Bạn pha một ly nước chanh: 1/4 ly là nước cốt chanh, 1/4 ly là đường, phần còn lại là nước lọc. Hôm sau bạn muốn pha đậm hơn: thêm 1/4 ly nước cốt chanh nữa. Tổng lượng nước cốt chanh bây giờ là 1/4 + 1/4 = 2/4 ly — cộng hai phân số cùng mẫu thì cộng tử, giữ nguyên mẫu. Phép cộng phân thức đại số cũng đúng y như vậy, chỉ khác một điều: mẫu thức bây giờ là đa thức chứa chữ, và khi hai phân thức khác mẫu, bạn phải quy đồng mẫu trước rồi mới cộng được.
Bài viết này sẽ dẫn bạn qua phép cộng và phép trừ phân thức từ trường hợp dễ nhất (cùng mẫu) tới trường hợp khó nhất (khác mẫu, phải quy đồng rồi rút gọn). Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước, tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn phân biệt rõ khi nào thì cộng trực tiếp, khi nào phải quy đồng, và vì sao dấu trừ trước một phân thức lại "đáng sợ" đến thế.
Phép cộng, phép trừ phân thức đại số là gì?
Phép cộng, phép trừ phân thức đại số có hai trường hợp. Trường hợp cùng mẫu thức: muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: A/M + B/M = (A + B)/M và A/M − B/M = (A − B)/M. Trường hợp khác mẫu thức: muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng (hoặc trừ) các phân thức cùng mẫu vừa tìm được. Quy đồng mẫu thức nghĩa là biến đổi các phân thức đã cho thành các phân thức mới bằng chúng nhưng có cùng mẫu thức, bằng cách nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với một đa thức thích hợp — chính là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức mà bạn đã học.
Mẫu thức chung thường chọn là mẫu thức chung nhỏ nhất: phân tích các mẫu thức thành nhân tử, rồi lấy tích của các nhân tử với số mũ lớn nhất. Chẳng hạn, để cộng 1/x với 1/(2x), mẫu thức chung là 2x: phân thức 1/x nhân cả tử và mẫu với 2 được 2/(2x), cộng với 1/(2x) được 3/(2x). Muốn ôn lại cách biến đổi phân thức về cùng mẫu, bạn hãy xem bài công thức tính chất cơ bản của phân thức; muốn kiểm tra điều kiện xác định trước khi tính, bạn hãy xem bài công thức tập xác định của phân thức đại số.
Điểm khó nhất của phép trừ phân thức nằm ở dấu trừ đứng trước một phân thức. Khi viết A/M − (B + C)/M, dấu trừ phải "phân phối" cho cả tử thức B + C, tức kết quả là (A − B − C)/M chứ không phải (A − B + C)/M. Rất nhiều học sinh mất điểm ở đúng chỗ này: họ trừ tử thứ nhất đúng nhưng quên đổi dấu hạng tử thứ hai trong tử của phân thức bị trừ. Mẹo nhỏ là hãy đặt dấu ngoặc đơn quanh tử thức của phân thức bị trừ trước khi bỏ dấu trừ, rồi đổi dấu từng hạng tử bên trong ngoặc.
Sau khi cộng hoặc trừ xong, bạn luôn phải rút gọn kết quả nếu có thể: phân tích tử và mẫu thành nhân tử, chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Một đáp án chưa rút gọn gọn gàng thường bị trừ điểm trong bài kiểm tra, dù giá trị đúng. Ngoài ra, đừng quên ghi điều kiện xác định: kết quả cuối cùng chỉ có nghĩa khi mọi mẫu thức trong phép tính đều khác 0. Khi cần tính nhanh giá trị của một biểu thức phân thức tại một giá trị cụ thể của biến để kiểm tra đáp án, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Cuối cùng, bạn hãy nhớ thứ tự làm việc khi gặp một phép cộng, trừ phân thức: bước một, xác định điều kiện của biến; bước hai, phân tích các mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung; bước ba, quy đồng (nếu khác mẫu); bước bốn, cộng hoặc trừ các tử thức, giữ nguyên mẫu; bước năm, rút gọn kết quả. Làm đúng thứ tự này, bạn sẽ không bao giờ bị rối dù bài toán có ba, bốn phân thức cùng lúc.
Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính 1/x + 1/(2x) với x ≠ 0.
