Công thức tính góc giữa hai vectơ

Bạn hãy nhìn lên mặt đồng hồ treo tường: kim giờ và kim phút cùng xuất phát từ tâm, nhưng chúng chĩa về hai hướng khác nhau, tạo thành một góc mà bạn có thể đọc được ngay. Lúc 3 giờ đúng, hai kim vuông góc với nhau, góc bằng 90 độ; lúc 1 giờ, góc giữa hai kim chỉ còn 30 độ; lúc 6 giờ, hai kim chĩa ngược nhau, góc bằng 180 độ. Chỉ cần biết hai kim đang chĩa về đâu, bạn biết ngay góc giữa chúng. Câu chuyện của hai vectơ cũng giống hệt như vậy: hai vectơ cùng xuất phát từ một điểm, chúng tạo với nhau một góc nào đó từ 0 độ đến 180 độ, và chỉ cần biết tọa độ của hai vectơ là bạn tính được góc đó mà không cần dùng thước đo góc.

Trong chương trình Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, góc giữa hai vectơ được định nghĩa thông qua tích vô hướng — một phép toán mà bạn đã gặp ở bài trước. Công thức chỉ có một dòng: cosin của góc bằng tích vô hướng chia cho tích hai độ dài. Nghe thì đơn giản, nhưng để dùng thành thạo, bạn cần hiểu vì sao góc chỉ chạy từ 0 độ đến 180 độ, vì sao tích vô hướng âm thì góc tù, vì sao hai vectơ vuông góc thì tích vô hướng bằng 0, và vì sao chỉ biết cosin thôi đôi khi vẫn chưa đủ để kết luận góc là bao nhiêu. Bài viết này sẽ đi từ tích vô hướng tới công thức tính góc, qua bốn ví dụ tính từng bước, năm lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, năm bài tập tự luyện có đáp án giải thích cặn kẽ và phần hỏi đáp nhanh cuối bài.

Từ tích vô hướng đến góc giữa hai vectơ

Muốn tính góc giữa hai vectơ, trước hết bạn phải tính được tích vô hướng của chúng. Với hai vectơ a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂), tích vô hướng được tính bằng công thức a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂, tức là bạn nhân từng cặp tọa độ tương ứng với nhau rồi cộng lại. Độ dài của mỗi vectơ cũng tính từ tọa độ: |a| = √(x₁² + y₁²) và |b| = √(x₂² + y₂²). Bạn hãy nhớ rằng tích vô hướng là một số, không phải một vectơ, và dấu của nó nói lên rất nhiều điều: tích vô hướng dương thì góc nhọn, tích vô hướng bằng 0 thì góc vuông, tích vô hướng âm thì góc tù. Chỉ cần nhìn dấu của tích vô hướng, bạn đã biết góc nằm trong khoảng nào trước khi bấm máy tính.

Công thức tính góc giữa hai vectơ a và b như sau: cos θ = (a·b) / (|a|·|b|), trong đó θ là góc giữa hai vectơ, chạy từ 0 độ đến 180 độ. Bạn hãy đọc công thức này theo ba bước: bước một, tính tích vô hướng a·b ở tử số; bước hai, tính tích hai độ dài |a|·|b| ở mẫu số; bước ba, lấy tử số chia cho mẫu số để được cos θ, rồi tra bảng hoặc bấm máy tính để tìm góc θ. Vì sao góc chỉ chạy từ 0 độ đến 180 độ? Vì góc giữa hai vectơ được hiểu là góc nhỏ hơn tạo bởi hai vectơ khi đặt chúng chung một điểm gốc, giống như góc giữa hai kim đồng hồ mà bạn luôn đọc theo chiều nhỏ hơn. Hai vectơ cùng hướng thì góc bằng 0 độ, hai vectơ vuông góc thì góc bằng 90 độ, hai vectơ ngược hướng thì góc bằng 180 độ, và mọi trường hợp khác đều nằm giữa ba mốc này.

