Quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lớp 12

Bạn mở vở ra, nhìn một hàm số như y = x³ − 3x và tự hỏi: hàm này lúc nào đi lên, lúc nào đi xuống? Câu hỏi tưởng chừng đơn giản ấy lại là chìa khóa mở ra gần như toàn bộ chương khảo sát hàm số của Toán 12. Biết hàm đồng biến ở đâu, nghịch biến ở đâu, bạn mới vẽ được bảng biến thiên, mới tìm được cực trị, mới biện luận được số nghiệm của phương trình, mới tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Nói cách khác, xét tính đơn điệu là bước đầu tiên và cũng là bước quan trọng nhất trong mọi bài toán khảo sát hàm số.

Bài này sẽ giúp bạn nắm chắc quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến một cách có hệ thống: từ định nghĩa đồng biến, nghịch biến, định lí về dấu của đạo hàm, cho tới 4 bước làm bài chuẩn của sách giáo khoa, 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ một câu thần chú — đạo hàm dương thì hàm đi lên, đạo hàm âm thì hàm đi xuống — bạn sẽ không bao giờ lúng túng trước một hàm số mới nữa.

Quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến: nhìn dấu đạo hàm là biết

Trước hết, bạn cần nhớ đúng định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng K, trong đó K có thể là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số gọi là đồng biến trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂). Nói bằng lời đời thường: x tăng thì y cũng tăng, đồ thị đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, hàm số gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là x tăng mà y lại giảm, đồ thị đi xuống từ trái sang phải. Đồng biến hay nghịch biến gọi chung là tính đơn điệu, và việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến còn gọi là xét tính đơn điệu của hàm số.

Định lí quan trọng nhất của bài này — và cũng là công cụ bạn sẽ dùng trong mọi bài tập — phát biểu như sau: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Nếu f′(x) lớn hơn 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K. Nếu f′(x) nhỏ hơn 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K. Định lí vẫn đúng trong trường hợp f′(x) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K. Chẳng hạn hàm số y = x³ có đạo hàm y′ = 3x² bằng 0 tại x = 0 nhưng vẫn đồng biến trên toàn bộ tập số thực, vì đạo hàm chỉ bằng 0 tại đúng một điểm rồi lại dương ngay sau đó. Ngược lại, nếu f′(x) bằng 0 với mọi x thuộc K thì hàm số không đổi trên khoảng K, tức là hàm hằng.

Từ định lí trên, sách giáo khoa đưa ra quy trình 4 bước xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) mà bạn nên thuộc lòng. Bước 1: tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: tính đạo hàm f′(x), tìm các điểm xᵢ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định. Bước 3: sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số, trong đó bạn xét dấu của f′(x) trên từng khoảng. Bước 4: nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Khi xét dấu đạo hàm, bạn chỉ cần chọn một giá trị thử trong mỗi khoảng rồi thay vào f′(x): dấu của kết quả chính là dấu của đạo hàm trên cả khoảng đó, vì đạo hàm là hàm liên tục và chỉ có thể đổi dấu khi đi qua nghiệm của nó.

Một điểm bạn cần lưu ý là các điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định chính là các điểm chia khoảng. Tuy nhiên, không phải mọi điểm như vậy đều làm hàm số đổi chiều biến thiên. Ví dụ hàm số y = x³ có đạo hàm bằng 0 tại x = 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua 0, nên hàm số vẫn đồng biến trên toàn bộ tập số thực và không có khoảng nghịch biến nào. Vì vậy, sau khi tìm được các điểm tới hạn, bạn luôn phải xét dấu đạo hàm ở hai phía của từng điểm rồi mới kết luận. Bảng biến thiên chính là nơi bạn ghi lại toàn bộ quá trình xét dấu này một cách gọn gàng: hàng trên ghi x, hàng giữa ghi dấu của f′(x), hàng dưới ghi chiều biến thiên của f(x) bằng các mũi tên đi lên hoặc đi xuống.

