Bạn có một thanh gỗ dài 10 cm và muốn cưa nó thành hai đoạn sao cho đoạn này dài gấp rưỡi đoạn kia — nhưng bạn chỉ có một chiếc thước kẻ góc mà không có thước đo độ dài? Nghe có vẻ không thể, vậy mà hình học lớp 8 cho bạn một cách làm rất đẹp: chỉ cần vẽ một tam giác có hai cạnh kề tỉ lệ 2 : 3 rồi kẻ đường phân giác của góc xen giữa, điểm phân giác chạm tới cạnh đối diện sẽ chia đúng đoạn thẳng ấy theo tỉ lệ 2 : 3. Đó chính là sức mạnh của tính chất đường phân giác — một đường thẳng chia góc lại âm thầm chia cả cạnh đối diện theo đúng tỉ lệ của hai cạnh kề.
Trong bài viết này, bạn sẽ hiểu đường phân giác là gì, vì sao nó chia cạnh đối diện theo tỉ lệ hai cạnh kề, và cách dùng tính chất này để tìm độ dài đoạn thẳng khi chỉ biết một vài số liệu. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước, tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn phân biệt được phân giác trong với phân giác ngoài và biết khi nào thì tính chất này không còn đúng nữa.
Tính chất đường phân giác của tam giác là gì?
Đường phân giác của một góc là tia nằm trong góc đó, xuất phát từ đỉnh của góc và chia góc thành hai góc bằng nhau. Trong tam giác ABC, nếu tia AD là phân giác của góc A và D nằm trên cạnh BC thì AD được gọi là đường phân giác trong của tam giác ứng với đỉnh A. Tính chất quan trọng nhất của nó được phát biểu như sau: trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy. Viết thành công thức với tam giác ABC và phân giác AD, ta có DB chia DC bằng AB chia AC. Bạn hãy đọc công thức này theo nghĩa hình học: đoạn DB kề với cạnh AB, đoạn DC kề với cạnh AC, và hai đoạn ấy dài ngắn đúng theo tỉ lệ của hai cạnh kề tương ứng — cạnh nào dài hơn thì đoạn sát nó cũng dài hơn theo cùng tỉ lệ.
Tính chất này còn có chiều ngược lại, gọi là định lí đảo: nếu điểm D nằm trên cạnh BC và thỏa mãn DB chia DC bằng AB chia AC thì AD chính là đường phân giác của góc A. Nhờ định lí đảo, bạn có thể chứng minh một tia là phân giác chỉ bằng cách đo độ dài các đoạn thẳng, không cần đo góc. Ngoài phân giác trong, mỗi góc của tam giác còn có một phân giác ngoài — tia phân giác của góc kề bù với góc trong. Phân giác ngoài cũng có tính chất tương tự: nó cắt đường thẳng BC tại một điểm E nằm ngoài đoạn BC và thỏa mãn EB chia EC bằng AB chia AC. Một điều thú vị nữa là phân giác trong và phân giác ngoài tại cùng một đỉnh luôn vuông góc với nhau, vì hai góc mà chúng chia đôi cộng lại bằng 180 độ nên một nửa tổng bằng 90 độ.
Ba đường phân giác trong của một tam giác cắt nhau tại một điểm duy nhất, gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác, vì bất kì điểm nào nằm trên đường phân giác của một góc cũng cách đều hai cạnh của góc đó. Đây chính là lí do vì sao người ta dùng giao điểm ba đường phân giác để xác định tâm của đường tròn nội tiếp — một ứng dụng rất đẹp của tính chất đường phân giác trong thực tế, từ việc thiết kế bánh xe đến việc đặt vị trí đài phun nước cách đều ba con đường. Khi cần tính nhanh các tỉ lệ và độ dài đoạn thẳng trong bài toán phân giác, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Tính chất đường phân giác gắn bó chặt chẽ với định lí Thalès mà bạn đã học trước đó — thực ra, người ta chứng minh định lí đường phân giác bằng cách kẻ thêm một đường thẳng song song rồi áp dụng định lí Thalès. Muốn ôn lại cách các đoạn thẳng tỉ lệ với nhau khi có đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác, bạn hãy xem bài công thức tỉ số đồng dạng của hai hình đồng dạng phối cảnh — ở đó, tỉ lệ các đoạn thẳng cũng tuân theo những quy luật tương tự như tỉ lệ DB chia DC trong bài này.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho tam giác ABC có AB bằng 6 cm, AC bằng 9 cm, BC bằng 10 cm. Đường phân giác AD của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính độ dài hai đoạn DB và DC.
