Bạn có một phương trình x³ − 3x = m, trong đó m là một số chưa biết. Với m = 0, phương trình có mấy nghiệm? Với m = 2 thì sao? Với m = 5 thì sao? Thay vì giải phương trình bằng đại số cho từng giá trị của m — một việc vừa dài vừa dễ sai — bạn có thể trả lời tất cả những câu hỏi ấy chỉ bằng một hình vẽ duy nhất. Đó chính là sức mạnh của phương pháp biện luận số nghiệm dựa vào đồ thị: một lần vẽ đồ thị, đếm được số nghiệm cho mọi giá trị của tham số.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ phương pháp biện luận số nghiệm một cách có hệ thống: từ nguyên tắc cơ bản — số nghiệm của phương trình f(x) = m bằng số giao điểm của đồ thị y = f(x) với đường thẳng y = m — cho tới cách dùng bảng biến thiên để xác định các mốc quan trọng, cùng 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ một hình ảnh duy nhất — đường thẳng ngang y = m trượt lên trượt xuống, cắt đồ thị tại bao nhiêu điểm thì phương trình có bấy nhiêu nghiệm — bạn sẽ không bao giờ lúng túng trước một bài toán biện luận nào nữa.
Phương pháp biện luận số nghiệm: đếm giao điểm là đếm được số nghiệm
Nguyên tắc cơ bản của phương pháp này rất đơn giản: số nghiệm của phương trình f(x) = m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m. Vì sao lại như vậy? Một số x₀ là nghiệm của phương trình f(x) = m khi và chỉ khi f(x₀) = m, tức là điểm có hoành độ x₀ trên đồ thị y = f(x) có tung độ đúng bằng m, tức là điểm đó nằm trên đường thẳng y = m. Nói cách khác, mỗi nghiệm của phương trình ứng với đúng một giao điểm của hai đồ thị, và ngược lại. Vì vậy, thay vì giải phương trình, bạn chỉ cần vẽ đồ thị y = f(x), vẽ đường thẳng ngang y = m, rồi đếm xem chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm.
Quy trình biện luận gồm 4 bước. Bước 1: khảo sát và vẽ đồ thị hoặc lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định các giá trị cực đại và cực tiểu — đây chính là các mốc quan trọng để so sánh. Bước 2: vẽ đường thẳng y = m — một đường thẳng ngang mà vị trí của nó phụ thuộc vào m. Bước 3: cho m thay đổi, quan sát số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị khi m đi qua các mốc cực trị. Bước 4: kết luận số nghiệm của phương trình ứng với từng khoảng giá trị của m. Bạn hãy để ý: số giao điểm chỉ thay đổi khi đường thẳng y = m đi qua một giá trị cực trị, tức là khi nó tiếp xúc với đồ thị tại đỉnh đồi hoặc đáy thung lũng. Giữa hai mốc liên tiếp, số giao điểm không đổi, nên bạn chỉ cần thử một giá trị m bất kì trong mỗi khoảng là đủ.
Một điểm bạn cần lưu ý là nghiệm kép và nghiệm đơn được phân biệt bằng cách đường thẳng y = m cắt hay tiếp xúc với đồ thị. Khi đường thẳng y = m cắt đồ thị tại một điểm mà tại đó nó đi xuyên qua đồ thị — tức là đồ thị đổi phía so với đường thẳng — thì giao điểm đó ứng với một nghiệm đơn. Khi đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị tại một điểm cực trị — tức là nó chỉ chạm vào đồ thị rồi quay lại — thì giao điểm đó ứng với một nghiệm kép. Ví dụ với hàm số y = x³ − 3x, khi m = 2, đường thẳng y = 2 tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại (−1; 2) và cắt đồ thị tại một điểm khác, nên phương trình x³ − 3x = 2 có 2 nghiệm, trong đó có một nghiệm kép x = −1 và một nghiệm đơn. Khi cần kiểm tra nhanh một giá trị hàm số hay giải một phương trình bậc ba cụ thể, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhưng việc biện luận theo tham số m thì bạn vẫn phải dùng đồ thị.