Để tra góc nhanh từ cosin, bạn hãy nhớ bảng giá trị đặc biệt sau đây, vì đề thi rất hay ra đúng những góc này. Cosin của 0 độ bằng 1; cosin của 30 độ bằng √3/2, khoảng 0,87; cosin của 45 độ bằng √2/2, khoảng 0,71; cosin của 60 độ bằng ½; cosin của 90 độ bằng 0; cosin của 120 độ bằng −½; cosin của 135 độ bằng −√2/2, khoảng −0,71; cosin của 150 độ bằng −√3/2, khoảng −0,87; cosin của 180 độ bằng −1. Bạn thấy quy luật rất đẹp: cosin giảm dần từ 1 xuống −1 khi góc tăng từ 0 độ lên 180 độ, và cosin của hai góc bù nhau thì đối nhau. Nhờ bảng này, nhiều bài tập bạn chỉ cần tính cos θ rồi đối chiếu là ra góc ngay, không cần bấm máy tính. Khi gặp những góc không có trong bảng, bạn hãy dùng máy tính với chế độ đo độ, và có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ bấm arccos cho chính xác.

Có một điểm rất tinh tế mà bạn cần nắm: công thức chỉ đúng khi cả hai vectơ đều khác vectơ 0, vì mẫu số |a|·|b| không được bằng 0. Góc giữa vectơ 0 và một vectơ khác là không xác định, và đề bài sẽ không hỏi trường hợp này. Một điểm tinh tế khác: khi hai vectơ cùng phương, góc giữa chúng chỉ có thể là 0 độ nếu cùng hướng, hoặc 180 độ nếu ngược hướng — bạn có thể kiểm tra lại bằng công thức, cosin sẽ ra đúng 1 hoặc −1. Điều này nối bài học hôm nay với bài điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng mà bạn đã học: cùng phương là trường hợp biên của góc, khi góc chạm tới 0 độ hoặc 180 độ.

Bốn ví dụ tính góc từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai vectơ a = (1, 0) và b = (1, 1). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Bạn hãy làm theo ba bước của công thức. Bước một, tính tích vô hướng: a·b = 1·1 + 0·1 = 1 + 0 = 1. Bước hai, tính độ dài từng vectơ: |a| = √(1² + 0²) = √1 = 1, còn |b| = √(1² + 1²) = √2. Bước ba, thay vào công thức: cos θ = (a·b) / (|a|·|b|) = 1 / (1·√2) = 1/√2, tức là bằng √2/2 sau khi trục căn thức. Bạn tra bảng giá trị đặc biệt: cosin bằng √2/2 ứng với góc 45 độ. Vậy góc giữa hai vectơ a và b bằng 45 độ. Trên hình vẽ, vectơ a nằm ngang trên trục Ox, vectơ b chéo lên theo đường phân giác của góc phần tư thứ nhất, hai vectơ mở ra một góc đúng bằng một nửa góc vuông. Đây là ví dụ kinh điển nhất của góc 45 độ, bạn hãy nhớ kĩ bộ ba số 1, 1, √2 này vì nó xuất hiện rất nhiều trong đề thi.

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a = (1, 0) và b = (0, 1). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Bạn hãy tính tích vô hướng trước: a·b = 1·0 + 0·1 = 0 + 0 = 0. Độ dài hai vectơ đều bằng 1: |a| = √(1² + 0²) = 1, |b| = √(0² + 1²) = 1. Thay vào công thức: cos θ = 0 / (1·1) = 0, vậy góc θ bằng 90 độ. Bạn thấy đó, chỉ cần tích vô hướng bằng 0 là bạn kết luận ngay hai vectơ vuông góc, không cần tính thêm gì nữa. Trên hình vẽ, vectơ a nằm ngang trên trục Ox, vectơ b thẳng đứng trên trục Oy, hai vectơ vuông góc với nhau như hai cạnh kề của một hình vuông. Đây chính là điều kiện vuông góc mà sách giáo khoa nhấn mạnh: hai vectơ khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Ví dụ 3: Cho hai vectơ a = (2, 0) và b = (−1, 0). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Bạn hãy tính tích vô hướng: a·b = 2·(−1) + 0·0 = −2. Độ dài hai vectơ: |a| = √(2² + 0²) = 2, |b| = √((−1)² + 0²) = 1. Thay vào công thức: cos θ = −2 / (2·1) = −1, vậy góc θ bằng 180 độ. Bạn thấy tích vô hướng âm và có trị tuyệt đối lớn nhất có thể, đó là dấu hiệu của hai vectơ ngược hướng. Trên hình vẽ, vectơ a chĩa sang phải, vectơ b chĩa sang trái, cả hai cùng nằm trên trục Ox nhưng ngược hướng nhau, góc giữa chúng mở hết cỡ thành một đường thẳng. Ví dụ này cũng cho thấy vì sao góc giữa hai vectơ có thể bằng 180 độ: khi hai vectơ ngược hướng, chúng tạo thành góc bẹt, và cosin bằng −1 là giá trị nhỏ nhất của cosin.

