Bạn có 36 viên kẹo và 6 người bạn. Bạn chia đều mỗi bạn 6 viên, không thừa viên nào, không ai thiệt hơn ai. Đó là phép chia hết. Nhưng nếu bạn có 35 viên kẹo và 6 người bạn thì sao? Mỗi bạn được 5 viên, còn thừa 1 viên — đó là phép chia có dư, không phải phép chia hết. Chỉ một viên kẹo thừa thôi cũng đủ làm cho phép chia đổi tên. Trong tập hợp số nguyên, phép chia hết cũng có một ranh giới rõ ràng như vậy: chia hết hay không chia hết, không có vùng lưng chừng ở giữa.
Trong bài viết này, bạn sẽ học công thức phép chia hết trong tập hợp số nguyên — một công thức ngắn gọn a⋮b khi và chỉ khi a = bq với q là số nguyên, nhưng lại mở ra cả một thế giới về bội và ước, về dấu của thương, về các tính chất chia hết và cách kiểm tra nhanh một số có chia hết cho số khác hay không. Chúng ta sẽ bắt đầu từ định nghĩa, đi qua dấu của thương, làm quen với bội và ước của số nguyên âm, học các tính chất chia hết, rồi đến bốn ví dụ tính từng bước với đủ dạng đề, phần lỗi sai thường gặp, bài tập tự luyện có đáp án giải thích cặn kẽ và mục hỏi đáp cuối bài.
Chia hết là gì? Định nghĩa a⋮b
Trong tập hợp số nguyên, người ta nói số nguyên a chia hết cho số nguyên b (với b khác 0) nếu tồn tại một số nguyên q sao cho a = b·q. Kí hiệu là a⋮b, đọc là "a chia hết cho b". Số q đó chính là thương của phép chia a cho b. Công thức này là trái tim của cả bài:
a⋮b ⇔ a = b·q với q ∈ Z (b ≠ 0)
Bạn hãy đọc công thức này theo cả hai chiều. Chiều thuận: nếu a chia hết cho b thì bạn tìm được một số nguyên q sao cho a = b·q. Chiều ngược: nếu bạn tìm được một số nguyên q sao cho a = b·q thì a chia hết cho b. Hai chiều này cho bạn một cách kiểm tra rất thực tế: muốn biết a có chia hết cho b không, bạn hãy thử tìm q. Nếu tìm được q là số nguyên thì chia hết, nếu không tìm được thì không chia hết.
Ví dụ, (−36):(−6) = 6 vì (−6)·6 = −36. Bạn tìm được q = 6 là số nguyên, nên −36 chia hết cho −6. Ngược lại, (−20):3 không cho kết quả là số nguyên, vì không có số nguyên nào nhân với 3 mà ra −20: 3·(−6) = −18, 3·(−7) = −21, −20 nằm giữa −18 và −21, không "trúng" số nguyên nào. Vì vậy, −20 không chia hết cho 3. Bạn hãy nhớ: phép chia hết trong tập hợp số nguyên yêu cầu thương phải là số nguyên, không phải là phân số hay số thập phân.
Khi a chia hết cho b, người ta còn nói a là bội của b, và b là ước của a. Ví dụ, −36 là bội của −6, và −6 là ước của −36. Hai cách nói này chỉ là hai mặt của một quan hệ: a là bội của b có nghĩa là a = b·q, b là ước của a cũng có nghĩa là a = b·q. Bạn hãy làm quen với cả hai cách nói, vì đề kiểm tra dùng cả hai: có bài hỏi "số nào là bội của −6", có bài hỏi "số nào là ước của −36".
