Bạn đã bao giờ thắc mắc vì sao 1/2 lại bằng 2/4 chưa? Hai phân số này trông khác nhau hoàn toàn, nhưng giá trị của chúng bằng nhau vì 1 × 4 = 2 × 2 = 4. Cách kiểm tra này có tên là nhân chéo: lấy tử của phân số này nhân với mẫu của phân số kia, nếu hai tích bằng nhau thì hai phân số bằng nhau. Điều thú vị là quy tắc nhân chéo không chỉ đúng với phân số mà còn đúng với phân thức đại số — và nó chính là điều kiện để hai phân thức bằng nhau mà bạn sẽ học trong bài này.
Trong bài viết này, bạn sẽ hiểu rõ điều kiện để hai phân thức bằng nhau là gì, vì sao phải nhân chéo thay vì so sánh trực tiếp, và cách dùng điều kiện này để kiểm tra hai phân thức có bằng nhau hay không, cũng như để tìm giá trị của biến làm cho hai phân thức bằng nhau. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước — trong đó có đúng ví dụ mẫu trong chương trình là x/2 = 2x/4 vì x · 4 = 2 · 2x — tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp để bạn phân biệt được nhân chéo với các phép biến đổi khác, và hiểu vì sao điều kiện mẫu khác 0 luôn phải đi kèm với điều kiện bằng nhau.
Điều kiện để hai phân thức bằng nhau là gì?
Hai phân thức A/B và C/D được gọi là bằng nhau khi A · D = B · C, với điều kiện B ≠ 0 và D ≠ 0. Công thức này có nghĩa là: tích của tử phân thức này với mẫu phân thức kia phải bằng tích của tử phân thức kia với mẫu phân thức này. Ví dụ, x/2 = 2x/4 vì x · 4 = 4x và 2 · 2x = 4x — hai tích chéo bằng nhau nên hai phân thức bằng nhau. Bạn hãy hình dung hai phân thức như hai đĩa cân: đĩa cân chỉ thăng bằng khi hai tích chéo bằng nhau, và chỉ cần một trong hai tích lệch đi thì hai phân thức lập tức không còn bằng nhau nữa.
Vì sao điều kiện này lại đúng? Bạn hãy nghĩ về định nghĩa của phân thức: A/B là thương của phép chia A cho B, tức là số mà khi nhân với B sẽ cho ra A. Nếu A/B = C/D thì cả hai đều là thương của cùng một phép chia, và khi quy đồng mẫu số, hai phân thức trở thành AD/BD và BC/BD — hai phân thức cùng mẫu thì bằng nhau khi tử của chúng bằng nhau, tức AD = BC. Đó chính là nguồn gốc của quy tắc nhân chéo. Điều kiện B ≠ 0 và D ≠ 0 là bắt buộc, vì nếu một trong hai mẫu bằng 0 thì phân thức tương ứng không xác định — bạn không thể nói hai phân thức bằng nhau khi một trong hai phân thức còn không tồn tại. Muốn biết một phân thức xác định khi nào, bạn hãy xem bài tập xác định của phân thức đại số — điều kiện mẫu khác 0 là nền tảng cho mọi bài toán về phân thức.
Điều kiện bằng nhau của hai phân thức có hai ứng dụng chính. Ứng dụng thứ nhất là kiểm tra: cho hai phân thức, bạn nhân chéo và so sánh hai tích — bằng nhau thì hai phân thức bằng nhau, khác nhau thì không. Ứng dụng thứ hai là tìm x: khi hai phân thức bằng nhau và chứa ẩn x, bạn nhân chéo để được một phương trình rồi giải phương trình đó, sau đó đối chiếu nghiệm với điều kiện mẫu khác 0 để loại nghiệm không thỏa mãn. Bạn cũng nên biết rằng điều kiện bằng nhau này chính là cơ sở của tính chất cơ bản của phân thức — khi bạn nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0, phân thức mới bằng phân thức cũ, và điều này cũng được chứng minh bằng phép nhân chéo. Khi cần kiểm tra nhanh một phép nhân chéo với các số lớn, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ tính toán và đối chiếu kết quả.
Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Kiểm tra xem hai phân thức x/2 và 2x/4 có bằng nhau không.
Bạn áp dụng điều kiện A · D = B · C với A = x, B = 2, C = 2x, D = 4. Bạn tính tích chéo thứ nhất: A · D = x · 4 = 4x. Bạn tính tích chéo thứ hai: B · C = 2 · 2x = 4x. Bạn so sánh: 4x = 4x — hai tích chéo bằng nhau. Bạn kết luận hai phân thức x/2 và 2x/4 bằng nhau. Bạn kiểm tra thêm điều kiện mẫu khác 0: mẫu 2 và mẫu 4 đều là số khác 0 nên điều kiện thỏa mãn. Bạn hãy để ý: hai phân thức này bằng nhau với mọi giá trị của x, vì tích chéo 4x = 4x là một đẳng thức đúng với mọi x — không cần giải phương trình gì thêm.