Ví dụ 4: Cho hai vectơ a = (3, 4) và b = (4, 3). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Bạn hãy tính tích vô hướng: a·b = 3·4 + 4·3 = 12 + 12 = 24. Độ dài hai vectơ: |a| = √(3² + 4²) = √25 = 5, |b| = √(4² + 3²) = √25 = 5. Thay vào công thức: cos θ = 24 / (5·5) = 24/25 = 0,96. Bạn tra máy tính với chế độ đo độ: arccos 0,96 cho góc khoảng 16,3 độ. Vì cosin dương và gần bằng 1 nên góc nhọn và nhỏ, đúng với hình vẽ: hai vectơ a và b đều nằm trong góc phần tư thứ nhất, gần nhau, chỉ lệch nhau một chút. Ví dụ này cho thấy không phải lúc nào góc cũng là số đẹp trong bảng đặc biệt; khi cosin bằng 0,96, bạn cần bấm máy tính và làm tròn kết quả tới một chữ số thập phân, ghi rõ dấu khoảng chừng để bài làm được trọn vẹn.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Cho rằng góc giữa hai vectơ có thể lớn hơn 180 độ hoặc nhỏ hơn 0 độ.
Nhiều bạn quen với góc lượng giác có thể quay nhiều vòng nên cho rằng góc giữa hai vectơ cũng có thể bằng 270 độ hay bằng −45 độ. Cách tránh: bạn hãy nhớ góc giữa hai vectơ luôn là góc nhỏ hơn tạo bởi hai vectơ khi đặt chung điểm gốc, nên nó chỉ chạy từ 0 độ đến 180 độ, không bao giờ âm và không bao giờ vượt quá 180 độ. Nếu bạn tính ra một góc ngoài khoảng này thì chắc chắn phép tính đã sai ở đâu đó, bạn hãy kiểm tra lại từ đầu.

Lỗi 2: Chỉ tính tích vô hướng rồi tra cosin mà quên chia cho tích hai độ dài.
Nhiều bạn tính a·b = 24 rồi vội kết luận cos θ = 24, hoặc tra bảng với số 24, trong khi cosin không bao giờ vượt quá 1. Cách tránh: bạn hãy viết đủ công thức cos θ = (a·b) / (|a|·|b|) ra giấy nháp rồi mới thay số, và luôn kiểm tra xem kết quả cosin có nằm trong đoạn từ −1 đến 1 hay không. Nếu cosin tính ra lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn −1 thì bạn đã quên chia cho tích hai độ dài, hoặc đã tính sai độ dài của một vectơ.

Lỗi 3: Tính độ dài vectơ sai vì quên lấy căn bậc hai.
Nhiều bạn tính |a| = x₁² + y₁² mà quên lấy căn, ví dụ vectơ a = (3, 4) thì viết |a| = 25 thay vì |a| = 5. Cách tránh: bạn hãy nhớ độ dài là căn bậc hai của tổng bình phương hai tọa độ, và với bộ ba số 3, 4, 5 quen thuộc thì |a| = √(9 + 16) = √25 = 5. Một mẹo nhỏ: sau khi tính độ dài, bạn hãy bình phương lại kết quả để kiểm tra, ví dụ 5² = 25 đúng bằng 9 + 16.

Lỗi 4: Thấy tích vô hướng âm vẫn kết luận góc nhọn.
Nhiều bạn tính được tích vô hướng âm nhưng vẫn tra góc nhọn, vì quên mất dấu của tích vô hướng quyết định góc nhọn hay góc tù. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy tắc ba trường hợp: tích vô hướng dương thì góc nhọn và nhỏ hơn 90 độ, tích vô hướng bằng 0 thì góc vuông đúng 90 độ, tích vô hướng âm thì góc tù và lớn hơn 90 độ. Trước khi bấm máy tính, bạn hãy nhìn dấu của tích vô hướng và đoán trước khoảng của góc để tự kiểm tra kết quả.

