Phương pháp tính cực trị của hàm số lớp 12

Hãy tưởng tượng bạn đang đi trên một con đường đồi núi: có lúc bạn leo lên tới đỉnh đồi rồi bắt đầu đi xuống, có lúc bạn xuống tới đáy thung lũng rồi lại bắt đầu leo lên. Đỉnh đồi và đáy thung lũng trên đồ thị hàm số chính là các điểm cực trị — những điểm mà tại đó hàm số đổi chiều biến thiên. Tìm cực trị không chỉ là một bài tập trong sách giáo khoa: nó là cách bạn xác định đỉnh cao nhất và đáy thấp nhất của một quá trình, từ lợi nhuận của một công ty cho tới độ cao của một vật được ném lên.

Bài này sẽ giúp bạn làm chủ phương pháp tính cực trị một cách có hệ thống: từ định nghĩa điểm cực đại, điểm cực tiểu, định lí về điều kiện cần f′(x₀) = 0, cho tới hai quy tắc tìm cực trị — quy tắc xét dấu đạo hàm và quy tắc dùng đạo hàm cấp hai — cùng 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ một hình ảnh duy nhất — đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ thì đó là đỉnh đồi, từ trừ sang cộng thì đó là đáy thung lũng — bạn sẽ không bao giờ nhầm cực đại với cực tiểu nữa.

Phương pháp tính cực trị: đạo hàm đổi dấu ở đâu, cực trị ở đó

Trước hết, bạn cần nhớ đúng định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x₀ thuộc khoảng đó. Nếu tồn tại một số h lớn hơn 0 sao cho f(x) nhỏ hơn f(x₀) với mọi x thuộc khoảng (x₀ − h; x₀ + h) và x khác x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀. Ngược lại, nếu f(x) lớn hơn f(x₀) với mọi x trong lân cận đó và x khác x₀ thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x₀. Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị, còn giá trị f(x₀) tương ứng gọi là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu, gọi chung là cực trị của hàm số. Bạn hãy chú ý: cực trị là khái niệm địa phương — giá trị cực đại tại một điểm chỉ cần lớn hơn các giá trị xung quanh nó, không nhất thiết phải là giá trị lớn nhất trên toàn bộ tập xác định.

Định lí quan trọng nhất của bài này cho bạn điều kiện cần để một điểm là điểm cực trị: nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x₀ và có đạo hàm tại x₀ thì f′(x₀) = 0. Nói cách khác, tại đỉnh đồi hay đáy thung lũng, tiếp tuyến với đồ thị là đường thẳng nằm ngang. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng: f′(x₀) = 0 chưa đủ để kết luận x₀ là điểm cực trị. Ví dụ hàm số y = x³ có đạo hàm bằng 0 tại x = 0 nhưng không đạt cực trị tại đó, vì đồ thị vẫn đi lên qua điểm này. Vì vậy, sau khi giải f′(x) = 0, bạn bắt buộc phải kiểm tra thêm dấu của đạo hàm hoặc dùng đạo hàm cấp hai.

Quy tắc 1 — xét dấu của đạo hàm cấp một — là quy tắc bạn sẽ dùng nhiều nhất. Các bước như sau: bước 1, tìm tập xác định của hàm số; bước 2, tính đạo hàm f′(x) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định; bước 3, lập bảng biến thiên, quan sát f′(x) có đổi dấu hay không tại từng điểm; bước 4, kết luận. Nếu f′(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x₀ thì hàm số đạt cực đại tại x₀. Nếu f′(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x₀ thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀. Nếu f′(x) không đổi dấu khi đi qua x₀ thì hàm số không đạt cực trị tại x₀. Quy tắc này có ưu điểm là chỉ cần đạo hàm cấp một và cho bạn đồng thời cả bảng biến thiên để dùng cho các bài toán khác.

Quy tắc 2 — dùng đạo hàm cấp hai — ngắn gọn hơn khi bạn chỉ cần kết luận nhanh mà không cần bảng biến thiên. Các bước như sau: bước 1, tính f′(x) và giải phương trình f′(x) = 0 để tìm các nghiệm xᵢ; bước 2, tính f′′(x) và tính f′′(xᵢ) tại từng nghiệm; bước 3, kết luận: nếu f′′(xᵢ) nhỏ hơn 0 thì xᵢ là điểm cực đại, nếu f′′(xᵢ) lớn hơn 0 thì xᵢ là điểm cực tiểu. Quy tắc này dựa trên một ý tưởng hình học rất đẹp: f′′(x) nhỏ hơn 0 nghĩa là đồ thị lõm xuống, giống như đỉnh đồi; f′′(x) lớn hơn 0 nghĩa là đồ thị lồi lên, giống như đáy thung lũng. Tuy nhiên, quy tắc 2 có một trường hợp nó không trả lời được: khi f′′(xᵢ) = 0 thì bạn phải quay lại quy tắc 1 để xét dấu đạo hàm. Khi cần kiểm tra nhanh một phép tính đạo hàm cấp hai, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhưng việc xét dấu và kết luận thì bạn vẫn phải tự làm bằng tay.

