Bạn đã bao giờ chơi trò tìm kho báu trên bản đồ lưới ô vuông chưa? Người ta đưa cho bạn tọa độ điểm xuất phát và tọa độ điểm kho báu, rồi hỏi: muốn đi từ điểm này đến điểm kia thì phải bước mấy ô sang phải và mấy ô lên trên? Câu trả lời không nằm ở hai điểm riêng lẻ mà nằm ở "bước đi" nối chúng lại — một mũi tên có điểm đầu, điểm cuối và một hướng xác định. Trong Toán học, mũi tên đó gọi là vectơ, và bài này sẽ dạy bạn cách đọc tọa độ của nó chỉ bằng một phép trừ rất đơn giản.
Vectơ AB là mũi tên bắt đầu ở điểm A và kết thúc ở điểm B. Nếu bạn biết tọa độ của A và tọa độ của B, bạn hoàn toàn có thể biết được vectơ AB "đi" bao nhiêu theo phương ngang và bao nhiêu theo phương dọc mà không cần vẽ hình. Chỉ cần lấy hoành độ của B trừ đi hoành độ của A, tung độ của B trừ đi tung độ của A, bạn đã có ngay tọa độ của vectơ. Công thức này nhỏ bé nhưng lại là chìa khóa mở ra cả chương vectơ trong mặt phẳng tọa độ: từ đây bạn sẽ tính được độ dài, xét được hai vectơ có bằng nhau không, tìm được trung điểm, trọng tâm, và sau này là phương trình đường thẳng. Vì vậy hãy học nó thật chắc ngay từ đầu.
Công thức tọa độ của vectơ AB: lấy điểm cuối trừ điểm đầu
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ AB được tính bằng công thức: vectơ AB = (xB − xA; yB − yA). Bạn hãy đọc công thức này thành một câu nói dễ nhớ: hoành độ của vectơ bằng hoành độ điểm cuối trừ hoành độ điểm đầu, tung độ của vectơ bằng tung độ điểm cuối trừ tung độ điểm đầu. Điểm cuối là B vì mũi tên kết thúc ở B, điểm đầu là A vì mũi tên bắt đầu ở A. Thứ tự trừ này là bắt buộc — bạn không được lấy điểm đầu trừ điểm cuối, vì như vậy bạn sẽ nhận được vectơ BA, là vectơ ngược hướng với vectơ AB.
Vì sao công thức này đúng? Bạn hãy tưởng tượng vectơ AB được đặt song song với chính nó sao cho điểm đầu A trùng với gốc tọa độ O. Khi đó điểm cuối B sẽ dời đến một vị trí mới B', và tọa độ của B' chính là tọa độ của vectơ AB. Việc dời hình này tương đương với việc trừ đi tọa độ của A khỏi tọa độ của B: mỗi điểm trên hình đều bị trừ đi cùng một lượng (xA; yA). Bạn cũng có thể hiểu theo cách khác: muốn đi từ A đến B, bạn phải dịch chuyển theo phương ngang một đoạn bằng xB − xA và theo phương dọc một đoạn bằng yB − yA. Nếu xB − xA là số dương thì bạn đi sang phải, nếu là số âm thì bạn đi sang trái; tương tự, yB − yA dương thì đi lên, âm thì đi xuống. Dấu của từng thành phần cho biết hướng đi, còn giá trị tuyệt đối của nó cho biết bạn đi bao xa theo phương đó.
Một hệ quả quan trọng mà bạn cần ghi nhớ ngay: vectơ BA là vectơ đối của vectơ AB, nên tọa độ của vectơ BA bằng (xA − xB; yA − yB), tức là đổi dấu cả hai thành phần của vectơ AB. Nói cách khác, vectơ BA = −vectơ AB. Nhiều bạn khi làm bài tập hay nhầm lẫn giữa AB và BA, dẫn đến sai dấu toàn bộ đáp án. Bạn hãy luôn tự hỏi trước khi tính: mũi tên bắt đầu ở đâu và kết thúc ở đâu? Điểm bắt đầu là điểm đầu, điểm kết thúc là điểm cuối, rồi lấy điểm cuối trừ điểm đầu. Chỉ cần nhớ đúng thứ tự này, bạn sẽ không bao giờ sai dấu nữa.