Quy tắc này còn có một hệ quả rất hay dùng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: nếu bạn biết hàm số đồng biến trên một khoảng thì giá trị lớn nhất của nó trên đoạn nằm trong khoảng đó sẽ đạt tại đầu phải, giá trị nhỏ nhất đạt tại đầu trái; nếu hàm số nghịch biến thì ngược lại. Vì vậy, xét tính đơn điệu không chỉ là một bài tập riêng lẻ mà là công cụ nền tảng cho cả chương. Khi cần kiểm tra nhanh một phép tính đạo hàm hay một giá trị hàm số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhưng việc xét dấu và kết luận thì bạn vẫn phải tự làm bằng tay để hiểu thật sâu.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x³ − 3x.
Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực. Đạo hàm y′ = 3x² − 3. Giải y′ = 0 ta được 3x² − 3 = 0, tức là x² = 1, nên x = −1 hoặc x = 1. Xét dấu của y′: vì y′ = 3(x − 1)(x + 1) nên y′ lớn hơn 0 khi x nhỏ hơn −1 hoặc x lớn hơn 1, y′ nhỏ hơn 0 khi x nằm giữa −1 và 1. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Bạn hãy đối chiếu với đồ thị ở đầu bài: đồ thị đi lên từ phía dưới bên trái tới điểm cao nhất rồi đi xuống, sau đó lại đi lên — đúng với kết luận vừa tính. Đây cũng chính là ví dụ mẫu trong danh sách công thức của bài này, bạn hãy ghi nhớ nó vì nó sẽ xuất hiện lại trong các bài về cực trị và biện luận số nghiệm.

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = −x³ + 3x + 1.
Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực. Đạo hàm y′ = −3x² + 3. Giải y′ = 0 ta được −3x² + 3 = 0, tức là x² = 1, nên x = −1 hoặc x = 1. Xét dấu của y′ = −3(x − 1)(x + 1): y′ nhỏ hơn 0 khi x nhỏ hơn −1 hoặc x lớn hơn 1, y′ lớn hơn 0 khi x nằm giữa −1 và 1. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞), đồng biến trên khoảng (−1; 1). Bạn hãy để ý: chỉ cần đổi dấu của hệ số x³ từ dương thành âm, chiều biến thiên của hàm số đảo ngược hoàn toàn. Đây là một cách kiểm tra nhanh rất hữu ích: với hàm bậc ba có hệ số của x³ dương, đồ thị đi lên ở hai đầu ngoài; với hệ số âm, đồ thị đi xuống ở hai đầu ngoài.

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x³ − 3x² + 2.
Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực. Đạo hàm y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Giải y′ = 0 ta được x = 0 hoặc x = 2. Xét dấu của y′: y′ lớn hơn 0 khi x nhỏ hơn 0 hoặc x lớn hơn 2, y′ nhỏ hơn 0 khi x nằm giữa 0 và 2. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2). Bạn hãy chú ý cách xét dấu nhanh: với đạo hàm là một đa thức đã phân tích thành nhân tử, bạn chỉ cần nhớ quy tắc khoảng phải cùng dấu với hệ số của x có bậc cao nhất, rồi đổi dấu qua mỗi nghiệm đơn. Ở đây hệ số của x² trong y′ là 3, dương, nên khoảng ngoài cùng bên phải mang dấu cộng, rồi đổi dấu qua x = 2 thành trừ, đổi dấu qua x = 0 thành cộng.

Ví dụ 4: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x⁴ − 2x².
Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực. Đạo hàm y′ = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1). Giải y′ = 0 ta được x = −1, x = 0 hoặc x = 1. Xét dấu của y′: y′ lớn hơn 0 khi x nằm trong khoảng (−1; 0) hoặc (1; +∞), y′ nhỏ hơn 0 khi x nằm trong khoảng (−∞; −1) hoặc (0; 1). Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞), nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1). Hàm số này có tới 4 khoảng đơn điệu, nhiều hơn hẳn các hàm bậc ba ở trên. Bạn hãy để ý đồ thị của nó có hình chữ W với hai đáy ở x = −1 và x = 1: đó chính là hai điểm cực tiểu mà bạn sẽ học kĩ trong bài phương pháp tính cực trị của hàm số.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Kết luận đồng biến, nghịch biến từ dấu của hàm số thay vì dấu của đạo hàm.
Nhiều bạn thấy f(x) dương thì nói hàm đồng biến, thấy f(x) âm thì nói hàm nghịch biến. Cách tránh: bạn hãy nhớ tính đơn điệu phụ thuộc vào dấu của f′(x), không phải dấu của f(x). Một hàm số có thể nhận giá trị âm mà vẫn đồng biến, chẳng hạn y = x³ − 3x nhận giá trị âm trên khoảng (1; +∞) nhưng vẫn đồng biến ở đó.

