Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số lớp 12

Bạn đã bao giờ nhìn một con đường thẳng tắp chạy về phía chân trời chưa? Càng đi xa, con đường càng hẹp lại và dường như sắp chạm vào đường chân trời, nhưng dù bạn có đi mãi thì hai đường ấy cũng không bao giờ gặp nhau. Trong toán học, những đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến tới gần mãi nhưng không bao giờ chạm tới — hoặc chỉ chạm tới ở vô cực — gọi là tiệm cận. Hiểu được tiệm cận là bạn đã nắm được dáng điệu của đồ thị ở xa, và đó là bước không thể thiếu khi vẽ đồ thị hàm số.

Bài này sẽ giúp bạn làm chủ phương pháp tìm tiệm cận của hàm số một cách có hệ thống: từ định nghĩa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang bằng ngôn ngữ giới hạn, công thức tính nhanh cho hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, cho tới cách nhận biết tiệm cận xiên, cùng 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ hai câu hỏi — mẫu số bằng 0 ở đâu, và khi x ra vô cực thì y tiến tới đâu — bạn sẽ tìm được mọi đường tiệm cận mà không cần vẽ đồ thị.

Phương pháp tìm tiệm cận: hai đường thẳng mà đồ thị tiến tới mãi

Trước hết, bạn cần nhớ đúng định nghĩa bằng ngôn ngữ giới hạn. Đường thẳng x = x₀ gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong bốn giới hạn sau bằng vô cực: giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ từ bên trái bằng cộng vô cực hoặc trừ vô cực, hoặc giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ từ bên phải bằng cộng vô cực hoặc trừ vô cực. Nói bằng lời đời thường: khi x tiến sát tới x₀, giá trị của hàm số phình to ra vô hạn theo chiều lên hoặc chiều xuống, và đồ thị bám sát đường thẳng đứng x = x₀ mà không bao giờ cắt nó tại điểm đó. Đường thẳng y = y₀ gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới cộng vô cực bằng y₀ hoặc giới hạn của f(x) khi x tiến tới trừ vô cực bằng y₀. Nói bằng lời đời thường: khi x đi xa mãi về phía phải hoặc phía trái, đồ thị tiến sát dần tới đường thẳng ngang y = y₀.

Với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = (ax + b) / (cx + d), bạn có công thức tính nhanh mà không cần tính giới hạn từng lần. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = −d/c, tức là nghiệm của mẫu số. Tiệm cận ngang là đường thẳng y = a/c, tức là tỉ số của hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. Bạn hãy nhớ công thức này bằng cách hiểu ý nghĩa của nó: mẫu số bằng 0 thì hàm số phình ra vô cực nên có tiệm cận đứng; khi x rất lớn, các số hạng bậc thấp không còn đáng kể nên tỉ số chỉ còn a/c, đó chính là tiệm cận ngang. Với hàm phân thức tổng quát hơn, bạn vẫn áp dụng cùng một nguyên tắc: tiệm cận đứng nằm tại các điểm làm mẫu số bằng 0 mà tử số khác 0, tiệm cận ngang được xác định bằng giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cực.

Ngoài hai loại tiệm cận trên, bạn còn cần biết tới tiệm cận xiên. Khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng một đơn vị, đồ thị hàm số có một đường tiệm cận xiên dạng y = mx + n. Cách tìm tiệm cận xiên là chia đa thức tử cho đa thức mẫu: phần thương chính là phương trình của đường tiệm cận xiên, phần dư chia cho mẫu số sẽ tiến tới 0 khi x ra vô cực. Ví dụ hàm số y = (x² + 1) / x có thể viết thành y = x + 1/x, khi x ra vô cực thì 1/x tiến tới 0 nên đồ thị tiến sát đường thẳng y = x — đó chính là tiệm cận xiên của nó. Bạn hãy để ý: một hàm số chỉ có thể có tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên, không thể có cả hai cùng lúc, vì khi x ra vô cực, đồ thị chỉ có thể tiến tới một đường thẳng duy nhất.

