn phải viết đúng thứ tự các đỉnh tương ứng, vì thứ tự đó cho biết cạnh nào tỉ lệ với cạnh nào. Ví dụ, tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo thứ tự A tương ứng với D, B tương ứng với E, C tương ứng với F, thì AB/DE = BC/EF = CA/FD. Nếu bạn viết sai thứ tự, tỉ số cạnh sẽ sai theo, và mọi phép tính độ dài sau đó đều sai. Một mẹo nhỏ: bạn hãy xếp các góc bằng nhau vào đúng vị trí tương ứng trước khi viết kí hiệu đồng dạng, rồi mới viết tỉ số các cạnh theo đúng thứ tự đó.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng 50° và 70°. Chứng minh hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Bạn gọi hai tam giác là tam giác ABC và tam giác DEF, với  = D̂ = 50° và B̂ = Ê = 70°. Bạn tính góc thứ ba của mỗi tam giác nhờ tổng ba góc bằng 180°: Ĉ = 180° − 50° − 70° = 60°, và F̂ = 180° − 50° − 70° = 60°. Bạn thấy hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau (50° và 70°), nên theo trường hợp đồng dạng thứ ba (góc–góc), hai tam giác đồng dạng với nhau. Bạn hãy để ý: góc thứ ba của cả hai tam giác đều bằng 60°, nên thực ra ba cặp góc tương ứng đều bằng nhau — nhưng định lí chỉ cần hai cặp là đủ, cặp thứ ba là hệ quả tự động của tổng 180°.

Ví dụ 2 (tính độ dài nhờ tỉ số đồng dạng): Tam giác ABC có Â = 40°, B̂ = 75°; tam giác DEF có D̂ = 40°, Ê = 75°. Biết AB = 6 cm, DE = 3 cm, BC = 10 cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi tính EF.
Bạn kiểm tra điều kiện góc–góc: Â = D̂ = 40° và B̂ = Ê = 75°, hai cặp góc tương ứng bằng nhau nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo trường hợp góc–góc. Bạn tính góc thứ ba để kiểm tra thêm: Ĉ = 180° − 40° − 75° = 65°, F̂ = 180° − 40° − 75° = 65° — bằng nhau, đúng như dự đoán. Bạn tính tỉ số đồng dạng: k = AB/DE = 6/3 = 2. Bạn tính EF nhờ tỉ số cạnh tương ứng: BC/EF = k = 2, nên EF = BC/2 = 10/2 = 5 cm. Bạn kiểm tra: AB/DE = 6/3 = 2, BC/EF = 10/5 = 2 — hai tỉ số bằng nhau, khớp. Bạn hãy để ý: khi đã biết hai tam giác đồng dạng, mọi cặp cạnh tương ứng đều có cùng một tỉ số, nên chỉ cần một cặp cạnh đã biết là tính được mọi cạnh còn lại.

Ví dụ 3 (đo chiều cao gián tiếp bằng bóng nắng): Một cây cọc cao 1,5 m cắm thẳng đứng trên mặt đất, bóng của cọc dài 2 m. Cùng lúc đó, bóng của một cây cổ thụ dài 12 m. Tính chiều cao của cây, biết tia nắng mặt trời song song với nhau.
Bạn vẽ hai tam giác vuông: tam giác tạo bởi cọc, bóng của cọc và tia nắng; tam giác tạo bởi cây, bóng của cây và tia nắng. Bạn xét hai góc của hai tam giác: cả hai tam giác đều vuông tại chân cọc và chân cây (cọc và cây đều thẳng đứng, mặt đất nằm ngang), nên có một cặp góc vuông bằng nhau; các tia nắng song song với nhau nên góc tạo bởi tia nắng với mặt đất ở hai nơi bằng nhau — đó là cặp góc thứ hai bằng nhau. Bạn kết luận hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc–góc. Bạn lập tỉ số: chiều cao cây chia cho chiều cao cọc bằng bóng cây chia cho bóng cọc, tức chiều cao cây/1,5 = 12/2 = 6. Bạn tính: chiều cao cây = 1,5 × 6 = 9 m. Bạn kiểm tra: 9/1,5 = 6 và 12/2 = 6 — hai tỉ số bằng nhau, khớp. Bạn hãy để ý: cách đo này chính là cách nhà toán học Ta-lét dùng để đo chiều cao kim tự tháp cách đây hơn 2.500 năm, và nó chỉ dùng tới trường hợp góc–góc mà không cần leo lên cây hay dùng thang.

