Bạn bấm máy tính: sin x = 1/2 thì x bằng bao nhiêu? Máy trả lời 30 độ. Nhưng bạn thử thay x = 150 độ vào, sin 150° cũng bằng 1/2. Thử x = 390 độ, sin 390° vẫn bằng 1/2. Hóa ra phương trình sin x = 1/2 không chỉ có một nghiệm, mà có vô số nghiệm, xếp thành hai họ đều đặn như hai hàng cây thẳng tắp. Bài học hôm nay sẽ cho bạn công thức viết gọn cả hai họ nghiệm ấy trong một dòng duy nhất — công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản, công cụ quan trọng nhất khi bạn bước vào thế giới phương trình lượng giác.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản sin x = m, cos x = m, tan x = m và cot x = m: từ điều kiện có nghiệm, cách tìm góc α, cách viết hai họ nghiệm của sin và cos, họ nghiệm duy nhất của tan và cot, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học bạn sẽ dùng trong mọi bài toán phương trình lượng giác của lớp 11, vì vậy hãy học thật chắc từng công thức.
Công thức nghiệm: mỗi phương trình có một "mẫu" riêng
Trước hết, bạn cần nhớ điều kiện có nghiệm. Phương trình sin x = m và cos x = m chỉ có nghiệm khi |m| ≤ 1, vì giá trị của sin và cos luôn nằm trong khoảng từ −1 đến 1. Nếu m = 2 hay m = −1,5 thì phương trình vô nghiệm, bạn không cần giải tiếp. Phương trình tan x = m và cot x = m thì luôn có nghiệm với mọi số thực m, vì tan và cot có thể nhận mọi giá trị thực. Bạn hãy kiểm tra điều kiện này trước khi giải, vì nhiều đề bài cố tình cho m ngoài khoảng [−1; 1] để kiểm tra xem bạn có nhớ điều kiện hay không.
Với phương trình sin x = m, bạn tìm một góc α sao cho sin α = m, rồi viết nghiệm thành hai họ: x = α + k·2π hoặc x = π − α + k·2π, với k là số nguyên bất kì. Vì sao có hai họ? Vì trên đường tròn lượng giác, đường thẳng ngang y = m cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy, ứng với hai góc α và π − α. Hai điểm này có cùng sin nhưng cos đối nhau. Bạn hãy nhớ: họ thứ nhất là α cộng thêm một số nguyên vòng, họ thứ hai là π − α cộng thêm một số nguyên vòng.
Với phương trình cos x = m, bạn cũng tìm góc α sao cho cos α = m, rồi viết nghiệm thành hai họ: x = α + k·2π hoặc x = −α + k·2π, thường viết gọn là x = ±α + k·2π. Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng đứng x = m cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox, ứng với hai góc α và −α. Hai điểm này có cùng cos nhưng sin đối nhau. Bạn hãy nhớ: cos là hàm chẵn theo nghĩa cos(−α) = cos α, nên hai họ nghiệm đối xứng nhau qua 0.
Với phương trình tan x = m, bạn tìm góc α sao cho tan α = m, rồi viết nghiệm thành một họ duy nhất: x = α + k·π. Vì sao chỉ có một họ? Vì tan có chu kì π, nghĩa là tan(x + π) = tan x, nên hai điểm đối nhau qua gốc O trên đường tròn lượng giác có cùng tan. Tương tự, phương trình cot x = m có nghiệm x = α + k·π, với cot α = m. Bạn hãy nhớ: tan và cot chỉ có một họ nghiệm với chu kì π, còn sin và cos có hai họ nghiệm với chu kì 2π — đây là điểm khác biệt quan trọng nhất giữa bốn công thức.
Một trường hợp đặc biệt bạn cần thuộc lòng là các phương trình với m là giá trị đặc biệt: sin x = 0 thì x = k·π; sin x = 1 thì x = π/2 + k·2π; sin x = −1 thì x = −π/2 + k·2π; cos x = 0 thì x = π/2 + k·π; cos x = 1 thì x = k·2π; cos x = −1 thì x = π + k·2π. Những công thức này suy ra trực tiếp từ công thức tổng quát, nhưng thuộc lòng chúng sẽ giúp bạn làm bài nhanh hơn rất nhiều. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Giải phương trình sin x = 1/2.
Bạn tìm góc α sao cho sin α = 1/2. Góc quen thuộc nhất là α = π/6, vì sin π/6 = 1/2. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình sin: x = π/6 + k·2π hoặc x = π − π/6 + k·2π = 5π/6 + k·2π, với k là số nguyên bất kì. Bạn kiểm tra: với k = 0, hai nghiệm là π/6 và 5π/6, cả hai đều có sin bằng 1/2. Với k = 1, hai nghiệm là π/6 + 2π = 13π/6 và 5π/6 + 2π = 17π/6, sin của chúng vẫn bằng 1/2 vì hơn kém nhau đúng một vòng. Vậy nghiệm của phương trình là x = π/6 + k·2π hoặc x = 5π/6 + k·2π (k ∈ ℤ).