Bạn áp dụng tính chất đường phân giác: DB chia DC bằng AB chia AC bằng 6 chia 9 bằng 2 chia 3. Bạn đặt DB bằng 2 phần và DC bằng 3 phần, tổng hai đoạn bằng BC bằng 10 cm, nên mỗi phần bằng 10 chia 5 bằng 2 cm. Bạn tính DB bằng 2 nhân 2 bằng 4 cm và DC bằng 3 nhân 2 bằng 6 cm. Bạn kiểm tra: DB cộng DC bằng 4 cộng 6 bằng 10 cm — khớp với BC, và DB chia DC bằng 4 chia 6 bằng 2 chia 3 — khớp với AB chia AC. Bạn hãy để ý: đoạn DB kề với cạnh AB ngắn hơn nên DB ngắn hơn DC, đúng như trực giác "cạnh nào dài hơn thì đoạn sát nó dài hơn".
Ví dụ 2 (tìm DB, DC với số liệu lớn hơn): Cho tam giác ABC có AB bằng 8 cm, AC bằng 12 cm, BC bằng 15 cm. Đường phân giác AD của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính độ dài hai đoạn DB và DC.
Bạn áp dụng tính chất đường phân giác: DB chia DC bằng AB chia AC bằng 8 chia 12 bằng 2 chia 3. Bạn đặt DB bằng 2 phần và DC bằng 3 phần, tổng hai đoạn bằng BC bằng 15 cm, nên mỗi phần bằng 15 chia 5 bằng 3 cm. Bạn tính DB bằng 2 nhân 3 bằng 6 cm và DC bằng 3 nhân 3 bằng 9 cm. Bạn kiểm tra: DB cộng DC bằng 6 cộng 9 bằng 15 cm — khớp với BC, và DB chia DC bằng 6 chia 9 bằng 2 chia 3 — khớp với AB chia AC. Bạn hãy để ý: tỉ lệ DB chia DC vẫn là 2 chia 3 như Ví dụ 1, vì tỉ lệ AB chia AC vẫn là 8 chia 12 bằng 2 chia 3 — chỉ có độ dài tuyệt đối thay đổi theo BC, còn tỉ lệ thì không đổi.
Ví dụ 3 (tìm cạnh khi biết tỉ lệ đoạn): Cho tam giác ABC có AC bằng 10 cm, đường phân giác AD của góc A cắt cạnh BC tại D sao cho DB bằng 3 cm và DC bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh AB.
Bạn áp dụng tính chất đường phân giác theo chiều ngược lại: DB chia DC bằng AB chia AC, tức 3 chia 5 bằng AB chia 10. Bạn giải ra AB bằng 3 nhân 10 chia 5 bằng 30 chia 5 bằng 6 cm. Bạn kiểm tra: AB chia AC bằng 6 chia 10 bằng 3 chia 5, đúng bằng DB chia DC bằng 3 chia 5. Bạn hãy để ý: bài này không cho BC cũng không cần dùng tới BC — chỉ cần tỉ lệ hai đoạn DB, DC và một cạnh AC là đủ để tìm cạnh còn lại. Đây là dạng bài "tìm ngược" rất hay xuất hiện trong đề kiểm tra.
