Bạn có một chiếc bánh pizza. Bạn ăn 2/3 chiếc bánh, rồi bạn của bạn ăn một nửa số bánh còn lại của bạn — tức là 1/2 của 2/3 chiếc bánh. Bạn của bạn đã ăn bao nhiêu chiếc bánh? Đáp án là (1/2) · (2/3) = 2/6 = 1/3 chiếc bánh. Nhân phân số là "lấy một phần của một phần", và phép nhân phân thức đại số cũng đúng y như vậy: nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu, rồi rút gọn. Phép chia thì còn gọn hơn: chia cho một phân thức chính là nhân với phân thức nghịch đảo của nó.
Bài viết này sẽ dẫn bạn qua phép nhân và phép chia phân thức từ những ví dụ số đơn giản tới những phân thức chứa chữ cần phân tích thành nhân tử trước khi tính. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước, tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn phân biệt rõ khi nào thì rút gọn trước, khi nào thì rút gọn sau, và vì sao không bao giờ được chia cho phân thức bằng 0.
Phép nhân, phép chia phân thức đại số là gì?
Phép nhân phân thức có quy tắc rất gọn: muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau: (A/B) · (C/D) = (A · C)/(B · D), với B và D khác đa thức 0. Phép chia phân thức cũng gọn không kém: muốn chia phân thức A/B cho phân thức C/D khác đa thức 0, ta nhân phân thức A/B với phân thức nghịch đảo của phân thức C/D, tức là (A/B) : (C/D) = (A/B) · (D/C), với B, C và D khác đa thức 0. Phân thức nghịch đảo của C/D là D/C — chỉ cần đổi chỗ tử và mẫu cho nhau.
Trước khi nhân, bạn nên phân tích tử và mẫu của các phân thức thành nhân tử rồi rút gọn các nhân tử chung "chéo" nhau: một nhân tử ở tử của phân thức này có thể rút gọn với cùng nhân tử đó ở mẫu của phân thức kia. Chẳng hạn, (x²/(x + 1)) · ((x + 1)/x) = x, vì (x + 1) ở mẫu phân thức thứ nhất rút gọn với (x + 1) ở tử phân thức thứ hai, còn x ở tử phân thức thứ nhất rút gọn với x ở mẫu phân thức thứ hai. Rút gọn trước khi nhân giúp các số nhỏ lại, phép tính nhẹ nhàng hơn rất nhiều so với việc nhân hết ra rồi mới rút gọn. Muốn ôn lại cách rút gọn phân thức, bạn hãy xem bài công thức tính chất cơ bản của phân thức; muốn ôn lại phép cộng, trừ phân thức, bạn hãy xem bài công thức phép cộng, phép trừ phân thức đại số.
Điều kiện của phép chia đáng chú ý hơn phép nhân: ngoài điều kiện các mẫu thức khác 0, bạn còn phải yêu cầu tử thức của phân thức chia (số chia) khác đa thức 0, vì sau khi đổi thành phép nhân với phân thức nghịch đảo, tử thức cũ trở thành mẫu thức mới. Chẳng hạn, phép chia (x/2) : (x/4) chỉ có nghĩa khi x ≠ 0, vì phân thức chia x/4 phải khác 0, tức x ≠ 0. Quên điều kiện này là lỗi rất hay gặp khi làm bài tập chia phân thức.
Một mẹo làm bài thi rất hữu ích: khi gặp phép nhân hoặc chia nhiều phân thức, bạn hãy viết tất cả thành một phép nhân duy nhất, phân tích mọi tử và mẫu thành nhân tử, gạch bỏ các nhân tử chung, rồi mới nhân phần còn lại. Cách làm này tránh được việc nhân các đa thức lớn ra rồi lại phải phân tích ngược trở lại để rút gọn — vừa mất thời gian, vừa dễ sai. Khi cần kiểm tra nhanh kết quả của một phép nhân, chia phân thức tại một giá trị cụ thể của biến, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Cuối cùng, bạn hãy nhớ phép nhân phân thức có đầy đủ các tính chất quen thuộc: giao hoán, kết hợp, và phân phối đối với phép cộng. Nhờ tính chất phân phối mà bạn có thể tính (x + 1) · (1/x + 1/(x + 1)) bằng cách nhân từng phân thức rồi cộng lại, hoặc quy đồng trong ngoặc trước rồi nhân — hai cách cho cùng một đáp án, bạn chọn cách nào tiện hơn thì làm.
Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính (2/3) · (9/4) và tính (x/2) : (x/4) với x ≠ 0.
Bạn tính phép nhân trước: (2/3) · (9/4) = (2 · 9)/(3 · 4) = 18/12. Bạn rút gọn 18/12 bằng cách chia cả tử và mẫu cho 6, được 3/2. Bạn hãy để ý: nếu rút gọn trước khi nhân — 2/4 = 1/2 và 9/3 = 3 — bạn được (1 · 3)/(1 · 2) = 3/2 ngay, nhanh hơn nhiều. Bạn tính phép chia: (x/2) : (x/4) = (x/2) · (4/x) = (4x)/(2x) = 2 với điều kiện x ≠ 0. Bạn kiểm tra bằng số: với x = 6, (6/2) : (6/4) = 3 : 1,5 = 2 — khớp. Bạn hãy để ý: phép chia hai phân thức có cùng tử x cho kết quả là tỉ số nghịch đảo của hai mẫu: 4/2 = 2.
Ví dụ 2: Tính (x²/(x + 1)) · ((x + 1)/x) với x ≠ 0 và x ≠ −1.
Bạn viết phép nhân dưới dạng một phân thức: (x² · (x + 1))/((x + 1) · x). Bạn thấy nhân tử (x + 1) xuất hiện ở cả tử và mẫu, bạn gạch bỏ. Bạn thấy nhân tử x xuất hiện ở cả tử (trong x²) và mẫu, bạn gạch bỏ một lần: x²/x = x. Bạn kết luận kết quả là x. Bạn kiểm tra bằng số: với x = 5, phân thức thứ nhất bằng 25/6, phân thức thứ hai bằng 6/5, tích bằng (25 · 6)/(6 · 5) = 150/30 = 5 — khớp với x = 5. Bạn hãy để ý: nếu bạn nhân hết ra trước ((x²(x + 1))/(x(x + 1)) = (x³ + x²)/(x² + x)) rồi mới rút gọn, phép tính sẽ dài gấp nhiều lần mà vẫn cho cùng đáp án x.
Ví dụ 3: Tính ((x² − 1)/(x + 2)) : ((x − 1)/(x + 2)) với x ≠ 1, x ≠ −1 và x ≠ −2.
Bạn đổi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo: ((x² − 1)/(x + 2)) · ((x + 2)/(x − 1)). Bạn thấy nhân tử (x + 2) xuất hiện ở cả mẫu của phân thức thứ nhất và tử của phân thức thứ hai, bạn gạch bỏ. Bạn phân tích tử thứ nhất: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Bạn thấy nhân tử (x − 1) xuất hiện ở cả tử và mẫu, bạn gạch bỏ. Bạn kết luận kết quả là x + 1. Bạn kiểm tra bằng số: với x = 3, phân thức bị chia bằng (9 − 1)/5 = 8/5, phân thức chia bằng 2/5, thương bằng (8/5) : (2/5) = 4, còn x + 1 = 4 — khớp. Bạn hãy để ý: điều kiện x ≠ −2 xuất phát từ mẫu x + 2 của cả hai phân thức, còn điều kiện x ≠ 1 xuất phát từ việc phân thức chia (x − 1)/(x + 2) phải khác 0.
Ví dụ 4: Tính (3x/(2y)) · (4y²/(9x²)) với x ≠ 0 và y ≠ 0.
Bạn nhân tử với tử: 3x · 4y² = 12xy². Bạn nhân mẫu với mẫu: 2y · 9x² = 18x²y. Bạn được phân thức (12xy²)/(18x²y). Bạn rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung 6xy: 12xy² : 6xy = 2y, 18x²y : 6xy = 3x. Bạn kết luận kết quả là 2y/(3x). Bạn kiểm tra bằng số: với x = 2 và y = 3, phân thức thứ nhất bằng 6/6 = 1, phân thức thứ hai bằng 36/36 = 1, tích bằng 1, còn 2y/(3x) = 6/6 = 1 — khớp. Bạn hãy để ý: bạn có thể rút gọn chéo trước khi nhân — 3x với 9x² cho 1/(3x), 4y² với 2y cho 2y — rồi nhân phần còn lại để được 2y/(3x) ngay, không cần nhân ra 12xy² và 18x²y.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Chia phân thức bằng cách chia tử cho tử, mẫu cho mẫu.