Phương pháp này không chỉ dùng cho phương trình dạng f(x) = m mà còn mở rộng được cho nhiều dạng khác. Với phương trình f(x) = g(m) — trong đó vế phải là một biểu thức của tham số m — bạn vẫn làm tương tự, chỉ cần đặt t = g(m) rồi biện luận theo t trước, sau đó mới suy ra m. Với phương trình có tham số ở cả hai vế, bạn có thể cô lập tham số về một vế để đưa về dạng f(x) = m. Với bài toán tìm m để phương trình có đúng k nghiệm, bạn chỉ cần đọc ngược kết quả biện luận: tìm khoảng giá trị của m mà tại đó số giao điểm bằng k. Đây là dạng bài rất hay xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp, và phương pháp đồ thị là cách làm nhanh nhất, ít sai sót nhất.
Một điểm nữa bạn cần nhớ là bảng biến thiên cũng cho bạn đầy đủ thông tin để biện luận mà không cần vẽ đồ thị chi tiết. Từ bảng biến thiên, bạn biết hàm số tăng trên khoảng nào, giảm trên khoảng nào, đạt cực đại bằng bao nhiêu, đạt cực tiểu bằng bao nhiêu. Khi đường thẳng y = m nằm dưới giá trị cực tiểu, nó chỉ cắt nhánh bên trái một lần; khi nó nằm giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại, nó cắt đồ thị tại ba điểm; khi nó nằm trên giá trị cực đại, nó chỉ cắt nhánh bên phải một lần. Vì vậy, trong bài thi trắc nghiệm, bạn thường chỉ cần lập bảng biến thiên là đủ để biện luận, không cần vẽ đồ thị đầy đủ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Biện luận số nghiệm của phương trình x³ − 3x = m.
Xét hàm số y = x³ − 3x. Đạo hàm y′ = 3x² − 3, y′ = 0 khi x = −1 hoặc x = 1. Hàm số đạt cực đại tại x = −1 với giá trị cực đại bằng 2, đạt cực tiểu tại x = 1 với giá trị cực tiểu bằng −2. Bây giờ cho đường thẳng y = m trượt lên xuống: khi m nhỏ hơn −2, đường thẳng nằm dưới đáy thung lũng nên chỉ cắt nhánh bên trái của đồ thị tại một điểm — phương trình có 1 nghiệm. Khi m = −2, đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực tiểu (1; −2) và cắt đồ thị tại một điểm khác — phương trình có 2 nghiệm. Khi −2 nhỏ hơn m nhỏ hơn 2, đường thẳng nằm giữa hai mốc cực trị nên cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt — phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Khi m = 2, đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại (−1; 2) và cắt đồ thị tại một điểm khác — phương trình có 2 nghiệm. Khi m lớn hơn 2, đường thẳng nằm trên đỉnh đồi nên chỉ cắt nhánh bên phải của đồ thị tại một điểm — phương trình có 1 nghiệm. Đặc biệt, với m = 0, phương trình x³ − 3x = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x = −√3, x = 0 và x = √3 — đúng với ba giao điểm mà bạn thấy trên đồ thị ở đầu bài. Đây cũng chính là ví dụ mẫu trong danh sách công thức của bài này.
Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình x³ − 3x = 2.
Đây là trường hợp riêng của ví dụ 1 với m = 2. Đường thẳng y = 2 đi qua điểm cực đại (−1; 2) của đồ thị y = x³ − 3x. Tại điểm này, đường thẳng tiếp xúc với đồ thị — ứng với nghiệm kép x = −1. Ngoài ra, đường thẳng y = 2 còn cắt đồ thị tại một điểm nữa ở phía bên phải: giải phương trình x³ − 3x = 2, ta có x³ − 3x − 2 = 0, phân tích thành (x + 1)²(x − 2) = 0, nên nghiệm còn lại là x = 2. Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = −1 là nghiệm kép và x = 2 là nghiệm đơn. Bạn hãy để ý cách phân tích thành nhân tử: khi m bằng đúng giá trị cực trị, phương trình luôn có một nghiệm kép tại điểm cực trị đó, và bạn có thể tách nhân tử (x − x₀)² ra khỏi phương trình để tìm nghiệm còn lại.
Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm của phương trình x³ − 3x = 3.
Đây là trường hợp riêng với m = 3, lớn hơn giá trị cực đại bằng 2. Đường thẳng y = 3 nằm hoàn toàn phía trên đỉnh đồi của đồ thị y = x³ − 3x, nên nó chỉ cắt nhánh bên phải của đồ thị tại đúng một điểm. Vậy phương trình x³ − 3x = 3 có đúng 1 nghiệm. Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách xét dấu: hàm số y = x³ − 3x − 3 có đạo hàm y′ = 3x² − 3, đạt cực đại bằng −1 tại x = −1 và cực tiểu bằng −5 tại x = 1 — cả hai giá trị cực trị đều âm, nên đồ thị chỉ cắt trục hoành một lần ở phía bên phải. Kết quả này khớp với kết luận từ phương pháp đồ thị.
Ví dụ 4: Biện luận số nghiệm của phương trình x³ − 3x = −2.
Đây là trường hợp riêng với m = −2, bằng đúng giá trị cực tiểu. Đường thẳng y = −2 đi qua điểm cực tiểu (1; −2) của đồ thị y = x³ − 3x. Tại điểm này, đường thẳng tiếp xúc với đồ thị — ứng với nghiệm kép x = 1. Ngoài ra, đường thẳng y = −2 còn cắt đồ thị tại một điểm nữa ở phía bên trái: giải phương trình x³ − 3x = −2, ta có x³ − 3x + 2 = 0, phân tích thành (x − 1)²(x + 2) = 0, nên nghiệm còn lại là x = −2. Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1 là nghiệm kép và x = −2 là nghiệm đơn. Bạn hãy so sánh ví dụ này với ví dụ 2: hai trường hợp đối xứng nhau qua gốc tọa độ, vì đồ thị hàm số y = x³ − 3x đối xứng qua gốc tọa độ. Nếu muốn ôn lại cách tìm các giá trị cực đại, cực tiểu làm mốc biện luận, bạn hãy xem bài phương pháp tính cực trị của hàm số.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Đếm số giao điểm mà không phân biệt nghiệm kép và nghiệm đơn.
Nhiều bạn thấy đường thẳng y = 2 cắt đồ thị tại hai điểm là kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Cách tránh: bạn hãy nhớ khi đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực trị thì giao điểm đó ứng với nghiệm kép, không phải nghiệm đơn. Với phương trình x³ − 3x = 2, hai giao điểm ứng với một nghiệm kép x = −1 và một nghiệm đơn x = 2, nên phương trình có 2 nghiệm nhưng không phải 2 nghiệm phân biệt.
Lỗi 2: Quên xét trường hợp m bằng đúng giá trị cực trị.
Nhiều bạn chỉ xét m nhỏ hơn, m nằm giữa và m lớn hơn hai mốc cực trị mà quên hai trường hợp biên m = −2 và m = 2. Cách tránh: bạn hãy luôn liệt kê đầy đủ 5 trường hợp: m nhỏ hơn giá trị cực tiểu, m bằng giá trị cực tiểu, m nằm giữa hai giá trị cực trị, m bằng giá trị cực đại, m lớn hơn giá trị cực đại. Mỗi trường hợp biên đều cho số nghiệm khác với các trường hợp lân cận.
Lỗi 3: Dùng giá trị cực đại, cực tiểu sai làm mốc biện luận.
Nhiều bạn tính nhầm giá trị cực đại của y = x³ − 3x thành −2 và giá trị cực tiểu thành 2. Cách tránh: bạn hãy nhớ điểm cực đại là đỉnh đồi nên có tung độ lớn hơn, điểm cực tiểu là đáy thung lũng nên có tung độ nhỏ hơn. Với hàm số này, cực đại bằng 2 tại x = −1, cực tiểu bằng −2 tại x = 1. Bạn nên tính lại y(−1) và y(1) cẩn thận trước khi biện luận.