Công thức tọa độ của vectơ còn cho bạn một cách kiểm tra rất nhanh xem hai vectơ có bằng nhau hay không. Hai vectơ bằng nhau khi chúng có cùng tọa độ, tức là cùng hoành độ và cùng tung độ. Chẳng hạn, vectơ AB = (3; 4) và vectơ CD = (3; 4) thì hai vectơ này bằng nhau dù A, B, C, D là bốn điểm hoàn toàn khác nhau. Điều này có nghĩa là vectơ chỉ quan tâm đến "bước đi" — đi bao nhiêu sang phải, bao nhiêu lên trên — chứ không quan tâm bước đi đó bắt đầu từ đâu. Tính chất này sẽ được dùng rất nhiều khi bạn chứng minh một tứ giác là hình bình hành hay tìm tọa độ điểm còn thiếu của một hình. Nếu muốn ôn lại cách tính độ dài của vectơ sau khi đã biết tọa độ của nó, bạn hãy xem bài độ dài của vectơ thông qua tọa độ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Tính tọa độ của vectơ AB.
Bạn áp dụng công thức lấy điểm cuối trừ điểm đầu: hoành độ của vectơ AB bằng xB − xA = 4 − 1 = 3, tung độ của vectơ AB bằng yB − yA = 6 − 2 = 4. Vậy vectơ AB = (3; 4). Bạn hãy kiểm tra lại bằng hình dung: muốn đi từ A(1; 2) đến B(4; 6), bạn phải đi sang phải 3 ô và đi lên trên 4 ô — đúng với tọa độ (3; 4) vừa tính được. Nếu bạn thử đi ngược lại, từ B về A, bạn sẽ đi sang trái 3 ô và xuống dưới 4 ô, tức là vectơ BA = (−3; −4), đúng là vectơ đối của vectơ AB. Cách kiểm tra bằng hình dung này rất hữu ích, đặc biệt khi bạn làm bài trắc nghiệm và muốn rà soát nhanh đáp án của mình.
Ví dụ 2 (vectơ có thành phần âm): Cho hai điểm A(−1; 3) và B(2; −2). Tính tọa độ của vectơ AB.
Bạn vẫn lấy điểm cuối trừ điểm đầu: hoành độ bằng xB − xA = 2 − (−1) = 3, tung độ bằng yB − yA = −2 − 3 = −5. Vậy vectơ AB = (3; −5). Dấu trừ ở thành phần thứ hai cho biết mũi tên đi xuống dưới 5 đơn vị, trong khi thành phần thứ nhất dương cho biết mũi tên đi sang phải 3 đơn vị. Bạn hãy cẩn thận với phép trừ hai số âm ở đây: 2 − (−1) bằng 3 chứ không phải bằng 1, và −2 − 3 bằng −5. Rất nhiều bạn mất điểm ở dạng bài này chỉ vì cộng trừ số âm vội vàng. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 3 (vectơ thẳng đứng): Cho hai điểm A(0; 5) và B(0; −3). Tính tọa độ của vectơ AB.
Bạn tính hoành độ bằng xB − xA = 0 − 0 = 0, tung độ bằng yB − yA = −3 − 5 = −8. Vậy vectơ AB = (0; −8). Hoành độ bằng 0 cho biết mũi tên không dịch chuyển sang trái hay sang phải một chút nào — nó đi thẳng đứng xuống dưới 8 đơn vị. Đây là trường hợp đặc biệt nhưng rất hay gặp trong đề thi: khi hai điểm có cùng hoành độ thì vectơ nối chúng là vectơ thẳng đứng, và khi hai điểm có cùng tung độ thì vectơ nối chúng là vectơ nằm ngang. Bạn hãy nhớ: thành phần nào bằng 0 thì vectơ không dịch chuyển theo phương đó.
Ví dụ 4 (tìm điểm cuối khi biết vectơ): Cho điểm A(2; 1) và vectơ AB = (−3; 5). Tìm tọa độ điểm B.
Đây là dạng bài ngược lại với ví dụ 1: bạn biết điểm đầu và vectơ, cần tìm điểm cuối. Bạn dùng công thức xB = xA + hoành độ của vectơ AB = 2 + (−3) = −1, và yB = yA + tung độ của vectơ AB = 1 + 5 = 6. Vậy B(−1; 6). Bạn hãy kiểm tra lại: vectơ AB tính từ A(2; 1) đến B(−1; 6) bằng (−1 − 2; 6 − 1) = (−3; 5), đúng với vectơ đã cho. Dạng bài này dạy bạn một điều quan trọng: tọa độ điểm cuối bằng tọa độ điểm đầu cộng với tọa độ vectơ. Quy tắc "điểm cuối bằng điểm đầu cộng vectơ" sẽ còn xuất hiện nhiều lần khi bạn học về phép tịnh tiến và các phép biến hình sau này.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Lấy điểm đầu trừ điểm cuối thay vì điểm cuối trừ điểm đầu.
