Bạn đã bao giờ thắc mắc vì sao cùng một góc, có lúc người ta nói 90 độ, có lúc lại nói π/2 rađian? Kim đồng hồ quay một vòng là 360 độ, vô lăng ô tô xoay nửa vòng là 180 độ, còn trong sách Toán lớp 11, những góc ấy bỗng biến thành 2π, π, π/2. Hai cách nói nghe như hai thứ ngôn ngữ khác nhau, nhưng thật ra chúng chỉ là hai cách đo cùng một thứ: độ "mở" của một góc. Hiểu được mối liên hệ giữa độ và rađian, bạn sẽ đọc trơn tru mọi công thức lượng giác trong chương này, từ phương trình lượng giác cho tới hàm số lượng giác, mà không còn bị khựng lại mỗi khi gặp chữ π.
Bài này sẽ giúp bạn nắm chắc công thức liên hệ giữa hai đơn vị đo góc độ và rađian một cách có hệ thống: từ định nghĩa của từng đơn vị, công thức đổi qua lại, bảng đổi nhanh những góc đặc biệt hay gặp, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học nền tảng của cả chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác — học chắc bài này, những bài sau sẽ nhẹ đi một nửa.
Độ và rađian: hai cách nói cùng một góc
Đơn vị độ thì bạn đã quen từ cấp hai: một vòng tròn đầy được chia thành 360 phần bằng nhau, mỗi phần là một độ, kí hiệu là °. Góc vuông là 90°, góc bẹt là 180°, góc đầy là 360°. Cách chia này có từ thời Babylon cổ đại, tiện vì 360 chia hết cho rất nhiều số: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... nên các góc thường gặp đều là số nguyên đẹp. Khi bạn đo góc bằng thước đo độ, bạn đang dùng đơn vị này.
Rađian thì mới hơn và "toán học" hơn. Một rađian là góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng bán kính của đường tròn. Nói cách khác, bạn lấy một sợi dây dài bằng bán kính, đặt men theo đường tròn từ một điểm, đầu kia của sợi dây và tâm tạo thành một góc đúng bằng 1 rađian. Vì chu vi đường tròn bằng 2π lần bán kính, nên một vòng tròn đầy chứa đúng 2π rađian. Nửa vòng tròn chứa π rađian, một phần tư vòng tròn chứa π/2 rađian.
Từ đó, bạn có đẳng thức gốc của cả bài học: 180° = π rad. Đây là cầu nối duy nhất bạn cần nhớ, mọi công thức đổi khác đều suy ra từ nó. Muốn đổi từ độ sang rađian, bạn nhân số đo độ với π/180: 1° = π/180 rad, nên góc a° đổi thành a × π/180 rađian. Muốn đổi từ rađian sang độ, bạn nhân số đo rađian với 180/π: 1 rad = (180/π)° ≈ 57,3°. Bạn hãy nhớ con số 57,3° này, vì nó giúp bạn ước lượng nhanh: một góc khoảng 1 rađian thì hơi lớn hơn 57 độ một chút.
Để làm bài nhanh, bạn nên thuộc lòng bảng đổi của những góc đặc biệt hay gặp nhất: 0° = 0 rad; 30° = π/6 rad; 45° = π/4 rad; 60° = π/3 rad; 90° = π/2 rad; 120° = 2π/3 rad; 135° = 3π/4 rad; 150° = 5π/6 rad; 180° = π rad; 270° = 3π/2 rad; 360° = 2π rad. Bạn hãy để ý quy luật: tử số của phân số π chính là số đo độ chia cho 30. Ví dụ 150° chia 30 được 5, nên 150° = 5π/6 rad; 120° chia 30 được 4, nên 120° = 2π/3 rad (rút gọn 4/6 thành 2/3). Mẹo nhỏ này giúp bạn đổi nhanh mà không cần bấm máy.
Vì sao chương trình lớp 11 lại dùng rađian nhiều đến thế, trong khi độ đã quá quen thuộc? Lí do nằm ở công thức tính độ dài cung tròn và diện tích hình quạt: với góc đo bằng rađian, độ dài cung bằng bán kính nhân số đo góc, diện tích hình quạt bằng một nửa bán kính bình phương nhân số đo góc — gọn gàng, không còn hệ số 360 hay 180 vướng víu. Hơn nữa, các công thức đạo hàm và giới hạn của hàm sin, cos trong chương sau chỉ đúng khi góc đo bằng rađian. Nói ngắn gọn, rađian là "ngôn ngữ mẹ đẻ" của lượng giác, còn độ chỉ là cách nói quen thuộc trong đời sống hằng ngày. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Đổi 120° sang rađian và đổi π/4 rad sang độ.