Ví dụ 2: Kiểm tra xem hai phân thức (x + 1)/(x − 1) và (x² − 1)/(x − 1)² có bằng nhau không (với x ≠ 1 và x ≠ −1).
Bạn tính tích chéo thứ nhất: (x + 1) · (x − 1)². Bạn tính tích chéo thứ hai: (x − 1) · (x² − 1). Bạn phân tích x² − 1 = (x − 1)(x + 1) bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, nên tích chéo thứ hai bằng (x − 1) · (x − 1)(x + 1) = (x + 1)(x − 1)². Bạn so sánh: hai tích chéo đều bằng (x + 1)(x − 1)² nên bằng nhau. Bạn kết luận hai phân thức bằng nhau với điều kiện x ≠ 1 và x ≠ −1 (điều kiện để cả hai mẫu đều khác 0). Bạn hãy để ý: ví dụ này cho thấy nhân chéo vẫn làm việc tốt ngay cả khi các biểu thức trông phức tạp — bạn chỉ cần phân tích thành nhân tử rồi so sánh, đừng vội vàng khai triển tất cả ra.
Ví dụ 3: Tìm x để hai phân thức x/(x + 2) và 3/5 bằng nhau.
Bạn áp dụng điều kiện nhân chéo: x · 5 = 3 · (x + 2). Bạn khai triển vế phải: 5x = 3x + 6. Bạn chuyển vế: 5x − 3x = 6, tức 2x = 6, suy ra x = 3. Bạn đối chiếu với điều kiện mẫu khác 0: mẫu x + 2 ≠ 0 tức x ≠ −2; nghiệm x = 3 thỏa mãn điều kiện này. Bạn kết luận x = 3 là giá trị cần tìm. Bạn kiểm tra lại bằng cách thay x = 3 vào hai phân thức: phân thức thứ nhất bằng 3/(3 + 2) = 3/5; phân thức thứ hai bằng 3/5 — hai phân thức bằng nhau, đúng như yêu cầu. Bạn hãy để ý: bước đối chiếu nghiệm với điều kiện mẫu khác 0 là bắt buộc — nếu nghiệm tìm được làm mẫu bằng 0 thì phải loại bỏ, dù phương trình nhân chéo cho ra nghiệm đó.
Ví dụ 4: Chứng tỏ (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 với x ≠ 2.
Bạn viết vế phải x + 2 dưới dạng phân thức có mẫu bằng 1: (x + 2)/1. Bạn áp dụng điều kiện nhân chéo với A = x² − 4, B = x − 2, C = x + 2, D = 1. Bạn tính tích chéo thứ nhất: (x² − 4) · 1 = x² − 4. Bạn tính tích chéo thứ hai: (x − 2)(x + 2) = x² − 4 (theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương). Bạn so sánh: hai tích chéo đều bằng x² − 4 nên bằng nhau. Bạn kết luận (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 với điều kiện x ≠ 2. Bạn hãy để ý: ví dụ này thực chất là phép rút gọn phân thức — tử x² − 4 phân tích thành (x − 2)(x + 2) rồi rút gọn với mẫu x − 2 — và điều kiện x ≠ 2 phải được ghi kèm, vì x = 2 làm mẫu gốc bằng 0.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu thay vì nhân chéo.
Nhiều bạn kiểm tra x/2 = 2x/4 bằng cách tính x · 2x = 2x² và 2 · 4 = 8 rồi kết luận hai phân thức không bằng nhau vì 2x² khác 8. Cách tránh: bạn hãy nhớ điều kiện bằng nhau là A · D = B · C — tử của phân thức này nhân với MẪU của phân thức kia. Bạn nên vẽ hai đường chéo lên giấy như sơ đồ ở đầu bài để không bao giờ nhân nhầm cặp.
Lỗi 2: Quên điều kiện mẫu khác 0.
Nhiều bạn nhân chéo xong, giải ra nghiệm, rồi kết luận ngay mà không kiểm tra xem nghiệm đó có làm mẫu bằng 0 hay không. Cách tránh: bạn hãy luôn viết điều kiện mẫu khác 0 ngay từ đầu bài, và đối chiếu nghiệm với điều kiện này ở bước cuối cùng. Một nghiệm làm mẫu bằng 0 phải bị loại bỏ, dù nó thỏa mãn phương trình nhân chéo.
Lỗi 3: Áp dụng nhân chéo khi một trong hai phân thức không xác định.
