Bạn mua một chiếc tivi 55 inch để thay chiếc tivi 32 inch cũ, và bạn tự hỏi: màn hình mới có vừa với kệ cũ không? Hai màn hình đều là hình chữ nhật với cùng tỉ lệ hai cạnh, đường chéo của chúng lần lượt là 32 inch và 55 inch — và hai tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo của hai màn hình đồng dạng với nhau. Chính nhờ tính chất đồng dạng của tam giác vuông mà nhà sản xuất chỉ cần ghi một con số đường chéo là bạn biết màn hình to hơn bao nhiêu. Tam giác vuông có ba trường hợp đồng dạng riêng, gọn hơn hẳn tam giác thường, vì góc vuông đã là một yếu tố bằng nhau có sẵn.
Trong bài viết này, bạn sẽ nắm ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông từ gốc: một góc nhọn bằng nhau, hai cạnh góc vuông tỉ lệ, và trường hợp đặc biệt cạnh huyền – cạnh góc vuông tỉ lệ. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước, tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn hiểu vì sao một cạnh góc vuông bằng nhau chưa đủ để kết luận đồng dạng, và vì sao hai góc nhọn phụ nhau cũng kéo theo đồng dạng.
Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông là gì?
Hai tam giác vuông có ba trường hợp đồng dạng, và cả ba đều gọn hơn các trường hợp của tam giác thường, vì hai tam giác vuông đã có sẵn một cặp góc vuông bằng nhau. Trường hợp thứ nhất: nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Thật ra đây chính là trường hợp góc–góc áp dụng vào tam giác vuông: góc vuông là cặp góc bằng nhau thứ nhất, góc nhọn bằng nhau là cặp góc bằng nhau thứ hai — đủ hai cặp góc là đủ điều kiện đồng dạng. Bạn có thể ôn lại trường hợp góc–góc trong bài trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác (góc–góc) để thấy hai bài viết nối với nhau ra sao.
Trường hợp thứ hai: nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Đây là trường hợp cạnh–góc–cạnh áp dụng vào tam giác vuông: hai cặp cạnh tỉ lệ là hai cạnh góc vuông, còn góc xen giữa hai cạnh đó chính là góc vuông — mà góc vuông của tam giác nào cũng bằng 90° nên luôn bằng nhau. Ví dụ, tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm đồng dạng với tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm, vì 3/6 = 4/8 = 1/2.
Trường hợp thứ ba là trường hợp đặc biệt, chỉ có ở tam giác vuông: nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Trường hợp này đặc biệt vì nó không phải là cạnh–góc–cạnh — góc xen giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông không phải là góc vuông — mà là một định lí riêng, chứng minh được nhờ định lí Pythagore: khi cạnh huyền và một cạnh góc vuông đã tỉ lệ, cạnh góc vuông còn lại cũng tự động tỉ lệ theo. Bạn hãy nhớ kĩ cả ba trường hợp này, vì đề kiểm tra thường hỏi "điều kiện nào chứng tỏ hai tam giác vuông đồng dạng" và đáp án đúng luôn nằm trong ba trường hợp trên. Bạn có thể kiểm chứng nhanh mọi phép tính tỉ số và căn bậc hai bằng máy tính Casio online trên ClassOn mỗi khi làm bài tập về nhà.
