Nhiệt độ ngoài trời −3,5 độ C và 3,5 độ C — hai con số đối nhau, nhưng "độ lạnh" hay "độ xa khỏi 0 độ" của chúng thì bằng nhau. Độ cao −2 mét so với mực nước biển và 2 mét so với mực nước biển — một cái ở dưới, một cái ở trên, nhưng khoảng cách tới mực nước biển đều là 2 mét. Trong toán học, khái niệm "khoảng cách tới số 0" đó có tên là giá trị tuyệt đối. Giá trị tuyệt đối của một số thực a, kí hiệu là |a|, là khoảng cách từ điểm biểu diễn số a trên trục số tới gốc O. Dù a là số dương hay số âm, giá trị tuyệt đối của nó luôn là một số không âm — và đó chính là lý do vì sao hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối.
Trong sách giáo khoa Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", giá trị tuyệt đối được dạy trong chương Số thực, ngay sau khi bạn làm quen với trục số thực. Sách giáo khoa định nghĩa giá trị tuyệt đối bằng hình ảnh khoảng cách trên trục số, rồi từ đó suy ra công thức: |a| = a nếu a ≥ 0, và |a| = −a nếu a nhỏ hơn 0. Bài này sẽ giúp bạn hiểu thật kĩ định nghĩa đó, nắm chắc ba tính chất quan trọng của giá trị tuyệt đối, và đặc biệt là thành thạo kĩ năng "bỏ dấu giá trị tuyệt đối" — kĩ năng mà học sinh hay sai nhất, nhất là khi bên trong dấu | | là một biểu thức chứa căn thức như 2 − √5. Bạn sẽ thấy kĩ năng này gắn chặt với kiến thức về số thực trong bài tính chất phép nhân các số thực, và khi cần kiểm tra nhanh một giá trị tuyệt đối, bạn luôn có thể bấm máy tính Casio online để đối chiếu.
1. Giá trị tuyệt đối là khoảng cách tới số 0
Hãy tưởng tượng trục số là một con đường thẳng, gốc O là vạch xuất phát, phía phải là các số dương, phía trái là các số âm. Giá trị tuyệt đối của một số a là khoảng cách từ điểm biểu diễn số a tới gốc O — tức là bạn phải đi bao xa để từ điểm a về tới số 0. Ví dụ: điểm −3,5 nằm cách gốc O một đoạn dài 3,5 đơn vị, nên |−3,5| = 3,5. Điểm 3,5 cũng nằm cách gốc O một đoạn dài 3,5 đơn vị, nên |3,5| = 3,5. Hai số đối nhau −3,5 và 3,5 có cùng giá trị tuyệt đối vì chúng cách đều gốc O.
Định nghĩa bằng khoảng cách này giải thích vì sao giá trị tuyệt đối luôn không âm: khoảng cách không bao giờ là số âm. |0| = 0 vì điểm 0 chính là gốc O, khoảng cách từ nó tới chính nó bằng 0. |−7| = 7, |4,2| = 4,2, |√2| = √2 (vì √2 là số dương). Bạn hãy nhớ: giá trị tuyệt đối "xóa dấu" của số — nó chỉ giữ lại "độ lớn", bỏ đi "dấu hiệu âm hay dương".
Hình ảnh khoảng cách còn giúp bạn hiểu vì sao |a| = |−a| với mọi số thực a. Hai số đối nhau a và −a nằm đối xứng nhau qua gốc O trên trục số, nên khoảng cách từ chúng tới gốc O bằng nhau. Ví dụ: |2 − √5| và |√5 − 2| bằng nhau (cùng bằng √5 − 2), vì 2 − √5 và √5 − 2 là hai số đối nhau. Bạn sẽ gặp lại ví dụ này ở phần ví dụ minh họa — đó là một trong những bài toán kinh điển của chương Số thực.
