Cách đây hơn hai nghìn năm, nhà toán học Pythagoras đã phát hiện ra một điều kì diệu: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền luôn bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Phát hiện đó không chỉ là một định lí đẹp trong sách giáo khoa mà còn là chiếc chìa khóa để đo khoảng cách trên mặt phẳng tọa độ. Khi bạn biết tọa độ của một vectơ, bạn thực ra đã biết hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông — và độ dài của vectơ chính là cạnh huyền của tam giác đó. Bài này sẽ cho bạn thấy định lí Pythagoras xuất hiện ở khắp mọi nơi, ngay cả trong một công thức tưởng chừng rất hiện đại như công thức tính độ dài vectơ.
Một vectơ a = (x; y) có thể hình dung như một mũi tên đi từ gốc tọa độ đến điểm có tọa độ (x; y). Muốn đến được điểm đó, mũi tên phải đi ngang một đoạn bằng x và đi dọc một đoạn bằng y, tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông mà cạnh huyền chính là bản thân vectơ. Áp dụng định lí Pythagoras, bình phương độ dài vectơ bằng x² + y², nên độ dài vectơ bằng căn bậc hai của x² + y². Công thức này đơn giản đến mức bạn có thể tính nhẩm trong nhiều trường hợp — đặc biệt là khi gặp bộ ba số quen thuộc 3, 4, 5 mà đề thi rất hay dùng.
Độ dài vectơ là cạnh huyền của tam giác vuông
Cho vectơ a = (x; y), độ dài của vectơ a, kí hiệu là |a|, được tính bằng công thức |a| = √(x² + y²). Bạn hãy đọc công thức này theo từng bước: bình phương từng thành phần tọa độ, cộng hai bình phương lại với nhau, rồi lấy căn bậc hai của tổng đó. Ví dụ, vectơ (3; 4) có độ dài bằng √(9 + 16) = √25 = 5. Dấu giá trị tuyệt đối ở đây không có nghĩa là "lấy số dương" như với số thực, mà là kí hiệu của độ dài — độ dài của một vectơ luôn là một số không âm, vì vậy kết quả căn bậc hai bạn lấy luôn là căn số học, tức là giá trị không âm.
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB), khoảng cách giữa hai điểm, tức là độ dài đoạn thẳng AB, được tính bằng công thức AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Bạn hãy nhận ra công thức này thực ra là công thức độ dài vectơ áp dụng cho vectơ AB = (xB − xA; yB − yA): thay hoành độ của vectơ bằng xB − xA và tung độ bằng yB − yA vào công thức |a| = √(x² + y²), bạn nhận được ngay công thức khoảng cách hai điểm. Hai công thức này là một, chỉ khác nhau ở cách viết: công thức thứ nhất dùng tọa độ của vectơ, công thức thứ hai dùng tọa độ của hai điểm. Khi làm bài, bạn hãy chọn công thức nào tiện hơn — nếu đề bài cho sẵn tọa độ vectơ thì dùng công thức thứ nhất, nếu đề bài cho tọa độ hai điểm thì dùng công thức thứ hai.
Một điều thú vị là độ dài vectơ không phụ thuộc vào dấu của các thành phần tọa độ, vì bình phương một số âm cũng cho kết quả dương. Vectơ (3; 4), vectơ (−3; 4), vectơ (3; −4) và vectơ (−3; −4) đều có độ dài bằng 5, dù chúng chỉ theo bốn hướng khác nhau. Điều này hoàn toàn hợp lí về mặt hình học: bốn mũi tên này có cùng độ dài, chỉ khác nhau ở hướng đi. Tính chất này cũng có nghĩa là khi tính độ dài, bạn không cần lo lắng về dấu của tọa độ — cứ bình phương lên là dấu âm biến mất. Tuy nhiên, bạn vẫn phải cẩn thận ở bước bình phương: (−6)² bằng 36 chứ không phải bằng −36, và nhiều bạn đã mất điểm vì quên mất điều đơn giản này.
Công thức độ dài vectơ còn có một ứng dụng quan trọng là tính độ dài của tổng và hiệu hai vectơ, cũng như kiểm tra một tam giác có phải là tam giác vuông hay tam giác cân hay không. Chẳng hạn, muốn biết tam giác ABC có vuông tại A không, bạn tính độ dài ba cạnh AB, AC, BC rồi kiểm tra xem có thỏa mãn định lí Pythagoras đảo hay không. Muốn biết tam giác có cân không, bạn so sánh độ dài hai cạnh bên. Tất cả những bài toán đó đều bắt đầu từ công thức khoảng cách hai điểm. Nếu muốn ôn lại cách tính tọa độ của vectơ nối hai điểm, bạn hãy xem bài liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ của vectơ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho vectơ a = (3; 4). Tính độ dài của vectơ a.