Một chi tiết hay gặp trong sách bài tập mà bạn nên biết thêm: nếu một góc nhọn của tam giác vuông này PHỤ với một góc nhọn của tam giác vuông kia (tức hai góc cộng lại bằng 90°) thì hai tam giác vuông đó cũng đồng dạng với nhau. Vì sao? Vì trong tam giác vuông, hai góc nhọn luôn phụ nhau (cộng lại bằng 90°), nên góc nhọn này phụ với góc nhọn kia có nghĩa là nó bằng góc nhọn còn lại của tam giác kia — quay trở về trường hợp một góc nhọn bằng nhau. Ngược lại, chỉ một cạnh góc vuông bằng nhau, hoặc chỉ cạnh huyền bằng nhau, thì chưa đủ để kết luận hai tam giác vuông đồng dạng — bạn cần thêm một điều kiện nữa, hoặc một góc nhọn bằng nhau, hoặc một tỉ lệ cạnh nữa.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Hai tam giác vuông có cạnh huyền 10 và 5, một cạnh góc vuông 6 và 3. Chứng minh hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
Bạn xét tỉ số cạnh huyền: 10/5 = 2. Bạn xét tỉ số cạnh góc vuông đã cho: 6/3 = 2. Bạn thấy cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia, cùng bằng tỉ số 2, nên theo trường hợp đặc biệt cạnh huyền – cạnh góc vuông, hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Bạn kiểm tra thêm bằng định lí Pythagore: cạnh góc vuông còn lại của tam giác lớn bằng căn bậc hai của 10² − 6² = 100 − 36 = 64, tức bằng 8; cạnh góc vuông còn lại của tam giác nhỏ bằng căn bậc hai của 5² − 3² = 25 − 9 = 16, tức bằng 4; tỉ số 8/4 = 2 cũng bằng tỉ số đồng dạng — khớp. Bạn hãy để ý: bộ ba số 6 – 8 – 10 chính là bộ ba Pythagore 3 – 4 – 5 nhân đôi, và tam giác nhỏ 3 – 4 – 5 cũng là một bộ ba Pythagore quen thuộc.
Ví dụ 2 (trường hợp một góc nhọn bằng nhau): Tam giác ABC vuông tại A có B̂ = 35°; tam giác DEF vuông tại D có Ê = 35°. Biết AB = 8 cm, DE = 4 cm, BC = 10 cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi tính EF.
Bạn kiểm tra điều kiện: cả hai tam giác đều vuông nên có một cặp góc vuông bằng nhau (Â = D̂ = 90°); đề bài cho B̂ = Ê = 35°, thêm một cặp góc nhọn bằng nhau — đủ hai cặp góc nên hai tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp một góc nhọn bằng nhau, cũng chính là trường hợp góc–góc. Bạn tính góc nhọn còn lại để kiểm tra: Ĉ = 90° − 35° = 55°, F̂ = 90° − 35° = 55° — bằng nhau. Bạn tính tỉ số đồng dạng: k = AB/DE = 8/4 = 2. Bạn tính EF: BC/EF = k = 2, nên EF = BC/2 = 10/2 = 5 cm. Bạn kiểm tra bằng định lí Pythagore: AC = căn bậc hai của 10² − 8² = 100 − 64 = 36, tức AC = 6 cm; DF = căn bậc hai của 5² − 4² = 25 − 16 = 9, tức DF = 3 cm; tỉ số AC/DF = 6/3 = 2 — khớp với tỉ số đồng dạng.
Ví dụ 3 (trường hợp hai cạnh góc vuông tỉ lệ): Tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm; tam giác DEF vuông tại D có DE = 6 cm, DF = 8 cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi tính BC và EF.
Bạn xét tỉ số hai cạnh góc vuông: AB/DE = 3/6 = 1/2 và AC/DF = 4/8 = 1/2 — hai tỉ số bằng nhau nên theo trường hợp hai cạnh góc vuông tỉ lệ, hai tam giác vuông đồng dạng với nhau. Bạn tính cạnh huyền nhờ định lí Pythagore: BC = căn bậc hai của 3² + 4² = 9 + 16 = 25, tức BC = 5 cm; EF = căn bậc hai của 6² + 8² = 36 + 64 = 100, tức EF = 10 cm. Bạn kiểm tra tỉ số cạnh huyền: BC/EF = 5/10 = 1/2 — bằng tỉ số đồng dạng, khớp. Bạn hãy để ý: hai tam giác này chính là hai tam giác vuông 3 – 4 – 5 và 6 – 8 – 10, cặp tam giác vuông đồng dạng kinh điển nhất trong sách giáo khoa — gặp bộ ba 3 – 4 – 5 là bạn nhận ra ngay cạnh huyền bằng 5 mà không cần tính lại.
