Lũy thừa của số thực với số mũ tự nhiên: công thức lớp 7

Bạn có bao giờ tự hỏi vì sao 2³ lại bằng 8, còn (−2)³ lại bằng −8? Vì sao 1,5² = 2,25 mà 15² lại bằng 225 — chỉ thêm một số 0 mà kết quả gấp đúng 100 lần? Câu trả lời nằm ở lũy thừa: phép toán "nhân một số với chính nó nhiều lần" mà bạn đã gặp ở lớp 6 với số tự nhiên, nay mở rộng sang số thực. Ở lớp 7, cơ số không còn chỉ là số nguyên hay phân số nữa — nó có thể là số thập phân như 1,5, là số âm như −2, thậm chí là số vô tỉ như √2. Nhưng dù cơ số là số gì, bốn quy tắc vàng của lũy thừa vẫn không đổi: nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ, chia hai lũy thừa cùng cơ số thì trừ số mũ, lũy thừa của một lũy thừa thì nhân số mũ, lũy thừa của một tích thì bằng tích các lũy thừa.

Trong sách giáo khoa Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", lũy thừa với số mũ tự nhiên được dạy trong chương Số hữu tỉ, và các quy tắc này được mở rộng cho số thực trong chương Số thực. Sách giáo khoa định nghĩa: lũy thừa bậc n của số x, kí hiệu xⁿ, là tích của n thừa số x (với n là số tự nhiên lớn hơn 0). Bài này sẽ giúp bạn nắm chắc định nghĩa đó cùng bốn quy tắc vàng, qua những ví dụ gắn với số thập phân và số âm — hai dạng cơ số mà học sinh hay sai nhất. Bạn sẽ thấy các quy tắc này quen thuộc vì chúng giống hệt quy tắc bạn đã học với phân số trong bài nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số và bài lũy thừa với số mũ tự nhiên — chỉ khác là giờ đây cơ số có thể là bất kì số thực nào. Và khi cần kiểm tra nhanh một lũy thừa, bạn luôn có thể bấm máy tính Casio online để đối chiếu.

1. Lũy thừa là gì: cơ số, số mũ và cách đọc

Lũy thừa bậc n của số thực x, kí hiệu là xⁿ, là tích của n thừa số x nhân với nhau: xⁿ = x × x × ... × x (n thừa số), với n là số tự nhiên lớn hơn 0. Trong đó x gọi là cơ số, n gọi là số mũ. Ví dụ: 1,5² = 1,5 × 1,5 = 2,25; (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8. Hai ví dụ này chính là ví dụ trong brief của bài — hãy nhớ kĩ chúng vì chúng chứa hai "bẫy" hay gặp nhất: bình phương số thập phân và lũy thừa của số âm.

Có hai quy ước bạn phải thuộc lòng. Thứ nhất: x¹ = x — lũy thừa bậc 1 của một số là chính số đó. Thứ hai: x⁰ = 1 với mọi x khác 0 — lũy thừa bậc 0 của một số khác 0 bằng 1. Ví dụ: 3,7⁰ = 1; (−2,5)⁰ = 1; (√2)⁰ = 1. Chú ý: 0⁰ không xác định — bạn không được viết 0⁰ bằng bất kì số nào. Trong bài kiểm tra, câu hỏi về x⁰ là "câu cho điểm" nếu bạn nhớ quy ước, và là "câu mất điểm" nếu bạn quên mất điều kiện x khác 0.

Cách đọc lũy thừa cũng cần chính xác: 1,5² đọc là "một phẩy năm bình phương" hay "một phẩy năm mũ hai"; (−2)³ đọc là "âm hai mũ ba" hay "trừ hai tất cả mũ ba". Bạn phải phân biệt (−2)³ với −2³: (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8, còn −2³ = −(2 × 2 × 2) = −8 — trong trường hợp số mũ lẻ thì hai cách viết cho cùng kết quả, nhưng với số mũ chẵn thì khác nhau hoàn toàn: (−2)² = 4 còn −2² = −4. Đây là một trong những lỗi sai kinh điển, bạn sẽ gặp lại ở mục lỗi sai thường gặp.

Một mẹo nhỏ để tính nhanh bình phương số thập phân: 1,5² = 2,25; 2,5² = 6,25; 0,5² = 0,25. Bạn thấy quy luật không? Bình phương của một số có một chữ số thập phân thì kết quả có hai chữ số thập phân. Tương tự, 0,2³ = 0,008 — lập phương của số có một chữ số thập phân thì kết quả có ba chữ số thập phân. Nắm được quy luật này, bạn có thể kiểm tra đáp số của mình ngay mà không cần tính lại.

