Bạn có tính được 102² trong đầu không? Nếu bạn đặt bút nhân 102 với 102, bạn sẽ mất cả phút. Nhưng nếu bạn biết một mẹo nhỏ — viết 102 thành 100 + 2 rồi dùng công thức (a + b)² = a² + 2ab + b² — thì đáp án hiện ra ngay: 100² + 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404. Chỉ ba phép tính nhẩm, không cần giấy bút. Đó chính là sức mạnh của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: chúng biến những phép nhân dài dòng thành những công thức ngắn gọn mà bạn có thể dùng ngay trong đầu.
Trong bài viết này, bạn sẽ học thuộc cả bảy hằng đẳng thức theo cách hiểu chứ không phải học vẹt: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước — trong đó có đúng hai ví dụ mẫu trong chương trình là (x + 2)² = x² + 4x + 4 và x² − 9 = (x − 3)(x + 3) — tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn hiểu vì sao các công thức này được gọi là "đáng nhớ" và chúng giúp ích gì cho bạn trong các bài toán sau này.
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là gì?
Ba hằng đẳng thức đầu tiên liên quan tới bình phương. Bình phương của một tổng là (a + b)² = a² + 2ab + b² — bạn hãy nhớ có hạng tử 2ab ở giữa, đó là điểm mà nhiều bạn hay quên nhất. Bình phương của một hiệu là (a − b)² = a² − 2ab + b² — giống hệt công thức trên, chỉ khác dấu của hạng tử giữa. Hiệu hai bình phương là a² − b² = (a − b)(a + b) — công thức duy nhất trong bảy công thức có dạng "tích bằng hiệu", và nó là chìa khóa để phân tích nhiều đa thức thành nhân tử. Bạn có thể tự chứng minh cả ba công thức này bằng phép nhân đa thức đã học: ví dụ (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Hình vuông ở đầu bài minh họa chính xác điều này với a = 3, b = 2: hình vuông cạnh 5 có diện tích 25, được chia thành một ô 9, hai ô 6 và một ô 4.
Bốn hằng đẳng thức còn lại liên quan tới lập phương. Lập phương của một tổng là (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, còn lập phương của một hiệu là (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ — hai công thức này đối xứng nhau qua dấu, với các hệ số 1, 3, 3, 1. Tổng hai lập phương là a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), và hiệu hai lập phương là a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Bạn hãy để ý một quy luật nhỏ giúp nhớ lâu: trong hai công thức phân tích lập phương, dấu của (a² − ab + b²) và (a² + ab + b²) luôn "ngược" với dấu của (a + b) và (a − b) ở thừa số đầu tiên — tổng thì trừ, hiệu thì cộng. Bạn cũng nên nhớ rằng các hằng đẳng thức này đều suy ra từ phép nhân đa thức với đa thức mà bạn đã học, nên nếu lỡ quên công thức trong lúc làm bài, bạn vẫn có thể nhân ra để tự suy lại.
Vì sao bảy công thức này lại "đáng nhớ"? Vì chúng xuất hiện ở khắp nơi trong toán học phổ thông: khai triển biểu thức, phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, giải phương trình, tính nhẩm nhanh, và cả trong hình học khi tính diện tích, thể tích. Một học sinh thuộc lòng bảy hằng đẳng thức sẽ làm bài nhanh gấp nhiều lần so với bạn cùng lớp phải nhân tay từng bước. Khi cần kiểm tra nhanh một phép khai triển dài, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn đối chiếu kết quả. Bạn hãy học bảy công thức này theo từng cặp đối xứng — tổng với hiệu, bình phương với lập phương — và luyện tập bằng cách viết đi viết lại cho tới khi tay bạn viết ra công thức nhanh hơn não bạn nghĩ về nó.
Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Khai triển (x + 2)² và phân tích x² − 9 thành nhân tử.
Bạn khai triển (x + 2)² bằng công thức bình phương của một tổng: (a + b)² = a² + 2ab + b² với a = x, b = 2. Bạn thay số: (x + 2)² = x² + 2 · x · 2 + 2² = x² + 4x + 4. Bạn phân tích x² − 9 bằng công thức hiệu hai bình phương: a² − b² = (a − b)(a + b) với a = x, b = 3 (vì 9 = 3²). Bạn được: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Bạn kiểm tra lại bằng phép nhân ngược: (x − 3)(x + 3) = x² + 3x − 3x − 9 = x² − 9 — đúng bằng đa thức ban đầu. Bạn hãy để ý: khai triển là đi từ tích về tổng, còn phân tích thành nhân tử là đi từ tổng về tích — hai chiều ngược nhau của cùng một hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: Tính nhẩm 102² và 99².