Một cách hiểu khác cũng rất hay: giá trị tuyệt đối đo "mức độ" mà không quan tâm "hướng". Nhiệt độ −3,5 độ C và 3,5 độ C đều "lệch khỏi 0 độ" một lượng là 3,5 độ. Lỗ 2 triệu đồng và lãi 2 triệu đồng đều là "chênh lệch 2 triệu đồng" so với vốn ban đầu. Trong đời sống, người ta dùng giá trị tuyệt đối mỗi khi chỉ quan tâm tới độ lớn mà không quan tâm tới chiều — và trong toán học cũng vậy.
2. Công thức tính giá trị tuyệt đối: giữ nguyên hay đổi dấu
Từ định nghĩa khoảng cách, ta suy ra công thức: |a| = a nếu a ≥ 0, và |a| = −a nếu a nhỏ hơn 0. Nói bằng lời: nếu số đã không âm thì giá trị tuyệt đối của nó là chính nó; nếu số là số âm thì giá trị tuyệt đối của nó là số đối của nó (bỏ dấu trừ đi). Ví dụ: |4,2| = 4,2 (vì 4,2 ≥ 0); |−3,5| = −(−3,5) = 3,5 (vì −3,5 nhỏ hơn 0). Công thức này chính là công thức trong brief của bài — hãy thuộc lòng nó, vì mọi bài toán bỏ dấu giá trị tuyệt đối đều bắt đầu từ đây.
Điểm khó nhất của công thức này là khi bên trong dấu | | không phải là một con số cụ thể mà là một biểu thức, ví dụ |2 − √5|. Bạn không thể nhìn ngay ra 2 − √5 là số dương hay số âm — bạn phải so sánh: √5 ≈ 2,236, lớn hơn 2, nên 2 − √5 nhỏ hơn 0. Vì vậy |2 − √5| = −(2 − √5) = √5 − 2. Đây chính là ví dụ trong brief, và cũng là dạng bài xuất hiện nhiều nhất trong các đề kiểm tra chương Số thực. Quy trình bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn có ba bước: bước 1, xác định biểu thức bên trong là dương, âm hay bằng 0; bước 2, nếu dương hoặc bằng 0 thì giữ nguyên, nếu âm thì đổi dấu (thêm dấu trừ đằng trước rồi mở ngoặc); bước 3, rút gọn kết quả.
Một ví dụ khác: |√3 − 2|. So sánh: √3 ≈ 1,732, nhỏ hơn 2, nên √3 − 2 nhỏ hơn 0. Vì vậy |√3 − 2| = −(√3 − 2) = 2 − √3. Còn |3 − √2| thì sao? √2 ≈ 1,414, nhỏ hơn 3, nên 3 − √2 là số dương, vậy |3 − √2| = 3 − √2 — giữ nguyên. Bạn thấy không, cùng một dạng bài nhưng kết quả khác nhau hoàn toàn tùy thuộc vào việc biểu thức bên trong là dương hay âm. Bước so sánh là bước quan trọng nhất — sai bước này thì cả bài sai theo.
Để so sánh một số với một căn thức, bạn có thể bình phương cả hai vế (khi cả hai đều không âm). Ví dụ: so sánh 2 với √5 — bình phương lên được 4 và 5, vì 4 nhỏ hơn 5 nên 2 nhỏ hơn √5. So sánh √3 với 2 — bình phương lên được 3 và 4, vì 3 nhỏ hơn 4 nên √3 nhỏ hơn 2. Cách này nhanh và chính xác hơn là bấm máy tính lấy số thập phân gần đúng.
3. Ba tính chất quan trọng của giá trị tuyệt đối
Tính chất thứ nhất: |a| ≥ 0 với mọi số thực a. Giá trị tuyệt đối của bất kì số nào cũng không âm. Tính chất này suy ra trực tiếp từ định nghĩa khoảng cách. Nó còn cho bạn một cách kiểm tra đáp số: nếu bạn tính ra giá trị tuyệt đối bằng một số âm thì chắc chắn bạn đã sai ở đâu đó. Ví dụ: |−5| = 5, không bao giờ bằng −5. Trong các bài toán tìm x, tính chất này giúp bạn loại ngay những trường hợp vô nghiệm: phương trình |x| = −3 vô nghiệm vì vế trái không âm còn vế phải âm.