Ví dụ 4 (phân giác trong tam giác vuông): Cho tam giác ABC vuông tại A, AB bằng 3 cm, AC bằng 4 cm, BC bằng 5 cm. Đường phân giác AD của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính độ dài hai đoạn DB và DC.
Bạn áp dụng tính chất đường phân giác: DB chia DC bằng AB chia AC bằng 3 chia 4. Bạn đặt DB bằng 3 phần và DC bằng 4 phần, tổng hai đoạn bằng BC bằng 5 cm, nên mỗi phần bằng 5 chia 7, xấp xỉ 0,71 cm. Bạn tính DB bằng 3 nhân 5 chia 7 bằng 15 chia 7, xấp xỉ 2,14 cm và DC bằng 4 nhân 5 chia 7 bằng 20 chia 7, xấp xỉ 2,86 cm. Bạn kiểm tra: DB cộng DC bằng 2,14 cộng 2,86 bằng 5 cm — khớp với BC, và DB chia DC bằng 15 chia 20 bằng 3 chia 4 — khớp với AB chia AC. Bạn hãy để ý: trong tam giác vuông, phân giác của góc vuông KHÔNG chia đôi cạnh huyền, trừ khi tam giác vuông cân (AB bằng AC) — ở đây AB bằng 3, AC bằng 4 nên DB ngắn hơn DC một cách rõ rệt.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Viết ngược tỉ lệ thành DB chia DC bằng AC chia AB.
Nhiều bạn nhớ mang máng công thức rồi viết ngược hai cạnh kề. Cách tránh: bạn hãy nhớ đoạn nào kề với cạnh nào thì tỉ lệ với cạnh đó — DB kề AB nên DB đi với AB, DC kề AC nên DC đi với AC. Bạn đọc công thức từ trái sang phải: DB trên DC bằng AB trên AC, thứ tự hai vế giống hệt nhau.
Lỗi 2: Nhầm DB với DC khi thay số.
Nhiều bạn tính đúng tỉ lệ 2 chia 3 nhưng lại gán DB bằng 6 và DC bằng 4. Cách tránh: bạn hãy nhớ đoạn nào kề với cạnh ngắn hơn thì ngắn hơn — trong Ví dụ 1, AB bằng 6 ngắn hơn AC bằng 9 nên DB phải ngắn hơn DC. Trước khi ghi đáp số, bạn kiểm tra nhanh: cạnh AB dài hay ngắn hơn AC, thì DB cũng phải dài hay ngắn hơn DC tương ứng.
Lỗi 3: Quên rằng DB cộng DC bằng BC.
Nhiều bạn tìm được tỉ lệ DB chia DC rồi dừng lại, không biết làm sao ra độ dài từng đoạn. Cách tránh: bạn hãy nhớ D nằm TRÊN đoạn BC nên DB cộng DC bằng BC — đây là phương trình thứ hai để giải bài toán. Bạn đặt DB bằng k lần một phần, DC bằng m lần một phần, rồi chia BC cho tổng số phần (k cộng m) để tìm độ dài mỗi phần.
Lỗi 4: Áp dụng tính chất cho một đường thẳng không phải là phân giác.
Nhiều bạn thấy điểm D trên BC thỏa mãn một tỉ lệ nào đó rồi vội kết luận AD là phân giác, hoặc áp dụng công thức cho đường trung tuyến, đường cao. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức DB chia DC bằng AB chia AC CHỈ đúng khi AD là đường phân giác của góc A. Đường trung tuyến chia BC thành hai đoạn bằng nhau, đường cao thì không có tính chất tỉ lệ này — mỗi đường có một tính chất riêng, không được dùng lẫn.
Lỗi 5: Nhầm phân giác trong với phân giác ngoài.