Lỗi 5: Bấm máy tính ở chế độ radian rồi đọc kết quả như số đo độ.
Nhiều bạn bấm arccos 0,96 được 0,28 rồi ghi góc bằng 0,28 độ, trong khi 0,28 là số đo radian, đổi ra độ phải bằng khoảng 16,3 độ. Cách tránh: trước khi bấm arccos, bạn hãy kiểm tra màn hình máy tính đang ở chế độ Deg chứ không phải Rad, và sau khi bấm xong, bạn hãy đối chiếu với bảng đặc biệt: arccos 0,5 phải ra 60 độ, arccos 0 phải ra 90 độ. Nếu máy tính cho ra những số rất nhỏ như 1,05 hay 0,28 thì chắc chắn máy đang ở chế độ radian.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ công thức cos θ = (a·b) / (|a|·|b|) và bảng giá trị đặc biệt: cos 0 độ bằng 1, cos 45 độ bằng √2/2, cos 90 độ bằng 0, cos 180 độ bằng −1. Với những góc không có trong bảng, bạn hãy bấm máy tính ở chế độ đo độ.

Câu 1: Cho hai vectơ a = (1, 0) và b = (1, 1). Góc giữa hai vectơ a và b bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°

Câu 2: Cho hai vectơ a = (1, 0) và b = (0, 1). Góc giữa hai vectơ a và b bằng bao nhiêu?
A. 0°
B. 45°
C. 90°
D. 180°

Câu 3: Cho hai vectơ a = (1, 1) và b = (−1, 1). Góc giữa hai vectơ a và b bằng bao nhiêu?
A. 0°
B. 45°
C. 135°
D. 90°

Câu 4: Cho hai vectơ a = (2, 0) và b = (1, 0). Góc giữa hai vectơ a và b bằng bao nhiêu?
A. 0°
B. 90°
C. 45°
D. 180°

Câu 5: Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (2, 1). Góc giữa hai vectơ a và b bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 45°
C. 36,87°
D. 53,13°

Giải thích Câu 1 — Đáp án B (45°) đúng: Bạn tính tích vô hướng a·b = 1·1 + 0·1 = 1, độ dài |a| = 1 và |b| = √2, nên cos θ = 1 / √2 = √2/2, tra bảng được góc bằng 45 độ. Đáp án A (30 độ) sai vì cos 30 độ bằng √3/2, khoảng 0,87, khác 1/√2 khoảng 0,71. Đáp án C (60 độ) sai vì cos 60 độ bằng ½, khác 1/√2. Đáp án D (90 độ) sai vì góc 90 độ thì tích vô hướng phải bằng 0, trong khi tích vô hướng ở đây bằng 1.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (90°) đúng: Bạn tính tích vô hướng a·b = 1·0 + 0·1 = 0, độ dài hai vectơ đều bằng 1, nên cos θ = 0, vậy góc bằng 90 độ, hai vectơ vuông góc với nhau. Đáp án A (0 độ) sai vì góc 0 độ thì hai vectơ phải cùng hướng và cosin bằng 1. Đáp án B (45 độ) sai vì cos 45 độ bằng √2/2, khác 0. Đáp án D (180 độ) sai vì góc 180 độ thì hai vectơ phải ngược hướng và cosin bằng −1.

Giải thích Câu 3 — Đáp án D (90°) đúng: Bạn tính tích vô hướng a·b = 1·(−1) + 1·1 = −1 + 1 = 0, độ dài |a| = √2 và |b| = √2, nên cos θ = 0, vậy góc bằng 90 độ. Đáp án A (0 độ) sai vì hai vectơ không cùng hướng, tích vô hướng của chúng bằng 0 chứ không bằng 2. Đáp án B (45 độ) sai vì cos 45 độ bằng √2/2, khác 0. Đáp án C (135 độ) sai vì góc 135 độ thì cosin bằng −√2/2, trong khi cosin ở đây bằng 0 — bạn đã nhầm vì thấy hai vectơ chĩa về hai phía khác nhau nên đoán góc tù.