Bạn tính 102² bằng cách viết 102 = 100 + 2 rồi dùng công thức (a + b)² = a² + 2ab + b² với a = 100, b = 2: 102² = 100² + 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404. Bạn tính 99² bằng cách viết 99 = 100 − 1 rồi dùng công thức (a − b)² = a² − 2ab + b² với a = 100, b = 1: 99² = 100² − 2 × 100 × 1 + 1² = 10000 − 200 + 1 = 9801. Bạn hãy để ý: tính nhẩm kiểu này nhanh hơn nhiều so với việc đặt phép nhân 102 × 102 hay 99 × 99 trên giấy, và nó chính là lí do thực tế nhất để bạn học thuộc hằng đẳng thức. Bạn thử kiểm tra bằng máy tính: 102² = 10404 và 99² = 9801 — khớp hoàn toàn.
Ví dụ 3: Phân tích 8x³ + 27 thành nhân tử.
Bạn nhận ra 8x³ = (2x)³ và 27 = 3³, nên đây là tổng hai lập phương a³ + b³ với a = 2x, b = 3. Bạn dùng công thức a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²): 8x³ + 27 = (2x + 3)((2x)² − 2x · 3 + 3²) = (2x + 3)(4x² − 6x + 9). Bạn kiểm tra lại bằng phép nhân ngược: (2x + 3)(4x² − 6x + 9) = 8x³ − 12x² + 18x + 12x² − 18x + 27 = 8x³ + 27 — các hạng tử −12x² và 12x² triệt tiêu nhau, 18x và −18x triệt tiêu nhau, còn lại đúng 8x³ + 27. Bạn hãy để ý dấu trừ trong thừa số thứ hai (a² − ab + b²): nhiều bạn viết nhầm thành dấu cộng, nhưng công thức tổng hai lập phương bắt buộc phải có dấu trừ ở giữa.
Ví dụ 4: Khai triển (2a − b)³.
Bạn dùng công thức lập phương của một hiệu: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, trong đó vai trò của a do 2a đảm nhận và vai trò của b do b đảm nhận. Bạn tính từng hạng tử: (2a)³ = 8a³; −3(2a)²b = −3 × 4a² × b = −12a²b; +3(2a)b² = 6ab²; −b³ giữ nguyên. Bạn cộng bốn hạng tử lại: (2a − b)³ = 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³. Bạn hãy để ý hai chỗ dễ sai: thứ nhất, (2a)² = 4a² chứ không phải 2a² — hệ số 2 cũng phải bình phương; thứ hai, dấu của các hạng tử xen kẽ nhau: dương, âm, dương, âm. Bạn kiểm tra nhanh bằng cách thay a = 1, b = 1: vế trái (2 − 1)³ = 1; vế phải 8 − 12 + 6 − 1 = 1 — khớp nhau, kết quả đúng.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Viết (a + b)² = a² + b², quên mất hạng tử 2ab.
Đây là lỗi phổ biến nhất khi học hằng đẳng thức. Nhiều bạn nghĩ bình phương của một tổng thì bằng tổng các bình phương, nhưng thực tế (a + b)² = a² + 2ab + b² — còn thiếu hạng tử 2ab. Cách tránh: bạn hãy luôn nhân ra thử với số cụ thể, ví dụ (1 + 2)² = 9 trong khi 1² + 2² = 5 — rõ ràng 9 khác 5, nên công thức a² + b² là sai. Hình vuông ở đầu bài cũng cho thấy hai ô ab ở giữa không thể bỏ qua.
Lỗi 2: Nhầm dấu của hạng tử giữa trong (a − b)².
Nhiều bạn viết (a − b)² = a² + 2ab + b² — dùng nhầm dấu cộng thay vì dấu trừ. Cách tránh: bạn hãy nhớ cặp công thức bình phương của tổng và hiệu chỉ khác nhau ở dấu của hạng tử 2ab: tổng thì cộng, hiệu thì trừ. Bạn cũng có thể kiểm tra bằng số: (5 − 3)² = 4, trong khi 25 + 30 + 9 = 64 — sai hoàn toàn; còn 25 − 30 + 9 = 4 — đúng.
