Buổi sáng mùa đông, bạn nhìn ra ngoài cửa sổ và thấy nhiệt kế chỉ −2°C. Đến buổi trưa, trời ấm lên 9°C, nhiệt kế chỉ 7°C. Đến tối, trời lại lạnh đi 12°C, nhiệt kế tụt xuống −5°C. Chỉ trong một ngày, bạn đã cộng, trừ các số âm mà không hề hay biết: −2 + 9 = 7, rồi 7 − 12 = −5. Số nguyên âm không phải là thứ chỉ có trong sách vở. Nó có trong nhiệt độ, trong tầng hầm của tòa nhà (tầng −1, tầng −2), trong số tiền bạn còn nợ bạn bè, trong độ cao so với mực nước biển của vùng đất trũng. Và bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số nguyên chính là công cụ để bạn tính toán mọi tình huống đó một cách chính xác.
Trong bài viết này, bạn sẽ học công thức cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên — đầy đủ bốn phép tính trong một bài, với quy tắc dấu rõ ràng cho từng phép tính. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách nhắc lại hai khái niệm làm nền là số đối và giá trị tuyệt đối, rồi đi qua từng phép tính: cộng hai số nguyên cùng dấu và khác dấu, trừ một số nguyên bằng cách cộng với số đối của nó, nhân hai số nguyên với quy tắc "cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm", và chia hai số nguyên như phép tính ngược của phép nhân. Sau đó là bốn ví dụ tính từng bước với đủ dạng đề, phần lỗi sai thường gặp, bài tập tự luyện có đáp án giải thích cặn kẽ và mục hỏi đáp cuối bài.
Số nguyên âm ở quanh ta: vì sao phải học bốn phép tính này?
Trước khi vào công thức, bạn hãy nhìn lại xem số nguyên xuất hiện ở đâu trong đời sống. Nhiệt độ mùa đông ở Sa Pa có thể xuống −1°C, nghĩa là thấp hơn 0°C đúng 1 độ. Một tòa nhà có 3 tầng hầm được đánh số −1, −2, −3. Bạn vay bạn 50 nghìn đồng thì số tiền của bạn có thể ghi là −50 nghìn đồng, nghĩa là bạn đang "âm" 50 nghìn. Một vùng đất thấp hơn mực nước biển 8 mét thì độ cao của nó là −8 mét. Tất cả những tình huống này đều cần đến số nguyên âm, và muốn tính toán với chúng thì bạn phải biết cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên.
Điều thú vị là bốn phép tính với số nguyên không hề xa lạ. Bạn đã biết cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên từ tiểu học. Khi học số nguyên, bạn chỉ cần thêm một thứ duy nhất: quy tắc dấu. Quy tắc dấu cho bạn biết khi nào kết quả mang dấu cộng, khi nào mang dấu trừ. Nắm được quy tắc dấu, bạn tính số nguyên nhanh như tính số tự nhiên. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm quy tắc dấu của cả bốn phép tính trong một lần học, kèm theo cách giải thích vì sao quy tắc đó đúng, để bạn nhớ lâu chứ không học vẹt.
Một lưu ý nhỏ nhưng rất quan trọng: trong chương trình Toán 6, dấu trừ và dấu âm đều viết bằng dấu "−" giống nhau, nhưng ý nghĩa của chúng khác nhau. Dấu "−" trong phép tính 7 − 12 là dấu của phép trừ, còn dấu "−" trong số −5 là dấu của số âm. Khi bạn viết (−7) + 12, dấu ngoặc giúp phân biệt rõ số âm −7 với phép cộng. Bạn hãy luôn đặt số âm trong ngoặc khi nó đứng sau một dấu phép tính, ví dụ viết (−3)·(−4) thay vì −3·−4, để bài làm của bạn rõ ràng và không bị trừ điểm trình bày.
Nhắc lại nhanh: số đối và giá trị tuyệt đối
Muốn cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên, bạn cần nắm chắc hai khái niệm làm nền: số đối và giá trị tuyệt đối. Hai khái niệm này xuất hiện trong mọi công thức dưới đây, nên bạn hãy dành một phút để ôn lại thật kỹ.