Lỗi 4: Biện luận mà không lập bảng biến thiên hoặc không vẽ đồ thị.
Nhiều bạn đoán số nghiệm bằng cảm tính mà không có căn cứ. Cách tránh: bạn hãy luôn lập bảng biến thiên hoặc phác họa đồ thị trước khi biện luận. Bảng biến thiên cho bạn biết chính xác hàm số tăng, giảm trên khoảng nào và đạt cực trị bằng bao nhiêu — đó là toàn bộ thông tin bạn cần để đếm giao điểm.
Lỗi 5: Nhầm lẫn giữa số nghiệm và số giao điểm khi đường thẳng trùng với một đoạn của đồ thị.
Nhiều bạn gặp trường hợp đường thẳng y = m trùng với một đoạn nằm ngang của đồ thị thì không biết đếm thế nào. Cách tránh: bạn hãy nhớ nếu đường thẳng trùng với đồ thị trên cả một đoạn thì phương trình có vô số nghiệm trên đoạn đó. Trường hợp này không xảy ra với hàm số y = x³ − 3x, nhưng có thể xảy ra với hàm hằng từng khúc hoặc hàm số có đoạn nằm ngang.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định hai mốc cực trị 2 và −2 trước khi biện luận.
Câu 1: Phương trình x³ − 3x = m có 3 nghiệm phân biệt khi nào?
A. m > 2
B. m < −2
C. −2 < m < 2
D. m = 0
Câu 2: Phương trình x³ − 3x = 2 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 3: Phương trình x³ − 3x = 3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 4: Phương trình x³ − 3x = −2 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 5: Phương trình x³ − 3x = m có đúng 1 nghiệm khi nào?
A. −2 < m < 2
B. m > 2 hoặc m < −2
C. m = 2
D. −2 ≤ m ≤ 2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | B | A | B | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C đúng: Hàm số y = x³ − 3x đạt cực đại bằng 2 tại x = −1 và cực tiểu bằng −2 tại x = 1. Khi đường thẳng y = m nằm giữa hai mốc này, tức là −2 nhỏ hơn m nhỏ hơn 2, nó cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Đáp án A sai vì khi m lớn hơn 2, đường thẳng chỉ cắt nhánh bên phải một lần. Đáp án B sai vì khi m nhỏ hơn −2, đường thẳng chỉ cắt nhánh bên trái một lần. Đáp án D sai vì m = 0 chỉ là một giá trị cụ thể trong khoảng (−2; 2), không phải điều kiện đầy đủ.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Khi m = 2, đường thẳng y = 2 tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại (−1; 2) — ứng với nghiệm kép x = −1 — và cắt đồ thị tại một điểm khác x = 2. Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án A sai vì ngoài nghiệm kép còn có thêm một nghiệm đơn. Đáp án C sai vì đường thẳng không cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt. Đáp án D sai vì phương trình có nghiệm.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Khi m = 3, lớn hơn giá trị cực đại bằng 2, đường thẳng y = 3 nằm hoàn toàn phía trên đỉnh đồi nên chỉ cắt nhánh bên phải của đồ thị tại đúng một điểm. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm. Đáp án B sai vì không có tiếp xúc nào xảy ra. Đáp án C sai vì đường thẳng không cắt đồ thị tại ba điểm. Đáp án D sai vì phương trình có nghiệm.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Khi m = −2, đường thẳng y = −2 tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực tiểu (1; −2) — ứng với nghiệm kép x = 1 — và cắt đồ thị tại một điểm khác x = −2. Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án A sai vì ngoài nghiệm kép còn có thêm một nghiệm đơn. Đáp án C sai vì đường thẳng không cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt. Đáp án D sai vì phương trình có nghiệm.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Khi m lớn hơn 2, đường thẳng nằm trên đỉnh đồi nên chỉ cắt nhánh bên phải một lần; khi m nhỏ hơn −2, đường thẳng nằm dưới đáy thung lũng nên chỉ cắt nhánh bên trái một lần. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm khi m lớn hơn 2 hoặc m nhỏ hơn −2. Đáp án A sai vì đó là điều kiện để có 3 nghiệm phân biệt. Đáp án C sai vì khi m = 2, phương trình có 2 nghiệm. Đáp án D sai vì khoảng này bao gồm cả trường hợp có 2 và 3 nghiệm.