Một điểm bạn cần lưu ý là các điểm làm cho đạo hàm không xác định cũng có thể là điểm cực trị, miễn là hàm số liên tục tại đó. Ví dụ hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0 với giá trị cực tiểu bằng 0. Vì vậy, khi tìm điểm cực trị, bạn phải liệt kê cả các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 và các điểm mà tại đó đạo hàm không xác định, rồi xét dấu ở hai phía của từng điểm. Ngược lại, một điểm mà tại đó hàm số không liên tục — chẳng hạn điểm làm mẫu số bằng 0 của hàm phân thức — thì không thể là điểm cực trị, dù đạo hàm có đổi dấu quanh nó hay không.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tìm cực trị của hàm số y = x³ − 3x.
Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực. Đạo hàm y′ = 3x² − 3. Giải y′ = 0 ta được x = −1 hoặc x = 1. Lập bảng biến thiên: y′ mang dấu cộng trên khoảng (−∞; −1), dấu trừ trên khoảng (−1; 1), dấu cộng trên khoảng (1; +∞). Vì y′ đổi dấu từ cộng sang trừ khi đi qua x = −1 nên hàm số đạt cực đại tại x = −1, giá trị cực đại là y(−1) = (−1)³ − 3 × (−1) = −1 + 3 = 2. Vì y′ đổi dấu từ trừ sang cộng khi đi qua x = 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là y(1) = 1 − 3 = −2. Bạn hãy đối chiếu với đồ thị ở đầu bài: điểm A(−1; 2) là đỉnh đồi, điểm B(1; −2) là đáy thung lũng — đúng với kết quả vừa tính. Đây cũng chính là ví dụ mẫu trong danh sách công thức của bài này.

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y = x³ − 3x² + 2.
Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực. Đạo hàm y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Giải y′ = 0 ta được x = 0 hoặc x = 2. Lập bảng biến thiên: y′ mang dấu cộng trên khoảng (−∞; 0), dấu trừ trên khoảng (0; 2), dấu cộng trên khoảng (2; +∞). Vì y′ đổi dấu từ cộng sang trừ khi đi qua x = 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2. Vì y′ đổi dấu từ trừ sang cộng khi đi qua x = 2 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y(2) = 8 − 12 + 2 = −2. Bạn hãy kiểm tra lại bằng quy tắc 2: đạo hàm cấp hai y′′ = 6x − 6, y′′(0) = −6 nhỏ hơn 0 nên x = 0 là điểm cực đại, y′′(2) = 6 lớn hơn 0 nên x = 2 là điểm cực tiểu — khớp hoàn toàn với kết quả từ quy tắc 1.

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số y = −x² + 4x − 3.
Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực. Đạo hàm y′ = −2x + 4. Giải y′ = 0 ta được x = 2. Lập bảng biến thiên: y′ mang dấu cộng trên khoảng (−∞; 2), dấu trừ trên khoảng (2; +∞). Vì y′ đổi dấu từ cộng sang trừ khi đi qua x = 2 nên hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại là y(2) = −4 + 8 − 3 = 1. Hàm số không có điểm cực tiểu. Bạn hãy để ý: đây là hàm bậc hai với hệ số của x² âm nên đồ thị là một parabol úp xuống, đỉnh parabol chính là điểm cực đại duy nhất. Với mọi hàm bậc hai, bạn có thể tìm cực trị nhanh bằng cách tìm đỉnh parabol mà không cần lập bảng biến thiên, nhưng cách làm bằng đạo hàm vẫn đúng và áp dụng được cho mọi loại hàm số.

Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số y = x⁴ − 2x².
Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực. Đạo hàm y′ = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1). Giải y′ = 0 ta được x = −1, x = 0 hoặc x = 1. Lập bảng biến thiên: y′ mang dấu trừ trên khoảng (−∞; −1), dấu cộng trên khoảng (−1; 0), dấu trừ trên khoảng (0; 1), dấu cộng trên khoảng (1; +∞). Vì y′ đổi dấu từ trừ sang cộng khi đi qua x = −1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu là y(−1) = 1 − 2 = −1. Vì y′ đổi dấu từ cộng sang trừ khi đi qua x = 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = 0. Vì y′ đổi dấu từ trừ sang cộng khi đi qua x = 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là y(1) = −1. Hàm số này có tới ba điểm cực trị — hai cực tiểu bằng nhau và một cực đại ở giữa — đúng với hình chữ W của đồ thị. Nếu muốn ôn lại cách xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên, bạn hãy xem bài quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Thấy f′(x₀) = 0 là kết luận ngay x₀ là điểm cực trị.
Nhiều bạn giải f′(x) = 0 được x = 0 rồi viết ngay hàm số đạt cực trị tại x = 0 mà không xét dấu. Cách tránh: bạn hãy nhớ f′(x₀) = 0 chỉ là điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ. Với hàm số y = x³, đạo hàm bằng 0 tại x = 0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại đó vì đạo hàm không đổi dấu. Bạn luôn phải lập bảng biến thiên hoặc tính f′′(x₀) rồi mới kết luận.

Lỗi 2: Nhầm lẫn giữa điểm cực trị và giá trị cực trị.
Nhiều bạn hỏi điểm cực đại thì trả lời y = 2, hỏi giá trị cực đại thì trả lời x = −1. Cách tránh: bạn hãy nhớ điểm cực trị là giá trị của x, còn giá trị cực trị là giá trị của y tại điểm đó. Với hàm số y = x³ − 3x, điểm cực đại là x = −1, giá trị cực đại là y = 2. Khi trình bày, bạn nên viết đầy đủ cả hai: hàm số đạt cực đại tại x = −1, giá trị cực đại bằng 2.

Lỗi 3: Nhầm chiều đổi dấu của đạo hàm.
Nhiều bạn thấy đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ lại kết luận cực tiểu, hoặc ngược lại. Cách tránh: bạn hãy nhớ bằng hình ảnh đồ thị — đạo hàm dương nghĩa là đồ thị đi lên, đạo hàm âm nghĩa là đồ thị đi xuống. Đổi từ đi lên sang đi xuống thì đó là đỉnh đồi, tức là cực đại. Đổi từ đi xuống sang đi lên thì đó là đáy thung lũng, tức là cực tiểu.

Lỗi 4: Bỏ qua các điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.
Nhiều bạn chỉ giải f′(x) = 0 mà quên các điểm đạo hàm không tồn tại. Cách tránh: bạn hãy liệt kê cả hai loại điểm khi lập bảng biến thiên: điểm làm đạo hàm bằng 0 và điểm làm đạo hàm không xác định, miễn là hàm số liên tục tại đó. Hàm số y = |x| đạt cực tiểu tại x = 0 dù đạo hàm không tồn tại tại điểm này.

Lỗi 5: Dùng quy tắc 2 khi f′′(x₀) = 0 rồi kết luận hàm số không có cực trị.
Nhiều bạn tính f′′(x₀) = 0 rồi viết ngay hàm số không đạt cực trị tại x₀. Cách tránh: bạn hãy nhớ f′′(x₀) = 0 chỉ có nghĩa là quy tắc 2 không cho kết luận, chứ không phải là hàm số không có cực trị. Khi đó bạn phải quay lại quy tắc 1 để xét dấu của f′. Ví dụ hàm số y = x⁴ có f′′(0) = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xét dấu đạo hàm ở cả hai phía của từng điểm tới hạn trước khi kết luận.

Câu 1: Hàm số y = x³ − 3x đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x = 1
B. x = −1
C. x = 0
D. x = 2

Câu 2: Giá trị cực tiểu của hàm số y = x³ − 3x bằng bao nhiêu?
A. 2
B. −2
C. 0
D. −1

Câu 3: Hàm số y = x³ − 3x² + 2 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. (0; 2)
B. (2; −2)
C. (0; −2)
D. (2; 2)

Câu 4: Hàm số y = −x² + 4x − 3 đạt cực đại bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 4
C. −3
D. 2

Câu 5: Hàm số y = x⁴ − 2x² có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Đạo hàm y′ = 3x² − 3, y′ = 0 khi x = −1 hoặc x = 1. y′ đổi dấu từ cộng sang trừ khi đi qua x = −1 nên hàm số đạt cực đại tại x = −1. Đáp án A sai vì tại x = 1 đạo hàm đổi dấu từ trừ sang cộng nên đó là điểm cực tiểu. Đáp án C sai vì đạo hàm tại x = 0 bằng −3, khác 0, nên x = 0 không thể là điểm cực trị. Đáp án D sai vì đạo hàm tại x = 2 bằng 9, khác 0.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Đạo hàm y′ = 3x² − 3 đổi dấu từ trừ sang cộng khi đi qua x = 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là y(1) = 1 − 3 = −2. Đáp án A sai vì 2 là giá trị cực đại tại x = −1. Đáp án C sai vì y(0) = 0 không phải là giá trị cực trị. Đáp án D sai vì không có điểm cực trị nào cho giá trị −1.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Đạo hàm y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2), y′ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2. y′ đổi dấu từ trừ sang cộng khi đi qua x = 2 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y(2) = 8 − 12 + 2 = −2, tức là điểm cực tiểu (2; −2). Đáp án A sai vì (0; 2) là điểm cực đại. Đáp án C sai vì y(0) = 2 chứ không phải −2. Đáp án D sai vì y(2) = −2 chứ không phải 2.

Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Đạo hàm y′ = −2x + 4, y′ = 0 khi x = 2. y′ đổi dấu từ cộng sang trừ khi đi qua x = 2 nên hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại là y(2) = −4 + 8 − 3 = 1. Đáp án B sai vì 4 là giá trị của y′ tại x = 0, không phải giá trị cực đại. Đáp án C sai vì −3 là giá trị của hàm số tại x = 0. Đáp án D sai vì không có điểm cực trị nào cho giá trị 2.

Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: Đạo hàm y′ = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1), y′ = 0 khi x = −1, x = 0 hoặc x = 1. Đạo hàm đổi dấu tại cả ba điểm nên hàm số có 3 điểm cực trị: cực tiểu tại x = −1 và x = 1, cực đại tại x = 0. Đáp án A sai vì chỉ đếm điểm cực đại. Đáp án B sai vì bỏ sót một điểm cực trị. Đáp án D sai vì hàm số có cực trị.

Câu hỏi thường gặp về cực trị của hàm số

Hỏi: Giá trị cực đại có luôn lớn hơn giá trị cực tiểu không?
Đáp: Không nhất thiết. Cực đại và cực tiểu là khái niệm địa phương: giá trị cực đại chỉ cần lớn hơn các giá trị xung quanh nó, giá trị cực tiểu chỉ cần nhỏ hơn các giá trị xung quanh nó. Với hàm số y = x³ − 3x, giá trị cực đại bằng 2 lớn hơn giá trị cực tiểu bằng −2, nhưng với một hàm số có nhiều điểm cực trị, một giá trị cực đại ở phía sau hoàn toàn có thể nhỏ hơn một giá trị cực tiểu ở phía trước.

Hỏi: Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà đạo hàm không xác định không?
Đáp: Có, nếu hàm số liên tục tại điểm đó. Ví dụ hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0. Vì vậy, khi tìm cực trị, bạn phải xét cả các điểm làm đạo hàm bằng 0 và các điểm làm đạo hàm không xác định.

Hỏi: Quy tắc 1 và quy tắc 2 khác nhau như thế nào, nên dùng quy tắc nào?
Đáp: Quy tắc 1 xét dấu của đạo hàm cấp một và cho bạn cả bảng biến thiên, dùng được trong mọi trường hợp. Quy tắc 2 dùng đạo hàm cấp hai, ngắn gọn hơn nhưng không trả lời được khi f′′(x₀) = 0. Trong bài thi, bạn nên dùng quy tắc 1 vì nó chắc chắn và đồng thời phục vụ cho các câu hỏi khác về tính đơn điệu và bảng biến thiên.

Hỏi: Hàm số bậc ba luôn có hai điểm cực trị phải không?
Đáp: Không. Hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d chỉ có hai điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là khi biệt thức của phương trình bậc hai y′ = 0 lớn hơn 0. Với hàm số y = x³, phương trình y′ = 3x² = 0 chỉ có nghiệm kép x = 0 nên hàm số không có điểm cực trị nào. Với hàm số y = x³ + x, phương trình y′ = 3x² + 1 = 0 vô nghiệm nên hàm số cũng không có cực trị.

Hỏi: Học cực trị để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Cực trị là chìa khóa để biện luận số nghiệm của phương trình — số nghiệm của f(x) = m phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng y = m so với các giá trị cực đại và cực tiểu — và để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Nắm chắc bài này, bạn sẽ học các bài tiếp theo rất nhanh. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài phương pháp tính GTNN – GTLN của hàm số.

Kết luận

Phương pháp tính cực trị chỉ gói gọn trong một nguyên tắc: tìm các điểm làm đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, rồi xem đạo hàm có đổi dấu khi đi qua đó hay không. Đổi từ cộng sang trừ là cực đại, đổi từ trừ sang cộng là cực tiểu, không đổi dấu thì không phải cực trị. Bạn hãy nhớ phân biệt điểm cực trị với giá trị cực trị, và luôn kiểm tra dấu đạo hàm ở cả hai phía trước khi kết luận. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tìm cực trị của bất kì hàm số nào trong chương trình lớp 12.