Số đối của một số nguyên a là số nguyên −a, là số nằm đối xứng với a qua điểm 0 trên trục số. Số đối của 5 là −5, số đối của −8 là 8, số đối của 0 là chính 0. Hai số đối nhau cộng lại luôn bằng 0: 5 + (−5) = 0 và (−8) + 8 = 0. Bạn hãy nhớ tính chất này, vì nó là chìa khóa của phép trừ số nguyên mà bạn sẽ học ngay sau đây.
Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a, kí hiệu |a|, là khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số. Vì là khoảng cách nên giá trị tuyệt đối không bao giờ âm: |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0. Bạn có thể hiểu giá trị tuyệt đối là "độ lớn" của một số khi đã bỏ qua dấu. Khi cộng hai số nguyên khác dấu, bạn sẽ lấy giá trị tuyệt đối của số lớn trừ đi giá trị tuyệt đối của số nhỏ — đây là thao tác bạn sẽ dùng rất nhiều trong bài này.
Bạn hãy hình dung trục số như một con đường thẳng, điểm 0 ở giữa, số dương ở bên phải, số âm ở bên trái. Cộng một số dương nghĩa là bước sang phải, cộng một số âm nghĩa là bước sang trái. Ví dụ, (−7) + 12 nghĩa là bạn đứng ở điểm −7 rồi bước sang phải 12 bước, bạn dừng ở điểm 5. Hình ảnh trục số này sẽ giúp bạn hiểu vì sao các công thức dưới đây lại đúng, và giúp bạn kiểm tra nhanh đáp số của mình mỗi khi làm bài.
Công thức cộng hai số nguyên
Phép cộng hai số nguyên có hai trường hợp, tùy thuộc vào dấu của hai số hạng. Bạn hãy học thuộc bảng công thức dưới đây, vì nó là nền tảng của cả chương số nguyên.
| Trường hợp | Công thức | Ví dụ |
|---|---|---|
| Cộng hai số nguyên cùng dấu | (−a) + (−b) = −(a + b); a + b = a + b | (−5) + (−8) = −13 |
| Cộng hai số nguyên khác dấu | (−a) + b = b − a (nếu b > a); a + (−b) = a − b (nếu a > b) | (−7) + 12 = 5; 7 + (−4) = 3 |
| Cộng hai số đối nhau | a + (−a) = 0 | 6 + (−6) = 0 |
| Cộng với số 0 | a + 0 = 0 + a = a | (−9) + 0 = −9 |
Với trường hợp cộng hai số nguyên cùng dấu, quy tắc rất đơn giản: bạn cộng hai giá trị tuyệt đối rồi giữ nguyên dấu chung. Cộng hai số âm thì kết quả là số âm có giá trị tuyệt đối bằng tổng hai giá trị tuyệt đối: (−5) + (−8) = −(5 + 8) = −13. Bạn hãy tưởng tượng bạn nợ 5 nghìn rồi lại nợ thêm 8 nghìn thì tổng số nợ là 13 nghìn, tức là −13 nghìn. Cộng hai số dương thì vẫn là cộng hai số tự nhiên như bạn đã biết: 5 + 8 = 13.
Với trường hợp cộng hai số nguyên khác dấu, bạn làm hai bước: lấy giá trị tuyệt đối của số lớn trừ đi giá trị tuyệt đối của số nhỏ, rồi giữ nguyên dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn. Ví dụ, (−7) + 12: giá trị tuyệt đối của 12 là 12, lớn hơn giá trị tuyệt đối của −7 là 7, nên bạn lấy 12 − 7 = 5 và giữ dấu dương, kết quả là 5. Ngược lại, (−9) + 4: giá trị tuyệt đối của −9 là 9, lớn hơn 4, nên bạn lấy 9 − 4 = 5 và giữ dấu âm, kết quả là −5. Bạn hãy tưởng tượng bạn nợ 9 nghìn nhưng có 4 nghìn trong túi: sau khi trả 4 nghìn, bạn vẫn còn nợ 5 nghìn, tức là −5 nghìn.