Lỗi 2: Quên xét dấu đạo hàm ở cả hai phía của điểm tới hạn.
Nhiều bạn giải f′(x) = 0 được x = 1 rồi kết luận ngay hàm số đổi chiều tại x = 1 mà không xét dấu. Cách tránh: bạn hãy luôn lập bảng xét dấu hoặc thử một giá trị ở mỗi phía của điểm tới hạn. Với hàm y = x³, đạo hàm bằng 0 tại x = 0 nhưng không đổi dấu, nên hàm số không đổi chiều biến thiên tại đó.

Lỗi 3: Viết gộp các khoảng đồng biến thành một khoảng duy nhất.
Nhiều bạn viết hàm số đồng biến trên (−∞; −1) ∪ (1; +∞), thậm chí viết thành (−∞; −1) và (1; +∞) là một khoảng. Cách tránh: bạn hãy nhớ hai khoảng rời nhau không bao giờ được viết gộp bằng dấu hợp khi nói về tính đơn điệu, vì định nghĩa đồng biến yêu cầu so sánh mọi cặp điểm trong cùng một tập. Bạn phải viết riêng: đồng biến trên (−∞; −1) và trên (1; +∞).

Lỗi 4: Bỏ qua tập xác định khi xét tính đơn điệu.
Nhiều bạn xét hàm phân thức hay hàm căn mà quên loại các điểm làm mẫu số bằng 0 hoặc biểu thức trong căn âm. Cách tránh: bạn hãy luôn tìm tập xác định ở bước 1 và chỉ xét tính đơn điệu trên tập xác định đó. Với hàm số y = 1/x, đạo hàm y′ = −1/x² luôn âm, nhưng bạn chỉ được kết luận hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 0) và (0; +∞), không được nói nghịch biến trên toàn bộ tập xác định.

Lỗi 5: Nhầm lẫn giữa khoảng đồng biến và khoảng mà đồ thị đi lên theo hình vẽ.
Nhiều bạn nhìn đồ thị rồi đọc khoảng theo trục tung thay vì trục hoành. Cách tránh: bạn hãy nhớ các khoảng đơn điệu luôn là các khoảng của x, tức là đọc trên trục hoành. Khi đồ thị đi lên từ trái sang phải, bạn chiếu đoạn đó xuống trục hoành để đọc khoảng đồng biến tương ứng.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính đạo hàm và xét dấu cẩn thận trước khi chọn đáp án.

Câu 1: Hàm số y = x³ − 3x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (−1; 1)
B. (−∞; −1) và (1; +∞)
C. (−∞; 1)
D. (−1; +∞)

Câu 2: Hàm số y = −x³ + 3x + 1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (−1; 1)
B. (−∞; −1) và (1; +∞)
C. (−∞; +∞)
D. (0; +∞)

Câu 3: Hàm số y = x³ − 3x² + 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; 2)
B. (−∞; 0)
C. (2; +∞)
D. (−2; 0)

Câu 4: Hàm số y = 2x − x² đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (1; +∞)
B. (−∞; 1)
C. (0; 2)
D. (−∞; +∞)

Câu 5: Hàm số y = x⁴ − 2x² nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (−∞; −1) và (0; 1)
B. (−1; 0)
C. (1; +∞)
D. (0; 1)

Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Đạo hàm y′ = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). y′ lớn hơn 0 khi x nhỏ hơn −1 hoặc x lớn hơn 1, nên hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞). Đáp án A sai vì trên (−1; 1) đạo hàm âm nên hàm số nghịch biến. Đáp án C sai vì khoảng (−∞; 1) chứa cả phần hàm số nghịch biến. Đáp án D sai vì trên (−1; 1) hàm số nghịch biến.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Đạo hàm y′ = −3x² + 3 = −3(x − 1)(x + 1). y′ nhỏ hơn 0 khi x nhỏ hơn −1 hoặc x lớn hơn 1, nên hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (1; +∞). Đáp án A sai vì trên (−1; 1) đạo hàm dương nên hàm số đồng biến. Đáp án C sai vì hàm số không đơn điệu trên toàn bộ tập số thực. Đáp án D sai vì trên (0; 1) hàm số đồng biến.

Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Đạo hàm y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2). y′ nhỏ hơn 0 khi x nằm giữa 0 và 2, nên hàm số nghịch biến trên (0; 2). Đáp án B sai vì trên (−∞; 0) đạo hàm dương nên hàm số đồng biến. Đáp án C sai vì trên (2; +∞) hàm số đồng biến. Đáp án D sai vì trên (−2; 0) hàm số đồng biến.

Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Đạo hàm y′ = 2 − 2x. y′ lớn hơn 0 khi x nhỏ hơn 1, nên hàm số đồng biến trên (−∞; 1). Đáp án A sai vì trên (1; +∞) đạo hàm âm nên hàm số nghịch biến. Đáp án C sai vì khoảng (0; 2) chứa cả phần hàm số nghịch biến. Đáp án D sai vì hàm số không đồng biến trên toàn bộ tập số thực.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Đạo hàm y′ = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1). y′ nhỏ hơn 0 khi x nhỏ hơn −1 hoặc x nằm giữa 0 và 1, nên hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1). Đáp án B sai vì trên (−1; 0) đạo hàm dương nên hàm số đồng biến. Đáp án C sai vì trên (1; +∞) hàm số đồng biến. Đáp án D sai vì chỉ nêu một trong hai khoảng nghịch biến.

Câu hỏi thường gặp về tính đồng biến, nghịch biến

Hỏi: Hàm số đồng biến trên từng khoảng có suy ra đồng biến trên hợp của chúng không?
Đáp: Không. Ví dụ hàm số y = 1/x nghịch biến trên (−∞; 0) và trên (0; +∞), nhưng không nghịch biến trên hợp của hai khoảng này, vì lấy x₁ = −1 nhỏ hơn x₂ = 1 mà f(x₁) = −1 nhỏ hơn f(x₂) = 1. Bạn phải luôn viết các khoảng đơn điệu riêng rẽ, không dùng dấu hợp.

Hỏi: Đạo hàm bằng 0 tại một điểm thì hàm số có đổi chiều biến thiên tại đó không?
Đáp: Chưa chắc. Đạo hàm bằng 0 tại x₀ chỉ là điều kiện để xét, còn hàm số có đổi chiều hay không phụ thuộc vào việc đạo hàm có đổi dấu khi đi qua x₀ hay không. Với y = x³, đạo hàm bằng 0 tại x = 0 nhưng không đổi dấu, nên hàm số vẫn đồng biến. Với y = x³ − 3x, đạo hàm bằng 0 tại x = ±1 và đổi dấu, nên hàm số đổi chiều tại cả hai điểm.

Hỏi: Vì sao phải lập bảng biến thiên thay vì chỉ xét dấu đạo hàm?
Đáp: Bảng biến thiên gom toàn bộ thông tin — tập xác định, dấu đạo hàm, chiều biến thiên và các giá trị đặc biệt — vào một bảng duy nhất, giúp bạn nhìn tổng thể và tránh sót khoảng. Trong các bài toán phức tạp hơn như tìm cực trị hay biện luận số nghiệm, bảng biến thiên chính là công cụ trung tâm để bạn suy luận.

Hỏi: Hàm số không có đạo hàm tại một điểm thì có xét tính đơn điệu qua điểm đó được không?
Đáp: Được, nếu hàm số vẫn liên tục tại điểm đó. Ví dụ hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn nghịch biến trên (−∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞). Bạn chỉ cần chia khoảng tại điểm đó rồi xét dấu đạo hàm trên từng khoảng như bình thường.

Hỏi: Học xét tính đơn điệu để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Đây là bước đầu tiên của mọi bài toán khảo sát hàm số: từ tính đơn điệu bạn tìm được cực trị, từ cực trị bạn biện luận được số nghiệm của phương trình, từ bảng biến thiên bạn tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Nắm chắc bài này, bạn sẽ học các bài tiếp theo rất nhanh. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài phương pháp tính cực trị của hàm số.

Kết luận

Quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến chỉ gói gọn trong một câu: đạo hàm dương thì hàm đi lên, đạo hàm âm thì hàm đi xuống. Bạn hãy nhớ 4 bước làm bài — tìm tập xác định, tính đạo hàm và giải f′(x) = 0, lập bảng biến thiên, rồi kết luận — và luôn xét dấu đạo hàm ở cả hai phía của mỗi điểm tới hạn. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xét tính đơn điệu của bất kì hàm số nào trong chương trình lớp 12, từ hàm đa thức đơn giản cho tới hàm phân thức và hàm căn thức phức tạp hơn.