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: cộng số mũ

Quy tắc thứ nhất: xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ (với m, n là số tự nhiên). Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ. Ví dụ: (1/2)³ × (1/2)² = (1/2)⁵ = 1/32 — đây chính là ví dụ trong brief. Kiểm tra bằng cách tính trực tiếp: (1/2)³ = 1/8; (1/2)² = 1/4; 1/8 × 1/4 = 1/32 — khớp nhau. Một ví dụ với số thập phân: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128; kiểm tra: 8 × 16 = 128 — đúng.

Vì sao quy tắc này đúng? Vì xᵐ là tích của m thừa số x, xⁿ là tích của n thừa số x, nhân hai tích lại thì được tích của m + n thừa số x — tức là xᵐ⁺ⁿ. Hiểu được bản chất này, bạn sẽ không bao giờ nhầm "nhân lũy thừa cùng cơ số" với "cộng lũy thừa": 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, hoàn toàn khác với 2³ × 2⁴ = 128. Lũy thừa chỉ "cộng số mũ" khi bạn NHÂN hai lũy thừa; khi bạn CỘNG hai lũy thừa thì phải tính từng lũy thừa rồi mới cộng.

Quy tắc này còn giúp bạn tính nhanh những phép nhân dài. Ví dụ: 1,5² × 1,5³ = 1,5⁵. Tính 1,5⁵ trực tiếp thì dài (1,5⁵ = 7,59375), nhưng viết gọn thành 1,5⁵ đã là một đáp án đẹp trong nhiều bài toán. Trong các bài toán chứng minh hay rút gọn biểu thức, việc gom lũy thừa cùng cơ số lại là bước đầu tiên và quan trọng nhất.

Chú ý: quy tắc chỉ áp dụng khi hai lũy thừa CÙNG cơ số. 2³ × 3³ không thể gom thành (2 × 3)³ bằng quy tắc này — mà phải dùng quy tắc lũy thừa của một tích ở mục 4: 2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³ = 216. Còn 2³ × 3² thì không gom được gì cả, phải tính từng cái: 8 × 9 = 72.

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số: trừ số mũ

Quy tắc thứ hai: xᵐ : xⁿ = xᵐ⁻ⁿ (với m ≥ n và x khác 0). Chia hai lũy thừa cùng cơ số thì giữ nguyên cơ số và trừ hai số mũ. Ví dụ: 2⁵ : 2² = 2³ = 8; kiểm tra: 32 : 4 = 8 — đúng. Ví dụ với số thập phân: 1,5⁴ : 1,5² = 1,5² = 2,25; kiểm tra: 1,5⁴ = 5,0625; 5,0625 : 2,25 = 2,25 — đúng.

Điều kiện x khác 0 là bắt buộc, vì phép chia cho 0 không xác định. Còn điều kiện m ≥ n thì sao? Nếu m nhỏ hơn n thì sao? Ví dụ 2² : 2⁵ = 2⁻³ — số mũ âm, bạn sẽ học ở lớp cao hơn. Trong chương trình lớp 7, bạn chỉ cần dùng quy tắc này khi m ≥ n. Trường hợp đặc biệt m = n thì xᵐ : xⁿ = x⁰ = 1 — và quả thật một số khác 0 chia cho chính nó thì bằng 1. Quy tắc này cũng là lý do vì sao người ta quy ước x⁰ = 1.

Quy tắc chia lũy thừa rất hữu ích khi rút gọn phân số có lũy thừa. Ví dụ: (3⁴ × 3²) : 3³ = 3⁶ : 3³ = 3³ = 27. Nếu tính thẳng thì 3⁴ = 81, 3² = 9, 81 × 9 = 729, rồi 729 : 27 = 27 — dài hơn nhiều. Mẹo làm bài: trong một biểu thức có cả nhân và chia lũy thừa cùng cơ số, bạn gom nhân trước (cộng số mũ), rồi chia sau (trừ số mũ).

Một lỗi hay gặp là nhầm "trừ số mũ" thành "chia số mũ": 2⁶ : 2² mà tính thành 2³ (lấy 6 : 2) là sai; đáp án đúng là 2⁴ = 16 (lấy 6 − 2). Kiểm tra: 64 : 4 = 16 — đúng. Bạn hãy nhớ: NHÂN thì CỘNG số mũ, CHIA thì TRỪ số mũ — hai động từ "cộng" và "trừ" đi kèm đúng với phép tính gốc.