Nhiều bạn tính vectơ AB bằng (xA − xB; yA − yB), tức là lấy A trừ B, nên kết quả sai dấu cả hai thành phần. Cách tránh: bạn hãy viết rõ chữ "B trừ A" ra giấy nháp trước khi thay số, hoặc tự nhắc "cuối trừ đầu". Nếu bạn tính ra vectơ AB = (−3; −4) trong khi đáp án đúng là (3; 4) thì chắc chắn bạn đã trừ ngược thứ tự.
Lỗi 2: Nhầm lẫn giữa vectơ AB và vectơ BA.
Nhiều bạn cho rằng AB và BA là một, nhưng thực ra chúng là hai vectơ đối nhau, tọa độ đổi dấu toàn bộ. Cách tránh: bạn hãy luôn đọc tên vectơ theo đúng thứ tự chữ cái — chữ đầu là điểm đầu, chữ sau là điểm cuối. Khi đề bài hỏi vectơ BA, bạn phải lấy A trừ B, không được lấy B trừ A.
Lỗi 3: Cộng trừ sai với số âm.
Nhiều bạn tính 2 − (−1) thành 1, hoặc −2 − 3 thành 1, vì vội vàng khi làm việc với số âm. Cách tránh: bạn hãy viết rõ từng phép trừ ra nháp, đặc biệt là phép trừ một số âm thì đổi thành phép cộng: 2 − (−1) = 2 + 1 = 3. Chỉ cần chậm lại vài giây, bạn sẽ tránh được lỗi này.
Lỗi 4: Đổi thứ tự hoành độ và tung độ.
Nhiều bạn viết vectơ AB = (4; 3) thay vì (3; 4), tức là lấy tung độ làm hoành độ và ngược lại. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy ước viết tọa độ là (x; y) — hoành độ trước, tung độ sau — và luôn tính hoành độ trước rồi mới tính tung độ. Viết hai dòng riêng ra nháp sẽ giúp bạn không bị rối.
Lỗi 5: Cho rằng vectơ bằng nhau thì điểm đầu và điểm cuối phải trùng nhau.
Nhiều bạn nghĩ vectơ AB = (3; 4) và vectơ CD = (3; 4) là khác nhau vì A khác C. Cách tránh: bạn hãy nhớ vectơ chỉ được xác định bởi độ dài và hướng đi, không phụ thuộc vào vị trí đặt. Hai vectơ có cùng tọa độ thì bằng nhau dù chúng nằm ở hai nơi khác nhau trên mặt phẳng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ quy tắc: lấy điểm cuối trừ điểm đầu, hoành độ trước, tung độ sau.
Câu 1: Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Tọa độ của vectơ AB bằng bao nhiêu?
A. (3; 4)
B. (5; 8)
C. (4; 6)
D. (2; 3)
Câu 2: Cho hai điểm A(−2; 1) và B(3; 1). Tọa độ của vectơ AB bằng bao nhiêu?
A. (1; 0)
B. (5; 0)
C. (−5; 0)
D. (5; 1)
Câu 3: Biết vectơ AB = (2; −3) và điểm A(1; 5). Tọa độ điểm B bằng bao nhiêu?
A. (3; 8)
B. (−1; 2)
C. (3; 2)
D. (2; 2)
Câu 4: Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Tọa độ của vectơ BA bằng bao nhiêu?
A. (3; 4)
B. (−3; 4)
C. (3; −4)
D. (−3; −4)
Câu 5: Vectơ AB = (0; 0) cho biết điều gì về hai điểm A và B?