Bạn áp dụng công thức |a| = √(x² + y²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Vậy độ dài của vectơ a bằng 5. Bạn hãy nhận ra bộ ba số 3, 4, 5 là bộ ba Pythagoras quen thuộc nhất: 3² + 4² = 5². Trong đề thi, người ta rất hay dùng bộ ba này hoặc các bội của nó như 6, 8, 10 để đáp án ra số nguyên đẹp. Khi bạn thấy tọa độ là 3 và 4, hãy nghĩ ngay đến đáp án 5 — nhưng vẫn phải tính lại để chắc chắn, đừng đoán mò.
Ví dụ 2 (khoảng cách hai điểm): Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Bạn tính hiệu tọa độ trước: xB − xA = 4 − 1 = 3, yB − yA = 6 − 2 = 4. Sau đó áp dụng công thức khoảng cách: AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Vậy độ dài đoạn thẳng AB bằng 5. Bạn hãy kiểm tra lại bằng vectơ: vectơ AB = (3; 4) có độ dài bằng 5, đúng với kết quả vừa tính. Cách làm hai bước — tính vectơ trước rồi tính độ dài sau — giúp bạn ít nhầm lẫn hơn so với việc thay thẳng vào công thức khoảng cách, đặc biệt khi tọa độ có số âm. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 3 (vectơ có thành phần âm): Cho vectơ a = (−6; 8). Tính độ dài của vectơ a.
Bạn bình phương từng thành phần: (−6)² = 36, 8² = 64, tổng bằng 36 + 64 = 100, căn bậc hai của 100 bằng 10. Vậy |a| = 10. Bạn hãy chú ý: (−6)² bằng 36, là số dương, vì bình phương của một số âm luôn dương. Nếu bạn viết −6² thì kết quả sẽ là −36, hoàn toàn sai — đó là lí do vì sao bạn phải luôn đặt dấu ngoặc khi bình phương một số âm. Bộ ba 6, 8, 10 là bội hai của bộ ba 3, 4, 5, nên đáp án ra số nguyên đẹp là điều đã được tính trước.
Ví dụ 4 (độ dài là số vô tỉ): Cho vectơ a = (1; 1). Tính độ dài của vectơ a.
Bạn tính |a| = √(1² + 1²) = √(1 + 1) = √2. Vậy độ dài của vectơ a bằng √2, xấp xỉ 1,414. Không phải lúc nào đáp án cũng là số nguyên đẹp — khi tổng hai bình phương không phải là số chính phương thì độ dài sẽ là một số vô tỉ, và bạn hãy giữ nguyên kết quả dưới dạng căn thức, đừng đổi thành số thập phân gần đúng khi đề bài không yêu cầu. Vectơ (1; 1) là đường chéo của hình vuông đơn vị, và độ dài √2 của nó là một trong những số vô tỉ nổi tiếng nhất trong Toán học.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên bình phương các thành phần tọa độ.
Nhiều bạn tính độ dài vectơ (3; 4) thành √(3 + 4) = √7 thay vì √(9 + 16) = 5. Cách tránh: bạn hãy viết rõ từng bước — 3² = 9, 4² = 16, 9 + 16 = 25, √25 = 5 — đừng gộp nhiều bước vào một dòng rồi bỏ sót phép bình phương.
Lỗi 2: Quên lấy căn bậc hai ở bước cuối cùng.
Nhiều bạn tính được x² + y² = 25 rồi trả lời độ dài bằng 25 thay vì bằng 5. Cách tránh: sau khi cộng hai bình phương, bạn hãy tự nhắc "còn một bước lấy căn nữa" rồi mới viết đáp án. Công thức có dấu căn, nên đáp án cuối cùng bắt buộc phải qua phép lấy căn.
Lỗi 3: Bình phương số âm sai dấu.
Nhiều bạn tính (−6)² thành −36 vì quên dấu ngoặc. Cách tránh: bạn hãy luôn viết số âm trong dấu ngoặc khi bình phương, và nhớ rằng bình phương của bất kì số thực nào cũng không âm.
Lỗi 4: Nhầm lẫn giữa độ dài vectơ và tọa độ vectơ.
Nhiều bạn được hỏi độ dài của vectơ (3; 4) thì trả lời (3; 4), hoặc được hỏi tọa độ thì trả lời 5. Cách tránh: bạn hãy phân biệt rõ — tọa độ là một cặp số, độ dài là một số duy nhất không âm. Khi đề hỏi "tính độ dài", đáp án phải là một số, không phải một cặp số.
Lỗi 5: Tính khoảng cách hai điểm bằng cách cộng tọa độ thay vì trừ.
Nhiều bạn tính AB thành √((xA + xB)² + (yA + yB)²) thay vì hiệu tọa độ. Cách tránh: bạn hãy nhớ khoảng cách đo "bước đi" từ A đến B, nên phải lấy điểm cuối trừ điểm đầu rồi mới bình phương — giống hệt như cách tính tọa độ vectơ AB.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ quy tắc: bình phương từng thành phần, cộng lại, rồi lấy căn bậc hai.
