Nhân đa thức và chia đa thức cho đơn thức: công thức, ví dụ lớp 8

Bác Tư có một mảnh vườn hình chữ nhật. Chiều dài của mảnh vườn là (x + 4) mét, chiều rộng là 3x mét, trong đó x là một số đo mà bác chưa chốt. Muốn biết diện tích mảnh vườn, bác phải nhân hai đa thức với nhau: 3x(x + 4). Phép nhân này không khó như vẻ ngoài của nó: lấy 3x nhân với từng hạng tử trong ngoặc, 3x nhân x được 3x², 3x nhân 4 được 12x, cộng lại thành 3x² + 12x. Nếu x = 10 mét thì diện tích là 3 × 100 + 120 = 420 mét vuông. Chỉ một phép nhân đơn thức với đa thức mà bác Tư đã tính được diện tích cả mảnh vườn — và đó cũng là khởi đầu của bài học hôm nay.

Trong bài viết này, bạn sẽ nắm vững ba phép tính nền tảng của chương trình Đại số lớp 8: nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức và chia đa thức cho đơn thức. Bạn sẽ hiểu rõ công thức của từng phép tính, tính 4 ví dụ từng bước — trong đó có đúng hai ví dụ mẫu trong chương trình là 3xy(x² − y) và (6x³ + 9x²) : 3x — tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn phân biệt được khi nào thì cộng số mũ, khi nào thì trừ số mũ, và vì sao chia đa thức cho đơn thức lại phải chia từng hạng tử một.

Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức và chia đa thức cho đơn thức là gì?

Nhân đơn thức với đa thức là phép tính đơn giản nhất trong ba phép tính của bài này. Quy tắc là: muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. Công thức tổng quát là A(B + C) = AB + AC. Chẳng hạn, 2x(x + 3) = 2x · x + 2x · 3 = 2x² + 6x. Khi nhân, bạn nhớ hai quy tắc nhỏ: nhân hệ số với hệ số, và nhân lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ với nhau — ví dụ x · x² = x³, 2x · 3x² = 6x³. Bạn hãy hình dung đơn thức như một người đi gõ cửa từng nhà trong khu phố: nó phải ghé qua từng hạng tử một, không được bỏ sót nhà nào, và kết quả cuối cùng là tổng của tất cả các lần ghé thăm đó.

Nhân đa thức với đa thức chỉ là bước mở rộng tự nhiên của quy tắc trên. Muốn nhân hai đa thức với nhau, ta lấy mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất nhân với từng hạng tử của đa thức thứ hai rồi cộng các tích với nhau. Công thức tổng quát là (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD. Ví dụ, (x + 1)(x + 2) = x · x + x · 2 + 1 · x + 1 · 2 = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2. Bạn thấy có hai hạng tử đồng dạng là 2x và x, nên bước cuối cùng luôn là thu gọn các hạng tử đồng dạng. Hình ảnh mô hình diện tích ở đầu bài chính là cách hình dung trực quan nhất cho phép nhân này: mỗi tích là diện tích một ô chữ nhật, và tổng diện tích của cả hình lớn chính là kết quả của phép nhân. Cách nhân này cũng là nền tảng để bạn học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở bài tiếp theo — thực ra mỗi hằng đẳng thức chỉ là một phép nhân đa thức được viết gọn lại mà thôi.

Chia đa thức cho đơn thức là phép tính ngược lại của phép nhân. Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (khác 0), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó rồi cộng các thương với nhau. Công thức tổng quát là (A + B) : C = A : C + B : C, với điều kiện C ≠ 0. Ví dụ, (6x³ + 9x²) : 3x = 6x³ : 3x + 9x² : 3x = 2x² + 3x. Khi chia, bạn nhớ quy tắc ngược với phép nhân: chia hệ số cho hệ số, và chia lũy thừa cùng cơ số thì trừ số mũ — ví dụ x³ : x = x², x⁵ : x² = x³. Điều kiện tiên quyết là đơn thức chia phải khác 0, và mỗi hạng tử của đa thức bị chia đều phải chia hết cho đơn thức chia — nếu có một hạng tử không chia hết thì phép chia đó không thực hiện được trong chương trình lớp 8. Khi cần kiểm tra nhanh một phép nhân hay phép chia đa thức dài, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ tính toán và đối chiếu kết quả.

