Bạn có một tấm bìa cứng hình tứ giác và muốn cắt nó thành một chiếc diều. Bạn đo được ba góc ở ba đỉnh của tấm bìa: 90°, 100° và 80°. Góc ở đỉnh còn lại bằng bao nhiêu — bạn có cần đo nữa không? Câu trả lời là không cần đo: chỉ cần lấy 360° trừ đi tổng ba góc đã biết, bạn sẽ biết ngay góc còn lại là 90°. Đó chính là sức mạnh của định lí tổng các góc của một tứ giác: biết ba góc, bạn luôn tìm được góc thứ tư.
Trong bài viết này, bạn sẽ hiểu định lí tổng các góc của một tứ giác từ gốc: vì sao tổng bốn góc luôn bằng 360°, cách chứng minh bằng một đường chéo duy nhất, và cách áp dụng định lí để tính góc còn thiếu trong đủ dạng bài tập. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước, tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn hiểu vì sao một tứ giác không bao giờ có bốn góc nhọn, và vì sao nó có thể có tới ba góc tù.
Tổng các góc của một tứ giác bằng bao nhiêu? Định lí và cách chứng minh
Định lí tổng các góc của một tứ giác phát biểu rất ngắn gọn: tổng bốn góc của một tứ giác bằng 360°. Kí hiệu: với tứ giác ABCD, ta có Â + B̂ + Ĉ + D̂ = 360°. Bạn hãy ghi nhớ con số 360° này — nó là "chìa khóa vạn năng" cho mọi bài toán tính góc của tứ giác: biết ba góc thì tính được góc thứ tư, biết tỉ lệ các góc thì tính được từng góc, biết góc dưới dạng ẩn x thì lập được phương trình để tìm x.
Vì sao tổng bốn góc lại bằng đúng 360°? Cách chứng minh đẹp nhất chỉ cần một đường chéo. Bạn kẻ đường chéo AC của tứ giác ABCD, đường chéo này chia tứ giác thành hai tam giác là tam giác ABC và tam giác CDA. Bạn đã biết tổng ba góc của một tam giác bằng 180°, nên tổng các góc của tam giác ABC bằng 180° và tổng các góc của tam giác CDA cũng bằng 180°. Cộng hai tổng này lại, bạn được 180° + 180° = 360°, mà tổng đó chính là tổng bốn góc của tứ giác ABCD, vì các góc ở đỉnh A của tứ giác bằng tổng hai góc ở đỉnh A của hai tam giác, tương tự ở đỉnh C, còn góc ở đỉnh B và đỉnh D thì giữ nguyên. Vậy  + B̂ + Ĉ + D̂ = 360° — định lí được chứng minh.
Định lí này đúng với mọi tứ giác, kể cả tứ giác lồi và tứ giác lõm, vì cách kẻ đường chéo và chia thành hai tam giác luôn thực hiện được. Một hệ quả rất hay gặp trong bài tập: nếu một tứ giác có ba góc vuông thì góc thứ tư cũng là góc vuông, vì 360° − 90° − 90° − 90° = 90° — đó chính là dấu hiệu để nhận ra hình chữ nhật. Ngược lại, một tứ giác không bao giờ có bốn góc nhọn, vì bốn góc nhọn đều nhỏ hơn 90° thì tổng nhỏ hơn 360°, mâu thuẫn với định lí. Tương tự, một tứ giác cũng không bao giờ có bốn góc tù, vì bốn góc tù đều lớn hơn 90° thì tổng lớn hơn 360°. Bạn có thể kiểm chứng nhanh mọi kết quả tính góc bằng máy tính Casio online trên ClassOn mỗi khi làm bài tập về nhà.
Bạn cũng cần phân biệt góc trong với góc ngoài của tứ giác. Góc ngoài tại một đỉnh là góc kề bù với góc trong tại đỉnh đó, nên góc ngoài bằng 180° trừ đi góc trong. Cộng bốn góc ngoài của tứ giác, bạn cũng được 360°, vì tổng bốn góc ngoài bằng 4 × 180° − 360° = 360°. Tuy nhiên, trong chương trình Toán 8, khi đề bài nói "góc của tứ giác" mà không nói gì thêm thì đó luôn là góc trong — bạn đừng lấy góc ngoài ra tính rồi trừ nhầm. Khi học sang chương tam giác đồng dạng, bạn sẽ thấy tổng các góc của tam giác và của tứ giác phối hợp với nhau ra sao, chẳng hạn trong bài trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác (góc–góc), góc thứ ba của tam giác được suy ra chính nhờ tổng 180°.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tứ giác ABCD có ba góc  = 90°, B̂ = 100°, Ĉ = 80°. Tính góc còn lại D̂.