Hai trường hợp đặc biệt bạn cần nhớ: cộng hai số đối nhau luôn bằng 0, ví dụ 6 + (−6) = 0, và cộng với 0 thì số nào cũng giữ nguyên, ví dụ (−9) + 0 = −9. Hai tính chất này sẽ được học kỹ hơn trong bài về tính chất phép cộng số nguyên, nhưng bạn hãy nhớ ngay từ bây giờ, vì chúng giúp bạn tính nhanh rất nhiều bài tập: cứ thấy hai số đối nhau trong một tổng là bạn gộp chúng lại thành 0 ngay.
Công thức trừ hai số nguyên: biến phép trừ thành phép cộng
Phép trừ hai số nguyên có một công thức duy nhất, nhưng lại là công thức quan trọng nhất của cả bài này:
a − b = a + (−b)
Muốn trừ số nguyên b cho số nguyên a, ta cộng a với số đối của b. Nói cách khác, phép trừ chính là phép cộng với số đối. Công thức này biến mọi phép trừ thành phép cộng, mà phép cộng thì bạn đã biết cách tính từ mục trên. Đây là lý do vì sao sách giáo khoa dạy phép trừ ngay sau phép cộng: một khi bạn đã thuộc quy tắc cộng thì bạn cũng đã biết trừ.
Bạn hãy xem các ví dụ sau để thấy công thức này hoạt động như thế nào:
8 − 13 = 8 + (−13) = −5, vì 13 lớn hơn 8 nên kết quả mang dấu âm.
(−6) − 9 = (−6) + (−9) = −15, vì cộng hai số âm thì giữ dấu âm.
5 − (−7) = 5 + 7 = 12, vì trừ một số âm chính là cộng với số dương đối của nó.
(−4) − (−9) = (−4) + 9 = 5, vì 9 lớn hơn 4 nên kết quả mang dấu dương.
15 − 23 = 15 + (−23) = −8, vì 23 lớn hơn 15 nên kết quả mang dấu âm.
(−20) − (−20) = (−20) + 20 = 0, vì trừ một số cho chính nó luôn bằng 0.
Bạn hãy chú ý đặc biệt đến trường hợp trừ một số âm: 5 − (−7) = 12. Nhiều bạn mới học thường nhầm thành 5 − 7 = −2, nhưng đáp án đúng là 12. Bạn hãy nghĩ theo nghĩa thực tế: bạn đang có 5 nghìn, bạn được xóa một khoản nợ 7 nghìn, tức là bạn "giàu lên" 7 nghìn, tổng cộng bạn có 12 nghìn. Trừ đi một khoản nợ chính là cộng thêm tiền. Đây là một trong những lỗi sai phổ biến nhất, bạn sẽ gặp lại nó trong phần lỗi sai thường gặp cuối bài.
Một hệ quả đẹp của công thức trừ là: hiệu của hai số nguyên a và b cho bạn biết số nào lớn hơn. Nếu a − b > 0 thì a > b, nếu a − b < 0 thì a < b, nếu a − b = 0 thì a = b. Ví dụ, (−3) − (−8) = (−3) + 8 = 5 > 0 nên −3 > −8, đúng với thứ tự trên trục số. Công thức trừ vì vậy không chỉ dùng để tính toán mà còn dùng để so sánh hai số nguyên.
Công thức nhân hai số nguyên: quy tắc dấu "cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm"
Phép nhân hai số nguyên có quy tắc dấu rất gọn, bạn chỉ cần nhớ một câu: cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm. Cụ thể:
| Trường hợp | Công thức | Ví dụ |
|---|---|---|
| Nhân hai số nguyên dương | a·b = ab | 5·6 = 30 |
| Nhân hai số nguyên âm | (−a)·(−b) = ab | (−3)·(−4) = 12 |
| Nhân hai số nguyên khác dấu | (−a)·b = −(ab); a·(−b) = −(ab) | 5·(−6) = −30; (−7)·8 = −56 |
| Nhân với số 0 | a·0 = 0·a = 0 | (−9)·0 = 0 |
Bạn hãy nhìn vào cách nhân: trước hết bạn nhân hai giá trị tuyệt đối như nhân hai số tự nhiên, sau đó bạn xác định dấu của tích theo quy tắc trên. Ví dụ, (−7)·8: giá trị tuyệt đối là 7·8 = 56, hai số khác dấu nên tích mang dấu âm, kết quả là −56. Còn (−12)·(−5): giá trị tuyệt đối là 12·5 = 60, hai số cùng dấu âm nên tích mang dấu dương, kết quả là 60. Cách làm hai bước này — nhân giá trị tuyệt đối trước, xác định dấu sau — giúp bạn tránh nhầm lẫn khi làm bài.