Ba quy tắc nền tảng mà bạn phải thuộc lòng trước khi làm bất kì bài tập nào là: thứ nhất, quy tắc về dấu — hai số cùng dấu nhân (hoặc chia) với nhau cho kết quả dương, hai số khác dấu cho kết quả âm; thứ hai, nhân lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ (x² · x³ = x⁵); thứ ba, chia lũy thừa cùng cơ số thì trừ số mũ (x⁵ : x² = x³). Nhiều bạn nhầm lẫn hai quy tắc về số mũ này với nhau, nên hãy nhớ bằng một mẹo nhỏ: nhân là "gộp vào" nên số mũ tăng lên (cộng), chia là "lấy ra" nên số mũ giảm đi (trừ). Một điểm nữa cần lưu ý: đa thức nhiều biến — ví dụ 3xy hay x²y — cũng tuân theo đúng các quy tắc trên, chỉ khác là bạn phải nhân (hoặc chia) từng biến một cách cẩn thận, biến nào không xuất hiện trong thừa số kia thì giữ nguyên.

Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính 3xy(x² − y) và (6x³ + 9x²) : 3x.
Bạn tính phép nhân trước: 3xy(x² − y) = 3xy · x² + 3xy · (−y). Bạn tính từng tích: 3xy · x² = 3 · x · y · x² = 3x³y (hệ số 3 nhân 1 được 3, x nhân x² được x³, y giữ nguyên); 3xy · (−y) = −3xy² (hệ số 3 nhân −1 được −3, y nhân y được y²). Bạn cộng hai tích lại: 3x³y − 3xy². Bạn tính phép chia sau: (6x³ + 9x²) : 3x = 6x³ : 3x + 9x² : 3x. Bạn tính từng thương: 6x³ : 3x = 2x² (6 chia 3 được 2, x³ chia x được x²); 9x² : 3x = 3x (9 chia 3 được 3, x² chia x được x). Bạn cộng hai thương lại: 2x² + 3x. Bạn kiểm tra lại bằng phép nhân ngược: (2x² + 3x) · 3x = 6x³ + 9x² — đúng bằng đa thức ban đầu, nên kết quả chia là chính xác.

Ví dụ 2: Tính (2x + 3)(x − 5).
Bạn nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai: 2x · x = 2x²; 2x · (−5) = −10x; 3 · x = 3x; 3 · (−5) = −15. Bạn cộng bốn tích lại: 2x² − 10x + 3x − 15. Bạn thu gọn các hạng tử đồng dạng: −10x + 3x = −7x. Bạn được kết quả cuối cùng: 2x² − 7x − 15. Bạn hãy để ý dấu của từng tích: tích 2x · (−5) mang dấu trừ vì hai thừa số khác dấu, còn tích 3 · (−5) cũng mang dấu trừ vì cùng lí do. Nếu bạn thử thay x = 5 vào cả hai vế để kiểm tra: vế trái (2 × 5 + 3)(5 − 5) = 13 × 0 = 0; vế phải 2 × 25 − 7 × 5 − 15 = 50 − 35 − 15 = 0 — hai vế bằng nhau, kết quả đúng.

Ví dụ 3: Tính (x² + 2x − 1)(3x − 2).
Bạn nhân từng hạng tử: x² · 3x = 3x³; x² · (−2) = −2x²; 2x · 3x = 6x²; 2x · (−2) = −4x; (−1) · 3x = −3x; (−1) · (−2) = 2. Bạn cộng sáu tích lại: 3x³ − 2x² + 6x² − 4x − 3x + 2. Bạn thu gọn: −2x² + 6x² = 4x²; −4x − 3x = −7x. Bạn được kết quả: 3x³ + 4x² − 7x + 2. Bạn hãy để ý tích cuối cùng (−1) · (−2) = 2 mang dấu cộng vì hai thừa số cùng dấu âm — đây là chỗ nhiều bạn hay viết nhầm thành −2. Một mẹo kiểm tra nhanh: thay x = 1 vào hai vế, vế trái (1 + 2 − 1)(3 − 2) = 2 × 1 = 2; vế phải 3 + 4 − 7 + 2 = 2 — khớp nhau, kết quả đúng.

Ví dụ 4: Tính (12x⁴y − 8x³y² + 4xy³) : (4xy).
Bạn chia từng hạng tử cho đơn thức 4xy: 12x⁴y : 4xy = 3x³ (12 chia 4 được 3, x⁴ chia x được x³, y chia y hết); −8x³y² : 4xy = −2x²y (−8 chia 4 được −2, x³ chia x được x², y² chia y được y); 4xy³ : 4xy = y² (4 chia 4 được 1, x chia x hết, y³ chia y được y²). Bạn cộng ba thương lại: 3x³ − 2x²y + y². Bạn kiểm tra bằng phép nhân ngược: (3x³ − 2x²y + y²) · 4xy = 12x⁴y − 8x³y² + 4xy³ — đúng bằng đa thức ban đầu. Bạn hãy để ý: mỗi hạng tử của đa thức bị chia đều chia hết cho 4xy, vì vậy phép chia thực hiện được trọn vẹn và kết quả vẫn là một đa thức. Nếu một hạng tử nào đó không chia hết — ví dụ đa thức có thêm hạng tử 5x thì 5x : 4xy không phải là một đơn thức — phép chia sẽ không thực hiện được trong phạm vi lớp 8.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Quên nhân hạng tử cuối cùng của đa thức.
Nhiều bạn tính 2x(x + 3) thành 2x² + 3 — chỉ nhân 2x với x mà quên nhân 2x với 3. Cách tránh: bạn hãy đếm số hạng tử trong ngoặc trước khi nhân, và sau khi nhân xong thì đếm lại số tích — số tích phải bằng số hạng tử trong ngoặc. Với 2x(x + 3), ngoặc có hai hạng tử nên phải có hai tích: 2x² và 6x, kết quả đúng là 2x² + 6x.