Nhiều bạn tính (x/2) : (x/4) = (x : x)/(2 : 4) = 1/(1/2) = 2 thì tình cờ đúng, nhưng với (6/5) : (3/10) = (6 : 3)/(5 : 10) = 2/(1/2) = 4 thì sai — đáp án đúng là (6/5) · (10/3) = 4. Cách tránh: bạn hãy luôn đổi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo, đừng bao giờ chia tử cho tử, mẫu cho mẫu.
Lỗi 2: Quên đảo phân thức chia khi đổi sang phép nhân.
Nhiều bạn tính (x/2) : (x/4) = (x/2) · (x/4) = x²/8. Cách tránh: bạn hãy nhớ chia cho C/D nghĩa là nhân với D/C — phải đổi chỗ tử và mẫu của phân thức CHIA, không phải của phân thức bị chia. Hãy viết rõ bước đổi phép chia thành phép nhân ra giấy trước khi tính.
Lỗi 3: Nhân hết ra rồi mới rút gọn.
Nhiều bạn tính (x²/(x + 1)) · ((x + 1)/x) bằng cách nhân ra (x³ + x²)/(x² + x) rồi mới phân tích lại để rút gọn. Cách tránh: bạn hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử TRƯỚC khi nhân, gạch bỏ các nhân tử chung chéo nhau, rồi mới nhân phần còn lại. Cách này vừa nhanh vừa ít sai.
Lỗi 4: Rút gọn "chéo" sai chỗ trong phép cộng, trừ.
Nhiều bạn áp dụng thói quen rút gọn chéo của phép nhân sang phép cộng: 1/(x + 1) + 1/x rồi gạch x với x. Cách tránh: bạn hãy nhớ rút gọn chéo chỉ được dùng trong phép NHÂN và phép CHIA, không bao giờ dùng trong phép cộng, trừ. Cộng, trừ thì phải quy đồng mẫu trước.
Lỗi 5: Quên điều kiện phân thức chia phải khác 0.
Nhiều bạn tính (x/2) : (x/4) = 2 mà không ghi x ≠ 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ khi chia cho phân thức C/D, bạn phải yêu cầu C ≠ 0 vì sau khi đảo, C trở thành mẫu thức. Hãy viết điều kiện của cả hai phân thức ngay từ đầu bài.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ đổi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo, và rút gọn chéo trước khi nhân.
Câu 1: Tính (2/3) · (9/4) được kết quả nào?
A. 3/2
B. 1/2
C. 2/3
D. 6
Câu 2: Tính (x/2) : (x/4) (với x ≠ 0) được kết quả nào?
A. 1/2
B. 2
C. x/8
D. 4
Câu 3: Tính (x²/y) · (y²/x) (với x ≠ 0 và y ≠ 0) được kết quả nào?
A. xy
B. x/y
C. y/x
D. x²y
Câu 4: Tính ((x + 1)/3) : ((x + 1)/6) (với x ≠ −1) được kết quả nào?
A. 1/2
B. 6
C. 2
D. (x + 1)/2
Câu 5: Tính (4a/(3b)) · (9b/(8a)) (với a ≠ 0 và b ≠ 0) được kết quả nào?
