Buổi sáng đi học, bạn nhìn thấy hai người cùng đi trên một con đường thẳng: một người bước dài, một người bước ngắn, nhưng cả hai đều đi về cùng một hướng. Người bước dài mỗi bước gấp đôi người bước ngắn, song dấu chân của họ vẫn nằm trên cùng một đường thẳng, không ai rẽ ngang. Hình ảnh đó chính là điều mà bài học hôm nay muốn nói tới: hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau, và chỉ cần một con số k là đủ để nói lên toàn bộ mối quan hệ giữa chúng. Bạn không cần vẽ hình thật cầu kì, không cần đo góc, chỉ cần kiểm tra xem vectơ này có phải là một bản phóng to hay thu nhỏ của vectơ kia hay không.
Trong chương trình Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, khái niệm cùng phương xuất hiện ngay sau khi bạn đã quen với tọa độ của vectơ. Nó là chiếc cầu nối từ hình học vẽ hình sang đại số tính toán: thay vì nhìn hình để đoán hai vectơ có cùng phương hay không, bạn chỉ cần nhân một vectơ với một số thực k rồi so sánh từng tọa độ. Và cũng chính điều kiện này giúp bạn trả lời một câu hỏi rất quen thuộc của hình học phẳng: ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không. Bài viết này sẽ đi từ định nghĩa, qua cách kiểm tra bằng tọa độ, rồi tới bốn ví dụ tính từng bước, năm lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, năm bài tập tự luyện có đáp án giải thích cặn kẽ và phần giải đáp những thắc mắc thường gặp.
Cùng phương nghĩa là gì — và vì sao chỉ cần một số k?
Trước hết, bạn hãy nhớ lại giá của một vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của chúng song song với nhau hoặc trùng nhau. Bạn hãy hình dung hai mũi tên: một mũi tên nằm trên đường thẳng này, một mũi tên nằm trên đường thẳng kia song song với nó, hoặc cả hai mũi tên cùng nằm trên một đường thẳng — cả hai trường hợp đều là cùng phương. Điều quan trọng là cùng phương không quan tâm tới hướng: hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng, có thể dài bằng nhau hoặc dài gấp nhau nhiều lần. Đây chính là điểm mà nhiều bạn hay nhầm lẫn nhất, và chúng ta sẽ quay lại nó trong phần lỗi sai ở phía dưới.
Định nghĩa bằng hình vẽ thì trực quan, nhưng khi làm bài tập, bạn cần một điều kiện tính được bằng số. Sách giáo khoa cho ta điều kiện sau: hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho a = k·b, với b khác vectơ 0. Bạn hãy đọc kĩ từng chữ: tồn tại một số k, nhân vectơ b với k thì được đúng vectơ a. Số k này có thể dương, có thể âm, có thể là phân số, có thể bằng 1. Khi k lớn hơn 0, hai vectơ cùng hướng; khi k nhỏ hơn 0, hai vectơ ngược hướng; khi k bằng 1, hai vectơ bằng nhau; khi k bằng 2, vectơ a dài gấp đôi vectơ b và cùng hướng với b; khi k bằng một nửa, vectơ a chỉ dài bằng một nửa vectơ b. Về độ dài, ta luôn có độ dài của vectơ a bằng trị tuyệt đối của k nhân với độ dài của vectơ b, tức là |a| = |k|·|b|. Bạn thấy đó, chỉ một con số k đã kể hết câu chuyện: hướng nào, dài gấp mấy lần.
Khi hai vectơ đã cho bằng tọa độ, việc tìm k trở nên rất cụ thể. Giả sử a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂). Đẳng thức a = k·b có nghĩa là từng tọa độ phải bằng nhau: x₁ = k·x₂ và y₁ = k·y₂. Bạn chỉ cần lấy tọa độ thứ nhất của a chia cho tọa độ thứ nhất của b để đoán k, rồi thử lại với tọa độ thứ hai. Nếu cả hai tọa độ đều cho cùng một số k thì hai vectơ cùng phương; nếu hai tọa độ cho hai số k khác nhau thì hai vectơ không cùng phương. Ngoài ra còn có một cách kiểm tra rất gọn mà không cần tìm k: hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0. Bạn hãy nhớ công thức này như một phép thử nhanh: nhân chéo rồi trừ, kết quả bằng 0 thì cùng phương, khác 0 thì không cùng phương. Ví dụ a = (2, 4) và b = (1, 2): 2·2 − 1·4 = 4 − 4 = 0, vậy hai vectơ cùng phương, và bạn dễ dàng thấy k = 2. Còn với a = (1, 3) và b = (2, 5): 1·5 − 2·3 = 5 − 6 = −1, khác 0, vậy hai vectơ không cùng phương.