Ví dụ 4 (tính tỉ số đồng dạng từ hai cạnh góc vuông): Tam giác ABC vuông tại A có AB = 9 cm, AC = 12 cm; tam giác DEF vuông tại D có DE = 6 cm, DF = 8 cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi tính BC, EF và tỉ số chu vi của hai tam giác.
Bạn xét tỉ số hai cạnh góc vuông: AB/DE = 9/6 = 3/2 và AC/DF = 12/8 = 3/2 — bằng nhau nên hai tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp hai cạnh góc vuông tỉ lệ, với tỉ số đồng dạng k = 3/2. Bạn tính cạnh huyền: BC = căn bậc hai của 9² + 12² = 81 + 144 = 225, tức BC = 15 cm; EF = căn bậc hai của 6² + 8² = 36 + 64 = 100, tức EF = 10 cm; tỉ số BC/EF = 15/10 = 3/2 — khớp. Bạn tính chu vi: chu vi tam giác ABC bằng 9 + 12 + 15 = 36 cm; chu vi tam giác DEF bằng 6 + 8 + 10 = 24 cm; tỉ số chu vi bằng 36/24 = 3/2 — đúng bằng tỉ số đồng dạng k, như lí thuyết đã nói: tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. Bạn hãy để ý: bộ ba 9 – 12 – 15 là bộ ba 3 – 4 – 5 nhân 3, còn 6 – 8 – 10 là bộ ba 3 – 4 – 5 nhân 2 — nhận ra các bộ ba Pythagore giúp bạn tính cạnh huyền gần như ngay lập tức.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Một cạnh góc vuông bằng nhau mà đã kết luận đồng dạng.
Nhiều bạn thấy hai tam giác vuông có một cạnh góc vuông cùng bằng 6 cm thì kết luận ngay hai tam giác đồng dạng. Cách tránh: bạn hãy nhớ một cạnh bằng nhau chưa phải là điều kiện đồng dạng — bạn cần thêm một góc nhọn bằng nhau, hoặc một tỉ lệ cạnh nữa (cạnh huyền tỉ lệ, hoặc cạnh góc vuông còn lại tỉ lệ).
Lỗi 2: Lập tỉ số nhầm cặp cạnh tương ứng.
Nhiều bạn lấy cạnh huyền của tam giác này chia cho cạnh góc vuông của tam giác kia, rồi kết luận hai tỉ số bằng nhau. Cách tránh: bạn hãy đối chiếu đúng từng cặp: cạnh huyền với cạnh huyền, cạnh góc vuông này với cạnh góc vuông tương ứng của nó; muốn biết cạnh nào tương ứng với cạnh nào, bạn đối chiếu qua góc đối diện hoặc qua thứ tự đỉnh tương ứng.
Lỗi 3: Quên kiểm tra góc vuông tương ứng.
Nhiều bạn áp dụng trường hợp hai cạnh góc vuông tỉ lệ cho hai tam giác mà góc giữa hai cạnh đó không phải góc vuông. Cách tránh: bạn hãy nhớ trường hợp này chỉ đúng khi góc xen giữa hai cạnh tỉ lệ là góc vuông; nếu góc xen giữa không vuông thì đó là trường hợp cạnh–góc–cạnh thông thường, bạn phải kiểm tra thêm góc xen giữa có bằng nhau không.
Lỗi 4: Nhầm đồng dạng với bằng nhau.
Nhiều bạn thấy hai tam giác vuông đồng dạng thì kết luận các cạnh của chúng bằng nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ đồng dạng chỉ có nghĩa là các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau theo cùng một tỉ số k; chỉ khi k = 1 thì hai tam giác mới bằng nhau. Trong Ví dụ 1, cạnh huyền 10 cm và 5 cm tỉ lệ với nhau chứ không bằng nhau.