Ví dụ 4 (tìm cạnh khi biết góc và tỉ số): Tam giác ABC có B̂ = 55°, Ĉ = 65°; tam giác MNP có N̂ = 55°, P̂ = 65°. Biết BC = 10 cm, NP = 5 cm, AB = 8 cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi tính MN.
Bạn kiểm tra điều kiện góc–góc: B̂ = N̂ = 55° và Ĉ = P̂ = 65°, hai cặp góc tương ứng bằng nhau nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo trường hợp góc–góc. Bạn tính góc còn lại để kiểm tra: Â = 180° − 55° − 65° = 60°, M̂ = 180° − 55° − 65° = 60° — bằng nhau. Bạn tính tỉ số đồng dạng: k = BC/NP = 10/5 = 2. Bạn tính MN nhờ tỉ số cạnh tương ứng: AB/MN = k = 2, nên MN = AB/2 = 8/2 = 4 cm. Bạn kiểm tra: AB/MN = 8/4 = 2, BC/NP = 10/5 = 2 — khớp. Bạn hãy để ý: bạn phải đối chiếu đúng cạnh tương ứng — BC tương ứng với NP vì cùng nằm giữa hai góc 55° và 65°, còn AB tương ứng với MN vì cùng nằm giữa góc 60° và góc 55° — viết sai thứ tự đỉnh là sai tỉ số ngay.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Chỉ có một cặp góc bằng nhau mà đã kết luận đồng dạng.
Nhiều bạn thấy hai tam giác có một góc 50° bằng nhau thì kết luận ngay hai tam giác đồng dạng. Cách tránh: bạn hãy nhớ trường hợp góc–góc đòi hỏi HAI cặp góc tương ứng bằng nhau; một cặp góc bằng nhau chưa đủ, trừ khi đó là hai tam giác vuông (vì góc vuông là cặp góc bằng nhau thứ hai có sẵn).

Lỗi 2: So sánh góc không tương ứng.
Nhiều bạn thấy tam giác này có góc 50°, tam giác kia có góc 60° rồi vẫn kết luận đồng dạng vì "đều có góc nhọn". Cách tránh: bạn hãy đối chiếu từng cặp góc theo đúng thứ tự tương ứng — góc 50° chỉ tương ứng với góc 50°, góc 70° chỉ tương ứng với góc 70°; hai góc khác số đo thì không phải là một cặp góc bằng nhau.

Lỗi 3: Quên góc thứ ba tự động bằng nhau.
Nhiều bạn tính góc thứ ba của hai tam giác ra hai số khác nhau rồi hoang mang, không biết có đồng dạng hay không. Cách tránh: bạn hãy nhớ nếu hai cặp góc đã bằng nhau thì góc thứ ba NHẤT ĐỊNH bằng nhau vì tổng ba góc đều bằng 180°; nếu bạn tính ra hai số khác nhau thì chắc chắn bạn đã tính nhầm một phép trừ, hãy tính lại.

Lỗi 4: Nhầm đồng dạng với bằng nhau.
Nhiều bạn thấy hai tam giác đồng dạng theo góc–góc thì kết luận các cạnh của chúng bằng nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ đồng dạng chỉ có nghĩa là cùng hình dạng, các cạnh tương ứng TỈ LỆ với nhau chứ không bằng nhau; chỉ khi tỉ số đồng dạng k = 1 thì hai tam giác mới bằng nhau. Trong Ví dụ 2, AB = 6 cm còn DE = 3 cm — hai tam giác đồng dạng nhưng không bằng nhau.