Có một trường hợp đặc biệt bạn phải nhớ: vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Điều này hợp lí vì vectơ 0 có thể viết thành 0·b với bất kì vectơ b nào, tức là k = 0 luôn thỏa mãn. Trong bài tập trắc nghiệm, đáp án gây nhiễu thường lợi dụng điểm này: đề bài cho một vectơ bằng vectơ 0 rồi hỏi nó có cùng phương với vectơ còn lại hay không, và đáp án đúng là có. Bạn cũng cần chú ý điều kiện b khác vectơ 0 trong định nghĩa: nếu cả hai vectơ đều là vectơ 0 thì chúng vẫn cùng phương với nhau, nhưng bạn không thể viết a = k·b để tìm k một cách có nghĩa, vì mọi số k đều thỏa mãn đẳng thức 0 = k·0.
Từ điều kiện cùng phương, ta có ngay cách xét ba điểm thẳng hàng. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương, tức là tồn tại số k sao cho vectơ AB = k·vectơ AC. Cách làm gồm ba bước rất rõ ràng. Bước một, bạn tính tọa độ hai vectơ AB và AC bằng cách lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu: nếu A = (x_A, y_A) và B = (x_B, y_B) thì vectơ AB = (x_B − x_A, y_B − y_A), tương tự với vectơ AC. Bước hai, bạn kiểm tra xem hai vectơ này có cùng phương hay không bằng phép thử x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0 hoặc bằng cách tìm số k. Bước ba, bạn kết luận: cùng phương thì ba điểm thẳng hàng, không cùng phương thì ba điểm tạo thành một tam giác. Bạn lưu ý rằng hai vectơ AB và AC có chung điểm đầu A, nên khi chúng cùng phương thì giá của chúng trùng nhau thành một đường thẳng duy nhất đi qua A, B, C — đó chính là lí do vì sao điều kiện này vừa đủ để kết luận thẳng hàng. Khi cần tính toán nhanh với các phép nhân, chia số thập phân trong lúc làm bài, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ để không bị sai số ở khâu tính tay.
Điều kiện cùng phương không chỉ là một công thức để làm bài tập trắc nghiệm. Trong hình học, nó là công cụ để chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh một điểm là trung điểm, chứng minh hai đường thẳng song song, hay chứng minh một điểm nằm trên một đường thẳng cho trước. Sau này khi học tới góc giữa hai vectơ, bạn sẽ thấy hai khái niệm này bổ sung cho nhau: cùng phương cho biết hai vectơ nằm trên cùng một hướng, còn góc cho biết chúng lệch nhau bao nhiêu độ. Nắm chắc điều kiện a = k·b hôm nay, bạn đã có trong tay một nửa công cụ của chương vectơ.
Bốn tình huống xét cùng phương và thẳng hàng
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai vectơ a = (2, 4) và b = (1, 2). Hỏi hai vectơ này có cùng phương với nhau không? Nếu có, tìm số k sao cho a = k·b.
Bạn hãy nhân vectơ b với số 2 rồi so sánh từng tọa độ: 2·b = 2·(1, 2) = (2·1, 2·2) = (2, 4), đúng bằng vectơ a. Vậy a = 2·b, hai vectơ cùng phương với k = 2. Vì k = 2 lớn hơn 0 nên hai vectơ cùng hướng, và độ dài của a gấp đôi độ dài của b: bạn có thể kiểm tra bằng độ dài, |a| = √(2² + 4²) = √20 = 2√5, còn |b| = √(1² + 2²) = √5, đúng là |a| = 2·|b|. Bạn cũng có thể dùng phép thử nhân chéo: 2·2 − 1·4 = 0, kết quả bằng 0 khẳng định hai vectơ cùng phương. Trên hình vẽ, hai vectơ cùng xuất phát từ gốc O, đầu mút của b là điểm (1, 2), đầu mút của a là điểm (2, 4), cả hai đầu mút và gốc O đều nằm trên cùng một đường thẳng, mũi tên đỏ của a dài gấp đôi mũi tên xanh của b. Đây là ví dụ mẫu mực nhất của cùng phương: mọi tọa độ của a đều gấp đôi tọa độ tương ứng của b.