Vì sao âm nhân âm lại ra dương? Đây là câu hỏi mà rất nhiều bạn thắc mắc, và câu trả lời nằm trong một dãy số rất đẹp. Bạn hãy nhìn dãy tích của −3 với các số giảm dần:
(−3)·4 = −12
(−3)·3 = −9
(−3)·2 = −6
(−3)·1 = −3
(−3)·0 = 0
(−3)·(−1) = 3
(−3)·(−2) = 6
(−3)·(−3) = 9
(−3)·(−4) = 12
Bạn thấy không, mỗi khi thừa số thứ hai giảm đi 1 thì tích tăng lên 3. Từ (−3)·0 = 0, giảm thừa số thứ hai xuống −1 thì tích phải tăng lên 3, thành 3. Giảm tiếp xuống −2 thì tích tăng lên 6. Quy luật này buộc (−3)·(−4) phải bằng 12. Âm nhân âm ra dương không phải là quy định tùy tiện mà là hệ quả tất yếu để phép nhân giữ được tính nhất quán. Bạn hãy nhớ dãy số này, vì nó là cách giải thích thuyết phục nhất mỗi khi có ai hỏi bạn vì sao (−3)·(−4) = 12.
Khi nhân nhiều hơn hai số nguyên, bạn đếm số thừa số âm: nếu số thừa số âm là chẵn thì tích dương, nếu là số lẻ thì tích âm. Ví dụ, (−2)·(−2)·(−2) có ba thừa số âm, số lẻ nên tích âm: (−2)·(−2) = 4, rồi 4·(−2) = −8. Còn 2·(−3)·(−4) có hai thừa số âm, số chẵn nên tích dương: 2·(−3) = −6, rồi (−6)·(−4) = 24. Quy tắc đếm số thừa số âm này rất hữu ích khi bạn làm các bài tính nhanh có nhiều thừa số.
Công thức chia hai số nguyên: phép chia là phép nhân ngược
Phép chia hai số nguyên có quy tắc dấu giống hệt phép nhân: cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm. Cụ thể:
| Trường hợp | Công thức | Ví dụ |
|---|---|---|
| Chia hai số nguyên cùng dấu | (−a):(−b) = a:b; a:b = a:b | (−48):(−8) = 6 |
| Chia hai số nguyên khác dấu | (−a):b = −(a:b); a:(−b) = −(a:b) | (−20):4 = −5; 42:(−7) = −6 |
| Chia số 0 | 0:a = 0 (với a ≠ 0) | 0:(−7) = 0 |
Bạn hãy nhớ: phép chia là phép tính ngược của phép nhân. Nói (−20):4 = −5 nghĩa là (−5)·4 = −20, đúng với quy tắc nhân khác dấu. Nói (−48):(−8) = 6 nghĩa là 6·(−8) = −48, đúng với quy tắc nhân khác dấu. Mỗi khi bạn không chắc đáp án của một phép chia, bạn hãy nhân ngược lại thương với số chia để kiểm tra. Nếu tích bằng số bị chia thì đáp án của bạn đúng. Cách kiểm tra này chỉ tốn vài giây nhưng cứu bạn khỏi rất nhiều lỗi sai.
Có hai điều cấm kị bạn phải nhớ về phép chia. Thứ nhất, không bao giờ chia cho số 0: phép chia (−5):0 không có nghĩa, vì không có số nào nhân với 0 mà ra −5. Thứ hai, phép chia hai số nguyên không phải lúc nào cũng thực hiện được trong tập hợp số nguyên: ví dụ (−20):3 không cho kết quả là số nguyên, vì không có số nguyên nào nhân với 3 mà ra −20. Trường hợp này gọi là phép chia không hết, và bạn sẽ học kỹ hơn trong bài về phép chia hết trong tập hợp số nguyên. Trong bài này, chúng ta chỉ xét các phép chia hết, tức là các phép chia có thương là số nguyên.