Giải thích Câu 4 — Đáp án A (0°) đúng: Bạn tính tích vô hướng a·b = 2·1 + 0·0 = 2, độ dài |a| = 2 và |b| = 1, nên cos θ = 2 / (2·1) = 1, vậy góc bằng 0 độ, hai vectơ cùng hướng. Đáp án B (90 độ) sai vì góc 90 độ thì tích vô hướng phải bằng 0, trong khi tích vô hướng ở đây bằng 2. Đáp án C (45 độ) sai vì cos 45 độ bằng √2/2, khác 1. Đáp án D (180 độ) sai vì góc 180 độ thì hai vectơ phải ngược hướng, còn ở đây cả hai vectơ đều chĩa sang phải.

Giải thích Câu 5 — Đáp án C (36,87°) đúng: Bạn tính tích vô hướng a·b = 1·2 + 2·1 = 2 + 2 = 4, độ dài |a| = √(1² + 2²) = √5 và |b| = √(2² + 1²) = √5, nên cos θ = 4 / (√5·√5) = 4/5 = 0,8, bấm máy tính ở chế độ đo độ được góc khoảng 36,87 độ. Đáp án A (30 độ) sai vì cos 30 độ bằng √3/2 khoảng 0,87, khác 0,8. Đáp án B (45 độ) sai vì cos 45 độ bằng √2/2 khoảng 0,71, khác 0,8. Đáp án D (53,13 độ) sai vì đó là góc có cosin bằng 0,6 — bạn đã nhầm khi lấy 3 chia cho 5 thay vì 4 chia cho 5.

Hỏi đáp nhanh về góc giữa hai vectơ

Hỏi: Góc giữa hai vectơ có thể lớn hơn 180 độ không?
Đáp: Không. Góc giữa hai vectơ được hiểu là góc nhỏ hơn tạo bởi hai vectơ khi đặt chúng chung một điểm gốc, nên nó luôn nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ. Khi hai vectơ quay xa nhau hết cỡ, chúng chỉ tới mức ngược hướng nhau với góc bằng 180 độ, không thể lớn hơn.

Hỏi: Hai vectơ vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu?
Đáp: Bằng 90 độ. Khi hai vectơ vuông góc, tích vô hướng của chúng bằng 0, thay vào công thức được cos θ = 0, vậy góc bằng 90 độ. Đây cũng là cách kiểm tra vuông góc nhanh nhất: bạn chỉ cần tính tích vô hướng, nếu bằng 0 thì hai vectơ vuông góc.

Hỏi: Hai vectơ cùng hướng thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu?
Đáp: Bằng 0 độ. Khi hai vectơ cùng hướng, tích vô hướng bằng tích hai độ dài, thay vào công thức được cos θ = 1, vậy góc bằng 0 độ. Đây là trường hợp biên của góc, tương ứng với hai vectơ cùng phương và cùng hướng.

Hỏi: Hai vectơ ngược hướng thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu?
Đáp: Bằng 180 độ. Khi hai vectơ ngược hướng, tích vô hướng bằng trừ tích hai độ dài, thay vào công thức được cos θ = −1, vậy góc bằng 180 độ. Đây là trường hợp biên còn lại của góc, tương ứng với hai vectơ cùng phương nhưng ngược hướng.

Hỏi: Cosin của góc bằng 0,5 thì góc bằng bao nhiêu?
Đáp: Bằng 60 độ. Đây là một trong những giá trị đặc biệt mà bạn nên nhớ thuộc lòng: cos 60 độ bằng ½. Tương tự, cosin bằng √2/2 thì góc bằng 45 độ, cosin bằng √3/2 thì góc bằng 30 độ, cosin bằng 0 thì góc bằng 90 độ.

Kết luận

Góc giữa hai vectơ gói gọn trong một công thức duy nhất: cos θ = (a·b) / (|a|·|b|), với góc θ chạy từ 0 độ đến 180 độ. Bạn hãy nhớ ba bước: tính tích vô hướng ở tử số, tính tích hai độ dài ở mẫu số, rồi tra bảng hoặc bấm máy tính để tìm góc. Dấu của tích vô hướng cho bạn biết trước góc nhọn hay góc tù, bảng giá trị đặc biệt giúp bạn trả lời nhanh những góc quen thuộc, và chế độ đo độ của máy tính giúp bạn không bị nhầm với radian. Làm xong năm bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính góc giữa hai vectơ bất kì trong chương trình lớp 10, từ góc 0 độ của hai vectơ cùng hướng tới góc 180 độ của hai vectơ ngược hướng.