Tính chất thứ hai: |−a| = |a| với mọi số thực a. Hai số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối — điều này bạn đã thấy ở mục 1 qua hình ảnh trục số. Tính chất này giúp bạn đơn giản hóa biểu thức: |−(x + 1)| = |x + 1|; |2 − √5| = |√5 − 2|. Khi gặp dấu trừ đứng trước một biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, bạn có thể "bỏ" nó đi mà không làm thay đổi kết quả.
Tính chất thứ ba: |a × b| = |a| × |b| với mọi số thực a, b. Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. Ví dụ: |(−2) × 5| = |−10| = 10; còn |−2| × |5| = 2 × 5 = 10 — khớp nhau. Ví dụ với căn thức: |2 × √3| = 2√3; còn |2| × |√3| = 2 × √3 = 2√3 — khớp nhau. Tính chất này giúp bạn "tách" giá trị tuyệt đối của một tích thành tích các giá trị tuyệt đối, hoặc ngược lại "gom" chúng lại khi cần rút gọn.
Còn tính chất |a + b| thì sao? Bạn cần nhớ: |a + b| ≤ |a| + |b| — giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. Dấu bằng xảy ra khi a và b cùng dấu (hoặc một trong hai bằng 0). Ví dụ: |3 + (−5)| = |−2| = 2, còn |3| + |−5| = 3 + 5 = 8 — 2 nhỏ hơn 8. Đừng bao giờ viết |a + b| = |a| + |b| một cách vô điều kiện — đó là một lỗi sai rất phổ biến.
4. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi giải phương trình |x| = a
Dạng toán quan trọng nhất của giá trị tuyệt đối là giải phương trình |x| = a. Vì |x| là khoảng cách từ x tới 0, nên |x| = a (với a ≥ 0) có nghĩa là x cách gốc O một đoạn dài a — có hai điểm như vậy trên trục số: điểm a ở phía phải và điểm −a ở phía trái. Vì vậy |x| = a ⇔ x = a hoặc x = −a. Ví dụ: |x| = 4 ⇔ x = 4 hoặc x = −4. Bạn luôn phải nhớ: phương trình giá trị tuyệt đối có HAI nghiệm (trừ trường hợp a = 0 thì chỉ có một nghiệm x = 0).
Với phương trình |x − 1| = 2, bạn làm tương tự: x − 1 = 2 hoặc x − 1 = −2, suy ra x = 3 hoặc x = −1. Kiểm tra lại: |3 − 1| = |2| = 2 — đúng; |−1 − 1| = |−2| = 2 — đúng. Mẹo ở đây là: đừng vội mở dấu giá trị tuyệt đối một cách máy móc; hãy nghĩ về khoảng cách — "số nào cách số 1 một đoạn dài 2 đơn vị?" — đáp án hiện ra ngay: 3 (đi sang phải 2 đơn vị) và −1 (đi sang trái 2 đơn vị).
Một dạng khác là bất phương trình |x| nhỏ hơn a hoặc lớn hơn a. |x| nhỏ hơn a (a lớn hơn 0) có nghĩa là x nằm trong khoảng (−a; a): −a nhỏ hơn x nhỏ hơn a. Ví dụ: |x| nhỏ hơn 3 ⇔ −3 nhỏ hơn x nhỏ hơn 3. Còn |x| lớn hơn a có nghĩa là x nằm ngoài khoảng đó: x nhỏ hơn −a hoặc x lớn hơn a. Ví dụ: |x| lớn hơn 3 ⇔ x nhỏ hơn −3 hoặc x lớn hơn 3. Hình ảnh trục số giúp bạn nhớ hai trường hợp này rất dễ: "nhỏ hơn" thì x nằm GIỮA hai điểm −a và a; "lớn hơn" thì x nằm NGOÀI hai điểm đó.