Lỗi 3: Nhầm a³ + b³ với (a + b)³.
Nhiều bạn cho rằng a³ + b³ = (a + b)³, nhưng thực tế (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ — còn thừa hai hạng tử 3a²b và 3ab². Cách tránh: bạn hãy nhớ tổng hai lập phương có công thức phân tích riêng: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Bạn kiểm tra bằng số: 1³ + 2³ = 9, còn (1 + 2)³ = 27 — hai số khác nhau rõ ràng.
Lỗi 4: Quên bình phương (hoặc lập phương) hệ số.
Nhiều bạn viết (2x)² = 2x² — quên bình phương hệ số 2, trong khi đáp án đúng là 4x². Cách tránh: bạn hãy nhớ khi lũy thừa một tích thì lũy thừa từng thừa số: (2x)² = 2² · x² = 4x², (3a)³ = 27a³. Bạn nên viết rõ bước trung gian (2x)² = 2² × x² để không bỏ sót hệ số.
Lỗi 5: Áp dụng hiệu hai bình phương cho tổng hai bình phương.
Nhiều bạn viết a² + b² = (a + b)(a − b) — nhưng công thức này là sai, vì (a − b)(a + b) = a² − b² chứ không phải a² + b². Cách tránh: bạn hãy nhớ tổng hai bình phương a² + b² KHÔNG phân tích được thành nhân tử trong tập hợp số thực — chỉ có hiệu hai bình phương mới phân tích được. Bạn kiểm tra bằng số: 3² + 4² = 25, còn (3 + 4)(3 − 4) = −7 — hoàn toàn khác nhau.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ viết rõ a và b là gì trong từng câu trước khi áp dụng công thức.
Câu 1: Khai triển (x + 3)² được kết quả nào?
A. x² + 9
B. x² + 6x + 9
C. x² + 3x + 9
D. x² + 6x − 9
Câu 2: Phân tích x² − 16 thành nhân tử được kết quả nào?
A. (x − 4)(x + 4)
B. (x − 4)²
C. (x + 4)²
D. (x − 16)(x + 1)
Câu 3: Khai triển (a − 2)³ được kết quả nào?
A. a³ − 6a² − 12a − 8
B. a³ + 6a² + 12a + 8
C. a³ − 6a² + 12a − 8
D. a³ − 2a² + 4a − 8
Câu 4: Phân tích 49 − m² thành nhân tử được kết quả nào?
A. (7 − m)(7 + m)
B. (7 − m)²
C. (49 − m)(49 + m)
D. (7 + m)²
Câu 5: Khai triển (2x + 1)² được kết quả nào?
A. 4x² + 2x + 1
B. 4x² + 4x + 1
C. 2x² + 4x + 1
D. 4x² + 1
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | C | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9. Đáp án A sai vì quên hạng tử 2ab = 6x. Đáp án C sai vì tính nhầm 2 · x · 3 = 3x (thực ra 2 × 3 = 6 nên hạng tử giữa là 6x). Đáp án D sai vì hạng tử 3² = 9 mang dấu cộng, không phải dấu trừ.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4) theo công thức hiệu hai bình phương. Đáp án B sai vì (x − 4)² = x² − 8x + 16, khác với x² − 16. Đáp án C sai vì (x + 4)² = x² + 8x + 16. Đáp án D sai vì 16 không phân tích thành 16 × 1 theo cách này — công thức hiệu hai bình phương yêu cầu căn bậc hai của 16 là 4.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: (a − 2)³ = a³ − 3a² · 2 + 3a · 2² − 2³ = a³ − 6a² + 12a − 8. Đáp án A sai vì tính nhầm dấu của hạng tử 3ab²: +3 × a × 4 = +12a, không phải −12a. Đáp án B sai vì dùng nhầm công thức lập phương của một tổng thay vì của một hiệu. Đáp án D sai vì bỏ qua hệ số 3 trong các hạng tử giữa.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: 49 − m² = 7² − m² = (7 − m)(7 + m) theo công thức hiệu hai bình phương. Đáp án B sai vì (7 − m)² = 49 − 14m + m², khác với 49 − m². Đáp án C sai vì 49 không phải là căn bậc hai của 49 trong vai trò của a — a phải là 7, không phải 49. Đáp án D sai vì (7 + m)² = 49 + 14m + m².