Lỗi 5: Viết sai thứ tự đỉnh khi viết tỉ số cạnh.
Nhiều bạn viết tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF nhưng lại lập tỉ số AB/EF. Cách tránh: bạn hãy viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng ngay từ đầu — đỉnh nào tương ứng với đỉnh nào thì xếp đúng vị trí đó — rồi mới lập tỉ số: cạnh thứ nhất của tam giác này chia cho cạnh thứ nhất của tam giác kia, theo đúng thứ tự đã viết.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra đủ hai cặp góc tương ứng bằng nhau trước khi kết luận đồng dạng.

Câu 1: Trường hợp đồng dạng thứ ba (góc–góc) phát biểu như thế nào?
A. Hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng
B. Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng
C. Hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau
D. Một góc của tam giác này bằng một góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng

Câu 2: Tam giác ABC có Â = 50°, B̂ = 70°; tam giác MNP có M̂ = 50°, N̂ = 60°. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc–góc
B. Chưa đủ điều kiện để kết luận hai tam giác đồng dạng
C. Hai tam giác bằng nhau
D. Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh–cạnh–cạnh

Câu 3: Một cây cọc cao 1,5 m có bóng dài 2 m. Cùng lúc đó, bóng của một cây dài 12 m. Chiều cao của cây là bao nhiêu?
A. 6 m
B. 8 m
C. 9 m
D. 18 m

Câu 4: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo trường hợp góc–góc. Biết AB = 6 cm, DE = 3 cm, BC = 10 cm. Độ dài EF bằng bao nhiêu?
A. 8 cm
B. 6 cm
C. 10 cm
D. 5 cm

Câu 5: Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì cặp góc thứ ba của chúng như thế nào?
A. Cũng bằng nhau
B. Hơn kém nhau 10°
C. Cộng lại bằng 180°
D. Không xác định được

Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Trường hợp góc–góc phát biểu: nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. Đáp án B sai vì đó là trường hợp cạnh–cạnh–cạnh. Đáp án C sai vì đó là trường hợp bằng nhau cạnh–góc–cạnh, không phải đồng dạng. Đáp án D sai vì một cặp góc bằng nhau chưa đủ để kết luận đồng dạng.

Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Góc thứ ba của tam giác ABC bằng 180° − 50° − 70° = 60°, còn góc thứ ba của tam giác MNP bằng 180° − 50° − 60° = 70°; vậy hai tam giác có tới hai cặp góc tương ứng bằng nhau (Â = M̂ = 50° và Ĉ = N̂ = 60°), đủ điều kiện đồng dạng theo trường hợp góc–góc. Đáp án B sai vì tuy đề bài chỉ cho trước một cặp góc bằng nhau, góc thứ ba của mỗi tam giác tính được từ tổng ba góc bằng 180° nên thực ra có hai cặp góc bằng nhau. Đáp án C sai vì không có dữ kiện nào về cạnh bằng nhau. Đáp án D sai vì đề bài không cho độ dài ba cạnh tỉ lệ để kết luận theo cạnh–cạnh–cạnh.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: Hai tam giác tạo bởi cọc và cây đồng dạng theo góc–góc nên chiều cao cây/1,5 = 12/2 = 6, suy ra chiều cao cây = 1,5 × 6 = 9 m. Đáp án A sai vì 6 m là kết quả khi lấy 12 chia 2 mà quên nhân với chiều cao cọc. Đáp án B sai vì 8 m không có phép tính nào cho ra. Đáp án D sai vì 18 m là kết quả khi nhân nhầm 1,5 × 12 mà quên chia cho bóng của cọc.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: Tỉ số đồng dạng k = AB/DE = 6/3 = 2, nên BC/EF = 2, suy ra EF = BC/2 = 10/2 = 5 cm. Đáp án A sai vì 8 cm không liên quan tới tỉ số nào. Đáp án B sai vì 6 cm là độ dài AB đã cho. Đáp án C sai vì 10 cm là độ dài BC đã cho, không phải EF.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Vì tổng ba góc của mỗi tam giác đều bằng 180°, nên khi hai cặp góc đã bằng nhau thì góc thứ ba cũng bằng nhau: 180° trừ đi hai góc đã biết cho cùng một kết quả ở cả hai tam giác. Đáp án B sai vì không có quy luật nào nói hai góc thứ ba hơn kém nhau 10°. Đáp án C sai vì 180° là tổng ba góc của một tam giác, không phải tổng hai góc thứ ba. Đáp án D sai vì góc thứ ba hoàn toàn xác định được.