Nhiều bạn áp dụng công thức cho phân giác ngoài mà vẫn cho điểm chia nằm trên đoạn BC. Cách tránh: bạn hãy nhớ phân giác trong cắt cạnh BC tại điểm D NẰM TRONG đoạn BC, còn phân giác ngoài cắt ĐƯỜNG THẲNG BC tại điểm E nằm NGOÀI đoạn BC. Nếu đề bài nói "phân giác ngoài" thì điểm chia không nằm giữa B và C, và EB trừ EC (chứ không phải cộng) mới bằng BC.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định đoạn nào kề với cạnh nào trước khi lập tỉ lệ.
Câu 1: Tam giác ABC có AB bằng 6 cm, AC bằng 9 cm, BC bằng 10 cm. Đường phân giác AD của góc A cắt BC tại D. Độ dài đoạn DB bằng bao nhiêu?
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 5 cm
D. 3 cm
Câu 2: Tam giác ABC có AB bằng 4 cm, AC bằng 6 cm. Đường phân giác AD của góc A cắt BC tại D sao cho DC bằng 9 cm. Độ dài đoạn DB bằng bao nhiêu?
A. 4 cm
B. 9 cm
C. 12 cm
D. 6 cm
Câu 3: Tam giác ABC có AB bằng 4 cm, đường phân giác AD của góc A cắt BC tại D sao cho DB bằng 2 cm và DC bằng 3 cm. Độ dài cạnh AC bằng bao nhiêu?
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 9 cm
D. 2 cm
Câu 4: Tam giác ABC cân tại A, AB bằng AC bằng 7 cm, BC bằng 10 cm. Đường phân giác AD của góc A cắt BC tại D. Độ dài đoạn DB bằng bao nhiêu?
A. 10 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
Câu 5: Tam giác ABC có AB bằng 5 cm, AC bằng 15 cm, BC bằng 16 cm. Đường phân giác AD của góc A cắt BC tại D. Độ dài đoạn DC bằng bao nhiêu?
A. 4 cm
B. 8 cm
C. 16 cm
D. 12 cm
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | D | B | C | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: DB chia DC bằng AB chia AC bằng 6 chia 9 bằng 2 chia 3, đặt DB bằng 2 phần, DC bằng 3 phần, tổng 5 phần bằng BC bằng 10 cm nên mỗi phần bằng 2 cm, DB bằng 4 cm. Đáp án B sai vì 6 cm là độ dài của DC. Đáp án C sai vì 5 cm là một nửa BC — chỉ đúng khi tam giác cân. Đáp án D sai vì 3 cm là kết quả khi lấy 10 chia 5 rồi nhân 1,5.
Giải thích Câu 2 — Đáp án D đúng: DB chia DC bằng AB chia AC bằng 4 chia 6 bằng 2 chia 3, nên DB bằng DC nhân 2 chia 3 bằng 9 nhân 2 chia 3 bằng 6 cm. Đáp án A sai vì 4 cm là độ dài cạnh AB, không phải DB. Đáp án B sai vì 9 cm là độ dài của DC. Đáp án C sai vì 12 cm là kết quả khi lấy 9 nhân 4 chia 3 — nhầm tỉ lệ thành AB chia DC.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: DB chia DC bằng AB chia AC, tức 2 chia 3 bằng 4 chia AC, suy ra AC bằng 4 nhân 3 chia 2 bằng 6 cm. Đáp án A sai vì 4 cm là độ dài cạnh AB. Đáp án C sai vì 9 cm là kết quả khi lấy 4 nhân 3 chia 2 rồi cộng thêm 3. Đáp án D sai vì 2 cm là độ dài đoạn DB, không phải cạnh AC.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: Tam giác cân tại A có AB bằng AC nên DB chia DC bằng AB chia AC bằng 1, tức DB bằng DC; mà DB cộng DC bằng BC bằng 10 cm nên DB bằng 5 cm. Đáp án A sai vì 10 cm là độ dài cả cạnh BC. Đáp án B sai vì 4 cm không thỏa mãn DB bằng DC. Đáp án D sai vì 6 cm cộng với DC bằng 4 cm thì tỉ lệ DB chia DC bằng 3 chia 2, khác 1.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: DB chia DC bằng AB chia AC bằng 5 chia 15 bằng 1 chia 3, đặt DB bằng 1 phần, DC bằng 3 phần, tổng 4 phần bằng BC bằng 16 cm nên mỗi phần bằng 4 cm, DC bằng 12 cm. Đáp án A sai vì 4 cm là độ dài của DB. Đáp án B sai vì 8 cm là một nửa BC — chỉ đúng khi tam giác cân. Đáp án C sai vì 16 cm là độ dài cả cạnh BC.