Một điểm bạn cần lưu ý là tiệm cận đứng chỉ xuất hiện tại các điểm mà hàm số không xác định và giới hạn tại đó bằng vô cực. Nếu một điểm làm cả tử và mẫu cùng bằng 0, bạn phải rút gọn phân thức trước rồi mới kết luận. Ví dụ hàm số y = (x − 1) / (x − 1)² có thể rút gọn thành y = 1 / (x − 1) với x khác 1, nên đồ thị vẫn có tiệm cận đứng x = 1. Ngược lại, hàm số y = (x² − 1) / (x − 1) rút gọn thành y = x + 1 với x khác 1, nên đồ thị là đường thẳng y = x + 1 bỏ đi một điểm, và không có tiệm cận đứng nào cả. Khi cần kiểm tra nhanh một giới hạn hay một phép chia đa thức, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhưng việc xác định tiệm cận thì bạn vẫn phải tự suy luận bằng giới hạn.

Các đường tiệm cận còn cho bạn một cách kiểm tra nhanh dáng điệu của đồ thị trước khi vẽ. Khi đã biết tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, bạn biết đồ thị bị chia thành các nhánh bởi đường tiệm cận đứng, và mỗi nhánh đều tiến sát tới đường tiệm cận ngang ở xa. Kết hợp với các giao điểm với hai trục tọa độ và bảng biến thiên, bạn có thể phác họa chính xác đồ thị mà không cần tính nhiều điểm. Đây chính là lí do vì sao bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức trong đề thi luôn yêu cầu bạn tìm tiệm cận trước tiên.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = (2x + 1) / (x − 1).
Tập xác định của hàm số là tất cả các số thực khác 1. Tìm tiệm cận đứng: mẫu số bằng 0 khi x = 1, tử số tại x = 1 bằng 3, khác 0. Tính giới hạn: khi x tiến tới 1 từ bên trái, mẫu số tiến tới 0 trừ và tử số tiến tới 3 nên y tiến tới trừ vô cực; khi x tiến tới 1 từ bên phải, mẫu số tiến tới 0 cộng nên y tiến tới cộng vô cực. Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị. Tìm tiệm cận ngang: khi x tiến tới cộng vô cực hoặc trừ vô cực, y = (2x + 1) / (x − 1) tiến tới 2, vì tỉ số của hai hệ số bậc cao nhất là 2/1 = 2. Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị. Bạn hãy đối chiếu với đồ thị ở đầu bài: hai đường đứt nét màu đỏ x = 1 và y = 2 chia mặt phẳng thành bốn vùng, đồ thị có hai nhánh nằm trong hai vùng đối nhau, mỗi nhánh đều tiến sát tới cả hai đường tiệm cận. Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (−1/2; 0) và cắt trục Oy tại điểm (0; −1). Đây cũng chính là ví dụ mẫu trong danh sách công thức của bài này.

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = (x + 3) / (2x − 1).
Tập xác định của hàm số là tất cả các số thực khác 1/2. Tìm tiệm cận đứng: mẫu số bằng 0 khi x = 1/2, tử số tại x = 1/2 bằng 7/2, khác 0. Khi x tiến tới 1/2, mẫu số tiến tới 0 nên giá trị của hàm số phình ra vô cực. Vậy đường thẳng x = 1/2 là tiệm cận đứng của đồ thị. Tìm tiệm cận ngang: khi x tiến tới vô cực, y tiến tới tỉ số của hai hệ số bậc cao nhất là 1/2. Vậy đường thẳng y = 1/2 là tiệm cận ngang của đồ thị. Bạn hãy kiểm tra lại bằng công thức tính nhanh: với y = (ax + b) / (cx + d), tiệm cận đứng là x = −d/c = 1/2, tiệm cận ngang là y = a/c = 1/2 — khớp hoàn toàn với kết quả vừa tính bằng giới hạn.