Bạn áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác: Â + B̂ + Ĉ + D̂ = 360°, nên D̂ = 360° − Â − B̂ − Ĉ. Bạn thay số: D̂ = 360° − 90° − 100° − 80°. Bạn tính từng bước: 360° − 90° = 270°, 270° − 100° = 170°, 170° − 80° = 90°. Vậy góc còn lại D̂ = 90°. Bạn kiểm tra: 90° + 100° + 80° + 90° = 360° — khớp với định lí. Bạn hãy để ý: tứ giác này có hai góc vuông (Â và D̂ đều bằng 90°) nên hai cạnh AB và CD cùng vuông góc với cạnh AD — một dấu hiệu quen thuộc của hình thang vuông.
Ví dụ 2 (tính góc khi biết ba góc khác): Tứ giác MNPQ có M̂ = 110°, N̂ = 75°, P̂ = 85°. Tính góc Q̂.
Bạn áp dụng định lí như Ví dụ 1: Q̂ = 360° − M̂ − N̂ − P̂ = 360° − 110° − 75° − 85°. Bạn tính từng bước: 360° − 110° = 250°, 250° − 75° = 175°, 175° − 85° = 90°. Vậy góc Q̂ = 90°. Bạn kiểm tra: 110° + 75° + 85° + 90° = 360° — khớp. Bạn hãy để ý: dù ba góc đã biết đều không phải góc vuông, góc còn lại vẫn có thể là góc vuông — đừng đoán góc còn lại "phải" là góc tù hay góc nhọn khi chưa tính, vì chỉ phép trừ mới cho đáp án đúng.
Ví dụ 3 (tính các góc khi biết tỉ lệ): Các góc của tứ giác ABCD tỉ lệ với 1 : 2 : 3 : 4. Tính số đo mỗi góc.
Bạn gọi các góc lần lượt là x, 2x, 3x và 4x (theo tỉ lệ 1 : 2 : 3 : 4). Bạn áp dụng định lí: x + 2x + 3x + 4x = 360°, tức 10x = 360°, nên x = 36°. Bạn tính từng góc: góc thứ nhất bằng x = 36°, góc thứ hai bằng 2x = 72°, góc thứ ba bằng 3x = 108°, góc thứ tư bằng 4x = 144°. Bạn kiểm tra: 36° + 72° + 108° + 144° = 360° — khớp. Bạn hãy để ý: góc lớn nhất 144° là góc tù, góc nhỏ nhất 36° là góc nhọn — một tứ giác có thể vừa có góc nhọn vừa có góc tù, miễn là tổng bốn góc đúng bằng 360°.
Ví dụ 4 (tìm x khi góc viết theo ẩn): Tứ giác ABCD có Â = x, B̂ = x + 30°, Ĉ = 2x, D̂ = 2x + 30°. Tìm x rồi tính số đo mỗi góc.
Bạn áp dụng định lí: Â + B̂ + Ĉ + D̂ = 360°, tức x + (x + 30°) + 2x + (2x + 30°) = 360°. Bạn rút gọn vế trái: x + x + 2x + 2x = 6x, còn 30° + 30° = 60°, nên 6x + 60° = 360°. Bạn giải: 6x = 360° − 60° = 300°, nên x = 50°. Bạn tính từng góc: Â = x = 50°, B̂ = x + 30° = 80°, Ĉ = 2x = 100°, D̂ = 2x + 30° = 130°. Bạn kiểm tra: 50° + 80° + 100° + 130° = 360° — khớp. Bạn hãy để ý: khi góc viết theo ẩn x, bạn luôn lập được một phương trình bậc nhất một ẩn nhờ định lí tổng 360° — đó là dạng bài tập rất hay xuất hiện trong đề kiểm tra.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm tổng các góc của tứ giác với tổng các góc của tam giác.