4. Lũy thừa của lũy thừa và lũy thừa của một tích

Quy tắc thứ ba: (xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ. Lũy thừa của một lũy thừa thì giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ. Ví dụ: (1,5²)³ = 1,5⁶. Kiểm tra: 1,5² = 2,25; 2,25³ = 11,390625; còn 1,5⁶ = 11,390625 — khớp nhau. Một ví dụ với số nguyên: (3²)³ = 3⁶ = 729; kiểm tra: 9³ = 729 — đúng.

Quy tắc thứ tư: (x × y)ⁿ = xⁿ × yⁿ. Lũy thừa của một tích thì bằng tích các lũy thừa. Ví dụ: (2 × 3)² = 6² = 36; còn 2² × 3² = 4 × 9 = 36 — khớp nhau. Quy tắc này cũng đúng với phép chia: (x : y)ⁿ = xⁿ : yⁿ (với y khác 0). Ví dụ: (6 : 2)² = 3² = 9; còn 6² : 2² = 36 : 4 = 9 — khớp nhau.

Bốn quy tắc này phối hợp với nhau trong các bài toán rút gọn biểu thức. Ví dụ: tính (2³ × 2²)². Bước 1: trong ngoặc, nhân hai lũy thừa cùng cơ số: 2³ × 2² = 2⁵. Bước 2: lũy thừa của lũy thừa: (2⁵)² = 2¹⁰ = 1024. Nếu tính thẳng thì 2³ = 8, 2² = 4, 8 × 4 = 32, rồi 32² = 1024 — cũng ra 1024 nhưng phải tính với số lớn hơn. Quy tắc giúp bạn làm việc với số mũ nhỏ thay vì số lớn.

Một ứng dụng đẹp của lũy thừa của một tích là tính nhanh với số tròn chục: 25² = (5²)² = 5⁴ = 625; hoặc 0,5³ × 2³ = (0,5 × 2)³ = 1³ = 1. Bạn thấy không, thay vì tính 0,125 × 8 = 1 thì gom thành lũy thừa của tích còn nhanh hơn. Trong bài kiểm tra, những câu như vậy thường là "câu phân loại" — ai nắm chắc quy tắc thì làm trong vài giây, ai không nắm thì tính tay rất lâu.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính 1,5² và (−2)³.
Lời giải: 1,5² = 1,5 × 1,5 = 2,25. (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8 (ba thừa số âm nhân với nhau cho kết quả âm). Vậy 1,5² = 2,25 và (−2)³ = −8. Chú ý: (−2)² = 4 (hai thừa số âm cho kết quả dương) — số mũ chẵn thì lũy thừa của số âm là số dương, số mũ lẻ thì lũy thừa của số âm là số âm.

Ví dụ 2. Tính (1/2)³ × (1/2)².
Lời giải: Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ: (1/2)³ × (1/2)² = (1/2)⁵ = 1/32. Kiểm tra bằng cách tính trực tiếp: (1/2)³ = 1/8; (1/2)² = 1/4; 1/8 × 1/4 = 1/32 — khớp nhau. Vậy kết quả là 1/32.

Ví dụ 3. Tính 2³ × 2⁴ và (3²)³.
Lời giải: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 (cộng số mũ: 3 + 4 = 7). Kiểm tra: 8 × 16 = 128 — đúng. (3²)³ = 3⁶ = 729 (nhân số mũ: 2 × 3 = 6). Kiểm tra: 3² = 9; 9³ = 729 — đúng. Vậy 2³ × 2⁴ = 128 và (3²)³ = 729.

Ví dụ 4. Rút gọn rồi tính (2³ × 2²)² : 2⁴.
Lời giải: Bước 1 — trong ngoặc: 2³ × 2² = 2⁵. Bước 2 — lũy thừa của lũy thừa: (2⁵)² = 2¹⁰. Bước 3 — chia hai lũy thừa cùng cơ số: 2¹⁰ : 2⁴ = 2⁶ = 64. Vậy kết quả là 64. Kiểm tra bằng cách tính thẳng: 2³ × 2² = 8 × 4 = 32; 32² = 1024; 1024 : 16 = 64 — khớp nhau.