Ví dụ 3: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = (3x − 1) / (x + 2).
Tập xác định của hàm số là tất cả các số thực khác −2. Tìm tiệm cận đứng: mẫu số bằng 0 khi x = −2, tử số tại x = −2 bằng −7, khác 0. Khi x tiến tới −2, mẫu số tiến tới 0 nên giá trị của hàm số phình ra vô cực. Vậy đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị. Tìm tiệm cận ngang: khi x tiến tới vô cực, y tiến tới tỉ số của hai hệ số bậc cao nhất là 3/1 = 3. Vậy đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị. Bạn hãy để ý dấu của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang trong bài này: tiệm cận đứng x = −2 nằm bên trái trục tung, tiệm cận ngang y = 3 nằm phía trên trục hoành. Đồ thị có hai nhánh: nhánh bên trái tiệm cận đứng tiến tới y = 3 từ phía dưới, nhánh bên phải tiến tới y = 3 từ phía trên.

Ví dụ 4: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = 1 / (x − 3) + 2.
Tập xác định của hàm số là tất cả các số thực khác 3. Tìm tiệm cận đứng: khi x tiến tới 3, mẫu số x − 3 tiến tới 0 nên 1 / (x − 3) phình ra vô cực, do đó y cũng phình ra vô cực. Vậy đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị. Tìm tiệm cận ngang: khi x tiến tới vô cực, 1 / (x − 3) tiến tới 0 nên y tiến tới 2. Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị. Bạn hãy để ý dạng viết của hàm số này: y = 1 / (x − 3) + 2 chính là đồ thị của hàm số y = 1/x được tịnh tiến sang phải 3 đơn vị và lên trên 2 đơn vị, nên hai đường tiệm cận cũng tịnh tiến theo đúng như vậy — từ x = 0 thành x = 3 và từ y = 0 thành y = 2. Nếu muốn ôn lại cách biện luận số nghiệm bằng đồ thị — nơi tiệm cận giúp bạn xác định dáng điệu ở xa — bạn hãy xem bài phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Nhầm lẫn giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Nhiều bạn viết tiệm cận đứng là y = 1 và tiệm cận ngang là x = 2 cho hàm số y = (2x + 1) / (x − 1). Cách tránh: bạn hãy nhớ tiệm cận đứng là đường thẳng đứng nên có dạng x = hằng số, tiệm cận ngang là đường thẳng ngang nên có dạng y = hằng số. Với hàm số này, tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2.

Lỗi 2: Kết luận tiệm cận đứng tại điểm làm cả tử và mẫu cùng bằng 0 mà không rút gọn.
Nhiều bạn thấy mẫu số bằng 0 tại x = 1 là kết luận ngay x = 1 là tiệm cận đứng, dù tử số cũng bằng 0 tại đó. Cách tránh: bạn hãy rút gọn phân thức trước khi kết luận. Với hàm số y = (x² − 1) / (x − 1), rút gọn được y = x + 1 với x khác 1, nên đồ thị không có tiệm cận đứng mà chỉ thiếu một điểm.

Lỗi 3: Tính sai tiệm cận ngang của hàm phân thức.
Nhiều bạn lấy tiệm cận ngang là tỉ số của hệ số tự do, chẳng hạn viết y = 1/2 cho hàm số y = (2x + 1) / (x − 1). Cách tránh: bạn hãy nhớ tiệm cận ngang là tỉ số của hai hệ số bậc cao nhất, tức là hệ số của x ở tử chia cho hệ số của x ở mẫu. Với hàm số này, tiệm cận ngang là y = 2/1 = 2.

