Bạn đứng ở một ngã ba và muốn biết hướng đi từ con đường thứ nhất sang con đường thứ ba. Thay vì đo trực tiếp một góc lớn khó đo, bạn đo góc từ đường thứ nhất sang đường thứ hai, rồi từ đường thứ hai sang đường thứ ba, cộng hai góc lại là ra đáp số. Đó chính là ý tưởng của hệ thức Chasles — một quy tắc cộng góc tưởng chừng hiển nhiên nhưng lại là công cụ không thể thiếu khi bạn làm việc với các góc lượng giác, nơi mỗi góc có thể mang thêm vài vòng quay và một số nguyên k bí ẩn.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ hệ thức Chasles một cách có hệ thống: từ phát biểu đầy đủ của hệ thức, ý nghĩa hình học của số nguyên k, cách dùng hệ thức để tìm số đo góc chưa biết, cách đưa kết quả về khoảng quen thuộc, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học ngắn nhưng rất "được điểm", vì hệ thức Chasles xuất hiện trong nhiều bài toán chứng minh và tính toán của chương lượng giác.
Hệ thức Chasles: cộng hai góc kề nhau được góc lớn
Cho ba tia Ox, Oy, Oz chung gốc O. Hệ thức Chasles nói rằng số đo của góc lượng giác (Ox, Oz) bằng tổng số đo của hai góc lượng giác (Ox, Oy) và (Oy, Oz), cộng thêm một bội số nguyên của một vòng đầy: sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) + k·2π, với k là một số nguyên nào đó. Trong đơn vị độ, hệ thức viết thành sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) + k·360°. Bạn hãy để ý dấu cộng ở vế trái: góc lớn bằng tổng hai góc nhỏ kề nhau, giống như bạn đi từ Ox đến Oz thì phải đi qua Oy, tổng quãng đường quay bằng tổng hai chặng.
Vì sao lại có thêm số hạng k·2π? Vì mỗi số đo góc lượng giác không duy nhất: cùng một tia cuối có vô số số đo hơn kém nhau một số nguyên vòng. Khi bạn cộng hai số đo (Ox, Oy) và (Oy, Oz), tổng thu được có thể hơn số đo (Ox, Oz) đúng một số nguyên vòng, tùy thuộc vào cách bạn chọn số đo cho từng góc. Số nguyên k chính là "phần thừa" đó. Trong thực hành, bạn thường chọn k sao cho kết quả rơi vào khoảng quen thuộc, ví dụ từ 0° đến 360° hoặc từ −180° đến 180°.
Ý nghĩa hình học của hệ thức Chasles rất trực quan. Bạn hãy tưởng tượng ba tia Ox, Oy, Oz như ba kim đồng hồ. Góc từ kim thứ nhất sang kim thứ hai là 40°, từ kim thứ hai sang kim thứ ba là 70°, thì góc từ kim thứ nhất sang kim thứ ba là 110°, vì bạn đi từ tia thứ nhất, qua tia thứ hai, rồi đến tia thứ ba, tổng quãng đường quay là 40° + 70° = 110°. Nếu tổng hai góc vượt quá 360°, bạn trừ đi một số nguyên vòng để đưa về khoảng quen thuộc — đó chính là lúc k khác 0 xuất hiện.
Hệ thức Chasles còn cho bạn một cách tìm số đo góc chưa biết khi đã biết hai góc còn lại. Ví dụ bạn biết sđ(Ox, Oz) = 200° và sđ(Ox, Oy) = 50°, bạn suy ra sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) − sđ(Ox, Oy) + k·360° = 150° + k·360°, lấy k = 0 thì được 150°. Cách làm này giống như bạn giải một phương trình bậc nhất, chỉ khác là đáp án có thêm một họ nghiệm với k nguyên. Bạn hãy nhớ: khi đề bài hỏi "tìm số đo" mà không nói rõ khoảng, đáp án đúng thường là một họ nghiệm dạng α + k·360°.
Một điểm bạn cần lưu ý là hệ thức Chasles đúng với mọi vị trí tương đối của ba tia, kể cả khi Oy không nằm giữa Ox và Oz. Dù tia Oy nằm ở đâu, đẳng thức sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) + k·2π vẫn đúng với một số nguyên k nào đó — có thể k = 0, có thể k = 1, có thể k = −1, tùy thuộc vào cách chọn số đo. Chính tính tổng quát này làm cho hệ thức Chasles trở thành công cụ mạnh khi chứng minh các đẳng thức lượng giác phức tạp. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho sđ(Ox, Oy) = 40° và sđ(Oy, Oz) = 70°. Tính sđ(Ox, Oz) (lấy k = 0).
Bạn áp dụng hệ thức Chasles: sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) + k·360°. Với k = 0, bạn được sđ(Ox, Oz) = 40° + 70° = 110°. Bạn hình dung: quay từ Ox đến Oy hết 40°, quay tiếp từ Oy đến Oz hết 70°, tổng cộng bạn đã quay 110° từ Ox đến Oz. Kết quả 110° nằm trong khoảng từ 0° đến 360° nên không cần điều chỉnh thêm. Đây là trường hợp đơn giản nhất của hệ thức Chasles, khi k = 0.