Bạn áp dụng công thức đổi độ sang rađian: 120° = 120 × π/180 = 2π/3 rad. Bạn rút gọn phân số 120/180 bằng cách chia cả tử và mẫu cho 60, được 2/3, nên kết quả là 2π/3 rad. Ngược lại, đổi π/4 rad sang độ: π/4 rad = (π/4) × (180/π) = 180/4 = 45°. Bạn hãy để ý: khi đổi rađian sang độ, chữ π ở tử và mẫu triệt tiêu nhau, chỉ còn lại phép chia 180 cho 4. Bạn kiểm tra lại bằng bảng góc đặc biệt: 120° = 2π/3 rad và 45° = π/4 rad đều có trong bảng, khớp hoàn toàn.
Ví dụ 2 (đổi góc lớn): Đổi 270° sang rađian và đổi 5π/6 rad sang độ.
Bạn tính 270° = 270 × π/180 = 3π/2 rad, vì 270/180 rút gọn thành 3/2. Đây là góc ba phần tư vòng tròn, hay gặp khi xét các góc lượng giác ở góc phần tư thứ ba và thứ tư. Đổi ngược lại, 5π/6 rad = 5 × 180/6 = 150°. Bạn có thể nhẩm nhanh bằng mẹo chia 30: 150° chia 30 được 5, nên 150° = 5π/6 rad. Bạn hãy nhớ cặp góc này, vì 150° và 5π/6 rad xuất hiện rất nhiều trong các bài toán về giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Ví dụ 3 (đổi rađian không đặc biệt): Đổi 1,5 rad sang độ, làm tròn đến hàng đơn vị.
Bạn dùng công thức 1 rad ≈ 57,3°, nên 1,5 rad ≈ 1,5 × 57,3° ≈ 86°. Tính chính xác hơn: 1,5 × 180/π ≈ 85,94°, làm tròn thành 86°. Bạn hãy để ý: không phải mọi số đo rađian đều ứng với một số độ đẹp — chỉ những góc đặc biệt mới cho số đẹp, còn lại bạn phải bấm máy và làm tròn theo yêu cầu của đề bài. Trong các bài kiểm tra, đề thường cho góc đặc biệt để bạn tính tay được, nhưng cũng có khi đề cho số lẻ để kiểm tra kĩ năng dùng máy tính.
Ví dụ 4 (góc âm): Đổi −60° sang rađian và đổi −π/3 rad sang độ.
Góc âm chỉ góc quay theo chiều kim đồng hồ, ngược với chiều dương quy ước. Công thức đổi không thay đổi gì: −60° = −60 × π/180 = −π/3 rad. Ngược lại, −π/3 rad = −(π/3) × (180/π) = −60°. Bạn hãy nhớ: dấu âm được giữ nguyên khi đổi đơn vị, chỉ có số đo là đổi theo tỉ lệ π/180 hoặc 180/π. Góc âm sẽ xuất hiện rất nhiều khi bạn học về số đo các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối, vì vậy bạn hãy tập làm quen với nó ngay từ bây giờ. Nếu muốn ôn lại cách đọc số đo góc lượng giác, bạn hãy xem bài số đo các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm 1 rad với 1°.
Nhiều bạn thấy 1 rad thì nghĩ ngay là 1°, trong khi 1 rad ≈ 57,3°, lớn gấp hơn 57 lần. Cách tránh: bạn hãy nhớ 1 rad là một góc khá lớn, xấp xỉ 57 độ, còn 1° thì rất nhỏ, chỉ bằng π/180 rad ≈ 0,017 rad.
Lỗi 2: Quên rút gọn phân số khi đổi độ sang rađian.
Nhiều bạn viết 120° = 120π/180 rad rồi dừng lại, không rút gọn thành 2π/3 rad. Cách tránh: bạn hãy luôn rút gọn phân số về tối giản — chia tử và mẫu cho ước chung lớn nhất, ví dụ 120 và 180 cùng chia hết cho 60.
Lỗi 3: Nhầm chiều của công thức đổi.
Nhiều bạn đổi độ sang rađian lại nhân với 180/π, hoặc đổi rađian sang độ lại nhân với π/180. Cách tránh: bạn hãy nhớ 180° = π rad, rồi đặt tỉ lệ: số rađian bằng số độ nhân π rồi chia 180; số độ bằng số rađian nhân 180 rồi chia π.
Lỗi 4: Bỏ dấu âm khi đổi góc âm.
Nhiều bạn đổi −60° thành π/3 rad mà quên dấu trừ. Cách tránh: bạn hãy mang dấu âm theo suốt phép tính, vì góc âm và góc dương là hai góc khác nhau, chỉ chung tia đầu và tia cuối khi hơn kém nhau một số nguyên vòng.
Lỗi 5: Dùng máy tính ở chế độ sai.
Nhiều bạn bấm sin 30 trên máy tính đang để chế độ rađian thì ra −0,988, trong khi sin 30° = 0,5. Cách tránh: trước khi bấm máy, bạn hãy kiểm tra máy đang ở chế độ DEG (độ) hay RAD (rađian) và chuyển cho đúng với số liệu đề bài cho.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ rút gọn phân số về tối giản trước khi chọn đáp án.
