Hồi lớp 6, bạn đã biết một điều rất quen thuộc: phân số 1/2 bằng 2/4, bằng 3/6, bằng 5/10. Nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác 0, giá trị phân số không đổi. Lên lớp 8, phân số được "nâng cấp" thành phân thức đại số: tử và mẫu không còn là những con số nữa mà là những đa thức chứa chữ x, y. Câu hỏi đặt ra là: liệu "mẹo" nhân, chia cả tử và mẫu có còn đúng khi tử và mẫu là đa thức hay không? Câu trả lời là có — và đó chính là tính chất cơ bản của phân thức, chiếc chìa khóa mở ra gần như mọi phép tính với phân thức: rút gọn, quy đồng, cộng, trừ, nhân, chia.
Bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc tính chất cơ bản của phân thức qua đúng nghĩa của nó: nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho; chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung thì cũng được phân thức bằng phân thức đã cho. Bạn sẽ thấy tính chất này vận hành ra sao trong 4 ví dụ tính từng bước, tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn phân biệt rõ khi nào thì nhân, khi nào thì chia, và vì sao điều kiện của biến lại quan trọng đến thế.
Tính chất cơ bản của phân thức là gì?
Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A và B là các đa thức, B khác đa thức 0. A được gọi là tử thức, B được gọi là mẫu thức. Tính chất cơ bản của phân thức gồm hai phát biểu. Thứ nhất, nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức M khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: A/B = (A · M)/(B · M), với M là một đa thức khác đa thức 0. Thứ hai, nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung N của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: A/B = (A : N)/(B : N), với N là một nhân tử chung của A và B.
Hai phát biểu trên thực ra là một: nhân với M hay chia cho N đều là cách biến đổi phân thức mà không làm thay đổi giá trị của nó. Bạn có thể hình dung phân thức như một cái cân: tử và mẫu là hai đĩa cân, nhân hay chia cả hai đĩa với cùng một "quả cân" thì cân vẫn thăng bằng. Chính vì thế, tính chất này là nền tảng của phép rút gọn phân thức: rút gọn chính là chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng để được phân thức đơn giản hơn mà vẫn bằng phân thức ban đầu. Muốn biết phân thức xác định khi nào trước khi rút gọn, bạn hãy xem bài công thức tập xác định của phân thức đại số; muốn biết khi nào hai phân thức bằng nhau, bạn hãy xem bài công thức điều kiện để hai phân thức bằng nhau.
Từ tính chất cơ bản, người ta suy ra quy tắc đổi dấu rất hay dùng: nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho, tức A/B = (−A)/(−B). Chẳng hạn, (−x)/(1 − x) = x/(x − 1). Quy tắc này thực chất là trường hợp riêng của tính chất nhân: nhân cả tử và mẫu với đa thức −1. Một hệ quả khác cũng thường gặp: đổi dấu tử hoặc mẫu và đồng thời đổi dấu phân thức thì phân thức không đổi, tức A/B = (−A)/(−B) và −(A/B) = (−A)/B = A/(−B). Khi cần tính nhanh giá trị của một phân thức tại một giá trị cụ thể của biến, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Điều quan trọng nhất khi vận dụng tính chất cơ bản là luôn ghi kèm điều kiện của biến. Khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung N, ta phải đảm bảo N khác 0, vì không thể chia cho 0. Chẳng hạn, rút gọn (x² − 1)/(x − 1) thành x + 1 chỉ đúng khi x ≠ 1, vì tại x = 1, phân thức ban đầu không xác định (mẫu bằng 0) trong khi đa thức x + 1 vẫn có giá trị bằng 2. Nói cách khác, hai biểu thức bằng nhau trên tập xác định của phân thức ban đầu, và điều kiện x ≠ 1 là một phần không thể thiếu của đáp án. Nhiều bài kiểm tra trừ điểm chính ở chỗ học sinh rút gọn đúng nhưng quên ghi điều kiện.
Cuối cùng, bạn hãy nhớ một nguyên tắc vàng: chỉ được nhân hoặc chia cả tử và mẫu với cùng một đa thức, chứ không được cộng hay trừ. Cộng thêm 2 vào cả tử và mẫu của 1/2 được 3/4, khác hẳn 1/2 — tính chất cơ bản không cho phép điều đó. Chỉ có phép nhân và phép chia mới "giữ nguyên giá trị" của phân thức, giống như với phân số. Nắm chắc nguyên tắc này, bạn sẽ không bao giờ mắc lỗi "cộng tử cộng mẫu" nữa.
Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Rút gọn phân thức (x² − 1)/(x − 1) và cho biết điều kiện của x.
Bạn phân tích tử thành nhân tử trước: x² − 1 = (x − 1)(x + 1) theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Phân thức trở thành ((x − 1)(x + 1))/(x − 1). Bạn thấy tử và mẫu có nhân tử chung là (x − 1). Bạn chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (x − 1) theo tính chất cơ bản, được x + 1. Bạn ghi điều kiện: x − 1 ≠ 0, tức x ≠ 1. Bạn kiểm tra bằng số: với x = 3, phân thức ban đầu bằng (9 − 1)/(3 − 1) = 8/2 = 4, còn x + 1 = 4 — khớp. Với x = 0, phân thức ban đầu bằng (0 − 1)/(0 − 1) = 1, còn x + 1 = 1 — khớp. Bạn hãy để ý: tại x = 1, phân thức ban đầu không xác định, vì vậy đẳng thức (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 chỉ đúng với x ≠ 1.
Ví dụ 2: Rút gọn phân thức (2x² + 4x)/(2x) và cho biết điều kiện của x.
Bạn phân tích tử thành nhân tử: 2x² + 4x = 2x(x + 2). Phân thức trở thành (2x(x + 2))/(2x). Bạn thấy tử và mẫu có nhân tử chung là 2x. Bạn chia cả tử và mẫu cho 2x, được x + 2. Bạn ghi điều kiện: 2x ≠ 0, tức x ≠ 0. Bạn kiểm tra bằng số: với x = 5, phân thức ban đầu bằng (50 + 20)/10 = 70/10 = 7, còn x + 2 = 7 — khớp. Bạn hãy để ý: nếu bạn chỉ chia tử cho 2 mà quên chia mẫu cho 2, bạn sẽ được (x² + 2x)/(2x) — vẫn chưa rút gọn xong. Tính chất cơ bản đòi hỏi chia CẢ tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung.
Ví dụ 3: Biến đổi phân thức (x + 2)/(x − 3) thành phân thức có mẫu là x² − 2x − 3.
Bạn phân tích mẫu mới: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Bạn thấy mẫu mới bằng mẫu cũ nhân với (x + 1). Theo tính chất cơ bản, bạn nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với (x + 1): tử mới là (x + 2)(x + 1) = x² + 3x + 2, mẫu mới là (x − 3)(x + 1) = x² − 2x − 3. Bạn kết luận (x + 2)/(x − 3) = (x² + 3x + 2)/(x² − 2x − 3) với x ≠ 3 và x ≠ −1. Bạn kiểm tra bằng số: với x = 0, phân thức ban đầu bằng 2/(−3) = −2/3, phân thức mới bằng 2/(−3) = −2/3 — khớp. Bạn hãy để ý: đây chính là bước "quy đồng mẫu thức" mà bạn sẽ dùng rất nhiều khi cộng, trừ các phân thức khác mẫu.
Ví dụ 4: Rút gọn phân thức (x² − 4)/(x + 2) rồi tính giá trị của phân thức đã rút gọn tại x = 10.
Bạn phân tích tử: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Phân thức trở thành ((x − 2)(x + 2))/(x + 2). Bạn chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (x + 2), được x − 2 với điều kiện x ≠ −2. Bạn thay x = 10 vào kết quả đã rút gọn: 10 − 2 = 8. Bạn kiểm tra bằng cách thay trực tiếp vào phân thức ban đầu: (100 − 4)/(10 + 2) = 96/12 = 8 — khớp. Bạn hãy để ý: rút gọn trước rồi mới thay số giúp phép tính nhẹ nhàng hơn rất nhiều, đặc biệt khi số thay vào lớn. Đây là một mẹo làm bài thi rất hữu ích: đừng vội thay số khi phân thức còn cồng kềnh, hãy rút gọn trước.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cộng hoặc trừ cùng một số vào cả tử và mẫu.
Nhiều bạn biến đổi 1/2 thành (1 + 2)/(2 + 2) = 3/4 rồi cho rằng hai phân số bằng nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ tính chất cơ bản chỉ cho phép NHÂN hoặc CHIA cả tử và mẫu với cùng một đa thức, không cho phép cộng hay trừ. Hãy kiểm tra bằng số: 1/2 = 0,5 còn 3/4 = 0,75 — khác nhau rõ ràng.