Lỗi 4: Cho rằng đồ thị không bao giờ cắt đường tiệm cận ngang.
Nhiều bạn nghĩ đồ thị không thể cắt tiệm cận ngang vì nó chỉ tiến tới gần. Cách tránh: bạn hãy nhớ đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang tại những điểm có x hữu hạn, nó chỉ không được vượt quá tiệm cận ngang khi x ra vô cực. Ví dụ đồ thị hàm số y = (2x + 1) / (x − 1) cắt đường y = 2 tại điểm mà (2x + 1) / (x − 1) = 2, tức là x = −3 — hoàn toàn bình thường.

Lỗi 5: Quên xét cả hai phía khi tìm tiệm cận đứng.
Nhiều bạn chỉ tính giới hạn một phía rồi kết luận tiệm cận đứng, hoặc chỉ xét x tiến tới cộng vô cực khi tìm tiệm cận ngang. Cách tránh: bạn hãy nhớ định nghĩa yêu cầu ít nhất một trong các giới hạn một phía bằng vô cực đối với tiệm cận đứng, và xét cả hai phía vô cực đối với tiệm cận ngang. Với hàm số y = 1/x, cả hai giới hạn khi x tiến tới 0 đều bằng vô cực nên x = 0 là tiệm cận đứng; cả hai giới hạn khi x ra vô cực đều bằng 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tìm nghiệm của mẫu số trước, rồi mới tính giới hạn khi x ra vô cực.

Câu 1: Đồ thị hàm số y = (2x + 1) / (x − 1) có tiệm cận đứng là đường thẳng nào sau đây?
A. x = −1
B. x = 1
C. y = 2
D. y = −2

Câu 2: Đồ thị hàm số y = (2x + 1) / (x − 1) có tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?
A. y = 1
B. y = 2
C. x = 1
D. y = −1

Câu 3: Đồ thị hàm số y = (x + 3) / (2x − 1) có tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?
A. y = 2
B. x = 1/2
C. y = 1/2
D. y = 3

Câu 4: Đồ thị hàm số y = (3x − 1) / (x + 2) có tiệm cận đứng là đường thẳng nào sau đây?
A. y = 3
B. x = 2
C. x = −2
D. y = −1

Câu 5: Đồ thị hàm số y = 1 / (x − 3) + 2 có tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?
A. y = 2
B. x = 3
C. y = 3
D. y = 1

Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Mẫu số bằng 0 khi x = 1, tử số tại x = 1 bằng 3, khác 0. Khi x tiến tới 1, giá trị của hàm số phình ra vô cực nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng. Đáp án A sai vì x = −1 không làm mẫu số bằng 0. Đáp án C sai vì y = 2 là tiệm cận ngang, không phải tiệm cận đứng. Đáp án D sai vì y = −2 không phải là đường tiệm cận nào của đồ thị này.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Khi x tiến tới vô cực, y = (2x + 1) / (x − 1) tiến tới tỉ số của hai hệ số bậc cao nhất là 2/1 = 2, nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang. Đáp án A sai vì 1 là hệ số tự do của tử số, không phải tiệm cận ngang. Đáp án C sai vì x = 1 là tiệm cận đứng. Đáp án D sai vì không có giới hạn nào bằng −1.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: Khi x tiến tới vô cực, y = (x + 3) / (2x − 1) tiến tới tỉ số của hai hệ số bậc cao nhất là 1/2, nên đường thẳng y = 1/2 là tiệm cận ngang. Đáp án A sai vì 2 là hệ số của x ở mẫu số. Đáp án B sai vì x = 1/2 là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang. Đáp án D sai vì 3 là hệ số tự do của tử số.

Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: Mẫu số bằng 0 khi x = −2, tử số tại x = −2 bằng −7, khác 0. Khi x tiến tới −2, giá trị của hàm số phình ra vô cực nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng. Đáp án A sai vì y = 3 là tiệm cận ngang. Đáp án B sai vì x = 2 không làm mẫu số bằng 0. Đáp án D sai vì y = −1 không phải là đường tiệm cận nào của đồ thị này.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Khi x tiến tới vô cực, 1 / (x − 3) tiến tới 0 nên y = 1 / (x − 3) + 2 tiến tới 2, vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang. Đáp án B sai vì x = 3 là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang. Đáp án C sai vì 3 là giá trị làm mẫu số bằng 0. Đáp án D sai vì không có giới hạn nào bằng 1.