Cuối cùng, một lưu ý về điều kiện có nghiệm: phương trình |x| = a chỉ có nghiệm khi a ≥ 0. Nếu a nhỏ hơn 0 thì phương trình vô nghiệm, vì giá trị tuyệt đối không bao giờ âm. Ví dụ: |x| = −2 vô nghiệm; |x − 3| = −1 vô nghiệm. Trong bài kiểm tra, câu hỏi "phương trình nào sau đây vô nghiệm?" thường có đáp án là phương trình giá trị tuyệt đối bằng một số âm — bạn hãy nhớ kĩ điểm này.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính |−3,5| và |4,2|.
Lời giải: −3,5 là số âm nên |−3,5| = −(−3,5) = 3,5. 4,2 là số dương nên |4,2| = 4,2. Vậy |−3,5| = 3,5 và |4,2| = 4,2. Bạn thấy không, giá trị tuyệt đối "xóa dấu" của số âm và "giữ nguyên" số dương.
Ví dụ 2. Tính |2 − √5|.
Lời giải: Bước 1 — xác định dấu của biểu thức bên trong: √5 ≈ 2,236, lớn hơn 2, nên 2 − √5 nhỏ hơn 0. Bước 2 — vì biểu thức âm nên đổi dấu: |2 − √5| = −(2 − √5) = √5 − 2. Vậy |2 − √5| = √5 − 2. Kiểm tra: √5 − 2 ≈ 0,236 — là số dương, hợp lý vì giá trị tuyệt đối không bao giờ âm.
Ví dụ 3. Tính |−7| + |−3| và |(−2) × (−5)|.
Lời giải: |−7| + |−3| = 7 + 3 = 10. |(−2) × (−5)| = |10| = 10. Kiểm tra bằng tính chất |a × b| = |a| × |b|: |−2| × |−5| = 2 × 5 = 10 — khớp nhau. Vậy cả hai biểu thức đều bằng 10.
Ví dụ 4. Tìm x biết |x − 1| = 2.
Lời giải: |x − 1| = 2 có nghĩa là x − 1 = 2 hoặc x − 1 = −2. Trường hợp 1: x − 1 = 2, suy ra x = 3. Trường hợp 2: x − 1 = −2, suy ra x = −1. Kiểm tra: |3 − 1| = |2| = 2 — đúng; |−1 − 1| = |−2| = 2 — đúng. Vậy x = 3 hoặc x = −1.
6. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: bỏ dấu giá trị tuyệt đối mà không xét dấu biểu thức bên trong. Ví dụ |2 − √5| mà viết thành 2 − √5 là sai, vì 2 − √5 là số âm, giá trị tuyệt đối của nó phải là số dương √5 − 2. Bạn nhớ: bỏ dấu | | không phải là "xóa dấu | |" — bạn phải xét dấu trước, rồi mới quyết định giữ nguyên hay đổi dấu.
Lỗi thứ hai: viết |a + b| = |a| + |b| một cách vô điều kiện. Ví dụ |3 + (−5)| = |−2| = 2, còn |3| + |−5| = 3 + 5 = 8 — hai kết quả khác nhau. Công thức đúng là |a + b| ≤ |a| + |b|, dấu bằng chỉ xảy ra khi a và b cùng dấu (hoặc một trong hai bằng 0).
Lỗi thứ ba: quên nghiệm âm khi giải phương trình |x| = a. Ví dụ |x| = 4 mà chỉ lấy x = 4 là thiếu — còn có nghiệm x = −4 nữa. Phương trình giá trị tuyệt đối (với a lớn hơn 0) luôn có HAI nghiệm đối nhau. Bạn hãy kiểm tra lại bằng hình ảnh trục số: có hai điểm cách gốc O một đoạn dài 4 đơn vị — điểm 4 và điểm −4.
Lỗi thứ tư: viết |−a| = −a. Ví dụ |−5| mà viết thành −5 là sai; đáp án đúng là 5. Dấu trừ bên trong dấu giá trị tuyệt đối không "chui ra ngoài" được — giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó, tức là số dương. Bạn hãy nhớ: kết quả của giá trị tuyệt đối không bao giờ âm, nên bất kì cách tính nào cho ra số âm đều sai.