Bạn hãy để ý mối liên hệ giữa phép chia và phép nhân: cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm — quy tắc này đúng cho cả hai phép tính. Đây không phải là sự trùng hợp. Vì phép chia là phép nhân ngược nên dấu của thương phải tuân theo đúng dấu của tích. Bạn chỉ cần nhớ một quy tắc dấu duy nhất là dùng được cho cả nhân và chia, rất tiện lợi. Còn phép cộng và phép trừ thì có quy tắc riêng: cộng thì so sánh giá trị tuyệt đối, trừ thì đổi thành cộng với số đối.
Bảng tóm tắt bốn phép tính với hai số nguyên
Sau khi đã học từng phép tính, bạn hãy nhìn lại toàn bộ trong một bảng tóm tắt. Bạn nên chép bảng này vào vở và dán ở góc học tập cho đến khi thuộc lòng.
| Phép tính | Công thức chính | Quy tắc dấu |
|---|---|---|
| Cộng | (−a) + b = b − a; (−a) + (−b) = −(a + b) | So sánh giá trị tuyệt đối, giữ dấu của số lớn hơn |
| Trừ | a − b = a + (−b) | Đổi thành cộng với số đối rồi dùng quy tắc cộng |
| Nhân | (−a)·(−b) = ab; (−a)·b = −(ab) | Cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm |
| Chia (chia hết) | (−a):(−b) = a:b; (−a):b = −(a:b) | Cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm |
Bạn hãy để ý một điểm chung: mọi phép tính với số nguyên đều bắt đầu bằng việc tính toán với giá trị tuyệt đối như số tự nhiên, rồi mới xác định dấu sau. Cộng thì lấy hiệu hai giá trị tuyệt đối, nhân và chia thì lấy tích và thương hai giá trị tuyệt đối. Chỉ có phép trừ là đặc biệt hơn một chút, vì nó phải đổi thành phép cộng trước. Nắm được nguyên tắc chung này, bạn sẽ thấy bốn phép tính không còn là bốn thứ riêng rẽ mà là một hệ thống thống nhất.
Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Ví dụ 1 (dạng cơ bản): Tính: a) (−7) + 12; b) (−3)·(−4); c) (−20):4; d) 15 − 23.
Lời giải:
a) (−7) + 12: hai số khác dấu, giá trị tuyệt đối của 12 lớn hơn giá trị tuyệt đối của 7, lấy 12 − 7 = 5, giữ dấu dương. Kết quả: (−7) + 12 = 5.
b) (−3)·(−4): hai số cùng dấu âm, nhân giá trị tuyệt đối 3·4 = 12, tích mang dấu dương. Kết quả: (−3)·(−4) = 12.
c) (−20):4: hai số khác dấu, chia giá trị tuyệt đối 20:4 = 5, thương mang dấu âm. Kết quả: (−20):4 = −5.
d) 15 − 23 = 15 + (−23): hai số khác dấu, giá trị tuyệt đối của 23 lớn hơn 15, lấy 23 − 15 = 8, giữ dấu âm. Kết quả: 15 − 23 = −8.
Bạn hãy kiểm tra lại câu c bằng phép nhân ngược: (−5)·4 = −20, đúng bằng số bị chia, nên đáp án −5 là đúng.
Ví dụ 2 (dạng tính nhanh biểu thức hỗn hợp): Tính C = 24 − (−16) + (−31) − 9.
Lời giải: Trước hết, bạn đổi mọi phép trừ thành phép cộng với số đối: C = 24 + 16 + (−31) + (−9). Sau đó, bạn cộng hai số dương trước: 24 + 16 = 40. Rồi cộng hai số âm: (−31) + (−9) = −40. Cuối cùng, 40 + (−40) = 0, vì hai số đối nhau cộng lại bằng 0. Kết quả: C = 0.
Bạn hãy để ý cách làm này: thay vì tính lần lượt từ trái sang phải (24 + 16 = 40, 40 − 31 = 9, 9 − 9 = 0), bạn gom các số cùng dấu lại với nhau rồi mới cộng hai nhóm. Cách gom nhóm này chính là ứng dụng của tính chất phép cộng số nguyên, và nó giúp bạn tính nhanh hơn, ít nhầm lẫn hơn khi biểu thức có nhiều số hạng.