Bạn tìm mẫu thức chung của x và 2x: mẫu thức chung là 2x. Bạn quy đồng phân thức thứ nhất: 1/x = (1 · 2)/(x · 2) = 2/(2x). Bạn giữ nguyên phân thức thứ hai 1/(2x). Bạn cộng hai phân thức cùng mẫu: 2/(2x) + 1/(2x) = (2 + 1)/(2x) = 3/(2x). Bạn kiểm tra bằng số: với x = 2, vế trái bằng 1/2 + 1/4 = 3/4, vế phải bằng 3/4 — khớp. Bạn hãy để ý: tử số 3 không phải là 1 + 1, mà là 2 + 1, vì phân thức thứ nhất đã được quy đồng thành 2/(2x) trước khi cộng.
Ví dụ 2: Tính 2/(x + 1) + 1/(x − 1) với x ≠ 1 và x ≠ −1.
Bạn phân tích các mẫu: x + 1 và x − 1 đã là các nhân tử đơn giản, không có nhân tử chung. Bạn chọn mẫu thức chung là (x + 1)(x − 1) = x² − 1. Bạn quy đồng phân thức thứ nhất: 2/(x + 1) = (2(x − 1))/((x + 1)(x − 1)) = (2x − 2)/(x² − 1). Bạn quy đồng phân thức thứ hai: 1/(x − 1) = (x + 1)/((x − 1)(x + 1)) = (x + 1)/(x² − 1). Bạn cộng hai phân thức cùng mẫu: (2x − 2 + x + 1)/(x² − 1) = (3x − 1)/(x² − 1). Bạn kiểm tra bằng số: với x = 0, vế trái bằng 2/1 + 1/(−1) = 2 − 1 = 1, vế phải bằng (−1)/(−1) = 1 — khớp. Bạn hãy để ý: mẫu thức chung x² − 1 là một hằng đẳng thức, vì vậy sau khi quy đồng bạn có thể viết gọn mẫu thành x² − 1.
Ví dụ 3: Tính 1/(x − 1) − 1/(x + 1) với x ≠ 1 và x ≠ −1.
Bạn chọn mẫu thức chung là (x − 1)(x + 1) = x² − 1. Bạn quy đồng phân thức thứ nhất: 1/(x − 1) = (x + 1)/(x² − 1). Bạn quy đồng phân thức thứ hai: 1/(x + 1) = (x − 1)/(x² − 1). Bạn trừ hai phân thức cùng mẫu: ((x + 1) − (x − 1))/(x² − 1). Bạn đặt dấu ngoặc cẩn thận: (x + 1) − (x − 1) = x + 1 − x + 1 = 2. Bạn kết luận kết quả là 2/(x² − 1). Bạn kiểm tra bằng số: với x = 0, vế trái bằng 1/(−1) − 1/1 = −1 − 1 = −2, vế phải bằng 2/(−1) = −2 — khớp. Bạn hãy để ý: nếu bạn quên đổi dấu khi bỏ ngoặc, bạn sẽ được (x + 1 − x − 1) = 0, một đáp án sai hoàn toàn. Dấu trừ trước ngoặc đổi dấu mọi hạng tử bên trong — đây là lỗi hay gặp nhất của phép trừ phân thức.
Ví dụ 4: Tính x/(x² − 1) + 2/(x + 1) − 1/(x − 1) với x ≠ 1 và x ≠ −1.
Bạn phân tích mẫu thứ nhất: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Bạn chọn mẫu thức chung là (x − 1)(x + 1). Bạn quy đồng từng phân thức: phân thức thứ nhất đã có mẫu chung, giữ nguyên x/((x − 1)(x + 1)); phân thức thứ hai 2/(x + 1) = (2(x − 1))/((x − 1)(x + 1)); phân thức thứ ba 1/(x − 1) = (x + 1)/((x − 1)(x + 1)). Bạn cộng, trừ các tử thức: x + 2(x − 1) − (x + 1) = x + 2x − 2 − x − 1 = 2x − 3. Bạn kết luận kết quả là (2x − 3)/(x² − 1). Bạn kiểm tra bằng số: với x = 0, vế trái bằng 0/(−1) + 2/1 − 1/(−1) = 0 + 2 + 1 = 3, vế phải bằng (−3)/(−1) = 3 — khớp. Bạn hãy để ý: bài này có cả cộng và trừ, vì vậy bạn phải xử lí dấu trừ ở phân thức thứ ba thật cẩn thận: −(x + 1) = −x − 1.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cộng tử với tử, mẫu với mẫu.