A. A và B trùng nhau
B. A và B phân biệt
C. Độ dài AB bằng 1
D. Vectơ AB vuông góc với trục Ox
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | D | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (3; 4) đúng: Hoành độ bằng 4 − 1 = 3, tung độ bằng 6 − 2 = 4, nên vectơ AB = (3; 4). Đáp án B (5; 8) sai vì bạn đã cộng tọa độ hai điểm thay vì trừ. Đáp án C (4; 6) sai vì đó là tọa độ của điểm B, không phải của vectơ AB. Đáp án D (2; 3) sai vì bạn đã lấy 4 − 2 = 2 và 6 − 3 = 3, tức là trừ chéo lộn xộn.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (5; 0) đúng: Hoành độ bằng 3 − (−2) = 5, tung độ bằng 1 − 1 = 0, nên vectơ AB = (5; 0). Đáp án A (1; 0) sai vì 3 − 2 = 1 — bạn đã quên dấu trừ của −2. Đáp án C (−5; 0) sai vì bạn đã lấy điểm đầu trừ điểm cuối. Đáp án D (5; 1) sai vì tung độ phải bằng 0 do hai điểm có cùng tung độ.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (3; 2) đúng: Tọa độ điểm cuối bằng tọa độ điểm đầu cộng tọa độ vectơ: xB = 1 + 2 = 3, yB = 5 + (−3) = 2, nên B(3; 2). Đáp án A (3; 8) sai vì bạn đã cộng 5 + 3 thay vì 5 + (−3). Đáp án B (−1; 2) sai vì bạn đã lấy 1 − 2 = −1. Đáp án D (2; 2) sai vì bạn đã lấy hoành độ của vectơ làm hoành độ của điểm B.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (−3; −4) đúng: Vectơ BA là vectơ đối của vectơ AB, nên tọa độ của nó bằng (−3; −4). Đáp án A (3; 4) sai vì đó là tọa độ của vectơ AB, không phải vectơ BA. Đáp án B (−3; 4) sai vì bạn chỉ đổi dấu hoành độ mà quên đổi dấu tung độ. Đáp án C (3; −4) sai vì bạn chỉ đổi dấu tung độ mà quên đổi dấu hoành độ.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (A và B trùng nhau) đúng: Vectơ AB = (0; 0) có nghĩa là điểm cuối trùng với điểm đầu, tức là A và B là cùng một điểm. Đáp án B sai vì hai điểm phân biệt thì vectơ nối chúng khác vectơ không. Đáp án C sai vì độ dài AB bằng 0 chứ không phải bằng 1. Đáp án D sai vì vectơ không không có hướng xác định nên không thể nói nó vuông góc với trục nào.
Câu hỏi thường gặp về tọa độ của vectơ
Hỏi: Vì sao phải lấy điểm cuối trừ điểm đầu mà không được làm ngược lại?
Đáp: Vì vectơ có hướng: nó bắt đầu ở điểm đầu và kết thúc ở điểm cuối. Lấy điểm cuối trừ điểm đầu cho ra đúng "bước đi" từ đầu đến cuối. Nếu bạn làm ngược lại, bạn sẽ nhận được vectơ đi theo hướng ngược lại, tức là vectơ đối, và mọi tính toán sau đó đều sai dấu.
Hỏi: Hai vectơ có cùng tọa độ thì có bằng nhau không?
Đáp: Có, hai vectơ bằng nhau khi chúng có cùng tọa độ, tức là cùng hoành độ và cùng tung độ. Vectơ không phụ thuộc vào vị trí đặt trên mặt phẳng, chỉ phụ thuộc vào độ dài và hướng. Vì vậy vectơ AB = (3; 4) và vectơ CD = (3; 4) là bằng nhau dù bốn điểm A, B, C, D hoàn toàn khác nhau.
Hỏi: Vectơ có thành phần bằng 0 thì có ý nghĩa gì?
Đáp: Thành phần bằng 0 có nghĩa là vectơ không dịch chuyển theo phương đó. Hoành độ bằng 0 thì vectơ thẳng đứng, tung độ bằng 0 thì vectơ nằm ngang. Nếu cả hai thành phần đều bằng 0 thì đó là vectơ không, điểm đầu trùng với điểm cuối.
Hỏi: Công thức này có dùng được trong không gian ba chiều không?
Đáp: Có, công thức hoàn toàn tương tự: trong không gian, vectơ AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA), chỉ thêm một thành phần theo trục Oz. Bạn sẽ học điều này ở lớp 12, còn trong chương trình lớp 10 chỉ xét mặt phẳng hai chiều.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Đây là công thức nền tảng của cả chương vectơ trong mặt phẳng tọa độ. Từ nó, bạn sẽ tính được độ dài vectơ, kiểm tra hai vectơ bằng nhau, tìm trung điểm và trọng tâm, xét hai vectơ vuông góc hay cùng phương, và sau đó là viết phương trình đường thẳng. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài độ dài của vectơ thông qua tọa độ.
Kết luận
Tọa độ của vectơ AB chỉ gói gọn trong một phép trừ: lấy điểm cuối trừ điểm đầu, hoành độ trừ hoành độ, tung độ trừ tung độ, tức là vectơ AB = (xB − xA; yB − yA). Bạn hãy nhớ ba điều: thứ tự trừ là bắt buộc, vectơ BA là vectơ đối của vectơ AB, và hai vectơ bằng nhau khi chúng có cùng tọa độ. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để đọc tọa độ của bất kì vectơ nào khi biết tọa độ hai đầu mút của nó — và đó là bước đầu tiên để làm chủ cả chương vectơ trong mặt phẳng tọa độ.