Nhiều bạn lấy 360° trừ đi ba góc nhưng lại nhớ nhầm tổng là 180°, rồi tính góc còn lại bằng 180° − 90° − 100° − 80° và nhận được số âm. Cách tránh: bạn hãy nhớ "tứ giác — 360°, tam giác — 180°" như một cặp đối nhau: tứ giác gấp đôi tam giác vì một đường chéo chia tứ giác thành hai tam giác. Mỗi lần làm bài, bạn viết dòng  + B̂ + Ĉ + D̂ = 360° ra giấy trước rồi mới thay số.
Lỗi 2: Cộng thiếu một góc khi tính góc còn lại.
Nhiều bạn tính D̂ = 360° − 90° − 100° mà quên trừ 80°, rồi kết luận D̂ = 170°. Cách tránh: bạn hãy đếm đủ bốn góc trước khi trừ — viết đầy đủ 360° − góc 1 − góc 2 − góc 3 — rồi kiểm tra lại bằng cách cộng bốn góc vừa tìm được, tổng phải đúng bằng 360° mới yên tâm.
Lỗi 3: Áp dụng 360° cho đa giác khác.
Nhiều bạn dùng 360° để tính góc của ngũ giác hoặc lục giác. Cách tránh: bạn hãy nhớ 360° chỉ đúng với tứ giác; tổng các góc của đa giác n cạnh bằng (n − 2) × 180° — ngũ giác là 540°, lục giác là 720°. Trong chương trình lớp 8, bạn chỉ cần thuộc trường hợp n = 4, tức 360°.
Lỗi 4: Nhầm góc ngoài với góc trong.
Nhiều bạn lấy góc ngoài 80° cộng thẳng vào tổng các góc trong rồi tính. Cách tránh: bạn hãy nhớ định lí chỉ nói về góc trong; nếu đề bài cho góc ngoài, bạn phải đổi về góc trong bằng cách lấy 180° trừ đi góc ngoài trước, rồi mới áp dụng tổng 360°.
Lỗi 5: Chia đều 360° cho 4 khi các góc không bằng nhau.
Nhiều bạn thấy tổng 360° thì lấy 360° chia 4 bằng 90° cho mọi góc. Cách tránh: bạn hãy nhớ chia đều chỉ đúng khi bốn góc bằng nhau — tức tứ giác đó là hình có bốn góc vuông. Còn khi đề bài cho tỉ lệ hay cho góc theo ẩn x, bạn phải lập phương trình như Ví dụ 3 và Ví dụ 4, không được chia đều.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ viết dòng tổng bốn góc bằng 360° ra trước khi thay số.
Câu 1: Tổng bốn góc của một tứ giác bằng bao nhiêu?
A. 360°
B. 180°
C. 270°
D. 540°
Câu 2: Tứ giác ABCD có Â = 90°, B̂ = 100°, Ĉ = 80°. Góc D̂ bằng bao nhiêu?
A. 70°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
Câu 3: Tứ giác ABCD có Â = 70°, B̂ = 110°, Ĉ = 80°. Góc D̂ bằng bao nhiêu?
A. 90°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
Câu 4: Các góc của một tứ giác tỉ lệ với 1 : 2 : 3 : 4. Góc lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?
A. 120°
B. 135°
C. 144°
D. 160°
Câu 5: Tứ giác ABCD có Â = 100°, B̂ = 80°, Ĉ = 90°. Góc D̂ bằng bao nhiêu?