Dấu của thương: cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm
Khi phép chia hết thực hiện được, thương của nó tuân theo đúng quy tắc dấu của phép nhân và phép chia mà bạn đã học trong bài về cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên: cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm. Cụ thể:
| Trường hợp | Thương | Ví dụ |
|---|---|---|
| Hai số cùng dấu dương | Dương | 42:7 = 6 vì 7·6 = 42 |
| Hai số cùng dấu âm | Dương | (−36):(−6) = 6 vì (−6)·6 = −36 |
| Hai số khác dấu | Âm | (−48):8 = −6 vì 8·(−6) = −48; 35:(−7) = −5 vì (−7)·(−5) = 35 |
| Số bị chia bằng 0 | 0 | 0:(−7) = 0 vì (−7)·0 = 0 |
Bạn hãy để ý: dấu của thương chỉ phụ thuộc vào dấu của số bị chia và số chia, không phụ thuộc vào giá trị tuyệt đối của chúng. (−36):(−6) = 6 và 36:6 = 6 có cùng thương, vì cả hai cặp số đều cùng dấu. (−48):8 = −6 và 48:(−8) = −6 cũng có cùng thương, vì cả hai cặp số đều khác dấu. Bạn có thể tính thương bằng cách chia hai giá trị tuyệt đối trước, rồi xác định dấu sau — cách làm hai bước này giống hệt cách làm phép nhân.
Mỗi khi bạn tính xong một phép chia hết, bạn hãy nhân ngược lại thương với số chia để kiểm tra. Ví dụ, bạn tính (−48):8 = −6 thì kiểm tra bằng 8·(−6) = −48, đúng bằng số bị chia, nên đáp án −6 là đúng. Cách kiểm tra này chính là định nghĩa a = b·q được dùng ngược lại: thương q đúng khi và chỉ khi b·q = a. Bạn hãy tập thói quen kiểm tra ngược này, vì nó chỉ tốn vài giây nhưng cứu bạn khỏi rất nhiều lỗi sai dấu.
Có một trường hợp đặc biệt bạn phải nhớ: số 0 chia hết cho mọi số nguyên khác 0, vì 0 = b·0 với mọi b. Ví dụ, 0:(−7) = 0, 0:5 = 0, 0:(−100) = 0. Ngược lại, không có số nào chia hết cho 0, vì không thể viết a = 0·q với a khác 0. Số 0 làm số bị chia thì được, làm số chia thì không — quy tắc này đúng cho cả phép chia hết và phép chia nói chung.
Bội và ước của một số nguyên: tìm tất cả các ước của một số âm
Khi a chia hết cho b, a được gọi là bội của b và b được gọi là ước của a. Bội và ước là hai khái niệm đi đôi với nhau, và bạn cần biết cách liệt kê tất cả các ước của một số nguyên, kể cả số âm.
Bạn hãy lấy ví dụ số −12. Các ước của −12 là những số nguyên mà −12 chia hết cho chúng. Bạn tìm bằng cách liệt kê các ước của 12 trước: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Sau đó, bạn thêm dấu âm vào mỗi ước: −1, −2, −3, −4, −6, −12. Vậy các ước của −12 là ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 — tổng cộng 12 ước. Bạn hãy kiểm tra một vài ước: −12:(−4) = 3 vì (−4)·3 = −12, đúng; −12:6 = −2 vì 6·(−2) = −12, đúng; −12:(−12) = 1 vì (−12)·1 = −12, đúng.
Bạn hãy để ý quy luật: số ước của một số nguyên âm gấp đôi số ước của giá trị tuyệt đối của nó, vì mỗi ước dương đều có một "người bạn" là ước âm đối xứng. Số 12 có 6 ước dương là 1, 2, 3, 4, 6, 12, nên số −12 có 12 ước gồm 6 ước dương và 6 ước âm. Quy luật này giúp bạn kiểm tra xem mình đã liệt kê đủ ước chưa: nếu bạn tìm được 6 ước dương thì phải có đúng 6 ước âm tương ứng.
Còn bội của một số nguyên thì có vô số, vì bạn có thể nhân số đó với bất cứ số nguyên nào. Các bội của −6 là 0, ±6, ±12, ±18, ±24, ±30, ... kéo dài vô tận cả hai phía. Trong các bài tập, đề bài thường giới hạn bội trong một khoảng, ví dụ "tìm các bội của −8 lớn hơn −20 và nhỏ hơn 0": các bội của −8 là 0, −8, −16, −24, ..., trong khoảng (−20, 0) chỉ có −8 và −16. Bạn hãy nhớ: ước thì hữu hạn, bội thì vô hạn, và đề bài luôn giới hạn khoảng khi hỏi về bội.