Lỗi 5: Chỉ so sánh cạnh huyền mà bỏ qua cạnh góc vuông.
Nhiều bạn thấy hai tam giác vuông có cạnh huyền tỉ lệ với nhau thì kết luận ngay đồng dạng. Cách tránh: bạn hãy nhớ trường hợp đặc biệt đòi hỏi CẢ cạnh huyền VÀ một cạnh góc vuông cùng tỉ lệ; chỉ cạnh huyền tỉ lệ thì chưa đủ, vì cạnh góc vuông có thể khác nhau và hai tam giác không cùng hình dạng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định đúng trường hợp đồng dạng trước khi lập tỉ số.
Câu 1: Có bao nhiêu trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông?
A. 2 trường hợp
B. 3 trường hợp
C. 4 trường hợp
D. 1 trường hợp
Câu 2: Tam giác ABC vuông tại A, tam giác DEF vuông tại D, có B̂ = Ê = 40°. Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp nào?
A. Cạnh huyền – cạnh góc vuông
B. Một góc nhọn bằng nhau
C. Hai cạnh góc vuông tỉ lệ
D. Không đồng dạng
Câu 3: Hai tam giác vuông có cạnh huyền 10 và 5, một cạnh góc vuông 6 và 3. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hai tam giác không đồng dạng
B. Hai tam giác đồng dạng với tỉ số 3
C. Hai tam giác đồng dạng với tỉ số 2
D. Hai tam giác bằng nhau
Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm; tam giác MNP vuông tại M có MN = 6 cm, MP = 8 cm. Độ dài BC và NP lần lượt bằng bao nhiêu?
A. 4 cm và 8 cm
B. 6 cm và 12 cm
C. 5 cm và 8 cm
D. 5 cm và 10 cm
Câu 5: Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với nhau theo tỉ số 1 : 2. Cạnh huyền của tam giác nhỏ bằng 5 cm. Cạnh huyền của tam giác lớn bằng bao nhiêu?
A. 10 cm
B. 5 cm
C. 15 cm
D. 7,5 cm
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | B | C | D | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Có 3 trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: một góc nhọn bằng nhau; hai cạnh góc vuông tỉ lệ; cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ. Đáp án A sai vì thiếu trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông. Đáp án C sai vì không có trường hợp thứ tư. Đáp án D sai vì chỉ một trường hợp là quá ít.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Hai tam giác vuông đã có góc vuông bằng nhau, cộng thêm một góc nhọn bằng nhau (40°) là đủ hai cặp góc, nên đồng dạng theo trường hợp một góc nhọn bằng nhau, cũng chính là trường hợp góc–góc. Đáp án A sai vì đề bài không cho tỉ lệ cạnh huyền và cạnh góc vuông. Đáp án C sai vì đề bài không cho độ dài cạnh góc vuông nào. Đáp án D sai vì hai tam giác thỏa mãn điều kiện đồng dạng.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: Tỉ số cạnh huyền bằng 10/5 = 2, tỉ số cạnh góc vuông bằng 6/3 = 2, hai tỉ số bằng nhau nên hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông với tỉ số đồng dạng bằng 2. Đáp án A sai vì hai tỉ số bằng nhau nên hai tam giác đồng dạng. Đáp án B sai vì tỉ số đúng là 2, không phải 3. Đáp án D sai vì các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau chứ không bằng nhau.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: BC = căn bậc hai của 3² + 4² = 5 cm; NP = căn bậc hai của 6² + 8² = 10 cm. Đáp án A sai vì 4 cm và 8 cm là độ dài các cạnh góc vuông AC và MP, không phải cạnh huyền. Đáp án B sai vì 6 cm và 12 cm không có phép tính nào cho ra. Đáp án C sai vì NP bằng 10 cm, không phải 8 cm.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Hai tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp hai cạnh góc vuông tỉ lệ với tỉ số 1 : 2, nên cạnh huyền cũng tỉ lệ theo tỉ số 1 : 2; cạnh huyền của tam giác lớn bằng 5 × 2 = 10 cm. Đáp án B sai vì 5 cm là cạnh huyền của tam giác nhỏ. Đáp án C sai vì 15 cm là kết quả khi nhân nhầm với 3. Đáp án D sai vì 7,5 cm là kết quả khi nhân với 1,5 thay vì 2.
