Bạn xoay một cái la bàn: kim chỉ đúng hướng Bắc, bạn xoay thêm một vòng đầy rồi dừng lại — kim vẫn chỉ đúng hướng Bắc. Góc bạn vừa quay là 360 độ, nhưng "điểm đến" thì không đổi. Trong lượng giác cũng vậy: hai góc lượng giác có thể khác nhau cả một vòng tròn, thậm chí vài vòng tròn, mà vẫn có cùng tia đầu và cùng tia cuối. Hiểu được điều này, bạn sẽ không còn bối rối khi thấy cùng một vị trí trên đường tròn lượng giác lại mang nhiều số đo khác nhau: 30°, 390°, 750°, −330°... tất cả đều chỉ cùng một tia.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ công thức về số đo các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối: từ cách xác định tia đầu và tia cuối trên đường tròn lượng giác, quy tắc hơn kém nhau một số nguyên vòng, cách tìm số đo âm, số đo dương nhỏ nhất và số đo trong một khoảng cho trước, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học giúp bạn đọc đúng đường tròn lượng giác — kĩ năng không thể thiếu khi giải phương trình lượng giác ở bài sau.
Góc lượng giác: quay thêm một vòng, tia cuối vẫn như cũ
Trước hết, bạn cần phân biệt góc hình học với góc lượng giác. Góc hình học chỉ nằm trong khoảng từ 0° đến 180°, còn góc lượng giác có thể là bất kì số thực nào, dương hay âm, lớn bao nhiêu cũng được. Góc lượng giác được tạo ra bằng cách quay một tia quanh gốc O: tia bắt đầu quay gọi là tia đầu, thường là tia Ox, tia dừng lại gọi là tia cuối. Quay ngược chiều kim đồng hồ thì số đo dương, quay cùng chiều kim đồng hồ thì số đo âm. Một góc lượng giác không chỉ cho biết tia cuối nằm ở đâu, mà còn cho biết tia đó đã quay bao nhiêu vòng và theo chiều nào.
Chính vì vậy, cùng một tia cuối có thể ứng với vô số số đo khác nhau. Bạn quay từ tia Ox đến một tia cuối nào đó, dừng lại ở 30°. Bạn quay thêm một vòng đầy nữa rồi dừng ở đúng tia đó, số đo bây giờ là 30° + 360° = 390°. Bạn quay thêm hai vòng nữa, số đo là 750°. Bạn quay ngược lại một vòng, số đo là 30° − 360° = −330°. Tất cả các số đo 30°, 390°, 750°, −330°... đều có cùng tia đầu Ox và cùng tia cuối, chúng chỉ khác nhau ở số vòng đã quay.
Công thức tổng quát của bài học là: hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối khi và chỉ khi số đo của chúng hơn kém nhau k·360°, hay k·2π rađian, với k là một số nguyên bất kì. Nói cách khác, tập hợp mọi số đo của một góc lượng giác có dạng α + k·360°, trong đó α là một số đo nào đó của góc và k chạy qua mọi số nguyên. Khi k = 0, bạn được chính α; khi k = 1, bạn được α cộng một vòng; khi k = −1, bạn được α trừ một vòng. Công thức này là chìa khóa để bạn tìm mọi số đo cùng tia cuối, hoặc kiểm tra xem hai góc cho trước có cùng tia cuối hay không.
Trong thực hành, đề bài thường yêu cầu bạn tìm số đo dương nhỏ nhất, số đo âm lớn nhất, hoặc số đo thuộc một khoảng cho trước của một góc lượng giác. Cách làm chung là lấy số đo đã cho cộng hoặc trừ đi bội số của 360° (hoặc 2π) cho đến khi rơi vào khoảng cần tìm. Ví dụ góc 750°: trừ đi hai vòng 720°, bạn được 30°, đó là số đo dương nhỏ nhất cùng tia cuối. Góc −330°: cộng một vòng 360°, bạn được 30°. Bạn hãy nhớ: việc cộng trừ 360° không làm thay đổi tia cuối, giống như việc bạn quay thêm một vòng đầy rồi dừng lại đúng chỗ cũ.
Một ứng dụng quan trọng của công thức này là xác định giá trị lượng giác của các góc lớn. Vì sin, cos, tan của một góc chỉ phụ thuộc vào tia cuối, nên sin 390° = sin 30° = 1/2, cos 750° = cos 30° = √3/2. Khi gặp một góc lớn như 1 110° hay −480°, bạn chỉ cần trừ đi bội số của 360° để đưa về góc nhỏ quen thuộc rồi tra bảng giá trị lượng giác. Kĩ năng này sẽ theo bạn suốt chương lượng giác, đặc biệt khi giải phương trình lượng giác, nơi nghiệm luôn viết dưới dạng α + k·2π. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Chứng tỏ góc lượng giác 30° và 390° có cùng tia đầu và tia cuối.
