Bạn có một túi kẹo với 1000 viên. Mỗi ngày, một nửa số kẹo còn lại trong túi biến mất một cách bí ẩn. Ngày đầu còn 500 viên, ngày thứ hai còn 250 viên, ngày thứ ba còn 125 viên... Bạn không thể đoán được viên kẹo nào sẽ biến mất tiếp theo, nhưng bạn biết chắc chắn rằng sau mỗi ngày, số kẹo còn lại sẽ giảm đi một nửa. Hiện tượng phóng xạ cũng tuân theo quy luật y hệt như vậy — chỉ khác là "kẹo" ở đây là các hạt nhân không bền, và chúng biến đổi thành hạt nhân khác một cách hoàn toàn ngẫu nhiên.
Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững định luật phóng xạ: số hạt nhân còn lại giảm theo quy luật hàm mũ như thế nào, chu kì bán rã là gì và vì sao nó là "căn cước" của mỗi chất phóng xạ, cách tính số hạt nhân và khối lượng còn lại sau một khoảng thời gian. Bạn sẽ tính từng bước qua 4 ví dụ, từ cacbon-14 dùng để xác định tuổi cổ vật đến bài toán tìm chu kì bán rã từ số liệu thực nghiệm, rồi luyện thêm 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích chi tiết. Đây là bài học kết nối vật lí hạt nhân với khảo cổ học, y học và cả năng lượng hạt nhân.
Định luật phóng xạ: sau mỗi chu kì bán rã, số hạt nhân còn một nửa
Phóng xạ là hiện tượng một hạt nhân không bền tự phát biến đổi thành hạt nhân khác, đồng thời phát ra các tia phóng xạ. Quá trình này xảy ra hoàn toàn ngẫu nhiên đối với từng hạt nhân riêng lẻ — bạn không thể dự đoán một hạt nhân cụ thể sẽ phân rã vào lúc nào — nhưng với một tập hợp gồm rất nhiều hạt nhân, số hạt nhân còn lại tuân theo một quy luật xác định, gọi là định luật phóng xạ: N = N₀ · 2 mũ (−t/T), trong đó N₀ là số hạt nhân ban đầu, N là số hạt nhân còn lại sau thời gian t, và T là chu kì bán rã. Công thức tương tự cũng đúng cho khối lượng chất phóng xạ còn lại: m = m₀ · 2 mũ (−t/T), với m₀ là khối lượng ban đầu và m là khối lượng còn lại sau thời gian t.
Chu kì bán rã T là thời gian để một nửa số hạt nhân ban đầu phân rã, tức là sau thời gian T thì số hạt nhân còn lại đúng bằng một nửa số ban đầu: N = N₀/2. Mỗi chất phóng xạ có một chu kì bán rã xác định, không phụ thuộc vào khối lượng ban đầu hay điều kiện bên ngoài như nhiệt độ và áp suất — đó là đặc trưng riêng của chất, giống như dấu vân tay. Ví dụ, cacbon-14 có chu kì bán rã khoảng 5730 năm, urani-238 có chu kì bán rã khoảng 4,5 tỉ năm, còn radon-222 chỉ có chu kì bán rã khoảng 3,8 ngày. Chính nhờ tính ổn định này mà các nhà khoa học dùng cacbon-14 để xác định tuổi của cổ vật và dùng urani để xác định tuổi của Trái Đất.