Lỗi thứ năm: so sánh sai khi xét dấu biểu thức chứa căn thức. Ví dụ cho rằng 2 lớn hơn √5 nên |2 − √5| = 2 − √5 — sai hoàn toàn, vì √5 ≈ 2,236 lớn hơn 2. Để so sánh một số với một căn thức, bạn hãy bình phương cả hai vế: 2² = 4 nhỏ hơn (√5)² = 5, nên 2 nhỏ hơn √5. Đừng đoán mò — hãy so sánh bằng cách bình phương.
7. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính |−3,5|.
A. 3,5
B. −3,5
C. 0
D. 7
Câu 2. Tính |2 − √5|.
A. 2 − √5
B. 2 + √5
C. √5 − 2
D. 0
Câu 3. Tính |−2| + |3|.
A. −1
B. 5
C. 1
D. −5
Câu 4. Tìm x biết |x| = 4.
A. 4
B. −4
C. 0
D. 4 hoặc −4
Câu 5. Tính |−1,5| × |2|.
A. 3
B. −3
C. 1,5
D. −1,5
8. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | D | A |
Câu 1 — Đáp án A. −3,5 là số âm nên |−3,5| = −(−3,5) = 3,5. Đáp án B sai vì viết |−3,5| = −3,5 — giá trị tuyệt đối không bao giờ âm, nên đáp án này loại ngay. Đáp án C sai vì lấy |0| = 0 làm đáp số — không có số 0 nào trong bài. Đáp án D sai vì lấy 3,5 + 3,5 = 7 — không có phép cộng nào trong bài.
Câu 2 — Đáp án C. √5 ≈ 2,236 lớn hơn 2, nên 2 − √5 nhỏ hơn 0, vậy |2 − √5| = −(2 − √5) = √5 − 2. Đáp án A sai vì bỏ dấu giá trị tuyệt đối mà không xét dấu — 2 − √5 là số âm, không thể là giá trị tuyệt đối. Đáp án B sai vì lấy 2 + √5 — không có phép cộng nào trong bài; bạn nào đổi dấu sai thành cộng sẽ ra số này. Đáp án D sai vì lấy 0 làm đáp số — |2 − √5| ≈ 0,236, khác 0.
Câu 3 — Đáp án B. |−2| = 2 và |3| = 3, nên |−2| + |3| = 2 + 3 = 5. Đáp án A sai vì tính (−2) + 3 = 1 mà quên bỏ dấu giá trị tuyệt đối — đó là lỗi "xóa dấu | |" máy móc. Đáp án C sai vì lấy |−2 + 3| = |1| = 1 — bạn nào cộng trước rồi mới lấy giá trị tuyệt đối sẽ ra số này; nhưng đề bài yêu cầu lấy giá trị tuyệt đối từng số rồi mới cộng. Đáp án D sai vì lấy −(2 + 3) = −5 — giá trị tuyệt đối không bao giờ âm.
Câu 4 — Đáp án D. |x| = 4 có hai nghiệm: x = 4 hoặc x = −4, vì cả hai điểm 4 và −4 đều cách gốc O một đoạn dài 4 đơn vị. Đáp án A sai vì chỉ lấy nghiệm dương mà quên nghiệm âm. Đáp án B sai vì chỉ lấy nghiệm âm mà quên nghiệm dương. Đáp án C sai vì x = 0 cho |0| = 0, không phải 4.
Câu 5 — Đáp án A. |−1,5| = 1,5 và |2| = 2, nên |−1,5| × |2| = 1,5 × 2 = 3. Kiểm tra bằng tính chất |a × b| = |a| × |b|: |(−1,5) × 2| = |−3| = 3 — khớp nhau. Đáp án B sai vì lấy (−1,5) × 2 = −3 mà quên bỏ dấu giá trị tuyệt đối — giá trị tuyệt đối không bao giờ âm. Đáp án C sai vì lấy |−1,5| = 1,5 làm đáp số, quên nhân với |2|. Đáp án D sai vì lấy −1,5 làm đáp số — vừa quên nhân, vừa quên đổi dấu.
9. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Giá trị tuyệt đối của một số âm có phải là số âm không?
Đáp: Không. Giá trị tuyệt đối của bất kì số nào cũng không âm. |−5| = 5 là số dương. Bạn hãy nhớ: giá trị tuyệt đối "xóa dấu" của số — nó chỉ giữ lại độ lớn, bỏ đi dấu hiệu âm hay dương.
Hỏi: Vì sao |a + b| không bằng |a| + |b|?
Đáp: Vì khi cộng hai số trái dấu, chúng "triệt tiêu" lẫn nhau một phần trước khi lấy giá trị tuyệt đối. Ví dụ |3 + (−5)| = |−2| = 2, còn |3| + |−5| = 8. Công thức đúng là |a + b| ≤ |a| + |b|, dấu bằng chỉ xảy ra khi a và b cùng dấu (hoặc một trong hai bằng 0).
Hỏi: Phương trình |x| = −2 có nghiệm không?
Đáp: Không. Vì giá trị tuyệt đối của bất kì số nào cũng không âm, nên |x| không bao giờ bằng −2. Phương trình vô nghiệm. Trong bài kiểm tra, đây là dạng câu hỏi "bẫy" rất hay gặp — bạn chỉ cần nhớ |a| ≥ 0 là loại được ngay.
Hỏi: Làm sao so sánh nhanh một số với một căn thức, ví dụ 2 với √5?
Đáp: Bình phương cả hai vế (khi cả hai đều không âm): 2² = 4 và (√5)² = 5, vì 4 nhỏ hơn 5 nên 2 nhỏ hơn √5. Cách này nhanh và chính xác hơn là bấm máy tính lấy số thập phân gần đúng.
Hỏi: Giá trị tuyệt đối dùng để làm gì trong đời sống?
Đáp: Mỗi khi bạn chỉ quan tâm tới độ lớn mà không quan tâm tới chiều. Ví dụ: nhiệt độ −3,5 độ C và 3,5 độ C đều "lệch khỏi 0 độ" một lượng là 3,5 độ; sai số của một phép đo là |giá trị đo − giá trị thật| — dù đo thừa hay đo thiếu thì sai số vẫn là số dương. Bạn có thể dùng máy tính Casio online để tính nhanh giá trị tuyệt đối của các số thập phân.
10. Kết luận
Giá trị tuyệt đối của một số thực là khoảng cách từ điểm biểu diễn số đó tới gốc O trên trục số — một định nghĩa hình học rất trực quan, nhưng lại cho ra một công thức đại số rất mạnh: |a| = a nếu a ≥ 0, và |a| = −a nếu a nhỏ hơn 0. Từ định nghĩa đó, bạn suy ra ba tính chất quan trọng: giá trị tuyệt đối luôn không âm; hai số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối; giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. Và từ công thức đó, bạn nắm được kĩ năng quan trọng nhất của bài: bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét dấu biểu thức bên trong trước — dương thì giữ nguyên, âm thì đổi dấu. Kĩ năng này sẽ theo bạn suốt chương trình toán phổ thông, từ việc rút gọn biểu thức chứa căn thức tới việc giải phương trình và bất phương trình. Hãy luyện tập thêm với 5 bài tập ở trên, và mỗi khi gặp dấu | |, đừng vội xóa nó đi: hãy dừng lại một giây, hỏi "bên trong là số dương hay số âm?", rồi mới quyết định. Một giây suy nghĩ đó sẽ cứu bạn khỏi rất nhiều lỗi sai. Khi đã thành thạo, bạn sẽ thấy giá trị tuyệt đối gắn chặt với phép nhân các số thực và lũy thừa của số thực — cả ba cùng tạo nên nền tảng của chương Số thực. Và nếu muốn kiểm tra nhanh kết quả, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn — người bạn đồng hành đáng tin cậy trong mọi bài toán.