Các tính chất chia hết bạn cần thuộc lòng
Phép chia hết có năm tính chất quan trọng, và bạn hãy học thuộc cả năm vì chúng xuất hiện trong rất nhiều dạng bài tập: chứng minh chia hết, tìm số chưa biết, rút gọn biểu thức.
| Tính chất | Nội dung | Ví dụ |
|---|---|---|
| Tính chất bắc cầu | Nếu a⋮b và b⋮c thì a⋮c | −36⋮−6 và −6⋮3 nên −36⋮3 |
| Chia hết của tổng và hiệu | Nếu a⋮m và b⋮m thì (a + b)⋮m và (a − b)⋮m | 12⋮3 và −9⋮3 nên (12 + (−9)) = 3⋮3 |
| Chia hết của tích | Nếu a⋮m thì k·a⋮m với mọi số nguyên k | −8⋮4 nên 3·(−8) = −24⋮4 |
| Chia hết cho 1, −1 và chính nó | Mọi số nguyên a đều chia hết cho 1, −1, a và −a | −15⋮1, −15⋮(−1), −15⋮(−15) |
| Chia hết của số 0 | 0⋮m với mọi số nguyên m khác 0 | 0⋮(−7), 0⋮5 |
Bạn hãy kiểm chứng tính chất bắc cầu bằng ví dụ: −36⋮−6 vì (−36) = (−6)·6, và −6⋮3 vì −6 = 3·(−2), nên −36⋮3 vì −36 = 3·(−12). Tính chất này cho bạn một cách chứng minh chia hết gián tiếp: thay vì chia trực tiếp a cho c, bạn chia a cho b rồi chia b cho c, nếu cả hai đều chia hết thì a chia hết cho c.
Tính chất chia hết của tổng và hiệu rất hay được dùng để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số. Ví dụ, muốn chứng minh 12 + (−9) chia hết cho 3, bạn chỉ cần chỉ ra 12⋮3 và −9⋮3, vì 12 = 3·4 và −9 = 3·(−3), nên tổng của chúng cũng chia hết cho 3. Tính chất này cũng đúng với hiệu: 12 − (−9) = 21 chia hết cho 3, vì 12⋮3 và −9⋮3. Bạn hãy nhớ: tổng hoặc hiệu của hai số cùng chia hết cho m thì cũng chia hết cho m.
Tính chất chia hết của tích nói rằng: nếu một thừa số chia hết cho m thì cả tích chia hết cho m. Ví dụ, −8⋮4 nên 3·(−8) = −24⋮4, vì −24 = 4·(−6). Tính chất này giúp bạn rút gọn bài toán: muốn biết một tích có chia hết cho m không, bạn chỉ cần kiểm tra một thừa số của nó. Ngược lại, bạn hãy cẩn thận: một tích chia hết cho m không có nghĩa là từng thừa số đều chia hết cho m. Ví dụ, 6 = 2·3 chia hết cho 6, nhưng 2 không chia hết cho 6 và 3 cũng không chia hết cho 6.
Cách kiểm tra nhanh một số có chia hết cho số khác không
Khi làm bài tập, bạn có ba cách để kiểm tra một số có chia hết cho số khác không. Bạn hãy dùng cách nào nhanh nhất tùy theo từng cặp số.
Cách 1 — Chia trực tiếp và kiểm tra thương có phải số nguyên không: Bạn thực hiện phép chia hai giá trị tuyệt đối, nếu chia hết thì xét dấu, nếu không chia hết thì kết luận không chia hết. Ví dụ, (−48):8: 48:8 = 6, chia hết, hai số khác dấu nên thương là −6, vậy −48⋮8. Còn (−20):3: 20:3 không chia hết, vậy −20 không chia hết cho 3. Cách này dùng được cho mọi cặp số, nhưng hơi chậm với số lớn.
Cách 2 — Dùng dấu hiệu chia hết với giá trị tuyệt đối: Với các số chia quen thuộc, bạn dùng dấu hiệu chia hết của số tự nhiên cho giá trị tuyệt đối. Một số chia hết cho 2 nếu chữ số tận cùng của nó là số chẵn; chia hết cho 5 nếu chữ số tận cùng là 0 hoặc 5; chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3; chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Ví dụ, −126 có giá trị tuyệt đối là 126, tổng các chữ số là 1 + 2 + 6 = 9, chia hết cho 3 và 9, nên −126⋮3 và −126⋮9. Kiểm tra: −126:3 = −42 vì 3·(−42) = −126, đúng; −126:9 = −14 vì 9·(−14) = −126, đúng.