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: (2x + 1)² = (2x)² + 2 · 2x · 1 + 1² = 4x² + 4x + 1. Đáp án A sai vì tính nhầm 2 · 2x · 1 = 2x (thực ra 2 × 2 = 4 nên hạng tử giữa là 4x). Đáp án C sai vì tính nhầm (2x)² = 2x² (thực ra 2² = 4 nên (2x)² = 4x²). Đáp án D sai vì quên hạng tử 2ab = 4x.
Câu hỏi thường gặp về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
Hỏi: Vì sao bảy công thức này được gọi là "đáng nhớ"?
Đáp: Vì chúng được dùng đi dùng lại trong suốt chương trình toán phổ thông, từ lớp 8 tới lớp 12: khai triển, phân tích thành nhân tử, rút gọn phân thức, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức. Học sinh nào thuộc lòng bảy công thức này sẽ làm bài nhanh và chính xác hơn hẳn. Người ta gọi chúng là "đáng nhớ" để nhấn mạnh rằng bạn bắt buộc phải nhớ, không được phép quên.
Hỏi: (a + b)³ khác a³ + b³ ở chỗ nào?
Đáp: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, còn a³ + b³ chỉ là hai hạng tử đầu và cuối của khai triển đó. Hai biểu thức này chỉ bằng nhau khi 3a²b + 3ab² = 0, tức khi a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = −b. Trong các trường hợp còn lại, (a + b)³ luôn lớn hơn a³ + b³ (khi a, b cùng dương). Bạn đừng bao giờ đồng nhất hai công thức này với nhau.
Hỏi: Học thuộc bảy hằng đẳng thức bằng cách nào cho nhanh?
Đáp: Bạn hãy học theo từng cặp đối xứng: bình phương của tổng với bình phương của hiệu, lập phương của tổng với lập phương của hiệu, tổng hai lập phương với hiệu hai lập phương, còn hiệu hai bình phương đứng riêng một mình. Bạn viết mỗi công thức ra giấy 5 lần, rồi tự kiểm tra bằng cách che công thức và viết lại từ trí nhớ. Sau đó, bạn luyện thêm bằng các bài tập khai triển và phân tích thành nhân tử — dùng nhiều thì sẽ nhớ lâu.
Hỏi: Hằng đẳng thức có dùng được với số âm không?
Đáp: Có, hoàn toàn dùng được, vì các công thức đúng với mọi số thực a, b — kể cả số âm. Ví dụ, (x − 5)² = x² − 10x + 25 vẫn đúng theo công thức bình phương của một hiệu với b = 5. Bạn chỉ cần cẩn thận với dấu khi thay số âm vào công thức: ví dụ a = −2 thì a² = 4 (dấu trừ biến mất khi bình phương), còn a³ = −8 (dấu trừ còn nguyên khi lập phương).
Hỏi: Hằng đẳng thức giúp ích gì ngoài việc tính toán?
Đáp: Ngoài việc tính nhẩm nhanh, hằng đẳng thức còn là công cụ để phân tích đa thức thành nhân tử — bước quan trọng để giải phương trình bậc hai, rút gọn phân thức và chứng minh nhiều bài toán hình học. Ví dụ, để rút gọn phân thức (x² − 9)/(x − 3), bạn phải phân tích tử thành (x − 3)(x + 3) rồi mới rút gọn được thành x + 3. Không có hằng đẳng thức, bạn sẽ không làm được những bài toán này.
Kết luận
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ chỉ gói gọn trong bảy dòng công thức, nhưng chúng là chìa khóa mở ra cả một chương lớn của đại số lớp 8. Bạn hãy nhớ ba điều: bình phương của tổng và hiệu chỉ khác nhau ở dấu của hạng tử 2ab; hiệu hai bình phương phân tích được còn tổng hai bình phương thì không; và lập phương của tổng với tổng hai lập phương là hai công thức hoàn toàn khác nhau. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để khai triển và phân tích thành nhân tử bất kì biểu thức nào trong chương trình lớp 8 — và cũng đã có trong tay một công cụ tính nhẩm mà bạn bè của bạn sẽ phải trầm trồ mỗi khi bạn đọc đáp án nhanh hơn cả máy tính.