Nhiều bạn kiểm tra (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 tại x = 1 bằng cách nhân chéo và kết luận hai vế bằng nhau — nhưng thực tế tại x = 1, phân thức vế trái không xác định vì mẫu bằng 0, nên đẳng thức này không có nghĩa tại x = 1. Cách tránh: bạn hãy nhớ đẳng thức hai phân thức chỉ có nghĩa khi cả hai phân thức đều xác định. Bạn luôn phải ghi kèm điều kiện x ≠ 1 khi viết đẳng thức này.
Lỗi 4: Nhầm A · D = B · C thành A · C = B · D.
Nhiều bạn viết điều kiện bằng nhau thành tử nhân tử bằng mẫu nhân mẫu: A · C = B · D. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy tắc nhân chéo bằng hình ảnh hai đường chéo cắt nhau: tử của phân thức bên trái nối với mẫu của phân thức bên phải, và ngược lại. Bạn kiểm tra bằng ví dụ đơn giản 1/2 = 2/4: 1 × 4 = 2 × 2 = 4 (đúng), còn 1 × 2 = 2 × 4 = 8 (sai) — rõ ràng công thức đúng phải là nhân chéo.
Lỗi 5: Rút gọn rồi quên điều kiện ban đầu.
Nhiều bạn rút gọn (x² − 4)/(x − 2) thành x + 2 rồi cho rằng đẳng thức này đúng với mọi x, kể cả x = 2. Cách tránh: bạn hãy nhớ phép rút gọn chỉ đúng với các giá trị x làm cho mẫu gốc khác 0. Bạn luôn phải ghi kèm điều kiện x ≠ 2 khi viết đẳng thức sau khi rút gọn, và khi thay số để kiểm tra thì không được thay x = 2.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ nhân chéo đúng cặp và đối chiếu nghiệm với điều kiện mẫu khác 0.
Câu 1: Hai phân thức x/3 và 2x/6 bằng nhau vì sao?
A. x · 3 = 2 · 6
B. x · 6 = 3 · 2x
C. x + 6 = 3 + 2x
D. x · 2 = 3 · 6
Câu 2: Tìm x để hai phân thức x/(x − 1) và 2/3 bằng nhau.
A. 2
B. 1
C. −2
D. 0
Câu 3: Hai phân thức a/b và c/d bằng nhau khi nào?
A. a · c = b · d
B. a · d = b · c
C. a · b = c · d
D. a · d = b + c
Câu 4: Hai phân thức (x + 2)/3 và (x² + 4x + 4)/(3x + 6) có bằng nhau không (với x ≠ −2)?
A. Không bằng nhau
B. Bằng nhau
C. Chỉ bằng nhau khi x = 0
D. Chỉ bằng nhau khi x = −2
Câu 5: Hai phân thức 1/x và 2/(2x) với x ≠ 0 có bằng nhau không?
A. Không bằng nhau
B. Bằng nhau khi x = 1
C. Bằng nhau
D. Bằng nhau khi x = 2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | B | B | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Hai phân thức bằng nhau vì tích chéo x · 6 = 6x bằng tích chéo 3 · 2x = 6x. Đáp án A sai vì x · 3 = 3x khác 2 · 6 = 12 — đây là phép nhân tử với tử, mẫu với mẫu, không phải nhân chéo. Đáp án C sai vì điều kiện bằng nhau dùng phép nhân, không dùng phép cộng. Đáp án D sai vì x · 2 = 2x khác 3 · 6 = 18.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Nhân chéo: x · 3 = 2 · (x − 1), tức 3x = 2x − 2, suy ra x = −2. Bạn đối chiếu điều kiện mẫu khác 0: x − 1 ≠ 0 tức x ≠ 1; nghiệm x = −2 thỏa mãn. Đáp án A sai vì thay x = 2 vào phân thức thứ nhất được 2/(2 − 1) = 2, khác 2/3. Đáp án B sai vì x = 1 làm mẫu bằng 0 nên phân thức không xác định. Đáp án D sai vì thay x = 0 được 0/(0 − 1) = 0, khác 2/3.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Điều kiện để hai phân thức a/b và c/d bằng nhau là a · d = b · c (với b, d ≠ 0). Đáp án A sai vì a · c = b · d là phép nhân tử với tử, mẫu với mẫu. Đáp án C sai vì a · b = c · d không phải là điều kiện bằng nhau của hai phân thức. Đáp án D sai vì vế phải b + c dùng phép cộng, không phải phép nhân.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Bạn nhân chéo: (x + 2) · (3x + 6) = 3(x + 2)² và 3 · (x² + 4x + 4) = 3(x + 2)² — hai tích chéo bằng nhau nên hai phân thức bằng nhau. Đáp án A sai vì hai tích chéo bằng nhau, không khác nhau. Đáp án C sai vì hai phân thức bằng nhau với mọi x ≠ −2, không riêng gì x = 0. Đáp án D sai vì x = −2 làm mẫu của phân thức thứ hai bằng 0 nên không xét được tại giá trị này.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: Bạn nhân chéo: 1 · 2x = 2x và x · 2 = 2x — hai tích chéo bằng nhau nên hai phân thức bằng nhau với mọi x ≠ 0. Đáp án A sai vì hai tích chéo bằng nhau. Đáp án B sai vì hai phân thức bằng nhau với mọi x ≠ 0, không riêng gì x = 1. Đáp án D sai vì hai phân thức bằng nhau với mọi x ≠ 0, không riêng gì x = 2.