Bạn hãy hình dung quy luật giảm một nửa diễn ra như thế nào: ban đầu có N₀ hạt nhân. Sau 1 chu kì bán rã (t = T), còn lại N₀/2 hạt. Sau 2 chu kì (t = 2T), còn lại N₀/4 hạt. Sau 3 chu kì (t = 3T), còn lại N₀/8 hạt. Cứ mỗi chu kì trôi qua, số hạt còn lại lại giảm đi một nửa. Sau n chu kì, số hạt còn lại là N₀ nhân với 2 mũ (−n), với n = t/T. Điều này có nghĩa là về mặt lí thuyết, số hạt nhân không bao giờ giảm hẳn về 0 — nó cứ giảm dần mãi, nhưng trong thực tế, khi số hạt còn lại quá ít thì chất phóng xạ coi như đã phân rã hết. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Một điểm quan trọng bạn cần nhớ khi làm bài tập: công thức định luật phóng xạ dùng được cho cả số hạt nhân N và khối lượng m, vì khối lượng tỉ lệ thuận với số hạt nhân. Nhưng bạn phải cẩn thận với đơn vị của thời gian: t và T phải cùng đơn vị — nếu T tính bằng ngày thì t cũng phải đổi sang ngày, nếu T tính bằng năm thì t cũng phải đổi sang năm. Một lỗi rất phổ biến là học sinh thay t tính bằng giờ vào công thức trong khi T tính bằng ngày mà quên đổi đơn vị. Một lưu ý nữa: số hạt nhân ĐÃ phân rã sau thời gian t bằng N₀ − N, tức là phần đã mất đi, không phải phần còn lại — nhiều bài tập hỏi số hạt đã phân rã nên bạn phải trừ đi một bước nữa. Nếu muốn ôn lại cách đếm số hạt trong nguyên tử để xác định số hạt nhân ban đầu, bạn hãy xem bài công thức tính số hạt trong nguyên tử.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Một mẫu chất phóng xạ có N₀ = 10¹² hạt nhân, chu kì bán rã T = 10 ngày. Tính số hạt nhân còn lại sau t = 20 ngày.
Bạn áp dụng công thức N = N₀ · 2 mũ (−t/T). Tính số chu kì đã trôi qua: t/T = 20/10 = 2, tức là đã trôi qua 2 chu kì bán rã. Thay số: N = 10¹² × 2⁻² = 10¹² × 1/4 = 2,5×10¹¹ hạt. Bạn hãy kiểm tra bằng cách giảm một nửa từng bước: sau 10 ngày còn 5×10¹¹ hạt, sau 20 ngày còn 2,5×10¹¹ hạt — khớp hoàn toàn với kết quả tính bằng công thức. Bạn hãy để ý: sau 2 chu kì, số hạt còn lại bằng 1/4 số ban đầu, tức là đã có 3/4 số hạt nhân phân rã, tương đương 7,5×10¹¹ hạt đã biến đổi thành hạt nhân khác.
Ví dụ 2 (khối lượng còn lại của cacbon-14): Một mẫu gỗ cổ chứa 8 g cacbon-14. Biết chu kì bán rã của cacbon-14 là 5730 năm. Tính khối lượng cacbon-14 còn lại sau 11460 năm.
Bạn áp dụng công thức m = m₀ · 2 mũ (−t/T). Tính số chu kì đã trôi qua: t/T = 11460/5730 = 2, tức là đã trôi qua 2 chu kì bán rã. Thay số: m = 8 × 2⁻² = 8 × 1/4 = 2 g. Vậy sau 11460 năm, mẫu gỗ chỉ còn 2 g cacbon-14, 6 g còn lại đã phân rã thành nitơ-14. Bạn hãy để ý: đây chính là nguyên tắc của phương pháp xác định tuổi bằng cacbon-14 — các nhà khảo cổ đo tỉ lệ cacbon-14 còn lại trong cổ vật so với cacbon-14 trong sinh vật đang sống, từ đó suy ra cổ vật đã chết cách đây bao nhiêu chu kì bán rã. Với mẫu gỗ này, tỉ lệ còn lại là 2/8 = 1/4, tương ứng với 2 chu kì, tức là khoảng 11460 năm tuổi.
Ví dụ 3 (tìm chu kì bán rã): Một mẫu chất phóng xạ sau 30 ngày thì số hạt nhân còn lại bằng 1/8 số hạt nhân ban đầu. Tính chu kì bán rã T của chất này.