Câu hỏi thường gặp về đường phân giác của tam giác
Hỏi: Vì sao đường phân giác lại chia cạnh đối diện theo tỉ lệ hai cạnh kề?
Đáp: Vì khi kẻ thêm một đường thẳng qua B song song với AD, định lí Thalès cho thấy các đoạn thẳng trên hai đường thẳng bị cắt bởi các đường song song sẽ tỉ lệ với nhau. Kết hợp với tính chất góc so le trong và góc đồng vị, người ta chứng minh được DB chia DC đúng bằng AB chia AC. Nói ngắn gọn: tỉ lệ đoạn thẳng sinh ra từ tỉ lệ cạnh kề, nhờ các đường thẳng song song.
Hỏi: Đường phân giác trong và đường phân giác ngoài khác nhau thế nào?
Đáp: Phân giác trong chia góc trong của tam giác thành hai góc bằng nhau và cắt cạnh đối diện tại điểm nằm trong đoạn thẳng đó. Phân giác ngoài chia góc kề bù với góc trong thành hai góc bằng nhau và cắt đường thẳng chứa cạnh đối diện tại điểm nằm ngoài đoạn thẳng đó. Cả hai đều thỏa mãn tỉ lệ DB chia DC bằng AB chia AC (với điểm chia tương ứng), nhưng vị trí điểm chia thì khác nhau hoàn toàn.
Hỏi: Ba đường phân giác của một tam giác cắt nhau tại đâu?
Đáp: Ba đường phân giác trong của một tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác, nên nó chính là tâm của đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh. Tính chất này được dùng để xác định tâm đường tròn nội tiếp khi vẽ hình.
Hỏi: Trong tam giác cân, đường phân giác có tính chất gì đặc biệt?
Đáp: Trong tam giác cân tại A, đường phân giác của góc A đồng thời là đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh đáy BC. Nó chia BC thành hai đoạn bằng nhau (DB bằng DC bằng một nửa BC) và vuông góc với BC tại trung điểm của BC. Đây là trường hợp duy nhất mà phân giác chia đôi cạnh đối diện.
Hỏi: Có thể dùng tính chất đường phân giác để chứng minh một tia là phân giác không?
Đáp: Có, nhờ định lí đảo. Nếu điểm D nằm trên cạnh BC và thỏa mãn DB chia DC bằng AB chia AC thì AD là đường phân giác của góc A. Trong các bài toán chứng minh, bạn chỉ cần đo hoặc tính được tỉ lệ hai đoạn DB, DC bằng tỉ lệ hai cạnh AB, AC là đủ để kết luận AD là phân giác, không cần đo góc.
Kết luận
Tính chất đường phân giác gói gọn trong một tỉ lệ: DB chia DC bằng AB chia AC. Bạn hãy nhớ ba điều: đoạn nào kề với cạnh nào thì tỉ lệ với cạnh đó, DB cộng DC luôn bằng BC, và công thức chỉ đúng khi AD thực sự là phân giác. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để chia một đoạn thẳng theo bất kì tỉ lệ nào chỉ bằng một đường phân giác — và cũng hiểu vì sao ba đường phân giác của tam giác lại gặp nhau tại đúng một điểm cách đều ba cạnh.