Ví dụ 2: Cho hai vectơ a = (3, −6) và b = (−1, 2). Hỏi hai vectơ này có cùng phương với nhau không? Nếu có, chúng cùng hướng hay ngược hướng?
Bạn hãy thử nhân vectơ b với số −3: −3·b = −3·(−1, 2) = (3, −6), đúng bằng vectơ a. Vậy a = −3·b, hai vectơ cùng phương với k = −3. Vì k = −3 nhỏ hơn 0 nên hai vectơ ngược hướng nhau, và độ dài của a gấp 3 lần độ dài của b. Bạn kiểm tra lại bằng phép thử nhân chéo: 3·2 − (−1)·(−6) = 6 − 6 = 0, kết quả bằng 0, khẳng định hai vectơ cùng phương. Ví dụ này rất quan trọng vì nó phá vỡ một ngộ nhận phổ biến: nhiều bạn thấy hai vectơ chỉ ngược hướng nhau thì vội kết luận chúng không cùng phương. Sự thật thì ngược lại: ngược hướng vẫn là cùng phương, miễn là tồn tại số k, dù k âm. Bạn hãy nhớ kĩ: cùng phương gồm cả cùng hướng và ngược hướng, còn bằng nhau mới đòi hỏi k = 1.
Ví dụ 3: Cho hai vectơ a = (1, 3) và b = (2, 5). Hỏi hai vectơ này có cùng phương với nhau không?
Bạn hãy dùng phép thử nhân chéo: 1·5 − 2·3 = 5 − 6 = −1, khác 0, vậy hai vectơ không cùng phương. Bạn cũng có thể thấy điều này bằng cách tìm k: lấy tọa độ thứ nhất, 1 chia cho 2 được k = ½, nhưng thử lại với tọa độ thứ hai thì ½·5 = 2,5, khác 3, nên không có số k nào thỏa mãn cả hai tọa độ cùng lúc. Hai vectơ này chỉ gần giống nhau về hướng, nhưng không nằm trên cùng một đường thẳng hay hai đường thẳng song song. Ví dụ này cho thấy vì sao bạn phải kiểm tra cả hai tọa độ: chỉ nhìn một tọa độ rồi đoán k là chưa đủ, và phép thử nhân chéo giúp bạn kết luận nhanh mà không cần đoán k trước. Trong bài tập trắc nghiệm, đáp án gây nhiễu thường chọn k = ½ từ tọa độ thứ nhất để đánh lừa những bạn chỉ kiểm tra một nửa.
Ví dụ 4: Cho ba điểm A(1, 2), B(4, 6), C(7, 10). Hỏi ba điểm A, B, C có thẳng hàng với nhau không?
Bạn hãy tính tọa độ hai vectơ có chung điểm đầu A. Vectơ AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4). Vectơ AC = (7 − 1, 10 − 2) = (6, 8). Bạn nhận thấy vectơ AC = 2·vectơ AB vì 2·(3, 4) = (6, 8). Vậy hai vectơ AB và AC cùng phương với k = 2, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng. Bạn cũng có thể kiểm tra bằng phép thử nhân chéo: 3·8 − 6·4 = 24 − 24 = 0. Trên hình vẽ, ba điểm này nằm trên một đường thẳng có hệ số góc bằng 4 chia cho 3, điểm B nằm giữa A và C, khoảng cách AC gấp đôi khoảng cách AB. Ví dụ này cho thấy quy trình ba bước đã nói ở trên hoạt động rất trơn tru: tính vectơ, tìm k, kết luận. Bạn hãy tập làm nhuần nhuyễn quy trình này vì dạng bài xét ba điểm thẳng hàng xuất hiện rất nhiều trong đề kiểm tra chương vectơ.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cho rằng cùng phương nghĩa là bằng nhau.