Lỗi 2: Sai dấu khi nhân hai số khác dấu.
Nhiều bạn tính (x − 2)(x + 3) thành x² + x + 6 — viết nhầm tích (−2) · 3 = −6 thành +6. Cách tránh: bạn hãy xác định dấu của từng tích trước khi tính giá trị: hai thừa số cùng dấu thì tích dương, khác dấu thì tích âm. Bạn nên viết dấu ngay khi nhân, đừng để đến lúc thu gọn mới xét dấu.

Lỗi 3: Cộng số mũ khi nhân lũy thừa — nhưng cộng sai cách.
Nhiều bạn tính x² · x³ = x⁶ — lấy 2 nhân 3 thay vì cộng 2 với 3. Cách tránh: bạn hãy nhớ nhân lũy thừa cùng cơ số thì CỘNG số mũ: x² · x³ = x² ⁺ ³ = x⁵. Chỉ khi nào lũy thừa của lũy thừa, ví dụ (x²)³, thì mới nhân số mũ: (x²)³ = x⁶. Hai trường hợp này khác nhau hoàn toàn, đừng để nhầm lẫn.

Lỗi 4: Chia đa thức cho đơn thức nhưng chỉ chia hạng tử đầu.
Nhiều bạn tính (6x³ + 9x²) : 3x = 2x² — chia xong hạng tử đầu rồi quên mất hạng tử 9x². Cách tránh: bạn hãy nhớ phép chia đa thức cho đơn thức cũng phải chia TỪNG hạng tử, giống hệt phép nhân. Bạn nên viết rõ từng thương ra giấy: 6x³ : 3x = 2x², 9x² : 3x = 3x, rồi mới cộng lại thành 2x² + 3x.

Lỗi 5: Quên điều kiện đơn thức chia khác 0 và chia lũy thừa sai.
Nhiều bạn tính x³ : x = x³ — quên trừ số mũ, hoặc chia một đa thức cho đơn thức bằng 0 mà không nhận ra phép chia vô nghĩa. Cách tránh: bạn hãy nhớ chia lũy thừa cùng cơ số thì TRỪ số mũ: x³ : x = x³ ⁻ ¹ = x². Và trước khi chia, luôn kiểm tra đơn thức chia có khác 0 hay không — chia cho 0 là phép toán không xác định trong toán học.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ nhân (hoặc chia) từng hạng tử một và thu gọn hạng tử đồng dạng ở bước cuối.

Câu 1: Kết quả của phép nhân 2x(x − 3) là gì?
A. 2x² − 6x
B. 2x² − 3
C. 2x² + 6x
D. 2x − 6

Câu 2: Kết quả của phép nhân (x + 2)(x + 5) là gì?
A. x² + 10
B. x² + 7x + 10
C. x² + 3x + 10
D. x² + 7x − 10

Câu 3: Kết quả của phép chia (8x³ − 4x²) : (2x) là gì?
A. 4x² − 4x
B. 4x² − 2x
C. 8x² − 2x
D. 4x³ − 2x

Câu 4: Kết quả của phép nhân (3a − 2)(a + 4) là gì?
A. 3a² + 14a − 8
B. 3a² − 10a − 8
C. 3a² + 10a − 8
D. 3a² + 10a + 8

Câu 5: Kết quả của phép nhân x²y(2x − y) là gì?
A. 2x³y − xy²
B. 2x²y − x²y²
C. 2x³y − x²y²
D. 2x³y² − x²y

Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: 2x(x − 3) = 2x · x + 2x · (−3) = 2x² − 6x. Đáp án B sai vì quên nhân 2x với −3 mà chỉ giữ nguyên −3. Đáp án C sai vì viết nhầm dấu của tích 2x · (−3) thành +6x. Đáp án D sai vì nhân sai cả hệ số lẫn số mũ.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10. Đáp án A sai vì bỏ qua hai tích 5x và 2x. Đáp án C sai vì chỉ cộng 2x mà quên 5x (5x + 2x = 7x, không phải 3x). Đáp án D sai vì tích 2 · 5 = 10 mang dấu cộng, không phải dấu trừ.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: (8x³ − 4x²) : (2x) = 8x³ : 2x − 4x² : 2x = 4x² − 2x. Đáp án A sai vì tính nhầm 4x² : 2x = 4x (thực ra 4 chia 2 được 2, x² chia x được x nên thương là 2x). Đáp án C sai vì quên chia hệ số 8 cho 2. Đáp án D sai vì tính nhầm 8x³ : 2x = 4x³ (x³ chia x được x², không phải x³).

Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: (3a − 2)(a + 4) = 3a² + 12a − 2a − 8 = 3a² + 10a − 8. Đáp án A sai vì tính nhầm −2a thành +2a (12a − 2a = 10a, không phải 14a). Đáp án B sai vì tính nhầm 12a − 2a thành −10a. Đáp án D sai vì tích (−2) · 4 = −8 mang dấu trừ, không phải dấu cộng.

Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: x²y(2x − y) = x²y · 2x − x²y · y = 2x³y − x²y². Đáp án A sai vì tính nhầm x²y · y = xy² (thực ra x² giữ nguyên, y · y = y² nên tích là x²y²). Đáp án B sai vì tính nhầm x²y · 2x = 2x²y (x² · x = x³, không phải x²). Đáp án D sai vì tính nhầm x²y · 2x = 2x³y² (y chỉ xuất hiện một lần, không phải y²).

Câu hỏi thường gặp về nhân và chia đa thức

Hỏi: Nhân đơn thức với đa thức khác gì nhân hai đa thức với nhau?
Đáp: Nhân đơn thức với đa thức chỉ cần nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức, còn nhân hai đa thức thì mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất phải nhân với từng hạng tử của đa thức thứ hai. Ví dụ, 2x(x + 3) chỉ có hai tích, còn (x + 2)(x + 3) có tới bốn tích. Nhân hai đa thức thực chất là lặp lại phép nhân đơn thức với đa thức nhiều lần.

Hỏi: Vì sao nhân lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ, còn chia thì trừ số mũ?
Đáp: Vì x² · x³ có nghĩa là (x · x) · (x · x · x) = x⁵ — đếm tổng số thừa số x là 2 + 3 = 5. Còn x⁵ : x² có nghĩa là bỏ đi hai thừa số x trong năm thừa số, còn lại ba thừa số, tức x³ — số mũ là 5 − 2 = 3. Hiểu được bản chất này thì bạn sẽ không bao giờ nhầm lẫn nữa.

Hỏi: Chia đa thức cho đơn thức cần điều kiện gì?
Đáp: Cần hai điều kiện: đơn thức chia phải khác 0, và mỗi hạng tử của đa thức bị chia đều phải chia hết cho đơn thức chia. Ví dụ, (6x³ + 9x²) : 3x thực hiện được vì cả hai hạng tử đều chia hết cho 3x. Nếu đa thức có hạng tử không chia hết, chẳng hạn (6x³ + 5) : 3x, thì phép chia không thực hiện được trong chương trình lớp 8.

Hỏi: Có thể chia đa thức cho đa thức không?
Đáp: Trong chương trình Toán 8, bạn chỉ học chia đa thức cho đơn thức. Phép chia đa thức cho đa thức sẽ được học ở lớp cao hơn, với quy trình dài hơn nhiều. Tuy nhiên, một số trường hợp đặc biệt vẫn làm được ngay từ lớp 8 nhờ hằng đẳng thức, ví dụ (x² − 9) : (x − 3) = x + 3 vì x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

Hỏi: Nhân đa thức nhiều biến khác gì nhân đa thức một biến?
Đáp: Về quy tắc thì không khác gì nhau: vẫn nhân từng hạng tử với nhau và cộng số mũ khi nhân lũy thừa cùng cơ số. Điểm khác duy nhất là bạn phải xử lí từng biến một cách cẩn thận: ví dụ 3xy · x² = 3x³y — biến x thì nhân lũy thừa (x · x² = x³), biến y không có trong thừa số thứ hai thì giữ nguyên. Bạn nên viết rõ từng bước để không bỏ sót biến nào.

Kết luận

Nhân và chia đa thức chỉ gói gọn trong ba công thức: A(B + C) = AB + AC, (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD và (A + B) : C = A : C + B : C. Bạn hãy nhớ ba điều: nhân (hoặc chia) từng hạng tử một, không bỏ sót hạng tử nào; nhân lũy thừa thì cộng số mũ, chia lũy thừa thì trừ số mũ; và luôn kiểm tra dấu của từng tích trước khi thu gọn. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để nhân và chia bất kì đa thức nào trong chương trình lớp 8 — và cũng đã có nền tảng vững chắc để học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, nơi mỗi công thức chỉ là một phép nhân đa thức được viết gọn lại.