Ví dụ 3 (dạng tìm số chưa biết): Tìm số nguyên x, biết: a) x + (−8) = 5; b) x·(−6) = 48; c) (−15):x = 3.
Lời giải:
a) x + (−8) = 5. Muốn tìm số hạng chưa biết, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết: x = 5 − (−8) = 5 + 8 = 13. Thử lại: 13 + (−8) = 5, đúng.
b) x·(−6) = 48. Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết: x = 48:(−6) = −8, vì 48 và −6 khác dấu nên thương mang dấu âm. Thử lại: (−8)·(−6) = 48, đúng.
c) (−15):x = 3. Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương: x = (−15):3 = −5, vì −15 và 3 khác dấu nên thương mang dấu âm. Thử lại: (−15):(−5) = 3, đúng.
Bạn hãy nhớ: ở câu a, nhiều bạn nhầm thành x = 5 − 8 = −3, nhưng đó là sai, vì số hạng đã biết là −8 chứ không phải 8. Muốn tìm x, bạn phải trừ đi số đối của −8, tức là cộng thêm 8. Quy tắc "trừ một số âm bằng cộng số dương đối của nó" xuất hiện ở đây một lần nữa.
Ví dụ 4 (dạng bài toán thực tế): Buổi sáng, nhiệt độ ở Sa Pa là −3°C. Đến buổi trưa, nhiệt độ tăng lên 11°C. Đến buổi tối, nhiệt độ giảm đi 13°C. Hỏi nhiệt độ buổi trưa và buổi tối ở Sa Pa là bao nhiêu? Ngoài ra, bạn An nợ 4 người bạn, mỗi người 25 nghìn đồng. Sau đó An trả được 60 nghìn đồng. Hỏi An còn nợ bao nhiêu tiền?
Lời giải: Nhiệt độ buổi trưa là −3 + 11 = 8°C, vì 11 lớn hơn 3 nên kết quả mang dấu dương, lấy 11 − 3 = 8. Nhiệt độ buổi tối là 8 − 13 = 8 + (−13) = −5°C, vì 13 lớn hơn 8 nên kết quả mang dấu âm, lấy 13 − 8 = 5. Đáp số: buổi trưa 8°C, buổi tối −5°C.
Số tiền An nợ 4 người bạn là 4·(−25) = −100 nghìn đồng, vì mỗi người 25 nghìn mà An nợ 4 người, tổng số nợ là 100 nghìn, ghi bằng số nguyên âm là −100 nghìn. Sau khi trả 60 nghìn, số tiền An còn nợ là (−100) + 60 = −40 nghìn đồng, vì 100 lớn hơn 60 nên kết quả mang dấu âm, lấy 100 − 60 = 40. Đáp số: An còn nợ 40 nghìn đồng.
Bạn hãy để ý: trong bài toán thực tế, dấu âm của kết quả có ý nghĩa cụ thể — nhiệt độ −5°C nghĩa là lạnh hơn 0°C đúng 5 độ, số tiền −40 nghìn nghĩa là còn nợ 40 nghìn. Khi trình bày đáp án bài toán thực tế, bạn nên diễn giải ý nghĩa của dấu âm như vậy thay vì chỉ ghi con số.
🧮 Tính nhanh bằng máy tính Casio online
Khi làm bài tập với nhiều con số lớn, bạn có thể dùng máy tính Casio online để bấm nhanh và kiểm tra lại kết quả của mình. Bạn hãy tự tính bằng tay trước, rồi mới dùng máy tính để đối chiếu — như vậy bạn vừa rèn kỹ năng tính nhẩm, vừa không lo sai đáp số vì nhầm dấu.
Lỗi sai thường gặp khi cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên
Lỗi 1: Trừ một số âm lại trừ đi giá trị tuyệt đối của nó. Nhiều bạn tính 5 − (−7) = 5 − 7 = −2, nhưng đáp án đúng là 5 − (−7) = 5 + 7 = 12. Bạn hãy nhớ: trừ một số âm chính là cộng với số dương đối của nó, giống như xóa một khoản nợ thì bạn giàu lên. Mỗi khi thấy dấu trừ đứng trước một số âm, bạn hãy đổi ngay thành dấu cộng với số dương.