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 90°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | C | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Tổng bốn góc của một tứ giác bằng 360°, theo định lí tổng các góc của một tứ giác. Đáp án B sai vì 180° là tổng ba góc của một tam giác, không phải của tứ giác. Đáp án C sai vì 270° không phải tổng góc của tứ giác nào. Đáp án D sai vì 540° là tổng các góc của ngũ giác, theo công thức (5 − 2) × 180°.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: D̂ = 360° − 90° − 100° − 80° = 90°. Đáp án A sai vì 70° là kết quả khi trừ sai: 360° − 90° − 100° − 100° mới bằng 70°. Đáp án B sai vì 80° là số đo của góc Ĉ đã cho, không phải góc cần tìm. Đáp án D sai vì 100° là số đo của góc B̂ đã cho.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: D̂ = 360° − 70° − 110° − 80° = 100°. Đáp án A sai vì 90° là kết quả khi tính nhầm 360° − 270° = 90° mà 70° + 110° + 80° = 260°, không phải 270°. Đáp án C sai vì 110° là số đo của góc B̂ đã cho. Đáp án D sai vì 120° là kết quả khi trừ thiếu một góc.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: Gọi các góc là x, 2x, 3x, 4x; ta có 10x = 360° nên x = 36°, góc lớn nhất bằng 4x = 144°. Đáp án A sai vì 120° là kết quả khi chia đều 360° cho 3 phần. Đáp án B sai vì 135° không chia hết theo tỉ lệ 1 : 2 : 3 : 4. Đáp án D sai vì 160° là kết quả khi lấy 360° trừ đi 200° một cách tùy tiện.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: D̂ = 360° − 100° − 80° − 90° = 90°. Đáp án A sai vì 60° là kết quả khi lấy 360° trừ đi 300° mà tổng ba góc đã cho là 270°, không phải 300°. Đáp án B sai vì 70° không có phép tính nào cho ra. Đáp án C sai vì 80° là số đo của góc B̂ đã cho, không phải góc cần tìm.
Câu hỏi thường gặp về tổng các góc của một tứ giác
Hỏi: Tổng các góc của một tứ giác có luôn bằng 360° không, kể cả tứ giác lõm?
Đáp: Luôn bằng 360°, kể cả tứ giác lõm. Cách chứng minh bằng đường chéo vẫn đúng với tứ giác lõm: bạn kẻ đường chéo nối hai đỉnh không kề nhau sao cho đường chéo nằm hoàn toàn bên trong tứ giác, nó vẫn chia tứ giác thành hai tam giác, mỗi tam giác tổng 180°, cộng lại thành 360°.
Hỏi: Vì sao kẻ một đường chéo lại chứng minh được định lí?
Đáp: Vì đường chéo chia tứ giác thành đúng hai tam giác, mà tổng ba góc của mỗi tam giác đã biết bằng 180°. Hai tam giác cộng lại cho 360°, và tổng các góc của hai tam giác đó đúng bằng tổng bốn góc của tứ giác, vì hai góc ở hai đầu đường chéo ghép lại thành hai góc của tứ giác, còn hai góc ở hai đỉnh còn lại giữ nguyên.
Hỏi: Một tứ giác có thể có ba góc tù không?
Đáp: Có thể. Ba góc tù mỗi góc lớn hơn 90°, chẳng hạn 100°, 110° và 100°, tổng ba góc là 310°, góc thứ tư bằng 360° − 310° = 50° là góc nhọn — hoàn toàn hợp lệ. Nhưng một tứ giác không thể có bốn góc tù, vì bốn góc đều lớn hơn 90° thì tổng lớn hơn 360°, mâu thuẫn với định lí.
Hỏi: Một tứ giác có thể có bốn góc nhọn không?
Đáp: Không thể. Bốn góc nhọn đều nhỏ hơn 90° thì tổng bốn góc nhỏ hơn 360°, mâu thuẫn với định lí tổng các góc của tứ giác bằng 360°. Một tứ giác có tối đa ba góc nhọn, và khi đó góc còn lại phải là góc tù để tổng đủ 360°.
Hỏi: Tổng các góc ngoài của một tứ giác bằng bao nhiêu?
Đáp: Cũng bằng 360°. Mỗi góc ngoài kề bù với góc trong tại cùng một đỉnh nên bằng 180° trừ đi góc trong. Cộng bốn góc ngoài, bạn được 4 × 180° − 360° = 360°. Kết quả này đúng với mọi đa giác lồi, không riêng gì tứ giác.
Kết luận
Định lí tổng các góc của một tứ giác chỉ gói gọn trong một con số: 360°. Bạn hãy nhớ ba điều: tổng bốn góc của tứ giác luôn bằng 360° nhờ một đường chéo chia tứ giác thành hai tam giác; biết ba góc thì tính được góc thứ tư bằng phép trừ; biết tỉ lệ hay góc theo ẩn x thì lập phương trình với tổng 360° để giải. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính mọi góc còn thiếu của tứ giác — và cũng hiểu vì sao một tứ giác không bao giờ có bốn góc nhọn, cũng không bao giờ có bốn góc tù.