Bạn tính hiệu hai số đo: 390° − 30° = 360° = 1 × 360°, tức là hai góc hơn kém nhau đúng một vòng tròn đầy, với k = 1. Theo công thức, hai góc lượng giác hơn kém nhau k·360° thì có cùng tia đầu và tia cuối. Bạn hình dung trên đường tròn lượng giác: tia đầu là Ox, quay 30° ngược chiều kim đồng hồ thì dừng ở tia cuối; quay 390° thì đi hết một vòng đầy rồi thêm 30°, dừng ở đúng tia đó. Vậy 30° và 390° = 30° + 360° có cùng tia đầu và tia cuối.
Ví dụ 2 (số đo âm): Tìm số đo dương nhỏ nhất của góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc −30°.
Bạn cộng thêm một vòng đầy: −30° + 360° = 330°. Vì 330° nằm trong khoảng từ 0° đến 360° nên đó chính là số đo dương nhỏ nhất cùng tia cuối với −30°. Bạn kiểm tra: 330° − (−30°) = 360° = 1 × 360°, đúng quy tắc hơn kém nhau một số nguyên vòng. Bạn hãy để ý: số đo âm −30° và số đo dương 330° chỉ cùng một tia cuối — tia này nằm ở góc phần tư thứ tư, dưới trục Ox một góc 30°.
Ví dụ 3 (đơn vị rađian): Các góc π/3 và 7π/3 có cùng tia đầu và tia cuối không? Vì sao?
Bạn tính hiệu: 7π/3 − π/3 = 6π/3 = 2π = 1 × 2π, tức là hai góc hơn kém nhau đúng một vòng, với k = 1. Vậy π/3 và 7π/3 có cùng tia đầu và tia cuối. Bạn cũng có thể viết 7π/3 = π/3 + 2π, nghĩa là quay thêm một vòng đầy rồi dừng ở đúng tia của góc π/3. Bạn hãy nhớ: trong đơn vị rađian, "một vòng" là 2π, nên quy tắc là hơn kém nhau k·2π với k nguyên.
Ví dụ 4 (tìm số đo trong khoảng): Tìm số đo của góc lượng giác có cùng tia cuối với 750° và thuộc khoảng [0°; 360°).
Bạn trừ đi bội số của 360°: 750° − 360° = 390°, vẫn còn lớn hơn 360°, trừ tiếp một vòng nữa: 390° − 360° = 30°. Vậy số đo cần tìm là 30°, tức là 750° = 30° + 2 × 360°, với k = 2. Bạn kiểm tra: 30° nằm trong khoảng [0°; 360°), đúng yêu cầu. Cách làm này còn gọi là "đưa góc về góc nhỏ nhất không âm", rất hữu ích khi bạn cần xác định tia cuối của một góc lớn bất kì. Nếu muốn ôn lại cách đổi độ sang rađian, bạn hãy xem bài liên hệ giữa hai đơn vị đo góc độ và rađian.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nghĩ rằng hai góc bằng nhau thì mới cùng tia cuối.
Nhiều bạn thấy 30° và 390° khác nhau thì kết luận tia cuối khác nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ tia cuối chỉ phụ thuộc vào số đo sau khi đã trừ đi bội số của 360° — hai góc hơn kém nhau một số nguyên vòng thì cùng tia cuối.
Lỗi 2: Quên số nguyên k có thể âm.
Nhiều bạn chỉ cộng thêm 360° mà quên rằng trừ đi 360° cũng cho cùng tia cuối. Cách tránh: bạn hãy nhớ k chạy qua mọi số nguyên, cả dương, cả âm và cả 0 — mỗi giá trị k cho một số đo khác nhau nhưng cùng tia cuối.
Lỗi 3: Nhầm 360° với 180°.
Nhiều bạn cho rằng hai góc hơn kém nhau 180° thì cùng tia cuối, trong khi 180° chỉ cho tia đối nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ một vòng đầy là 360°, không phải 180° — hơn kém 180° thì tia cuối đối nhau qua gốc O, không trùng nhau.
Lỗi 4: Nhầm đơn vị độ và rađian khi áp dụng công thức.
Nhiều bạn lấy góc đo bằng độ mà cộng trừ 2π, hoặc lấy góc đo bằng rađian mà cộng trừ 360°. Cách tránh: bạn hãy thống nhất đơn vị trước khi tính — độ thì dùng k·360°, rađian thì dùng k·2π.
Lỗi 5: Tìm số đo trong khoảng mà quên kiểm tra biên.
Nhiều bạn tìm số đo thuộc [0°; 360°) của góc 720° thì trả lời 360°, trong khi 360° không thuộc khoảng vì khoảng không lấy 360°. Cách tránh: bạn hãy nhớ 720° = 0° + 2 × 360°, nên số đo cần tìm là 0°, và luôn kiểm tra xem kết quả có nằm trong khoảng đề cho hay không.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra hiệu hai số đo có phải là bội số của 360° hay không.