Nhiều bạn thấy hai vectơ cùng phương thì kết luận chúng bằng nhau, hoặc ngược lại, thấy hai vectơ không bằng nhau thì kết luận chúng không cùng phương. Cách tránh: bạn hãy nhớ cùng phương chỉ yêu cầu tồn tại số k sao cho a = k·b, còn bằng nhau là trường hợp riêng khi k = 1. Vectơ a = (2, 4) và vectơ b = (1, 2) cùng phương nhưng không bằng nhau, vì a dài gấp đôi b. Khi làm bài, bạn hãy viết rõ dòng a = k·b và tìm k trước khi kết luận bất cứ điều gì về độ dài hay sự bằng nhau.
Lỗi 2: Quên mất vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ.
Nhiều bạn cho rằng vectơ 0 không có phương nên không thể cùng phương với vectơ nào. Cách tránh: bạn hãy nhớ vectơ 0 có thể viết thành 0·b với mọi vectơ b, tức là k = 0 luôn thỏa mãn điều kiện a = k·b. Trong bài tập trắc nghiệm, khi đề bài cho một vectơ bằng vectơ 0, bạn hãy mạnh dạn kết luận nó cùng phương với vectơ còn lại. Đây là một chi tiết nhỏ nhưng đề thi rất hay dùng để phân loại học sinh có nắm chắc định nghĩa hay không.
Lỗi 3: Chỉ so tỉ số x₁ chia cho x₂ bằng y₁ chia cho y₂ mà không xét trường hợp mẫu số bằng 0.
Nhiều bạn quen dùng tỉ lệ x₁/x₂ = y₁/y₂ để kiểm tra cùng phương, nhưng khi một tọa độ bằng 0 thì phép chia này không thực hiện được, và bạn dễ kết luận sai hoặc bỏ bài. Cách tránh: bạn hãy dùng phép thử nhân chéo x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0, phép thử này đúng với mọi tọa độ, kể cả khi có số 0. Ví dụ a = (0, 3) và b = (0, 5): tỉ lệ x không tính được vì mẫu bằng 0, nhưng phép thử nhân chéo cho 0·5 − 0·3 = 0, vậy hai vectơ cùng phương, và bạn dễ dàng thấy a = 0,6·b.
Lỗi 4: Thấy k âm thì kết luận hai vectơ không cùng phương.
Nhiều bạn tìm được k = −3 rồi vội vàng kết luận hai vectơ không cùng phương, vì nghĩ cùng phương phải cùng hướng. Cách tránh: bạn hãy nhớ k âm chỉ có nghĩa là hai vectơ ngược hướng, còn ngược hướng vẫn là cùng phương. Điều kiện cùng phương chỉ hỏi có tồn tại số k hay không, không hỏi k dương hay âm. Ví dụ a = (3, −6) và b = (−1, 2) có k = −3, hai vectơ ngược hướng nhưng vẫn cùng phương. Mỗi lần tìm được k âm, bạn hãy tự nhắc mình: âm là ngược hướng, không phải là không cùng phương.
Lỗi 5: Cho rằng hai vectơ có cùng độ dài thì cùng phương.
Nhiều bạn thấy hai vectơ dài bằng nhau thì cho rằng chúng cùng phương, hoặc thấy hai vectơ dài khác nhau thì cho rằng chúng không cùng phương. Cách tránh: bạn hãy nhớ độ dài chỉ nói lên vectơ dài bao nhiêu, còn phương nói lên vectơ nằm trên đường thẳng nào. Hai vectơ a = (1, 0) và b = (0, 1) có cùng độ dài bằng 1 nhưng vuông góc với nhau, hoàn toàn không cùng phương. Ngược lại, vectơ a = (2, 4) dài gấp đôi vectơ b = (1, 2) nhưng vẫn cùng phương. Khi làm bài, bạn hãy kiểm tra tọa độ và số k, đừng bao giờ dùng độ dài để đoán phương.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ điều kiện cùng phương: tồn tại số k sao cho a = k·b, và phép thử nhanh x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0. Với bài xét ba điểm thẳng hàng, bạn hãy tính vectơ AB và vectơ AC trước rồi mới tìm k.