Nhiều bạn tính 1/x + 1/(2x) = 2/(3x). Cách tránh: bạn hãy nhớ phép cộng phân thức không bao giờ cộng mẫu với mẫu. Phải quy đồng mẫu trước, rồi cộng tử, giữ nguyên mẫu. Kiểm tra bằng số: với x = 2, 1/2 + 1/4 = 3/4, còn 2/(3 · 2) = 1/3 — khác nhau rõ ràng.
Lỗi 2: Quy đồng sai mẫu thức chung.
Nhiều bạn lấy mẫu thức chung của x + 1 và x − 1 là (x + 1) + (x − 1) = 2x, hoặc lấy tích mà không phân tích các mẫu thành nhân tử trước. Cách tránh: bạn hãy phân tích mọi mẫu thức thành nhân tử trước, rồi lấy tích các nhân tử với số mũ lớn nhất. Với mẫu x² − 1 và x + 1, mẫu thức chung là (x − 1)(x + 1), không phải (x² − 1)(x + 1).
Lỗi 3: Quên đổi dấu khi trừ một phân thức có tử là tổng.
Nhiều bạn tính (x + 1)/(x² − 1) − (x − 1)/(x² − 1) = (x + 1 − x − 1)/(x² − 1) = 0. Cách tránh: bạn hãy đặt dấu ngoặc đơn quanh tử của phân thức bị trừ rồi mới bỏ dấu trừ: (x + 1) − (x − 1) = x + 1 − x + 1 = 2. Hãy viết ngoặc ra giấy, đừng nhẩm trong đầu.
Lỗi 4: Không rút gọn kết quả cuối cùng.
Nhiều bạn tính 2/(x + 1) − 1/(x + 1) = 1/(x + 1) thì đúng, nhưng tính (x² − 1)/((x − 1)(x + 1)) rồi dừng lại mà không rút gọn thành 1. Cách tránh: bạn hãy luôn kiểm tra xem tử và mẫu của kết quả có nhân tử chung không, và rút gọn cho tới khi không rút gọn được nữa.
Lỗi 5: Quên điều kiện xác định của biến.
Nhiều bạn tính 1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 2x/(x² − 1) mà không ghi x ≠ 1 và x ≠ −1. Cách tránh: bạn hãy nhớ kết quả chỉ có nghĩa khi mọi mẫu thức đều khác 0. Hãy viết điều kiện ngay từ đầu bài, trước khi bắt đầu quy đồng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ quy đồng mẫu trước khi cộng hoặc trừ, và đặt ngoặc cẩn thận khi gặp dấu trừ.
Câu 1: Tính 1/x + 1/(2x) (với x ≠ 0) được kết quả nào?
A. 2/(3x)
B. 3/(2x)
C. 1/(3x)
D. 3/x
Câu 2: Tính 2/(x + 1) − 1/(x + 1) (với x ≠ −1) được kết quả nào?
A. 3/(x + 1)
B. 1/(x + 1)
C. 1
D. 2/(x + 1)
Câu 3: Tính 1/(x − 1) + 1/(x + 1) (với x ≠ 1 và x ≠ −1) được kết quả nào?
A. 2x/(x² − 1)
B. 2/(x² − 1)
C. 1/(x² − 1)
D. 2x/(x² + 1)
Câu 4: Tính x/(x + 2) − 2/(x + 2) (với x ≠ −2) được kết quả nào?
A. x/(x + 2)
B. 1
C. (x − 2)/(x + 2)
D. (x + 2)/(x − 2)
Câu 5: Tính 3/x − 1/(2x) (với x ≠ 0) được kết quả nào?