Bạn áp dụng công thức N/N₀ = 2 mũ (−t/T). Đề bài cho N/N₀ = 1/8 và t = 30 ngày. Bạn viết 1/8 = 2⁻³, nên 2 mũ (−t/T) = 2⁻³, suy ra t/T = 3. Thay t = 30 ngày: 30/T = 3, suy ra T = 10 ngày. Bạn kiểm tra lại: sau 10 ngày còn 1/2, sau 20 ngày còn 1/4, sau 30 ngày còn 1/8 — đúng với đề bài. Bạn hãy để ý cách làm này: khi tỉ lệ còn lại là một lũy thừa của 1/2 như 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, bạn chỉ cần đếm xem 1/2 đã nhân với chính nó bao nhiêu lần là ra ngay số chu kì, không cần dùng lôgarit.
Ví dụ 4 (tìm thời gian phân rã): Một mẫu chất phóng xạ có N₀ = 10¹² hạt nhân, chu kì bán rã T = 10 ngày. Sau bao lâu thì số hạt nhân còn lại là 1,25×10¹¹ hạt?
Bạn tính tỉ lệ còn lại: N/N₀ = 1,25×10¹¹ / 10¹² = 0,125 = 1/8. Bạn viết 1/8 = 2⁻³, nên số chu kì đã trôi qua là 3. Thời gian cần tìm là t = 3×T = 3×10 = 30 ngày. Bạn kiểm tra lại: sau 10 ngày còn 5×10¹¹ hạt, sau 20 ngày còn 2,5×10¹¹ hạt, sau 30 ngày còn 1,25×10¹¹ hạt — đúng với yêu cầu. Bạn hãy để ý: bài toán này là bài toán ngược của ví dụ 1 — ví dụ 1 cho thời gian và hỏi số hạt còn lại, ví dụ 4 cho số hạt còn lại và hỏi thời gian. Cả hai đều giải bằng cùng một công thức, chỉ khác nhau ở đại lượng cần tìm.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm số hạt còn lại với số hạt đã phân rã.
Nhiều bạn tính được N = 2,5×10¹¹ hạt rồi trả lời đó là số hạt đã phân rã. Cách tránh: bạn hãy nhớ N trong công thức là số hạt CÒN LẠI, còn số hạt đã phân rã bằng N₀ − N. Với ví dụ 1, số hạt đã phân rã là 10¹² − 2,5×10¹¹ = 7,5×10¹¹ hạt.
Lỗi 2: Quên đổi đơn vị thời gian cho thống nhất.
Nhiều bạn thay t = 2 giờ vào công thức trong khi T = 10 ngày mà không đổi đơn vị. Cách tránh: bạn hãy luôn đổi t và T về cùng một đơn vị trước khi tính tỉ số t/T — tỉ số này không có đơn vị, nên hai đại lượng phải cùng đơn vị mới chia được cho nhau.
Lỗi 3: Tính 2 mũ (−t/T) thành 2 nhân với (−t/T).
Nhiều bạn thấy 2 mũ (−t/T) thì tính thành 2×(−t/T), ra số âm vô lí. Cách tránh: bạn hãy nhớ đây là lũy thừa, không phải phép nhân — 2 mũ (−2) bằng 1/4, còn 2×(−2) bằng −4. Bạn kiểm tra nhanh: kết quả N/N₀ phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1, nếu tính ra số âm hay số lớn hơn 1 thì chắc chắn đã sai phép tính lũy thừa.
Lỗi 4: Cho rằng sau 2 chu kì bán rã thì chất phóng xạ hết hoàn toàn.
Nhiều bạn nghĩ sau 2 chu kì thì còn 0 hạt vì "một nửa của một nửa là hết". Cách tránh: bạn hãy nhớ sau mỗi chu kì số hạt chỉ giảm đi một nửa, không bao giờ về 0: sau 2 chu kì còn 1/4, sau 3 chu kì còn 1/8, sau 10 chu kì còn khoảng 1/1000. Về lí thuyết, phải sau vô số chu kì số hạt mới về 0.