Câu 1: Góc nào sau đây có cùng tia đầu và tia cuối với góc 60°?
A. 420°
B. 300°
C. 120°
D. 240°
Câu 2: Số đo nào sau đây có cùng tia cuối với góc −45°?
A. 315°
B. 405°
C. 135°
D. 225°
Câu 3: Góc 5π/6 rad có cùng tia cuối với góc nào sau đây?
A. −π/6 rad
B. 17π/6 rad
C. 11π/6 rad
D. 7π/6 rad
Câu 4: Góc 900° có cùng tia cuối với góc nào sau đây?
A. 180°
B. 90°
C. 0°
D. 270°
Câu 5: Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì số đo của chúng hơn kém nhau
A. k·90°
B. k·180°
C. k·360°
D. k·45°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | B | A | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: 420° − 60° = 360° = 1 × 360°, nên hai góc cùng tia cuối. Đáp án B sai vì 300° − 60° = 240°, không phải bội số của 360°. Đáp án C sai vì 120° − 60° = 60°. Đáp án D sai vì 240° − 60° = 180°, chỉ cho tia đối nhau.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: 315° − (−45°) = 360° = 1 × 360°, nên hai góc cùng tia cuối. Đáp án B sai vì 405° − (−45°) = 450°, không phải bội số của 360°. Đáp án C sai vì 135° − (−45°) = 180°. Đáp án D sai vì 225° − (−45°) = 270°.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: 17π/6 − 5π/6 = 12π/6 = 2π = 1 × 2π, nên hai góc cùng tia cuối. Đáp án A sai vì −π/6 − 5π/6 = −π, không phải bội số của 2π. Đáp án C sai vì 11π/6 − 5π/6 = π. Đáp án D sai vì 7π/6 − 5π/6 = π/3.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: 900° − 2 × 360° = 180°, nên 900° có cùng tia cuối với 180°. Đáp án B sai vì 900° − 90° = 810°, không phải bội số của 360°. Đáp án C sai vì 900° − 0° = 900° = 2,5 × 360°. Đáp án D sai vì 900° − 270° = 630°.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: Theo định nghĩa, hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối khi và chỉ khi số đo hơn kém nhau k·360°, với k nguyên. Đáp án A sai vì hơn kém 90° thì tia cuối vuông góc nhau. Đáp án B sai vì hơn kém 180° thì tia cuối đối nhau. Đáp án D sai vì hơn kém 45° thì tia cuối lệch nhau 45°.
Câu hỏi thường gặp về góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối
Hỏi: Một tia cuối có bao nhiêu số đo?
Đáp: Vô số. Mọi số đo có dạng α + k·360°, với k là số nguyên bất kì, đều chỉ cùng một tia cuối. Bạn có thể cộng thêm bao nhiêu vòng cũng được, hoặc trừ đi bao nhiêu vòng cũng được, tia cuối vẫn không đổi.
Hỏi: Số đo âm của một góc lượng giác có ý nghĩa gì?
Đáp: Số đo âm nghĩa là tia quay theo chiều kim đồng hồ, ngược với chiều dương quy ước. Ví dụ góc −30° là tia quay cùng chiều kim đồng hồ 30° từ tia Ox, dừng ở cùng tia cuối với góc 330° quay ngược chiều kim đồng hồ.
Hỏi: Làm thế nào để biết hai góc có cùng tia cuối hay không?
Đáp: Bạn lấy hiệu hai số đo rồi chia cho 360° (hoặc 2π nếu đo bằng rađian). Nếu thương là một số nguyên thì hai góc cùng tia cuối, nếu không phải số nguyên thì hai góc có tia cuối khác nhau.
Hỏi: Góc 0° và góc 360° có cùng tia cuối không?
Đáp: Có. Góc 0° nghĩa là tia không quay, tia cuối trùng với tia đầu Ox; góc 360° nghĩa là tia quay đúng một vòng đầy rồi dừng lại ở Ox. Hai góc hơn kém nhau 360° nên cùng tia đầu và tia cuối.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Khi giải phương trình lượng giác, nghiệm luôn viết dưới dạng α + k·2π, chính là tập hợp mọi góc cùng tia cuối với α. Nếu bạn không hiểu vì sao nghiệm lại có dạng đó, bạn sẽ không hiểu được bản chất của phương trình lượng giác. Bài này là nền tảng của bài nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.
Kết luận
Số đo các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối hơn kém nhau k·360°, hay k·2π rađian, với k là số nguyên bất kì. Bạn hãy nhớ cách tìm mọi số đo cùng tia cuối: lấy một số đo đã biết rồi cộng hoặc trừ đi bội số của một vòng đầy. Kĩ năng này giúp bạn đưa mọi góc lớn về góc nhỏ quen thuộc, tra giá trị lượng giác nhanh và hiểu được vì sao nghiệm của phương trình lượng giác luôn có dạng α + k·2π. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để đọc đúng đường tròn lượng giác trong mọi bài toán.