Cách 3 — Dùng các tính chất chia hết để suy luận: Khi số cần kiểm tra là một tổng, hiệu hoặc tích, bạn dùng các tính chất ở mục trên thay vì tính trực tiếp. Ví dụ, muốn biết 37·15 + 37·(−5) có chia hết cho 10 không, bạn đặt thừa số chung: 37·(15 + (−5)) = 37·10 = 370, chia hết cho 10. Cách này nhanh hơn nhiều so với tính từng tích rồi cộng lại. Bạn sẽ thấy cách này được dùng trong phần ví dụ minh họa.
Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Ví dụ 1 (dạng cơ bản — kiểm tra chia hết): Kiểm tra các phép chia sau có phải là phép chia hết không, nếu chia hết thì tìm thương: a) (−36):(−6); b) (−48):8; c) 35:(−7); d) (−20):3.
Lời giải:
a) (−36):(−6): hai số cùng dấu âm, chia giá trị tuyệt đối 36:6 = 6, thương mang dấu dương. Kiểm tra ngược: (−6)·6 = −36, đúng. Vậy −36⋮(−6), thương bằng 6. Đây chính là ví dụ gốc của bài.
b) (−48):8: hai số khác dấu, chia giá trị tuyệt đối 48:8 = 6, thương mang dấu âm. Kiểm tra ngược: 8·(−6) = −48, đúng. Vậy −48⋮8, thương bằng −6.
c) 35:(−7): hai số khác dấu, chia giá trị tuyệt đối 35:7 = 5, thương mang dấu âm. Kiểm tra ngược: (−7)·(−5) = 35, đúng. Vậy 35⋮(−7), thương bằng −5.
d) (−20):3: 20:3 không chia hết, vì 3·6 = 18 và 3·7 = 21, 20 nằm giữa 18 và 21, không có số nguyên q nào thỏa mãn −20 = 3·q. Vậy −20 không chia hết cho 3.
Bạn hãy để ý: ở câu c, thương là −5, một số âm. Nhiều bạn nhầm thành 5 vì nghĩ 35 chia cho 7 bằng 5. Nhưng 35 và −7 khác dấu nên thương phải mang dấu âm. Bạn hãy kiểm tra ngược: (−7)·5 = −35, không bằng 35, nên 5 là đáp án sai.
Ví dụ 2 (dạng tìm tất cả các ước): Tìm tất cả các ước của số −18.
Lời giải: Trước hết, bạn tìm các ước dương của 18 bằng cách liệt kê các số tự nhiên mà 18 chia hết cho chúng: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Bạn kiểm tra: 18:1 = 18, 18:2 = 9, 18:3 = 6, 18:6 = 3, 18:9 = 2, 18:18 = 1, đều là số nguyên. Sau đó, bạn thêm dấu âm vào mỗi ước dương: −1, −2, −3, −6, −9, −18. Vậy các ước của −18 là ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 — tổng cộng 12 ước.
Bạn hãy kiểm tra một vài ước âm: −18:(−3) = 6 vì (−3)·6 = −18, đúng; −18:9 = −2 vì 9·(−2) = −18, đúng; −18:(−18) = 1 vì (−18)·1 = −18, đúng. Bạn hãy nhớ quy luật: số ước của một số nguyên âm gấp đôi số ước của giá trị tuyệt đối của nó. Số 18 có 6 ước dương, nên số −18 có 12 ước gồm 6 ước dương và 6 ước âm.
Ví dụ 3 (dạng tìm số chưa biết): Tìm các số nguyên x thỏa mãn: a) x⋮6 và −30 < x < −10; b) x là ước của −24 và x > 0.