Câu hỏi thường gặp về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông
Hỏi: Vì sao tam giác vuông chỉ cần ít điều kiện hơn tam giác thường để kết luận đồng dạng?
Đáp: Vì hai tam giác vuông đã có sẵn một cặp góc vuông bằng nhau (đều bằng 90°). Mọi trường hợp đồng dạng của tam giác thường cần hai hoặc ba yếu tố, nhưng với tam giác vuông, góc vuông đã "cho không" một yếu tố, nên bạn chỉ cần thêm một yếu tố nữa — một góc nhọn, một tỉ lệ cạnh góc vuông, hoặc một tỉ lệ cạnh huyền — là đủ.
Hỏi: Một cạnh góc vuông bằng nhau có đủ để hai tam giác vuông đồng dạng không?
Đáp: Không đủ. Một cạnh góc vuông bằng nhau chỉ là một yếu tố, trong khi bạn cần ít nhất hai yếu tố: hoặc thêm một góc nhọn bằng nhau, hoặc thêm một tỉ lệ cạnh nữa. Tương tự, chỉ cạnh huyền bằng nhau cũng chưa đủ — bạn cần thêm một cạnh góc vuông tỉ lệ hoặc một góc nhọn bằng nhau.
Hỏi: Hai góc nhọn phụ nhau thì hai tam giác vuông có đồng dạng không?
Đáp: Có. Trong tam giác vuông, hai góc nhọn luôn phụ nhau, tức cộng lại bằng 90°. Nếu một góc nhọn của tam giác này phụ với một góc nhọn của tam giác kia thì góc đó bằng góc nhọn còn lại của tam giác kia, nên hai tam giác có một cặp góc nhọn bằng nhau và đồng dạng theo trường hợp một góc nhọn bằng nhau.
Hỏi: Trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông chứng minh bằng cách nào?
Đáp: Chứng minh bằng định lí Pythagore. Khi cạnh huyền và một cạnh góc vuông đã tỉ lệ với nhau theo tỉ số k, cạnh góc vuông còn lại tính bằng định lí Pythagore cũng tỉ lệ theo đúng tỉ số k, nên ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia — quay trở về trường hợp cạnh–cạnh–cạnh.
Hỏi: Tỉ số diện tích của hai tam giác vuông đồng dạng tính như thế nào?
Đáp: Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Nếu hai tam giác vuông đồng dạng với tỉ số k thì diện tích của tam giác này gấp k² lần diện tích của tam giác kia. Ví dụ, hai tam giác vuông trong Ví dụ 1 có tỉ số đồng dạng bằng 2 nên diện tích tam giác lớn gấp 4 lần diện tích tam giác nhỏ.
Kết luận
Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông chỉ gói gọn trong ba câu: một góc nhọn bằng nhau; hai cạnh góc vuông tỉ lệ; cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ. Bạn hãy nhớ ba điều: góc vuông là yếu tố bằng nhau có sẵn nên tam giác vuông cần ít điều kiện hơn tam giác thường; một cạnh bằng nhau chưa bao giờ là đủ để kết luận đồng dạng; và khi đã đồng dạng thì mọi cặp cạnh tương ứng đều có cùng một tỉ số k, tỉ số chu vi bằng k, tỉ số diện tích bằng k². Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để nhận ra đúng trường hợp đồng dạng trong mọi bài toán về tam giác vuông — từ màn hình tivi tới mái dốc, từ bóng nắng tới bản vẽ kĩ thuật.