Câu 1: Cho vectơ a = (3; 4). Độ dài của vectơ a bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 7
C. 25
D. 12
Câu 2: Cho vectơ a = (6; 8). Độ dài của vectơ a bằng bao nhiêu?
A. 14
B. 10
C. 100
D. 48
Câu 3: Cho hai điểm A(0; 0) và B(3; 4). Độ dài đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu?
A. 7
B. 25
C. 5
D. 12
Câu 4: Cho vectơ a = (−5; 12). Độ dài của vectơ a bằng bao nhiêu?
A. 17
B. 7
C. 60
D. 13
Câu 5: Cho vectơ a = (1; 0). Độ dài của vectơ a bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 0
C. 2
D. √2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | D | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (5) đúng: |a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Đáp án B (7) sai vì 7 = 3 + 4 — bạn đã cộng tọa độ thay vì bình phương rồi cộng. Đáp án C (25) sai vì bạn quên lấy căn bậc hai ở bước cuối. Đáp án D (12) sai vì 12 = 3 × 4 — bạn đã nhân hai tọa độ với nhau.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (10) đúng: |a| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Đáp án A (14) sai vì 14 = 6 + 8 — bạn đã cộng tọa độ thay vì bình phương. Đáp án C (100) sai vì bạn quên lấy căn bậc hai. Đáp án D (48) sai vì 48 = 6 × 8 — bạn đã nhân hai tọa độ với nhau.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (5) đúng: Vectơ AB = (3 − 0; 4 − 0) = (3; 4), nên AB = √(9 + 16) = 5. Đáp án A (7) sai vì 7 = 3 + 4. Đáp án B (25) sai vì bạn quên lấy căn bậc hai. Đáp án D (12) sai vì 12 = 3 × 4.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (13) đúng: |a| = √((−5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Đáp án A (17) sai vì 17 = 5 + 12. Đáp án B (7) sai vì 7 = 12 − 5 — bạn đã lấy hiệu hai tọa độ. Đáp án C (60) sai vì 60 = 5 × 12 — bạn đã nhân hai tọa độ với nhau.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (1) đúng: |a| = √(1² + 0²) = √1 = 1. Đáp án B (0) sai vì bạn đã lấy tung độ làm độ dài. Đáp án C (2) sai vì 2 = 1 + 1 — bạn đã cộng nhầm. Đáp án D (√2) sai vì đó là độ dài của vectơ (1; 1), không phải của vectơ (1; 0).
Câu hỏi thường gặp về độ dài vectơ
Hỏi: Vì sao độ dài vectơ lại tính bằng định lí Pythagoras?
Đáp: Vì vectơ a = (x; y) cùng với hai đoạn thẳng song song với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài |x| và |y|, còn bản thân vectơ là cạnh huyền. Áp dụng định lí Pythagoras, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông, tức là |a|² = x² + y², nên |a| = √(x² + y²).
Hỏi: Độ dài vectơ có thể bằng 0 không?
Đáp: Có, độ dài bằng 0 khi và chỉ khi vectơ là vectơ không, tức là cả hai thành phần tọa độ đều bằng 0. Mọi vectơ khác vectơ không đều có độ dài dương.
Hỏi: Hai vectơ có cùng độ dài thì có bằng nhau không?
Đáp: Không, hai vectơ bằng nhau thì phải có cùng độ dài và cùng hướng. Hai vectơ có cùng độ dài nhưng khác hướng thì không bằng nhau — chẳng hạn vectơ (3; 4) và vectơ (−3; 4) đều dài bằng 5 nhưng là hai vectơ khác nhau.
Hỏi: Bộ ba số 3, 4, 5 có gì đặc biệt?
Đáp: Đó là bộ ba Pythagoras đơn giản nhất: 3² + 4² = 5². Các bội của nó như 6, 8, 10 hay 5, 12, 13 cũng là các bộ ba Pythagoras. Đề thi rất hay dùng các bộ ba này để đáp án ra số nguyên đẹp, nên bạn hãy ghi nhớ chúng.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Độ dài vectơ là công cụ để tính khoảng cách hai điểm, xét tam giác vuông hay tam giác cân, tính góc giữa hai vectơ, và sau này là tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ của vectơ.
Kết luận
Độ dài của vectơ a = (x; y) chỉ gói gọn trong công thức |a| = √(x² + y²), còn khoảng cách giữa hai điểm A và B là AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Bạn hãy nhớ ba điều: bình phương từng thành phần trước khi cộng, đừng quên lấy căn bậc hai ở bước cuối, và bình phương số âm thì kết quả luôn dương. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính độ dài của bất kì vectơ nào và khoảng cách giữa hai điểm bất kì trên mặt phẳng tọa độ — và hiểu thêm vì sao một định lí hơn hai nghìn năm tuổi vẫn là nền tảng của hình học tọa độ hiện đại.