Ví dụ 2 (phương trình cos): Giải phương trình cos x = √2/2.
Bạn tìm góc α sao cho cos α = √2/2. Góc quen thuộc nhất là α = π/4, vì cos π/4 = √2/2. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình cos: x = ±π/4 + k·2π, với k nguyên. Bạn viết tách ra thành hai họ: x = π/4 + k·2π hoặc x = −π/4 + k·2π. Bạn kiểm tra: cos π/4 = √2/2 và cos(−π/4) = cos π/4 = √2/2, cả hai đều thỏa mãn. Bạn hãy để ý: hai họ nghiệm đối xứng nhau qua 0, đúng như tính chất chẵn của hàm cos.
Ví dụ 3 (phương trình tan): Giải phương trình tan x = 1.
Bạn tìm góc α sao cho tan α = 1. Góc quen thuộc nhất là α = π/4, vì tan π/4 = 1. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình tan: x = π/4 + k·π, với k nguyên. Bạn hãy để ý: chỉ có một họ nghiệm duy nhất, với chu kì π chứ không phải 2π. Bạn kiểm tra: với k = 0, x = π/4, tan π/4 = 1; với k = 1, x = 5π/4, tan 5π/4 = 1 vì 5π/4 = π/4 + π. Bạn cũng có thể viết nghiệm dưới dạng độ: x = 45° + k·180°.
Ví dụ 4 (sin âm): Giải phương trình sin x = −1/2.
Bạn tìm góc α sao cho sin α = −1/2. Góc quen thuộc nhất là α = −π/6, vì sin(−π/6) = −1/2. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình sin: x = −π/6 + k·2π hoặc x = π − (−π/6) + k·2π = 7π/6 + k·2π, với k nguyên. Bạn kiểm tra: sin(−π/6) = −1/2 và sin 7π/6 = −1/2, cả hai đều thỏa mãn. Bạn hãy để ý: họ nghiệm thứ hai là 7π/6, không phải 5π/6, vì π − α với α âm sẽ lớn hơn π. Nếu muốn ôn lại cách đổi độ sang rađian, bạn hãy xem bài liên hệ giữa hai đơn vị đo góc độ và rađian.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Chỉ viết một họ nghiệm cho phương trình sin hoặc cos.
Nhiều bạn giải sin x = 1/2 chỉ viết x = π/6 + k·2π mà quên họ x = 5π/6 + k·2π. Cách tránh: bạn hãy nhớ sin và cos luôn có hai họ nghiệm — viết xong họ thứ nhất thì hỏi ngay "họ thứ hai là gì?" rồi viết tiếp.
Lỗi 2: Dùng chu kì 2π cho phương trình tan.
Nhiều bạn viết nghiệm của tan x = 1 là x = π/4 + k·2π, bỏ sót một nửa số nghiệm. Cách tránh: bạn hãy nhớ tan và cot có chu kì π, nên nghiệm viết với k·π, không phải k·2π.
Lỗi 3: Nhầm họ thứ hai của sin là π + α thay vì π − α.
Nhiều bạn viết nghiệm của sin x = m là x = α + k·2π hoặc x = π + α + k·2π. Cách tránh: bạn hãy nhớ hai góc có cùng sin thì bù nhau: α và π − α, vì sin(π − α) = sin α, còn sin(π + α) = −sin α.
Lỗi 4: Quên kiểm tra điều kiện |m| ≤ 1.
Nhiều bạn giải sin x = 2 bằng cách tìm α sao cho sin α = 2, điều không thể. Cách tránh: trước khi giải, bạn hãy kiểm tra |m| có nhỏ hơn hoặc bằng 1 hay không; nếu lớn hơn 1 thì kết luận ngay phương trình vô nghiệm.
Lỗi 5: Nhầm góc α khi m là số âm.
Nhiều bạn giải sin x = −1/2 thì lấy α = π/6 rồi viết x = π/6 + k·2π, trong khi sin π/6 = 1/2 chứ không phải −1/2. Cách tránh: bạn hãy tìm α sao cho sin α đúng bằng m, kể cả dấu — với m âm thì α cũng âm hoặc lớn hơn π.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ viết đủ cả hai họ nghiệm đối với sin và cos.
Câu 1: Nghiệm của phương trình sin x = √3/2 là
A. x = π/3 + k·2π hoặc x = 2π/3 + k·2π
B. x = ±π/3 + k·2π
C. x = π/6 + k·2π hoặc x = 5π/6 + k·2π
D. x = π/3 + k·π
Câu 2: Nghiệm của phương trình cos x = 0 là
A. x = π/2 + k·π
B. x = k·2π
C. x = π/2 + k·2π
D. x = k·π
Câu 3: Nghiệm của phương trình tan x = √3 là
A. x = π/3 + k·π
B. x = π/3 + k·2π
C. x = π/6 + k·π
D. x = ±π/3 + k·2π
Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x = 0 là
A. x = k·2π
B. x = k·π
C. x = π/2 + k·π
D. x = π/2 + k·2π
Câu 5: Phương trình cos x = −1/2 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng [0; 2π]?