Câu 1: Cho hai vectơ a = (2, 4) và b = (1, 2). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ cùng phương với k = 2
B. Hai vectơ cùng phương với k = −2
C. Hai vectơ cùng phương với k = ½
D. Hai vectơ không cùng phương
Câu 2: Cho hai vectơ a = (3, −6) và b = (1, −2). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ không cùng phương
B. Hai vectơ cùng phương với k = −3
C. Hai vectơ cùng phương với k = 3
D. Hai vectơ cùng phương với k = ½
Câu 3: Cho ba điểm A(0, 0), B(2, 3), C(4, 6). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Ba điểm không thẳng hàng
B. Vectơ AB vuông góc với vectơ AC
C. Không đủ dữ kiện để kết luận
D. Ba điểm thẳng hàng vì vectơ AC = 2·vectơ AB
Câu 4: Cho hai vectơ a = (2, 1) và b = (4, 3). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ cùng phương với k = 2
B. Hai vectơ không cùng phương
C. Hai vectơ cùng phương với k = ½
D. Hai vectơ cùng phương với k = −2
Câu 5: Cho ba điểm A(1, 1), B(3, 5), C(5, 9). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Ba điểm thẳng hàng vì vectơ AC = 3·vectơ AB
B. Ba điểm không thẳng hàng
C. Ba điểm thẳng hàng vì vectơ AC = 2·vectơ AB
D. Ba điểm thẳng hàng vì vectơ AB = 2·vectơ AC
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | D | B | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (k = 2) đúng: Bạn nhân vectơ b với 2: 2·b = 2·(1, 2) = (2, 4), đúng bằng vectơ a, vậy a = 2·b nên hai vectơ cùng phương với k = 2. Đáp án B (k = −2) sai vì −2·b = (−2, −4), khác vectơ a. Đáp án C (k = ½) sai vì ½·b = (0,5, 1), khác vectơ a — đây là tỉ lệ ngược, nhiều bạn lấy b chia cho a thay vì a chia cho b. Đáp án D sai vì phép thử nhân chéo cho 2·2 − 1·4 = 0, khẳng định hai vectơ cùng phương.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (k = 3) đúng: Bạn nhân vectơ b với 3: 3·b = 3·(1, −2) = (3, −6), đúng bằng vectơ a, vậy a = 3·b nên hai vectơ cùng phương với k = 3, cùng hướng vì k dương. Đáp án A sai vì phép thử nhân chéo cho 3·(−2) − 1·(−6) = −6 + 6 = 0, khẳng định hai vectơ cùng phương. Đáp án B (k = −3) sai vì −3·b = (−3, 6), khác vectơ a — bạn đã nhầm dấu của k. Đáp án D (k = ½) sai vì ½·b = (0,5, −1), khác vectơ a.
Giải thích Câu 3 — Đáp án D (thẳng hàng vì AC = 2·AB) đúng: Bạn tính vectơ AB = (2 − 0, 3 − 0) = (2, 3) và vectơ AC = (4 − 0, 6 − 0) = (4, 6). Bạn thấy 2·vectơ AB = 2·(2, 3) = (4, 6) = vectơ AC, vậy hai vectơ cùng phương nên ba điểm A, B, C thẳng hàng. Đáp án A sai vì hai vectơ cùng phương thì ba điểm phải thẳng hàng. Đáp án B sai vì tích vô hướng của hai vectơ bằng 2·4 + 3·6 = 26, khác 0, nên hai vectơ không vuông góc. Đáp án C sai vì đề bài cho đủ tọa độ ba điểm để tính hai vectơ và kết luận.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (không cùng phương) đúng: Bạn dùng phép thử nhân chéo: 2·3 − 4·1 = 6 − 4 = 2, khác 0, vậy hai vectơ không cùng phương. Đáp án A (k = 2) sai vì 2·b = 2·(4, 3) = (8, 6), khác vectơ a — bạn chỉ nhìn tọa độ thứ nhất 2 và 4 rồi đoán k = 2 mà không thử lại tọa độ thứ hai. Đáp án C (k = ½) sai vì ½·b = (2, 1,5), tọa độ thứ hai bằng 1,5 chứ không bằng 1. Đáp án D (k = −2) sai vì −2·b = (−8, −6), khác hẳn vectơ a.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C (thẳng hàng vì AC = 2·AB) đúng: Bạn tính vectơ AB = (3 − 1, 5 − 1) = (2, 4) và vectơ AC = (5 − 1, 9 − 1) = (4, 8). Bạn thấy 2·vectơ AB = 2·(2, 4) = (4, 8) = vectơ AC, vậy hai vectơ cùng phương nên ba điểm A, B, C thẳng hàng. Đáp án A sai vì 3·vectơ AB = (6, 12), khác vectơ AC = (4, 8). Đáp án B sai vì hai vectơ cùng phương thì ba điểm phải thẳng hàng. Đáp án D sai vì vectơ AB = (2, 4) chỉ bằng một nửa vectơ AC = (4, 8), tức là vectơ AB = ½·vectơ AC chứ không phải vectơ AB = 2·vectơ AC.