Lời giải:
a) Các bội của 6 là 0, ±6, ±12, ±18, ±24, ±30, ... Trong khoảng (−30, −10), bạn xét các bội âm của 6: −6 lớn hơn −10 nên loại, −12 nằm trong khoảng nên nhận, −18 nằm trong khoảng nên nhận, −24 nằm trong khoảng nên nhận, −30 không lớn hơn −30 nên loại. Vậy x ∈ {−24, −18, −12}. Bạn hãy kiểm tra: −24 = 6·(−4), −18 = 6·(−3), −12 = 6·(−2), đều là bội của 6, đúng.
b) Các ước dương của 24 là 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Vì x là ước của −24 và x > 0 nên x phải là một trong các ước dương này. Vậy x ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Bạn hãy kiểm tra: −24:8 = −3 vì 8·(−3) = −24, đúng; −24:12 = −2 vì 12·(−2) = −24, đúng. Bạn hãy để ý: ước của −24 gồm cả ước dương và ước âm, nhưng đề bài chỉ hỏi x > 0 nên bạn chỉ lấy các ước dương.
Ví dụ 4 (dạng bài toán thực tế): a) Lớp 6A có 45 học sinh. Cô giáo muốn xếp lớp thành các hàng, mỗi hàng 9 bạn. Hỏi xếp được mấy hàng? Nếu xếp mỗi hàng 8 bạn thì có xếp đều được không? b) Một nhóm 8 bạn cùng góp tiền mua quà sinh nhật 320 nghìn đồng, nhưng nhóm đang nợ cửa hàng 320 nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn phải gánh bao nhiêu tiền nợ?
Lời giải:
a) 45:9 = 5, vì 9·5 = 45, nên xếp được 5 hàng, mỗi hàng 9 bạn. Vậy 45⋮9. Còn 45:8 không chia hết, vì 8·5 = 40 và 8·6 = 48, 45 nằm giữa 40 và 48, không có số nguyên q nào thỏa mãn 45 = 8·q. Vậy 45 không chia hết cho 8, không xếp đều mỗi hàng 8 bạn được: xếp 5 hàng 8 bạn thì còn thừa 5 bạn, xếp 6 hàng 8 bạn thì thiếu 3 bạn.
b) Nhóm nợ 320 nghìn đồng, ghi bằng số nguyên âm là −320 nghìn đồng. Chia đều cho 8 bạn, mỗi bạn gánh (−320):8 = −40 nghìn đồng, vì 320:8 = 40, hai số khác dấu nên thương mang dấu âm. Kiểm tra ngược: 8·(−40) = −320, đúng. Đáp số: mỗi bạn gánh 40 nghìn đồng tiền nợ.
Bạn hãy để ý ở câu b, dấu âm của kết quả có ý nghĩa cụ thể: −40 nghìn nghĩa là mỗi bạn nợ 40 nghìn, không phải được nhận 40 nghìn. Khi trình bày đáp án bài toán thực tế, bạn nên diễn giải ý nghĩa của dấu âm như vậy thay vì chỉ ghi con số.
🧮 Tính nhanh bằng máy tính Casio online
Khi làm bài tập với nhiều con số lớn, bạn có thể dùng máy tính Casio online để bấm nhanh và kiểm tra lại kết quả của mình. Bạn hãy tự kiểm tra chia hết bằng tay trước — chia giá trị tuyệt đối, xét dấu, nhân ngược lại để kiểm tra — rồi mới dùng máy tính để đối chiếu. Như vậy bạn vừa rèn kỹ năng tính nhẩm, vừa không lo sai đáp số vì nhầm dấu.
Lỗi sai thường gặp khi làm phép chia hết trong tập hợp số nguyên
Lỗi 1: Quên xét dấu của thương. Nhiều bạn tính 35:(−7) = 5, vì 35 chia cho 7 bằng 5. Nhưng đáp án đúng là −5, vì 35 và −7 khác dấu nên thương mang dấu âm. Bạn hãy kiểm tra ngược: (−7)·5 = −35, không bằng 35, nên 5 là đáp án sai. Mỗi khi làm phép chia, bạn hãy xác định dấu của thương trước khi ghi đáp án.
Lỗi 2: Cho rằng số 0 là ước của một số. Nhiều bạn liệt kê 0 vào danh sách các ước của −12, vì nghĩ 0 chia hết cho mọi số. Nhưng 0 là bội của mọi số, không phải là ước của số nào: không thể chia −12 cho 0, vì phép chia cho 0 không có nghĩa. Bạn hãy nhớ: ước thì không bao giờ bằng 0, bội thì có thể bằng 0.