Lỗi 2: Cộng hai số khác dấu lại cộng hai giá trị tuyệt đối. Nhiều bạn tính (−7) + 12 = 19, vì cộng 7 + 12. Nhưng đáp án đúng là 5, vì hai số khác dấu thì lấy hiệu hai giá trị tuyệt đối: 12 − 7 = 5. Bạn hãy nhớ: cộng khác dấu thì trừ, cộng cùng dấu thì cộng. Bạn có thể kiểm tra nhanh bằng trục số: đứng ở −7, bước sang phải 12 bước thì dừng ở 5, không thể nào ra 19 được.
Lỗi 3: Nhân, chia hai số âm lại cho kết quả âm. Nhiều bạn tính (−3)·(−4) = −12 hoặc (−48):(−8) = −6, vì thấy hai số đều âm nên nghĩ kết quả cũng âm. Nhưng quy tắc là cùng dấu thì dương: (−3)·(−4) = 12 và (−48):(−8) = 6. Bạn hãy nhớ câu thần chú "cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm" và nhẩm lại trước khi ghi đáp án.
Lỗi 4: Quên dấu ngoặc khi viết số âm. Nhiều bạn viết −3·−4 thay vì (−3)·(−4), hoặc viết 5 − −7 thay vì 5 − (−7). Cách viết thiếu ngoặc này vừa khó đọc, vừa dễ gây nhầm lẫn khi làm bài. Bạn hãy luôn đặt số âm trong ngoặc khi nó đứng sau một dấu phép tính.
Lỗi 5: Chia cho số 0 hoặc cho rằng mọi phép chia đều thực hiện được. Phép chia (−5):0 không có nghĩa, và phép chia (−20):3 không cho kết quả là số nguyên. Khi gặp một phép chia, bạn hãy kiểm tra xem số chia có khác 0 không và số bị chia có chia hết cho số chia không, rồi mới tính thương.
Bài tập tự luyện
Câu 1: Tính (−9) + 14.
A. −23
B. 5
C. −5
D. 23
Câu 2: Tính 12 − 27.
A. 15
B. −15
C. −39
D. 39
Câu 3: Tính (−6)·(−7).
A. −42
B. 42
C. −13
D. 13
Câu 4: Tính (−56):8.
A. 7
B. −7
C. 48
D. −48
Câu 5: Tìm số nguyên x, biết x·(−9) = −63.
A. −7
B. 7
C. 54
D. −54
Đáp án bài tập tự luyện
| Câu | Đáp án | Giải thích |
|---|---|---|
| 1 | B. 5 | (−9) + 14: hai số khác dấu, giá trị tuyệt đối của 14 lớn hơn 9, lấy 14 − 9 = 5, giữ dấu dương. Đáp án A sai vì cộng hai giá trị tuyệt đối 9 + 14 = 23 rồi giữ dấu âm; đáp án C sai vì giữ dấu của số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn; đáp án D sai vì cộng hai giá trị tuyệt đối mà quên dấu. |
| 2 | B. −15 | 12 − 27 = 12 + (−27): hai số khác dấu, giá trị tuyệt đối của 27 lớn hơn 12, lấy 27 − 12 = 15, giữ dấu âm. Đáp án A sai vì lấy 27 − 12 = 15 nhưng quên dấu âm; đáp án C sai vì cộng hai giá trị tuyệt đối 12 + 27 = 39 rồi giữ dấu âm; đáp án D sai vì cộng hai giá trị tuyệt đối mà quên dấu. |
| 3 | B. 42 | (−6)·(−7): hai số cùng dấu âm, nhân giá trị tuyệt đối 6·7 = 42, tích mang dấu dương. Đáp án A sai vì áp dụng nhầm quy tắc "khác dấu thì âm" cho hai số cùng dấu; đáp án C sai vì cộng hai giá trị tuyệt đối thay vì nhân; đáp án D sai vì cũng cộng hai giá trị tuyệt đối nhưng quên dấu. |
| 4 | B. −7 | (−56):8: hai số khác dấu, chia giá trị tuyệt đối 56:8 = 7, thương mang dấu âm. Kiểm tra ngược: (−7)·8 = −56, đúng. Đáp án A sai vì quên dấu âm; đáp án C sai vì tính 56 − 8 = 48 thay vì chia; đáp án D sai vì cũng tính 56 − 8 nhưng giữ dấu âm. |
| 5 | B. 7 | x·(−9) = −63 thì x = (−63):(−9) = 7, vì hai số cùng dấu âm nên thương mang dấu dương, 63:9 = 7. Thử lại: 7·(−9) = −63, đúng. Đáp án A sai vì áp dụng nhầm quy tắc dấu, cho rằng thương của hai số âm là số âm; đáp án C sai vì tính 63 − 9 = 54 thay vì chia; đáp án D sai vì cũng tính 63 − 9 nhưng giữ dấu âm. |
Câu hỏi thường gặp về cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên
Hỏi: Vì sao âm nhân âm lại ra dương?