Giải đáp nhanh những thắc mắc hay gặp
Hỏi: Hai vectơ cùng phương có nhất thiết phải cùng hướng không?
Đáp: Không. Cùng phương gồm cả hai trường hợp cùng hướng và ngược hướng. Khi số k trong đẳng thức a = k·b lớn hơn 0 thì hai vectơ cùng hướng, khi k nhỏ hơn 0 thì hai vectơ ngược hướng. Ví dụ a = (3, −6) và b = (−1, 2) có k = −3, hai vectơ ngược hướng nhưng vẫn cùng phương.
Hỏi: Vectơ 0 có cùng phương với mọi vectơ không?
Đáp: Có. Vectơ 0 có thể viết thành 0·b với bất kì vectơ b nào, tức là luôn tồn tại số k = 0 thỏa mãn điều kiện a = k·b. Đây là một trường hợp đặc biệt mà đề thi trắc nghiệm rất hay dùng làm đáp án gây nhiễu, nên bạn hãy nhớ kĩ.
Hỏi: Ba điểm A, B, C thẳng hàng thì vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, vậy điều ngược lại có đúng không?
Đáp: Đúng. Hai vectơ AB và AC có chung điểm đầu A, nên khi chúng cùng phương thì giá của chúng trùng nhau thành một đường thẳng duy nhất đi qua cả ba điểm A, B, C. Đó chính là lí do vì sao điều kiện cùng phương vừa là điều kiện cần, vừa là điều kiện đủ của ba điểm thẳng hàng.
Hỏi: Khi một tọa độ bằng 0 thì tìm k bằng cách nào?
Đáp: Bạn hãy dùng phép thử nhân chéo x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0 để kết luận cùng phương hay không, phép thử này đúng với mọi tọa độ kể cả khi có số 0. Sau đó, để tìm k, bạn hãy dùng tọa độ khác 0: ví dụ a = (0, 3) và b = (0, 5) thì bạn lấy 3 chia cho 5 được k = 0,6, rồi thử lại với tọa độ còn lại là 0 = 0,6·0, đúng.
Hỏi: Cùng phương khác với song song như thế nào?
Đáp: Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau, tức là song song là một trong hai trường hợp của cùng phương. Hai vectơ nằm trên cùng một đường thẳng thì cùng phương dù giá của chúng trùng nhau chứ không song song theo nghĩa thông thường. Ngược lại, hai đường thẳng song song thì mọi vectơ nằm trên chúng đều cùng phương với nhau.
Kết luận
Điều kiện hai vectơ cùng phương gói gọn trong một đẳng thức duy nhất: tồn tại số thực k sao cho a = k·b. Từ đẳng thức này, bạn đọc được hướng của hai vectơ qua dấu của k, đọc được độ dài gấp nhau mấy lần qua trị tuyệt đối của k, và kiểm tra nhanh bằng phép thử nhân chéo x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0. Cũng từ đẳng thức này, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ AB = k·vectơ AC. Bạn hãy nhớ ba điều: cùng phương chưa chắc đã bằng nhau, k âm nghĩa là ngược hướng chứ không phải không cùng phương, và vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Làm xong năm bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xét cùng phương và thẳng hàng trong bất kì bài toán vectơ nào của chương trình lớp 10.