6. Lỗi sai thường gặp

Lỗi thứ nhất: nhầm (−2)² với −2². (−2)² = (−2) × (−2) = 4, còn −2² = −(2 × 2) = −4. Dấu ngoặc quyết định tất cả: có ngoặc thì dấu trừ nằm trong cơ số, không có ngoặc thì dấu trừ đứng ngoài lũy thừa. Trong bài kiểm tra, câu này xuất hiện rất nhiều — bạn hãy đọc kĩ đề xem có ngoặc hay không trước khi tính.

Lỗi thứ hai: cộng số mũ khi CỘNG hai lũy thừa. Ví dụ 2³ + 2⁴ mà viết thành 2⁷ = 128 là sai; đáp án đúng là 8 + 16 = 24. Quy tắc "cộng số mũ" chỉ dùng khi NHÂN hai lũy thừa cùng cơ số. Khi cộng hai lũy thừa, bạn phải tính từng lũy thừa rồi mới cộng.

Lỗi thứ ba: nhân số mũ khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số. Ví dụ 2³ × 2⁴ mà viết thành 2¹² (lấy 3 × 4) là sai; đáp án đúng là 2⁷ = 128 (lấy 3 + 4). Bạn nhớ: NHÂN lũy thừa thì CỘNG số mũ; chỉ khi lũy thừa của lũy thừa mới NHÂN số mũ.

Lỗi thứ tư: quên điều kiện cơ số khác 0 khi dùng x⁰ = 1. Ví dụ viết 0⁰ = 1 là sai — 0⁰ không xác định. Trong bài toán có chứa x⁰, bạn luôn phải kiểm tra x có khác 0 hay không trước khi kết luận bằng 1.

Lỗi thứ năm: nhầm lẫn giữa (x × y)ⁿ và xⁿ × yⁿ với xⁿ + yⁿ. Ví dụ (2 + 3)² = 5² = 25, còn 2² + 3² = 4 + 9 = 13 — hai kết quả khác nhau. Lũy thừa của một TỔNG không bằng tổng các lũy thừa. Chỉ có lũy thừa của một TÍCH mới bằng tích các lũy thừa.

7. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tính 1,5².
A. 3
B. 2,25
C. 2,5
D. 3,25

Câu 2. Tính (1/2)³ × (1/2)².
A. (1/2)⁵
B. (1/2)⁶
C. 1/16
D. 1/64

Câu 3. Tính (−2)³.
A. 8
B. 6
C. −8
D. −6

Câu 4. Tính (0,5)² × (0,5)³.
A. 0,25
B. (0,5)⁵
C. (0,5)⁶
D. 0,5

Câu 5. Tính [(1,5)²]³.
A. 1,5⁶
B. 1,5⁵
C. 1,5⁸
D. 3,375

8. Bảng đáp án và lời giải chi tiết

Câu 1 — Đáp án B. 1,5² = 1,5 × 1,5 = 2,25. Đáp án A sai vì lấy 1,5 × 2 = 3 — nhầm lũy thừa với phép nhân cơ số với số mũ. Đáp án C sai vì lấy luôn cơ số 1,5 cộng thêm 1 thành 2,5. Đáp án D sai vì tính 1,5² thành 3,25 — bạn nào nhân 1,5 × 1,5 nhầm thành 2,25 rồi cộng thêm 1 sẽ ra số này.

Câu 2 — Đáp án A. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ: (1/2)³ × (1/2)² = (1/2)⁵. Đáp án B sai vì nhân số mũ (3 × 2 = 6) thay vì cộng số mũ. Đáp án C sai vì tính (1/2)⁴ = 1/16 — lấy số mũ 4 từ đâu đó mà không phải 3 + 2 = 5. Đáp án D sai vì tính (1/2)⁶ = 1/64 — đó là kết quả của việc nhân số mũ như đáp án B.

Câu 3 — Đáp án C. (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8. Ba thừa số âm nhân với nhau cho kết quả âm. Đáp án A sai vì quên dấu âm — bạn nào tính 2³ = 8 mà bỏ qua dấu trừ sẽ chọn nhầm. Đáp án B sai vì lấy (−2) × 3 = −6 — nhầm lũy thừa với phép nhân cơ số với số mũ, rồi lại quên dấu. Đáp án D sai vì lấy −2 × 3 = −6 — cũng là lỗi nhầm lũy thừa với phép nhân.

Câu 4 — Đáp án B. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ: (0,5)² × (0,5)³ = (0,5)⁵. Giá trị của nó là 0,03125. Đáp án A sai vì lấy (0,5)² = 0,25 làm đáp số, quên mất còn phải nhân với (0,5)³. Đáp án C sai vì nhân số mũ (2 × 3 = 6) thay vì cộng số mũ. Đáp án D sai vì lấy luôn cơ số 0,5 làm đáp số.