Câu hỏi thường gặp về điều kiện hai phân thức bằng nhau
Hỏi: Nhân chéo khác gì với quy đồng mẫu số?
Đáp: Nhân chéo là cách kiểm tra nhanh hai phân thức có bằng nhau hay không: bạn chỉ cần so sánh hai tích chéo AD và BC. Quy đồng mẫu số là cách biến đổi hai phân thức về cùng một mẫu để so sánh tử với nhau hoặc để cộng, trừ chúng. Hai cách này có cùng cơ sở toán học — quy đồng xong thì tử của hai phân thức mới chính là AD và BC — nhưng nhân chéo nhanh hơn khi bạn chỉ cần kiểm tra, còn quy đồng thì cần thiết khi bạn cần cộng hoặc trừ hai phân thức.
Hỏi: Hai phân thức bằng nhau thì tử của chúng có bằng nhau không?
Đáp: Không nhất thiết. Ví dụ, x/2 và 2x/4 bằng nhau nhưng tử x khác tử 2x. Hai phân thức bằng nhau chỉ yêu cầu hai tích chéo bằng nhau, chứ không yêu cầu tử bằng tử hay mẫu bằng mẫu. Tử và mẫu chỉ bằng nhau từng đôi một khi hai phân thức đã được viết dưới dạng tối giản với cùng một mẫu số — còn trong trường hợp tổng quát, tử và mẫu có thể khác nhau hoàn toàn.
Hỏi: Có thể dùng nhân chéo để giải phương trình chứa phân thức không?
Đáp: Có, đó chính là ứng dụng quan trọng nhất của điều kiện bằng nhau. Khi bạn gặp phương trình dạng A/B = C/D, bạn nhân chéo để được phương trình AD = BC (thường là phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, dễ giải hơn nhiều), giải ra nghiệm, rồi đối chiếu nghiệm với điều kiện mẫu khác 0. Bạn nhớ: bước đối chiếu là bắt buộc, vì phương trình nhân chéo có thể cho ra nghiệm làm mẫu bằng 0 — nghiệm đó phải bị loại.
Hỏi: Điều kiện mẫu khác 0 có thật sự cần thiết khi kiểm tra hai phân thức bằng nhau không?
Đáp: Có, rất cần thiết. Nếu một trong hai mẫu bằng 0 thì phân thức tương ứng không xác định, và câu hỏi "hai phân thức có bằng nhau không" trở nên vô nghĩa — giống như hỏi hai chiếc bánh có bằng nhau không khi một chiếc bánh còn không tồn tại. Bạn luôn phải kiểm tra điều kiện mẫu khác 0 trước khi nhân chéo, hoặc ít nhất là ghi kèm điều kiện đó trong kết luận.
Hỏi: Nhân chéo có dùng được cho ba phân thức trở lên không?
Đáp: Trực tiếp thì không — điều kiện AD = BC chỉ so sánh hai phân thức với nhau. Nhưng bạn có thể áp dụng lần lượt từng cặp: để kiểm tra ba phân thức A/B, C/D và E/F có bằng nhau hay không, bạn kiểm tra A/B = C/D rồi kiểm tra C/D = E/F. Nếu cả hai cặp đều bằng nhau thì cả ba phân thức bằng nhau. Cách làm này cũng đúng với bốn, năm phân thức trở lên — bạn chỉ cần kiểm tra từng cặp liên tiếp.
Kết luận
Điều kiện để hai phân thức bằng nhau chỉ gói gọn trong một công thức: A/B = C/D khi và chỉ khi A · D = B · C, với B ≠ 0 và D ≠ 0. Bạn hãy nhớ ba điều: nhân chéo là nhân tử của phân thức này với mẫu của phân thức kia, không phải nhân tử với tử; luôn kiểm tra điều kiện mẫu khác 0 trước khi kết luận; và sau khi giải phương trình nhân chéo thì phải đối chiếu nghiệm với điều kiện mẫu khác 0. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để kiểm tra hai phân thức có bằng nhau hay không và tìm giá trị của biến làm cho hai phân thức bằng nhau — và cũng đã có trong tay công cụ quan trọng nhất để giải các phương trình chứa phân thức trong chương trình lớp 8 và lớp 9.