Câu 1: Góc 90° đổi sang rađian bằng
A. π/2 rad
B. π/3 rad
C. π/4 rad
D. 2π/3 rad
Câu 2: Góc π/3 rad đổi sang độ bằng
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 3: 1 rad xấp xỉ bằng bao nhiêu độ?
A. 57,3°
B. 45°
C. 90°
D. 180°
Câu 4: Góc 225° đổi sang rađian bằng
A. 5π/4 rad
B. 3π/4 rad
C. 7π/4 rad
D. 5π/6 rad
Câu 5: Góc 7π/6 rad đổi sang độ bằng
A. 150°
B. 180°
C. 210°
D. 240°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | A | A | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: 90° = 90 × π/180 = π/2 rad, vì 90/180 rút gọn thành 1/2. Đáp án B sai vì π/3 rad ứng với 60°. Đáp án C sai vì π/4 rad ứng với 45°. Đáp án D sai vì 2π/3 rad ứng với 120°.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: π/3 rad = (π/3) × (180/π) = 60°. Đáp án A sai vì 30° = π/6 rad. Đáp án B sai vì 45° = π/4 rad. Đáp án D sai vì 90° = π/2 rad.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: 1 rad = (180/π)° ≈ 57,2958°, làm tròn thành 57,3°. Đáp án B sai vì 45° = π/4 rad ≈ 0,785 rad. Đáp án C sai vì 90° = π/2 rad ≈ 1,57 rad. Đáp án D sai vì 180° = π rad ≈ 3,14 rad.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: 225° = 225 × π/180 = 5π/4 rad, vì 225/180 rút gọn thành 5/4. Đáp án B sai vì 3π/4 rad ứng với 135°. Đáp án C sai vì 7π/4 rad ứng với 315°. Đáp án D sai vì 5π/6 rad ứng với 150°.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: 7π/6 rad = 7 × 180/6 = 210°. Đáp án A sai vì 150° = 5π/6 rad. Đáp án B sai vì 180° = π rad. Đáp án D sai vì 240° = 4π/3 rad.
Câu hỏi thường gặp về độ và rađian
Hỏi: Vì sao 180° lại bằng π rad mà không phải một số đẹp nào khác?
Đáp: Vì rađian được định nghĩa từ độ dài cung tròn: một vòng tròn đầy có chu vi 2π lần bán kính nên chứa 2π rađian, nửa vòng tròn chứa π rađian, tức là 180° = π rad. Con số π xuất hiện là hệ quả tự nhiên của hình học đường tròn, không phải do ai quy ước.
Hỏi: Khi nào thì viết "rad" sau số đo, khi nào thì không?
Đáp: Theo quy ước, khi số đo góc là rađian thì thường không viết đơn vị "rad" mà chỉ viết số, ví dụ π/2 thay vì π/2 rad. Nhưng khi số đo là độ thì bắt buộc phải viết dấu °, ví dụ 90°. Bạn hãy nhớ: thấy số có dấu ° là độ, thấy số có π mà không có dấu ° thì đó là rađian.
Hỏi: Góc 360° bằng bao nhiêu rađian?
Đáp: 360° = 2π rad, vì một vòng tròn đầy chứa 2π rađian. Đây là một trong những đẳng thức bạn sẽ dùng nhiều nhất khi học về góc lượng giác, vì các góc hơn kém nhau 2π rad thì có cùng tia đầu và tia cuối.
Hỏi: Có cần nhớ 1 rad ≈ 57,3° không?
Đáp: Có, vì nó giúp bạn ước lượng nhanh và kiểm tra tính hợp lí của đáp án. Ví dụ một góc 2 rad thì khoảng 115°, một góc 0,5 rad thì khoảng 29°. Nếu bạn tính ra một góc 2 rad mà đáp án ghi 30° thì biết ngay là sai.
Hỏi: Học đổi độ sang rađian để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Mọi công thức lượng giác lớp 11 — phương trình lượng giác, hàm số lượng giác, giá trị lượng giác của góc — đều viết bằng rađian. Nếu bạn không đổi được độ sang rađian, bạn sẽ không giải được phương trình sin x = 1/2 hay tính được sin π/6. Bài này là chìa khóa mở cả chương lượng giác.
Kết luận
Liên hệ giữa độ và rađian chỉ gói gọn trong một đẳng thức: 180° = π rad. Từ đó, bạn đổi độ sang rađian bằng cách nhân với π/180, đổi rađian sang độ bằng cách nhân với 180/π, và nhớ rằng 1 rad ≈ 57,3°. Bạn hãy thuộc lòng bảng góc đặc biệt 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270°, 360° và dạng rađian tương ứng, vì chúng sẽ theo bạn suốt chương lượng giác. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để đọc và đổi mọi số đo góc trong sách giáo khoa.