Lỗi 3: Liệt kê thiếu các ước âm. Nhiều bạn tìm ước của −18 chỉ liệt kê 1, 2, 3, 6, 9, 18 mà quên các ước âm −1, −2, −3, −6, −9, −18. Đáp án đúng phải có 12 ước, không phải 6 ước. Bạn hãy nhớ quy luật: số ước của một số nguyên âm gấp đôi số ước của giá trị tuyệt đối của nó, mỗi ước dương đều có một "người bạn" là ước âm đối xứng.
Lỗi 4: Nhầm lẫn giữa "chia hết" và "chia được". Nhiều bạn cho rằng (−20):3 = −6,66... cũng là một phép chia, nên −20 chia hết cho 3. Nhưng phép chia hết trong tập hợp số nguyên yêu cầu thương phải là số nguyên. (−20):3 cho thương là phân số, không phải số nguyên, nên −20 không chia hết cho 3. Bạn hãy nhớ: chia được trong tập hợp số thực chưa chắc đã chia hết trong tập hợp số nguyên.
Lỗi 5: Áp dụng sai tính chất chia hết của tích. Nhiều bạn cho rằng nếu một tích chia hết cho m thì từng thừa số đều chia hết cho m. Ví dụ, 6 = 2·3 chia hết cho 6, nhưng 2 không chia hết cho 6 và 3 cũng không chia hết cho 6. Tính chất đúng là chiều ngược lại: nếu một thừa số chia hết cho m thì cả tích chia hết cho m. Bạn hãy nhớ chiều của tính chất này, vì đề kiểm tra rất hay đặt bẫy ở đây.
Bài tập tự luyện
Câu 1: Tính (−42):(−7).
A. −6
B. 6
C. −7
D. 7
Câu 2: Số nào sau đây chia hết cho −6?
A. 20
B. −30
C. 25
D. −35
Câu 3: Số nào sau đây là ước của −12?
A. 5
B. −4
C. 7
D. −9
Câu 4: Số nguyên x là bội của −8 và thỏa mãn −20 < x < 0. Hỏi x có thể là số nào sau đây?
A. −16
B. −24
C. −10
D. 8
Câu 5: Tính (−100):25.
A. 4
B. −4
C. 25
D. −25
Đáp án bài tập tự luyện
| Câu | Đáp án | Giải thích |
|---|---|---|
| 1 | B. 6 | (−42):(−7): hai số cùng dấu âm, chia giá trị tuyệt đối 42:7 = 6, thương mang dấu dương. Kiểm tra ngược: (−7)·6 = −42, đúng. Đáp án A sai vì áp dụng nhầm quy tắc dấu, cho rằng thương của hai số âm là số âm; đáp án C sai vì lấy số chia −7 làm đáp án; đáp án D sai vì lấy giá trị tuyệt đối 42:6 = 7, đã nhầm số bị chia với số chia. |
| 2 | B. −30 | −30 = (−6)·5, thương là số nguyên 5, nên −30⋮(−6). Đáp án A sai vì 20:(−6) không cho thương nguyên, 20 nằm giữa (−6)·(−3) = 18 và (−6)·(−4) = 24; đáp án C sai vì 25:(−6) không cho thương nguyên; đáp án D sai vì −35:(−6) không cho thương nguyên, −35 nằm giữa (−6)·5 = −30 và (−6)·6 = −36. |
| 3 | B. −4 | −12 = (−4)·3, thương là số nguyên 3, nên −4 là ước của −12. Đáp án A sai vì −12:5 không cho thương nguyên; đáp án C sai vì −12:7 không cho thương nguyên; đáp án D sai vì −12:(−9) không cho thương nguyên, −12 nằm giữa (−9)·1 = −9 và (−9)·2 = −18. |
| 4 | A. −16 | −16 = (−8)·2, là bội của −8, và −20 < −16 < 0, thỏa mãn cả hai điều kiện. Đáp án B sai vì −24 tuy là bội của −8 nhưng −24 < −20, nằm ngoài khoảng; đáp án C sai vì −10 không phải là bội của −8, −10:(−8) không cho thương nguyên; đáp án D sai vì 8 tuy là bội của −8 nhưng 8 > 0, nằm ngoài khoảng. |
| 5 | B. −4 | (−100):25: hai số khác dấu, chia giá trị tuyệt đối 100:25 = 4, thương mang dấu âm. Kiểm tra ngược: 25·(−4) = −100, đúng. Đáp án A sai vì quên dấu âm; đáp án C sai vì lấy số chia 25 làm đáp án; đáp án D sai vì lấy số chia 25 rồi giữ dấu âm của số bị chia. |
Câu hỏi thường gặp về phép chia hết trong tập hợp số nguyên
Hỏi: Số 0 có chia hết cho mọi số nguyên khác 0 không?