Câu hỏi thường gặp về tiệm cận của hàm số

Hỏi: Một đồ thị có thể có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Đáp: Có thể có nhiều đường tiệm cận đứng, tùy thuộc vào số nghiệm của mẫu số. Ví dụ hàm số y = 1 / ((x − 1)(x − 2)) có hai đường tiệm cận đứng là x = 1 và x = 2. Mỗi nghiệm của mẫu số mà tử số khác 0 tại đó đều cho một đường tiệm cận đứng. Vì vậy, bạn phải giải phương trình mẫu số bằng 0 và kiểm tra từng nghiệm.

Hỏi: Đồ thị có thể cắt đường tiệm cận ngang không?
Đáp: Có thể, tại những điểm có x hữu hạn. Tiệm cận ngang chỉ mô tả dáng điệu của đồ thị khi x ra vô cực, nó không cấm đồ thị cắt đường thẳng đó ở những vị trí khác. Ví dụ đồ thị hàm số y = (2x + 1) / (x − 1) cắt đường y = 2 tại điểm x = −3. Bạn đừng nhầm lẫn tiệm cận ngang với một đường biên mà đồ thị không bao giờ được vượt qua.

Hỏi: Hàm số nào không có tiệm cận ngang?
Đáp: Những hàm số mà giới hạn khi x ra vô cực bằng vô cực thì không có tiệm cận ngang, chẳng hạn hàm đa thức y = x³ hay hàm số y = (x² + 1) / x. Với hàm phân thức mà bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu, đồ thị sẽ có tiệm cận xiên thay vì tiệm cận ngang.

Hỏi: Tiệm cận xiên tìm như thế nào?
Đáp: Bạn chia đa thức tử cho đa thức mẫu, phần thương chính là phương trình của đường tiệm cận xiên. Ví dụ hàm số y = (x² + 1) / x viết thành y = x + 1/x, khi x ra vô cực thì 1/x tiến tới 0 nên đường thẳng y = x là tiệm cận xiên. Bạn chỉ cần nhớ: tiệm cận xiên xuất hiện khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu đúng một đơn vị.

Hỏi: Học tiệm cận để làm gì trong bài khảo sát đồ thị?
Đáp: Tiệm cận cho bạn biết dáng điệu của đồ thị ở xa và chia mặt phẳng thành các vùng mà mỗi nhánh đồ thị nằm trong đó. Khi đã biết tiệm cận, giao điểm với hai trục tọa độ và bảng biến thiên, bạn có thể vẽ chính xác đồ thị hàm phân thức. Đây là bước bắt buộc trong mọi bài khảo sát hàm phân thức của đề thi tốt nghiệp. Nếu muốn ôn lại cách dùng đồ thị để đếm nghiệm, bạn hãy xem bài phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị.

Kết luận

Phương pháp tìm tiệm cận chỉ gói gọn trong hai câu hỏi: mẫu số bằng 0 ở đâu thì có tiệm cận đứng ở đó, và khi x ra vô cực thì y tiến tới đâu thì có tiệm cận ngang ở đó. Với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = (ax + b) / (cx + d), bạn nhớ công thức tính nhanh: tiệm cận đứng x = −d/c, tiệm cận ngang y = a/c. Bạn hãy nhớ rút gọn phân thức trước khi kết luận, phân biệt rõ tiệm cận đứng với tiệm cận ngang, và đừng quên rằng đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang tại những điểm có x hữu hạn. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tìm mọi đường tiệm cận của hàm số trong chương trình lớp 12.