Lỗi 2: Chỉ chia tử cho nhân tử chung mà quên chia mẫu.
Nhiều bạn rút gọn (2x² + 4x)/(2x) thành (x² + 2x)/(2x) rồi dừng lại, hoặc tệ hơn, thành x² + 2x. Cách tránh: bạn hãy nhớ mỗi lần rút gọn phải chia CẢ tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung, rồi kiểm tra lại bằng cách thay một giá trị số cụ thể vào cả phân thức ban đầu và kết quả.
Lỗi 3: Quên ghi điều kiện của biến khi rút gọn.
Nhiều bạn viết (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 mà không ghi x ≠ 1. Cách tránh: bạn hãy nhớ nhân tử chung mà bạn chia cho phải khác 0, vì vậy điều kiện x ≠ 1 là một phần của đáp án, không phải phần thêm cho đẹp. Hãy tập thói quen viết điều kiện ngay khi vừa tìm ra nhân tử chung.
Lỗi 4: "Rút gọn" bằng cách gạch bỏ các hạng tử giống nhau.
Nhiều bạn gạch x trong (x + 2)/x để được 2, hoặc gạch (x − 1) trong (x² − 1)/(x − 1) mà không phân tích tử thành nhân tử trước. Cách tránh: bạn hãy nhớ chỉ được gạch bỏ NHÂN TỬ chung, không được gạch bỏ HẠNG TỬ. Muốn gạch (x − 1), trước hết phải phân tích tử thành (x − 1)(x + 1) để (x − 1) thực sự là một nhân tử.
Lỗi 5: Đổi dấu chỉ tử hoặc chỉ mẫu mà không đổi dấu phân thức.
Nhiều bạn viết (x − 2)/(3 − x) = (x − 2)/(x − 3) vì nghĩ "đổi dấu mẫu thì được". Cách tránh: bạn hãy nhớ đổi dấu CHỈ mẫu thì phân thức đổi dấu: (x − 2)/(3 − x) = −(x − 2)/(x − 3) = (2 − x)/(x − 3). Muốn phân thức không đổi, phải đổi dấu CẢ tử và mẫu cùng lúc.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ phân tích tử và mẫu thành nhân tử trước khi rút gọn, và ghi điều kiện của biến.
Câu 1: Rút gọn phân thức (x² − 9)/(x − 3) (với x ≠ 3) được kết quả nào?
A. x − 3
B. x + 3
C. x² + 3
D. 3 − x
Câu 2: Rút gọn phân thức (2x)/(x²) (với x ≠ 0) được kết quả nào?
A. 2x
B. x/2
C. 2/x
D. x²
Câu 3: Phân thức nào sau đây bằng phân thức (x + 1)/(x − 2)?
A. (x² + 2x + 1)/(x² − 4x + 4)
B. (x² − 1)/(x² − 3x + 2)
C. (x + 1)/(2 − x)
D. (x − 1)/(x + 2)
Câu 4: Rút gọn phân thức (x² + 2x)/(x + 2) (với x ≠ −2) được kết quả nào?
A. x
B. x + 2
C. 2x
D. x²
Câu 5: Rút gọn phân thức (a² − b²)/(a − b) (với a ≠ b) được kết quả nào?