A. 2/x
B. 5/x
C. 2/(2x)
D. 5/(2x)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | B | A | C | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Bạn quy đồng: 1/x = 2/(2x), cộng với 1/(2x) được (2 + 1)/(2x) = 3/(2x). Đáp án A sai vì cộng tử với tử, mẫu với mẫu là sai quy tắc. Đáp án C sai vì 1/(3x) là kết quả của phép tính 1/x + 1/(2x) nếu cộng sai mẫu thành 3x. Đáp án D sai vì 3/x gấp đôi kết quả đúng.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Hai phân thức cùng mẫu x + 1, bạn trừ tử: 2 − 1 = 1, giữ nguyên mẫu, được 1/(x + 1). Đáp án A sai vì cộng tử thay vì trừ tử. Đáp án C sai vì 1 chỉ đúng khi tử bằng mẫu, ở đây tử là 1 còn mẫu là x + 1. Đáp án D sai vì 2/(x + 1) là phân thức thứ nhất, chưa trừ đi phân thức thứ hai.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Bạn quy đồng với mẫu thức chung x² − 1: 1/(x − 1) = (x + 1)/(x² − 1), 1/(x + 1) = (x − 1)/(x² − 1). Bạn cộng tử: (x + 1) + (x − 1) = 2x, được 2x/(x² − 1). Đáp án B sai vì 2/(x² − 1) là kết quả của phép trừ, không phải phép cộng. Đáp án C sai vì thiếu nhân tử 2x ở tử. Đáp án D sai vì mẫu x² + 1 không phải là mẫu thức chung của x − 1 và x + 1.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: Hai phân thức cùng mẫu x + 2, bạn trừ tử: x − 2, giữ nguyên mẫu, được (x − 2)/(x + 2). Đáp án A sai vì x/(x + 2) là phân thức thứ nhất, chưa trừ đi phân thức thứ hai. Đáp án B sai vì 1 chỉ đúng khi tử bằng mẫu, ở đây tử là x − 2 còn mẫu là x + 2. Đáp án D sai vì (x + 2)/(x − 2) là nghịch đảo của kết quả đúng.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: Bạn quy đồng: 3/x = 6/(2x), trừ đi 1/(2x) được (6 − 1)/(2x) = 5/(2x). Đáp án A sai vì 2/x = 4/(2x), khác 5/(2x). Đáp án B sai vì 5/x = 10/(2x), gấp đôi kết quả đúng. Đáp án C sai vì 2/(2x) = 1/x, là kết quả của phép tính 3/x − 2/x chứ không phải 3/x − 1/(2x).
Câu hỏi thường gặp về phép cộng, phép trừ phân thức
Hỏi: Khi nào được cộng trực tiếp mà không cần quy đồng?
Đáp: Khi hai phân thức đã có cùng mẫu thức. Lúc đó bạn chỉ cần cộng hoặc trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu. Nếu mẫu khác nhau dù chỉ một chút, bạn vẫn phải quy đồng trước.
Hỏi: Mẫu thức chung chọn như thế nào cho nhanh?
Đáp: Bạn phân tích các mẫu thức thành nhân tử, rồi lấy tích của mỗi nhân tử với số mũ lớn nhất trong các mẫu. Ví dụ, mẫu x² − 1 = (x − 1)(x + 1) và mẫu x + 1 thì mẫu thức chung là (x − 1)(x + 1), không cần nhân thêm (x + 1) lần nữa.
Hỏi: Vì sao dấu trừ trước phân thức lại dễ gây sai?
Đáp: Vì dấu trừ phải đổi dấu mọi hạng tử trong tử thức của phân thức bị trừ, mà học sinh thường chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên. Cách an toàn nhất là đặt dấu ngoặc đơn quanh tử thức rồi mới bỏ dấu trừ, đổi dấu từng hạng tử bên trong ngoặc.
Hỏi: Cộng ba phân thức trở lên thì làm thế nào?
Đáp: Bạn tìm mẫu thức chung của tất cả các mẫu, quy đồng mọi phân thức về cùng mẫu đó, rồi cộng hoặc trừ các tử thức trong một lần. Làm từng bước một, đừng gộp nhiều phép biến đổi vào cùng một dòng.
Hỏi: Sau khi cộng, trừ xong có bắt buộc rút gọn không?
Đáp: Có, nếu kết quả còn rút gọn được. Một đáp án chưa rút gọn thường bị trừ điểm, vì vậy sau khi tính xong bạn hãy kiểm tra xem tử và mẫu có nhân tử chung không, và chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Kết luận
Phép cộng, phép trừ phân thức chỉ gói gọn trong hai quy tắc: cùng mẫu thì cộng hoặc trừ tử, giữ nguyên mẫu; khác mẫu thì quy đồng rồi cộng hoặc trừ. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích mẫu thành nhân tử; đặt ngoặc cẩn thận mỗi khi gặp dấu trừ; và rút gọn kết quả trước khi viết đáp án cuối cùng. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để cộng, trừ bất kì phân thức nào — và sẵn sàng bước sang phép nhân, phép chia phân thức ở bài tiếp theo.