Ví dụ 2 (tổng vượt một vòng): Cho sđ(Ox, Oy) = 120° và sđ(Oy, Oz) = 150°. Tìm số đo của góc (Ox, Oz) trong khoảng [0°; 360°).
Bạn cộng hai góc: 120° + 150° = 270°. Vì 270° nằm trong khoảng [0°; 360°) nên đó chính là số đo cần tìm, với k = 0. Bạn hãy để ý: tổng hai góc là 270°, vẫn nhỏ hơn 360°, nên không cần trừ đi một vòng. Nhưng nếu tổng vượt quá 360°, ví dụ 200° + 200° = 400°, bạn phải trừ đi 360° để được 40°, tức là k = −1 trong hệ thức viết dưới dạng sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) + k·360°.
Ví dụ 3 (tìm góc trung gian): Cho sđ(Ox, Oz) = 200° và sđ(Ox, Oy) = 50°. Tính sđ(Oy, Oz) (lấy k = 0).
Bạn biến đổi hệ thức Chasles: sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) − sđ(Ox, Oy) + k·360°. Với k = 0, bạn được sđ(Oy, Oz) = 200° − 50° = 150°. Bạn kiểm tra lại: 50° + 150° = 200°, khớp với sđ(Ox, Oz) đã cho. Bạn hãy nhớ: hệ thức Chasles không chỉ dùng để cộng hai góc thành góc lớn, mà còn dùng để trừ góc lớn cho góc nhỏ ra góc còn lại — giống như bạn biết cả quãng đường và chặng đầu thì suy ra chặng sau.
Ví dụ 4 (đơn vị rađian): Cho sđ(Ox, Oy) = π/6 và sđ(Oy, Oz) = π/3. Tính sđ(Ox, Oz) (lấy k = 0).
Bạn áp dụng hệ thức Chasles trong đơn vị rađian: sđ(Ox, Oz) = π/6 + π/3 = π/6 + 2π/6 = 3π/6 = π/2. Bạn quy đồng mẫu số 6 rồi cộng tử số: 1 + 2 = 3, được 3π/6 rồi rút gọn thành π/2. Bạn kiểm tra bằng độ: π/6 = 30°, π/3 = 60°, tổng là 90° = π/2 rad, khớp hoàn toàn. Bạn hãy nhớ: khi làm việc với rađian, "một vòng" là 2π, nên hệ thức viết thành sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) + k·2π. Nếu muốn ôn lại quy tắc góc cùng tia cuối, bạn hãy xem bài số đo các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên số hạng k·360° trong hệ thức.
Nhiều bạn viết sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) mà quên mất vế phải còn cộng thêm k·360°. Cách tránh: bạn hãy nhớ hệ thức đầy đủ luôn có k·2π (hoặc k·360°) — chỉ khi chọn k = 0 thì số hạng này mới biến mất.
Lỗi 2: Cộng sai thứ tự các tia.
Nhiều bạn viết sđ(Ox, Oy) + sđ(Oz, Oy) = sđ(Ox, Oz) mà không để ý tia giữa phải là Oy ở cả hai góc. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy tắc "tia giữa giống nhau": góc thứ nhất kết thúc ở Oy thì góc thứ hai phải bắt đầu ở Oy, góc tổng mới đi từ Ox đến Oz.
Lỗi 3: Nhầm dấu khi tìm góc trung gian.
Nhiều bạn tính sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oy) − sđ(Ox, Oz) thay vì sđ(Ox, Oz) − sđ(Ox, Oy). Cách tránh: bạn hãy viết hệ thức ra giấy rồi chuyển vế cẩn thận, giống như giải phương trình bậc nhất.
Lỗi 4: Không đưa kết quả về khoảng đề yêu cầu.
Nhiều bạn tính ra 400° rồi dừng lại, trong khi đề yêu cầu số đo trong [0°; 360°). Cách tránh: sau khi tính xong, bạn hãy kiểm tra kết quả có nằm trong khoảng đề cho hay không, nếu không thì cộng hoặc trừ đi bội số của 360°.
Lỗi 5: Nhầm đơn vị độ và rađian trong cùng một phép tính.
Nhiều bạn cộng 40° với π/3 mà không đổi đơn vị. Cách tránh: bạn hãy đổi tất cả về cùng một đơn vị trước khi cộng — hoặc đổi hết sang độ, hoặc đổi hết sang rađian.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ viết hệ thức Chasles đầy đủ rồi mới thay số.
Câu 1: Cho sđ(Ox, Oy) = 30° và sđ(Oy, Oz) = 45°. Tính sđ(Ox, Oz) (lấy k = 0).
A. 75°
B. 15°
C. 105°
D. −15°
Câu 2: Cho sđ(Ox, Oz) = 100° và sđ(Ox, Oy) = 30°. Tính sđ(Oy, Oz) (lấy k = 0).