A. 1 nghiệm
B. 2 nghiệm
C. 3 nghiệm
D. 4 nghiệm
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | A | B | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: sin α = √3/2 với α = π/3, nên nghiệm là x = π/3 + k·2π hoặc x = π − π/3 + k·2π = 2π/3 + k·2π. Đáp án B sai vì dạng ±α + k·2π là công thức của phương trình cos, không phải sin. Đáp án C sai vì π/6 và 5π/6 là nghiệm của sin x = 1/2. Đáp án D sai vì nghiệm của sin có chu kì 2π và hai họ, không phải một họ với chu kì π.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: cos x = 0 khi x = π/2 + k·π, vì các góc π/2, 3π/2, 5π/2... đều có cos bằng 0. Đáp án B sai vì x = k·2π là nghiệm của cos x = 1. Đáp án C sai vì thiếu họ x = 3π/2 + k·2π, tức là chỉ lấy một nửa số nghiệm. Đáp án D sai vì x = k·π là nghiệm của sin x = 0.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: tan α = √3 với α = π/3, nên nghiệm là x = π/3 + k·π, một họ duy nhất với chu kì π. Đáp án B sai vì tan có chu kì π, không phải 2π. Đáp án C sai vì tan π/6 = 1/√3, không phải √3. Đáp án D sai vì dạng ±α + k·2π là công thức của cos.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: sin x = 0 khi x = k·π, vì các góc 0, π, 2π, 3π... đều có sin bằng 0. Đáp án A sai vì thiếu các nghiệm π, 3π, 5π... Đáp án C sai vì x = π/2 + k·π là nghiệm của cos x = 0. Đáp án D sai vì x = π/2 + k·2π là nghiệm của sin x = 1.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: cos x = −1/2 có α = 2π/3, nghiệm là x = ±2π/3 + k·2π. Trong [0; 2π], họ thứ nhất cho x = 2π/3, họ thứ hai cho x = −2π/3 + 2π = 4π/3. Vậy có 2 nghiệm là 2π/3 và 4π/3. Đáp án A sai vì bỏ sót một nghiệm. Đáp án C và D sai vì trong một khoảng dài 2π, phương trình cos x = m chỉ có tối đa 2 nghiệm.
Câu hỏi thường gặp về phương trình lượng giác cơ bản
Hỏi: Vì sao phương trình sin x = m lại có hai họ nghiệm?
Đáp: Vì trên đường tròn lượng giác, đường thẳng ngang y = m cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, ứng với hai góc α và π − α. Hai góc này có cùng sin nhưng cos đối nhau, nên nghiệm phải gồm cả hai họ x = α + k·2π và x = π − α + k·2π.
Hỏi: Khi nào thì phương trình sin x = m vô nghiệm?
Đáp: Khi |m| > 1, tức là m > 1 hoặc m < −1. Vì giá trị của sin luôn nằm trong khoảng [−1; 1], không có góc nào có sin bằng 2 hay bằng −1,5. Tương tự, phương trình cos x = m vô nghiệm khi |m| > 1.
Hỏi: Phương trình tan x = m có khi nào vô nghiệm không?
Đáp: Không. Tan có thể nhận mọi giá trị thực, từ −∞ đến +∞, nên phương trình tan x = m luôn có nghiệm với mọi số thực m. Tương tự, phương trình cot x = m cũng luôn có nghiệm.
Hỏi: Chữ k trong công thức nghiệm là gì?
Đáp: Chữ k là một số nguyên bất kì, chạy qua ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... Mỗi giá trị k cho một nghiệm cụ thể, và tập hợp mọi giá trị k cho toàn bộ nghiệm của phương trình. Khi đề bài yêu cầu tìm nghiệm trong một khoảng, bạn thay k bằng các số nguyên rồi chọn những nghiệm rơi vào khoảng đó.
Hỏi: Học công thức nghiệm để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Mọi phương trình lượng giác phức tạp hơn — phương trình bậc hai theo sin, phương trình chứa sin và cos, phương trình đưa về dạng tích — cuối cùng đều quy về việc giải một hoặc vài phương trình lượng giác cơ bản. Nắm chắc bốn công thức này, bạn sẽ giải được mọi phương trình lượng giác của lớp 11.
Kết luận
Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản chỉ gói gọn trong bốn dòng: sin x = m thì x = α + k·2π hoặc x = π − α + k·2π; cos x = m thì x = ±α + k·2π; tan x = m thì x = α + k·π; cot x = m thì x = α + k·π, với α là một góc thỏa mãn đẳng thức tương ứng. Bạn hãy nhớ điều kiện |m| ≤ 1 đối với sin và cos, nhớ hai họ nghiệm của sin và cos, một họ nghiệm của tan và cot, và thuộc lòng các trường hợp đặc biệt với m = 0, m = 1 và m = −1. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để giải mọi phương trình lượng giác cơ bản trong đề thi.