Lỗi 5: Nhầm chu kì bán rã với thời gian phân rã hết.
Nhiều bạn thấy T = 10 ngày thì kết luận sau 10 ngày chất phóng xạ hết hoàn toàn. Cách tránh: bạn hãy nhớ chu kì bán rã chỉ là thời gian để MỘT NỬA số hạt phân rã, sau thời gian T vẫn còn một nửa số hạt ban đầu. Muốn chất phóng xạ coi như phân rã hết trong thực tế, thường phải chờ khoảng 10 chu kì bán rã.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính số chu kì t/T trước rồi mới tính lũy thừa.
Câu 1: Một mẫu chất phóng xạ có N₀ = 10¹² hạt nhân, chu kì bán rã T = 10 ngày. Số hạt nhân còn lại sau t = 20 ngày bằng bao nhiêu?
A. 10¹² hạt
B. 5×10¹¹ hạt
C. 2,5×10¹¹ hạt
D. 1,25×10¹¹ hạt
Câu 2: Sau 1 chu kì bán rã, số hạt nhân còn lại bằng bao nhiêu phần số hạt nhân ban đầu?
A. 1/2
B. 1/4
C. 3/4
D. 1/8
Câu 3: Sau 3 chu kì bán rã, số hạt nhân còn lại bằng bao nhiêu phần số hạt nhân ban đầu?
A. 1/2
B. 1/4
C. 1/8
D. 1/16
Câu 4: Một mẫu gỗ cổ chứa 8 g cacbon-14, chu kì bán rã 5730 năm. Khối lượng cacbon-14 còn lại sau 11460 năm bằng bao nhiêu?
A. 4 g
B. 2 g
C. 1 g
D. 6 g
Câu 5: Chu kì bán rã T của một chất phóng xạ là thời gian để đại lượng nào sau đây xảy ra?
A. Số hạt nhân giảm còn một nửa
B. Số hạt nhân giảm còn 0
C. Khối lượng tăng gấp đôi
D. Số hạt nhân tăng gấp đôi
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | A | C | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C đúng: t/T = 20/10 = 2, N = 10¹² × 2⁻² = 10¹² × 1/4 = 2,5×10¹¹ hạt. Đáp án A sai vì 10¹² là số hạt ban đầu, chưa phân rã. Đáp án B sai vì 5×10¹¹ là số hạt còn lại sau 1 chu kì (10 ngày), không phải sau 2 chu kì. Đáp án D sai vì 1,25×10¹¹ là số hạt còn lại sau 3 chu kì (30 ngày).
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Theo định nghĩa chu kì bán rã, sau thời gian T thì số hạt nhân còn lại bằng một nửa số ban đầu. Đáp án B sai vì 1/4 là tỉ lệ còn lại sau 2 chu kì. Đáp án C sai vì 3/4 là tỉ lệ ĐÃ phân rã sau 2 chu kì. Đáp án D sai vì 1/8 là tỉ lệ còn lại sau 3 chu kì.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: Sau mỗi chu kì số hạt giảm một nửa: sau 1 chu kì còn 1/2, sau 2 chu kì còn 1/4, sau 3 chu kì còn 1/8. Đáp án A sai vì 1/2 là tỉ lệ sau 1 chu kì. Đáp án B sai vì 1/4 là tỉ lệ sau 2 chu kì. Đáp án D sai vì 1/16 là tỉ lệ sau 4 chu kì.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: t/T = 11460/5730 = 2, m = 8 × 2⁻² = 8 × 1/4 = 2 g. Đáp án A sai vì 4 g là khối lượng còn lại sau 1 chu kì (5730 năm). Đáp án C sai vì 1 g là khối lượng còn lại sau 3 chu kì (17190 năm). Đáp án D sai vì 6 g là khối lượng ĐÃ phân rã sau 2 chu kì, không phải khối lượng còn lại.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Chu kì bán rã là thời gian để một nửa số hạt nhân ban đầu phân rã, tức là số hạt còn lại bằng một nửa số ban đầu. Đáp án B sai vì số hạt không bao giờ giảm về 0 sau một thời gian hữu hạn. Đáp án C sai vì khối lượng chất phóng xạ giảm dần chứ không tăng. Đáp án D sai vì số hạt nhân giảm dần theo thời gian, không tăng.