A. a − b
B. a² + b²
C. a + b
D. 2a
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | B | A | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Bạn phân tích tử: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Phân thức trở thành ((x − 3)(x + 3))/(x − 3). Bạn chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (x − 3), được x + 3. Đáp án A sai vì x − 3 là nhân tử chung đã bị chia hết, không phải kết quả. Đáp án C sai vì x² + 3 không xuất hiện trong phép biến đổi nào. Đáp án D sai vì 3 − x = −(x − 3), trái dấu với kết quả đúng.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Bạn viết (2x)/(x²) = (2 · x)/(x · x), tử và mẫu có nhân tử chung là x. Bạn chia cả tử và mẫu cho x, được 2/x. Đáp án A sai vì 2x là kết quả của phép nhân, không phải phép rút gọn. Đáp án B sai vì x/2 là nghịch đảo của kết quả đúng. Đáp án D sai vì x² là mẫu thức, không phải kết quả rút gọn.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Bạn phân tích tử và mẫu của đáp án B: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (x − 1), được (x + 1)/(x − 2) — đúng phân thức đã cho. Đáp án A sai vì (x² + 2x + 1)/(x² − 4x + 4) = ((x + 1)/(x − 2))², là bình phương của phân thức đã cho. Đáp án C sai vì (x + 1)/(2 − x) = −(x + 1)/(x − 2), trái dấu. Đáp án D sai vì tử và mẫu đều khác hẳn phân thức đã cho.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Bạn phân tích tử: x² + 2x = x(x + 2). Phân thức trở thành (x(x + 2))/(x + 2). Bạn chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (x + 2), được x. Đáp án B sai vì x + 2 là nhân tử chung đã bị chia hết. Đáp án C sai vì 2x gấp đôi kết quả đúng. Đáp án D sai vì x² không xuất hiện trong phép biến đổi nào.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: Bạn phân tích tử theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: a² − b² = (a − b)(a + b). Phân thức trở thành ((a − b)(a + b))/(a − b). Bạn chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (a − b), được a + b. Đáp án A sai vì a − b là nhân tử chung đã bị chia hết. Đáp án B sai vì a² + b² không phân tích được thành (a − b) nhân với một đa thức nào. Đáp án D sai vì 2a chỉ đúng trong trường hợp đặc biệt a = b, mà trường hợp này bị loại bởi điều kiện a ≠ b.
Câu hỏi thường gặp về tính chất cơ bản của phân thức
Hỏi: Vì sao nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức thì phân thức không đổi?
Đáp: Vì nhân cả tử và mẫu với M cũng giống như nhân phân thức với M/M, mà M/M = 1 với mọi M khác 0. Nhân một biểu thức với 1 thì giá trị không đổi. Đây là lí do vì sao điều kiện M khác đa thức 0 là bắt buộc: nếu M = 0 thì M/M không xác định.
Hỏi: Rút gọn phân thức khác gì với quy đồng mẫu thức?
Đáp: Rút gọn là CHIA cả tử và mẫu cho nhân tử chung để phân thức đơn giản hơn, còn quy đồng là NHÂN cả tử và mẫu với một đa thức để các phân thức có cùng mẫu. Cả hai đều dùng tính chất cơ bản, chỉ khác hướng biến đổi: rút gọn đi từ phức tạp về đơn giản, quy đồng đi từ đơn giản về mẫu chung.
Hỏi: Có được rút gọn (x + 2)/x thành 2 không?
Đáp: Không. Bạn chỉ được gạch bỏ nhân tử chung, mà x không phải là nhân tử của tử thức x + 2 (x + 2 là một tổng, không phải một tích). Muốn rút gọn, tử phải viết được dưới dạng tích có chứa nhân tử x. Kiểm tra bằng số: với x = 2, (x + 2)/x = 4/2 = 2 thì trùng hợp đúng, nhưng với x = 3, (x + 2)/x = 5/3, khác hẳn 2.
Hỏi: Khi nào cần ghi điều kiện của biến khi rút gọn?
Đáp: Luôn luôn. Mỗi lần bạn chia cả tử và mẫu cho một nhân tử chung N, bạn phải ghi N ≠ 0, vì phép chia cho 0 là không xác định. Điều kiện này là một phần của đáp án: đẳng thức giữa phân thức ban đầu và phân thức đã rút gọn chỉ đúng trên tập xác định của phân thức ban đầu.
Hỏi: Quy tắc đổi dấu dùng để làm gì?
Đáp: Quy tắc đổi dấu giúp bạn biến đổi phân thức về dạng thuận tiện hơn, chẳng hạn biến mẫu (3 − x) thành (x − 3) để tìm nhân tử chung với một phân thức khác khi quy đồng. Nhờ quy tắc này, bạn không cần học thuộc nhiều dạng mẫu khác nhau mà chỉ cần đổi dấu cả tử và mẫu cho phù hợp.
Kết luận
Tính chất cơ bản của phân thức chỉ gói gọn trong hai câu: nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì phân thức không đổi, và chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung thì phân thức cũng không đổi. Bạn hãy nhớ ba điều: chỉ nhân hoặc chia, không cộng hay trừ; chỉ gạch nhân tử chung, không gạch hạng tử; và luôn ghi điều kiện của biến mỗi khi chia. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để rút gọn bất kì phân thức nào và chuẩn bị sẵn sàng cho phép cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ở những bài tiếp theo.