Câu hỏi thường gặp về trường hợp đồng dạng góc–góc

Hỏi: Vì sao chỉ cần hai góc bằng nhau là đủ, không cần tới góc thứ ba?
Đáp: Vì tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180°. Khi hai góc đã bằng nhau từng đôi một thì góc thứ ba bằng 180° trừ đi hai góc đó, nên hai góc thứ ba cũng bằng nhau một cách tự động. Định lí chỉ ghi hai góc vì góc thứ ba là hệ quả, không cần kiểm tra thêm.

Hỏi: Trường hợp góc–góc khác gì với cạnh–cạnh–cạnh và cạnh–góc–cạnh?
Đáp: Góc–góc chỉ cần so sánh góc, không cần đo cạnh; cạnh–cạnh–cạnh cần ba cặp cạnh tỉ lệ; cạnh–góc–cạnh cần hai cặp cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau. Trong bài tập, nếu đề bài chỉ cho góc thì dùng góc–góc, nếu đề bài cho độ dài cạnh thì dùng hai trường hợp còn lại.

Hỏi: Hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau có đồng dạng không?
Đáp: Có. Hai tam giác vuông đã có sẵn một cặp góc vuông bằng nhau, cộng thêm một góc nhọn bằng nhau là đủ hai cặp góc, nên đồng dạng theo trường hợp góc–góc. Đây chính là trường hợp đồng dạng thứ nhất của hai tam giác vuông, bạn sẽ gặp lại trong bài về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông.

Hỏi: Tỉ số đồng dạng k tính như thế nào khi chỉ biết góc?
Đáp: Chỉ biết góc thì bạn chỉ kết luận được hai tam giác đồng dạng, chưa tính được tỉ số k. Muốn tính k, bạn cần thêm độ dài của ít nhất một cặp cạnh tương ứng, rồi lấy cạnh của tam giác này chia cho cạnh tương ứng của tam giác kia, như trong Ví dụ 2 và Ví dụ 4.

Hỏi: Đo chiều cao bằng bóng nắng có chính xác không?
Đáp: Khá chính xác nếu bạn đo bóng của cọc và bóng của cây vào cùng một thời điểm, vì khi đó các tia nắng song song với nhau và hai tam giác thực sự đồng dạng. Sai số chủ yếu đến từ việc đo bóng không chính xác hoặc mặt đất không phẳng. Phương pháp này đã được Ta-lét dùng để đo chiều cao kim tự tháp từ hơn 2.500 năm trước.

Kết luận

Trường hợp đồng dạng thứ ba (góc–góc) chỉ gói gọn trong một câu: hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng. Bạn hãy nhớ ba điều: chỉ cần hai góc là đủ vì góc thứ ba tự động bằng nhau nhờ tổng 180°; khi đã đồng dạng thì các cạnh tương ứng tỉ lệ với cùng một tỉ số k; và phải viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng thì tỉ số cạnh mới đúng. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để nhận ra trường hợp góc–góc trong mọi bài toán chỉ cho góc — và cũng hiểu vì sao chỉ một cây cọc và bóng nắng đã đo được chiều cao của cả một cây cổ thụ.