Đáp: Có. 0 = b·0 với mọi số nguyên b khác 0, nên 0⋮b với mọi b ≠ 0. Ví dụ, 0:(−7) = 0, 0:5 = 0. Số 0 là bội của mọi số nguyên, nhưng số 0 không phải là ước của số nào, vì không thể chia cho 0.
Hỏi: Số 0 có phải là ước của số nào không?
Đáp: Không. Ước của một số a là số b sao cho a chia hết cho b, mà phép chia cho 0 không có nghĩa, nên 0 không bao giờ là ước của số nào. Bạn hãy nhớ: ước thì không bao giờ bằng 0, bội thì có thể bằng 0.
Hỏi: Mọi số nguyên có chia hết cho 1 và −1 không?
Đáp: Có. Mọi số nguyên a đều thỏa mãn a = 1·a = (−1)·(−a), nên a⋮1 và a⋮(−1). Ví dụ, −15⋮1 vì −15 = 1·(−15), và −15⋮(−1) vì −15 = (−1)·15. Số 1 và số −1 là ước của mọi số nguyên.
Hỏi: a⋮b thì |a|⋮|b| có đúng không?
Đáp: Đúng. Nếu a = b·q với q là số nguyên thì |a| = |b|·|q|, với |q| cũng là số nguyên, nên |a| chia hết cho |b|. Ví dụ, −36⋮(−6) thì 36⋮6, đúng. Tính chất này cho phép bạn kiểm tra chia hết bằng giá trị tuyệt đối: cứ bỏ dấu đi rồi kiểm tra như số tự nhiên.
Hỏi: Số −36 chia hết cho 6 hay cho −6?
Đáp: Cả hai. −36 = 6·(−6) nên −36⋮6, và −36 = (−6)·6 nên −36⋮(−6). Một số nguyên âm thường chia hết cho cả một số và số đối của nó. Bạn hãy nhớ: nếu a⋮b thì a⋮(−b) cũng đúng, vì chỉ đổi dấu của thương.
Kết luận
Phép chia hết trong tập hợp số nguyên chỉ gói gọn trong một công thức a⋮b khi và chỉ khi a = b·q với q là số nguyên, nhưng lại mở ra cả một thế giới về bội và ước, về dấu của thương và các tính chất chia hết. Bạn hãy nhớ ba ý chính: muốn kiểm tra chia hết thì tìm thương q, nếu q là số nguyên thì chia hết; thương tuân theo quy tắc cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm; và số ước của một số nguyên âm gấp đôi số ước của giá trị tuyệt đối của nó. Nắm chắc ba ý này, bạn sẽ làm được mọi dạng bài về phép chia hết, từ kiểm tra chia hết đến tìm ước và bội.
Muốn thành thạo, bạn hãy làm lại các bài tập cuối bài mà không nhìn đáp án, đặc biệt là câu 2 và câu 4 dạng tìm số thỏa mãn điều kiện, vì đó chính là dạng câu hỏi mà đề kiểm tra hay dùng để kiểm tra xem bạn có thực sự hiểu định nghĩa chia hết hay chỉ học vẹt công thức. Khi làm bài kiểm tra, nếu phép tính có nhiều con số lớn, bạn có thể dùng máy tính Casio online để bấm nhanh và kiểm tra lại kết quả của mình. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong bài kiểm tra Toán sắp tới!