Đáp: Vì phép nhân phải giữ tính nhất quán khi thừa số giảm dần. Bạn hãy nhìn dãy (−3)·4 = −12, (−3)·3 = −9, (−3)·2 = −6, (−3)·1 = −3, (−3)·0 = 0: mỗi khi thừa số thứ hai giảm 1 thì tích tăng 3. Tiếp tục giảm xuống −1 thì tích phải là 3, giảm xuống −4 thì tích là 12. Âm nhân âm ra dương là hệ quả tất yếu của quy luật này, không phải quy định tùy tiện.
Hỏi: Số 0 chia cho một số nguyên âm được không?
Đáp: Được. 0:(−5) = 0, vì 0·(−5) = 0. Điều cấm kị là chia cho số 0: phép chia (−5):0 không có nghĩa, vì không có số nào nhân với 0 mà ra −5. Bạn hãy nhớ: số 0 làm số bị chia thì được, làm số chia thì không.
Hỏi: Trừ một số âm có khác gì cộng một số dương không?
Đáp: Không khác gì. a − (−b) = a + b, hai phép tính cho cùng một kết quả. Ví dụ, 5 − (−7) = 5 + 7 = 12. Vì vậy, khi gặp phép trừ một số âm, bạn cứ đổi thành phép cộng với số dương đối của nó rồi tính như bình thường.
Hỏi: Làm sao để nhớ quy tắc dấu của phép nhân và phép chia?
Đáp: Bạn chỉ cần nhớ một câu: "cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm". Hai số cùng dương hoặc cùng âm thì tích và thương đều dương; một số dương một số âm thì tích và thương đều âm. Quy tắc này dùng chung cho cả phép nhân và phép chia, vì phép chia là phép tính ngược của phép nhân.
Hỏi: (−a) + b và b + (−a) có bằng nhau không?
Đáp: Có, vì phép cộng các số nguyên có tính chất giao hoán: đổi chỗ hai số hạng thì tổng không thay đổi. Ví dụ, (−7) + 12 = 5 và 12 + (−7) = 5. Tính chất này sẽ được học kỹ hơn trong bài về tính chất phép cộng số nguyên, nhưng bạn có thể dùng ngay từ bây giờ để tính nhanh: cứ thấy số nào tiện thì cộng trước.
Kết luận
Bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên chỉ gói gọn trong vài quy tắc dấu, nhưng lại là nền tảng của cả chương số nguyên lớp 6. Bạn hãy nhớ ba ý chính: cộng hai số khác dấu thì lấy hiệu hai giá trị tuyệt đối và giữ dấu của số lớn hơn; trừ một số nguyên chính là cộng với số đối của nó; nhân và chia thì cùng dấu ra dương, khác dấu ra âm. Nắm chắc ba ý này, bạn sẽ tính đúng mọi phép tính với số nguyên, từ bài tập trong sách giáo khoa đến bài toán thực tế về nhiệt độ, tiền bạc hay độ cao.
Muốn thành thạo, bạn hãy làm lại các bài tập cuối bài mà không nhìn đáp án, đặc biệt là câu 2 và câu 5 dạng tìm số chưa biết, vì đó chính là dạng câu hỏi mà đề kiểm tra hay dùng để kiểm tra xem bạn có thực sự hiểu quy tắc dấu hay chỉ học vẹt. Khi làm bài kiểm tra, nếu phép tính có nhiều con số lớn, bạn có thể dùng máy tính Casio online để bấm nhanh và kiểm tra lại kết quả của mình. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong bài kiểm tra Toán sắp tới!