Câu 5 — Đáp án A. Lũy thừa của lũy thừa thì nhân số mũ: [(1,5)²]³ = 1,5⁶. Đáp án B sai vì cộng số mũ (2 + 3 = 5) thay vì nhân số mũ — lỗi nhầm giữa quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số với quy tắc lũy thừa của lũy thừa. Đáp án C sai vì lấy 2 × 4 = 8 — không có số 4 nào trong bài. Đáp án D sai vì 3,375 = 1,5³ — đó là lũy thừa bậc 3, không phải bậc 6.

9. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Vì sao (−2)² = 4 mà −2² = −4?
Đáp: Vì dấu ngoặc quyết định cơ số là gì. Trong (−2)², cơ số là −2, nên (−2)² = (−2) × (−2) = 4. Trong −2², cơ số là 2, dấu trừ đứng ngoài lũy thừa, nên −2² = −(2 × 2) = −4. Khi viết tay, bạn hãy viết dấu ngoặc thật rõ để không tự làm mình nhầm.

Hỏi: 0² bằng bao nhiêu? Còn 0⁰ thì sao?
Đáp: 0² = 0 × 0 = 0. Còn 0⁰ không xác định — trong chương trình lớp 7, bạn không được viết 0⁰ bằng bất kì số nào. Quy ước x⁰ = 1 chỉ áp dụng khi x khác 0.

Hỏi: Có thể cộng số mũ khi cộng hai lũy thừa không?
Đáp: Không. Quy tắc "cộng số mũ" chỉ dùng khi NHÂN hai lũy thừa cùng cơ số. Khi cộng hai lũy thừa, bạn tính từng lũy thừa rồi mới cộng: 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, hoàn toàn khác với 2³ × 2⁴ = 128.

Hỏi: Lũy thừa của số thập phân có quy luật gì về số chữ số thập phân?
Đáp: Có. Bình phương của một số có một chữ số thập phân thì kết quả có hai chữ số thập phân (1,5² = 2,25). Lập phương của số có một chữ số thập phân thì kết quả có ba chữ số thập phân (0,2³ = 0,008). Quy luật này giúp bạn kiểm tra đáp số nhanh mà không cần tính lại.

Hỏi: Làm sao kiểm tra kết quả lũy thừa của mình đúng hay sai?
Đáp: Tính lại bằng một cách khác (ví dụ dùng quy tắc khác nhau) rồi so sánh hai kết quả, hoặc bấm máy tính Casio online để đối chiếu. Với lũy thừa số thập phân, bạn cũng có thể ước lượng: 1,5² phải lớn hơn 1² = 1 và nhỏ hơn 2² = 4 — đáp án 2,25 nằm trong khoảng đó là hợp lý.

10. Kết luận

Lũy thừa của số thực với số mũ tự nhiên không khó như vẻ ngoài của nó: định nghĩa chỉ là "nhân một số với chính nó nhiều lần", và bốn quy tắc vàng — nhân thì cộng số mũ, chia thì trừ số mũ, lũy thừa của lũy thừa thì nhân số mũ, lũy thừa của một tích thì bằng tích các lũy thừa — đều suy ra trực tiếp từ định nghĩa đó. Bạn chỉ cần nhớ hai điều: quy tắc nào dùng cho phép tính nào (nhân thì cộng, chia thì trừ, lũy thừa của lũy thừa thì nhân), và dấu ngoặc quyết định cơ số là số âm hay số dương. Nắm chắc hai điều này, bạn sẽ không bao giờ nhầm (−2)² với −2², không bao giờ cộng số mũ khi cộng hai lũy thừa, và không bao giờ nhân số mũ khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số. Hãy luyện tập thêm với 5 bài tập ở trên, và mỗi khi gặp biểu thức có lũy thừa, đừng vội tính ngay: hãy nhìn xem có lũy thừa cùng cơ số để gom không, có lũy thừa của lũy thừa để rút gọn không, rồi mới chọn cách tính. Khi đã thành thạo, bạn sẽ thấy lũy thừa của số thực cũng giống hệt lũy thừa của số hữu tỉ mà bạn đã học — vì các quy tắc là quy luật chung, không phụ thuộc vào cơ số là số gì. Và nếu muốn kiểm tra nhanh kết quả, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn — người bạn đồng hành đáng tin cậy trong mọi bài toán.