A. 130°
B. 70°
C. 100°
D. 30°
Câu 3: Cho sđ(Ox, Oy) = π/4 và sđ(Oy, Oz) = π/4. Tính sđ(Ox, Oz) (lấy k = 0).
A. π/2
B. π/4
C. 0
D. π
Câu 4: Hệ thức Chasles phát biểu đúng là
A. sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) + k·2π
B. sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz)
C. sđ(Ox, Oz) = sđ(Ox, Oy) − sđ(Oy, Oz)
D. sđ(Ox, Oy) = sđ(Oy, Oz)
Câu 5: Cho sđ(Ox, Oy) = 200° và sđ(Oy, Oz) = 200°. Số đo của góc (Ox, Oz) trong khoảng [0°; 360°) là
A. 40°
B. 400°
C. 0°
D. 200°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | A | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: sđ(Ox, Oz) = 30° + 45° = 75°. Đáp án B sai vì 15° là hiệu hai góc, không phải tổng. Đáp án C sai vì 105° = 30° + 75°, không có cơ sở. Đáp án D sai vì số đo góc (Ox, Oz) lấy k = 0 là 75°, không phải −15°.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) − sđ(Ox, Oy) = 100° − 30° = 70°. Đáp án A sai vì 130° = 100° + 30°, đó là phép cộng sai chiều. Đáp án C sai vì 100° là sđ(Ox, Oz), không phải sđ(Oy, Oz). Đáp án D sai vì 30° là sđ(Ox, Oy).
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: sđ(Ox, Oz) = π/4 + π/4 = 2π/4 = π/2. Đáp án B sai vì π/4 chỉ là một trong hai góc thành phần. Đáp án C sai vì tổng hai góc dương không thể bằng 0. Đáp án D sai vì π = 2π/4 + 2π/4, không phải kết quả của phép cộng này.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Hệ thức Chasles đầy đủ là sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) + k·2π, với k nguyên. Đáp án B sai vì thiếu số hạng k·2π. Đáp án C sai vì hệ thức là phép cộng, không phải phép trừ. Đáp án D sai vì hai góc (Ox, Oy) và (Oy, Oz) nói chung khác nhau.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Tổng hai góc là 200° + 200° = 400°, trừ đi một vòng 360° được 40°, nằm trong [0°; 360°). Đáp án B sai vì 400° vượt quá khoảng yêu cầu. Đáp án C sai vì 400° − 360° = 40°, không phải 0°. Đáp án D sai vì 200° chỉ là một trong hai góc thành phần.
Câu hỏi thường gặp về hệ thức Chasles
Hỏi: Số nguyên k trong hệ thức Chasles có ý nghĩa gì?
Đáp: Số nguyên k là "phần thừa" một số nguyên vòng khi bạn cộng hai số đo góc. Vì mỗi góc lượng giác có vô số số đo hơn kém nhau một số nguyên vòng, tổng hai số đo có thể hơn số đo góc tổng đúng k vòng. Trong thực hành, bạn chọn k sao cho kết quả rơi vào khoảng đề yêu cầu.
Hỏi: Hệ thức Chasles có đúng khi tia Oy không nằm giữa Ox và Oz không?
Đáp: Có, hệ thức đúng với mọi vị trí của ba tia, vì nó là hệ thức về số đo góc lượng giác, không phải về góc hình học. Dù Oy nằm ở đâu, luôn tồn tại một số nguyên k để đẳng thức đúng.
Hỏi: Vì sao phải viết + k·2π mà không viết luôn bằng nhau?
Đáp: Vì số đo góc lượng giác không duy nhất. Nếu bỏ k·2π, đẳng thức chỉ đúng với một cách chọn số đo nhất định, còn với cách chọn khác thì hai vế có thể lệch nhau đúng một số nguyên vòng. Số hạng k·2π làm cho hệ thức đúng với mọi cách chọn số đo.
Hỏi: Hệ thức Chasles khác gì với quy tắc cộng góc ở cấp hai?
Đáp: Ở cấp hai, bạn học rằng nếu tia Oy nằm giữa Ox và Oz thì góc xOz bằng tổng hai góc xOy và yOz. Hệ thức Chasles là phiên bản lượng giác của quy tắc đó, mở rộng cho mọi vị trí của tia Oy và mọi số đo, kể cả số đo âm và số đo lớn hơn một vòng.
Hỏi: Học hệ thức Chasles để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Hệ thức Chasles là công cụ chứng minh các công thức cộng của sin, cos và các đẳng thức lượng giác phức tạp. Khi bạn cần tách một góc lớn thành tổng hai góc nhỏ, hoặc gộp hai góc nhỏ thành một góc lớn, hệ thức Chasles là điểm khởi đầu.
Kết luận
Hệ thức Chasles chỉ gói gọn trong một đẳng thức: sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz) + k·2π, với k là số nguyên bất kì. Bạn hãy nhớ quy tắc "tia giữa giống nhau" khi cộng góc, nhớ chọn k sao cho kết quả rơi vào khoảng đề yêu cầu, và nhớ rằng hệ thức đúng với mọi vị trí của ba tia. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để cộng, trừ các góc lượng giác trong mọi bài toán của chương.