A. 2/3
B. 1
C. 12/11
D. 3/2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | C | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Bạn nhân tử với tử, mẫu với mẫu: (2 · 9)/(3 · 4) = 18/12 = 3/2. Đáp án B sai vì 1/2 là kết quả của phép tính (2/3) · (3/4), không phải (2/3) · (9/4). Đáp án C sai vì 2/3 là phân thức thứ nhất, chưa nhân với phân thức thứ hai. Đáp án D sai vì 6 là kết quả nếu bạn nhân hai tử 2 · 9 = 18 rồi chia cho 3 mà quên nhân mẫu 4.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Bạn đổi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo: (x/2) · (4/x) = (4x)/(2x) = 2. Đáp án A sai vì 1/2 là nghịch đảo của kết quả đúng. Đáp án C sai vì x/8 là kết quả của phép nhân (x/2) · (x/4), không phải phép chia. Đáp án D sai vì 4 là tỉ số của hai mẫu nếu quên rút gọn 4x với 2x.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Bạn nhân tử với tử: x² · y², nhân mẫu với mẫu: y · x, được (x²y²)/(xy). Bạn rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho xy, được xy. Đáp án B sai vì x/y là kết quả của phép chia (x²/y) : (y²/x) nếu tính nhầm. Đáp án C sai vì y/x là nghịch đảo của đáp án B. Đáp án D sai vì x²y là kết quả nếu chỉ rút gọn một nhân tử x mà quên rút gọn nhân tử y.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: Bạn đổi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo: ((x + 1)/3) · (6/(x + 1)) = (6(x + 1))/(3(x + 1)) = 6/3 = 2. Đáp án A sai vì 1/2 là nghịch đảo của kết quả đúng. Đáp án B sai vì 6 là tử của phân thức nghịch đảo, chưa chia cho 3. Đáp án D sai vì (x + 1)/2 là kết quả nếu bạn nhân (x + 1)/3 với (x + 1)/6 thay vì đảo phân thức chia.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: Bạn nhân tử với tử: 4a · 9b = 36ab, nhân mẫu với mẫu: 3b · 8a = 24ab, được 36ab/(24ab) = 3/2. Đáp án A sai vì 2/3 là nghịch đảo của kết quả đúng. Đáp án B sai vì 1 chỉ đúng khi tử bằng mẫu, ở đây 36ab khác 24ab. Đáp án C sai vì 12/11 không xuất hiện trong phép biến đổi nào.
Câu hỏi thường gặp về phép nhân, phép chia phân thức
Hỏi: Vì sao chia cho một phân thức lại bằng nhân với phân thức nghịch đảo?
Đáp: Vì chia cho C/D nghĩa là tìm một phân thức mà khi nhân với C/D thì được phân thức bị chia. Phân thức (A/B) · (D/C) thỏa mãn điều đó, vì ((A/B) · (D/C)) · (C/D) = A/B. Nói ngắn gọn, phép chia là phép toán ngược của phép nhân, và phân thức nghịch đảo chính là "số đối" của phép nhân.
Hỏi: Nên rút gọn trước hay nhân trước rồi mới rút gọn?
Đáp: Nên rút gọn trước. Bạn phân tích tử và mẫu thành nhân tử, gạch bỏ các nhân tử chung chéo nhau, rồi mới nhân phần còn lại. Cách này cho các số nhỏ hơn, phép tính ngắn hơn và ít sai hơn so với việc nhân hết ra rồi mới rút gọn.
Hỏi: Phân thức nghịch đảo của 0 là gì?
Đáp: Không có. Phân thức nghịch đảo của C/D là D/C, mà D/C chỉ xác định khi D khác 0. Vì vậy phép chia cho phân thức bằng 0 là không xác định — giống như không thể chia một số cho 0.
Hỏi: Có được rút gọn chéo trong phép cộng, trừ không?
Đáp: Không. Rút gọn chéo chỉ dùng trong phép nhân và phép chia, nơi tử và mẫu nhân với nhau. Trong phép cộng, trừ, tử và mẫu cộng với nhau, vì vậy bạn phải quy đồng mẫu trước, không được gạch bỏ bất kì nhân tử nào.
Hỏi: Nhân, chia nhiều phân thức cùng lúc thì làm thế nào?
Đáp: Bạn đổi mọi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo, viết tất cả thành một phép nhân duy nhất, phân tích mọi tử và mẫu thành nhân tử, gạch bỏ các nhân tử chung, rồi nhân phần còn lại. Làm theo đúng thứ tự này, bài toán dù dài cũng không rối.
Kết luận
Phép nhân, phép chia phân thức chỉ gói gọn trong hai quy tắc: nhân thì nhân tử với tử, mẫu với mẫu; chia thì nhân với phân thức nghịch đảo. Bạn hãy nhớ ba điều: phân tích thành nhân tử và rút gọn chéo trước khi nhân; luôn đảo phân thức chia khi đổi sang phép nhân; và ghi đủ điều kiện để phân thức chia khác 0. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để nhân, chia bất kì phân thức nào — và hoàn thành trọn vẹn chương phân thức đại số của Toán 8.