Câu hỏi thường gặp về định luật phóng xạ
Hỏi: Vì sao quá trình phân rã của từng hạt nhân là ngẫu nhiên mà số hạt còn lại vẫn tuân theo quy luật?
Đáp: Vì số hạt nhân trong một mẫu chất thường rất lớn, cỡ 10²³ hạt, nên các biến động ngẫu nhiên của từng hạt trung bình hóa lẫn nhau và tỉ lệ phân rã chung trở nên ổn định. Đây là quy luật thống kê — giống như bạn không đoán được một đồng xu cụ thể sẽ ra mặt nào, nhưng tung 1 triệu đồng xu thì tỉ lệ mặt ngửa sẽ rất gần 1/2.
Hỏi: Chu kì bán rã có thay đổi khi nung nóng hay nén chất phóng xạ không?
Đáp: Không. Chu kì bán rã là đặc trưng của hạt nhân, chỉ phụ thuộc vào cấu trúc bên trong hạt nhân, không phụ thuộc vào nhiệt độ, áp suất hay trạng thái hóa học của chất. Đây là điểm khác biệt lớn so với các phản ứng hóa học thông thường.
Hỏi: Xác định tuổi bằng cacbon-14 có chính xác không?
Đáp: Phương pháp này chính xác trong khoảng vài chục nghìn năm trở lại, với sai số thường dưới 1%. Nó dựa trên giả thiết tỉ lệ cacbon-14 trong khí quyển là không đổi theo thời gian và sinh vật ngừng trao đổi cacbon với môi trường khi chết. Với mẫu quá già (trên 50000 năm), lượng cacbon-14 còn lại quá ít nên phương pháp mất chính xác.
Hỏi: Chất phóng xạ có bao giờ phân rã hết hoàn toàn không?
Đáp: Về mặt toán học thì không, vì số hạt cứ giảm một nửa mãi mà không về 0. Nhưng trong thực tế, khi số hạt còn lại chỉ còn vài hạt thì chất phóng xạ coi như đã phân rã hết — thường sau khoảng 10 chu kì bán rã, tỉ lệ còn lại chỉ còn khoảng 1/1000 nên hoạt độ phóng xạ đã giảm tới mức không đáng kể.
Hỏi: Học định luật phóng xạ để làm gì trong thực tế?
Đáp: Bạn sẽ gặp nó trong y học (chẩn đoán và xạ trị bằng đồng vị phóng xạ), trong khảo cổ (xác định tuổi cổ vật), trong địa chất (xác định tuổi Trái Đất và các loại đá), trong năng lượng hạt nhân (tính lượng nhiên liệu còn lại trong lò phản ứng) và trong bảo vệ an toàn bức xạ.
Kết luận
Định luật phóng xạ chỉ gói gọn trong một công thức: N = N₀ · 2 mũ (−t/T), với T là chu kì bán rã — thời gian để một nửa số hạt nhân phân rã. Bạn hãy nhớ ba điều: tính số chu kì t/T trước rồi mới tính lũy thừa, phân biệt số hạt còn lại với số hạt đã phân rã, và đổi đơn vị thời gian cho thống nhất trước khi tính. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã có thể xác định tuổi cổ vật, tính lượng chất phóng xạ còn lại và hiểu vì sao mỗi chất phóng xạ có một "căn cước" riêng là chu kì bán rã của nó.