Câu hỏi thường gặp về biện luận số nghiệm
Hỏi: Nghiệm kép khác nghiệm đơn như thế nào khi đếm số nghiệm?
Đáp: Nghiệm kép là nghiệm mà tại đó đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị, tức là đồ thị chỉ chạm vào đường thẳng rồi quay lại. Nghiệm đơn là nghiệm mà tại đó đường thẳng cắt xuyên qua đồ thị. Khi đếm số nghiệm, nghiệm kép vẫn tính là một nghiệm, nhưng khi đếm số nghiệm phân biệt thì nghiệm kép chỉ tính một lần. Với phương trình x³ − 3x = 2, phương trình có 2 nghiệm nhưng chỉ có 2 nghiệm phân biệt là x = −1 và x = 2 — trùng hợp là cùng 2 vì nghiệm kép chỉ tính một lần.
Hỏi: Có thể biện luận mà không cần vẽ đồ thị không?
Đáp: Có, bạn chỉ cần lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên, bạn biết hàm số tăng, giảm trên khoảng nào và đạt cực trị bằng bao nhiêu, đó là đủ để xác định số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị trong từng khoảng giá trị của m. Trong bài thi trắc nghiệm, lập bảng biến thiên thường nhanh hơn vẽ đồ thị đầy đủ.
Hỏi: Phương trình f(x) = g(m) thì biện luận như thế nào?
Đáp: Bạn đặt t = g(m) rồi biện luận số nghiệm theo t như bình thường, sau đó mới suy ra m từ t. Ví dụ phương trình x³ − 3x = m²: đặt t = m², phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi −2 nhỏ hơn t nhỏ hơn 2, tức là 0 ≤ m² nhỏ hơn 2, suy ra m nằm trong khoảng (−√2; √2). Bạn phải nhớ t = m² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên khoảng biện luận bị thu hẹp lại.
Hỏi: Vì sao số giao điểm chỉ thay đổi khi m đi qua giá trị cực trị?
Đáp: Vì giữa hai mốc cực trị liên tiếp, hàm số đơn điệu nên đường thẳng ngang chỉ có thể cắt mỗi nhánh đơn điệu tối đa một lần, và số nhánh bị cắt không đổi. Chỉ khi đường thẳng đi qua một điểm cực trị — nơi hàm số đổi chiều — thì một giao điểm mới xuất hiện hoặc biến mất. Đó là lí do vì sao các giá trị cực đại và cực tiểu chính là các mốc biện luận.
Hỏi: Học biện luận số nghiệm để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Đây là dạng bài kinh điển trong đề thi tốt nghiệp, thường xuất hiện dưới dạng tìm m để phương trình có đúng k nghiệm, tìm m để phương trình vô nghiệm, hoặc tìm m để phương trình có nghiệm thuộc một khoảng cho trước. Phương pháp đồ thị còn áp dụng được cho cả bất phương trình và bài toán tương giao của hai đồ thị. Nếu muốn ôn lại cách tìm tiệm cận để xác định dáng điệu đồ thị ở xa, bạn hãy xem bài phương pháp tìm tiệm cận của hàm số.
Kết luận
Phương pháp biện luận số nghiệm chỉ gói gọn trong một nguyên tắc: số nghiệm của phương trình f(x) = m bằng số giao điểm của đồ thị y = f(x) với đường thẳng y = m. Bạn hãy nhớ 4 bước làm bài — lập bảng biến thiên để xác định các mốc cực trị, cho đường thẳng y = m trượt qua các mốc đó, đếm số giao điểm trong từng khoảng, rồi kết luận — và luôn xét đầy đủ cả hai trường hợp biên m bằng giá trị cực đại và m bằng giá trị cực tiểu. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để biện luận số nghiệm của bất kì phương trình nào trong chương trình lớp 12.