Phương pháp tính GTNN – GTLN của hàm số lớp 12

Một người nông dân có 100 mét hàng rào và muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật sao cho diện tích lớn nhất. Một công ty muốn chọn mức sản lượng sao cho lợi nhuận cao nhất. Một kĩ sư muốn chọn kích thước của một chiếc hộp sao cho dùng ít vật liệu nhất mà vẫn chứa đủ thể tích cần thiết. Tất cả những bài toán đời thường ấy đều có chung một câu hỏi: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số là bao nhiêu, và đạt được tại đâu? Đó chính là nội dung của bài học hôm nay.

Bài này sẽ giúp bạn làm chủ phương pháp tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất — gọi tắt là GTLN và GTNN — của hàm số một cách có hệ thống: từ định nghĩa GTLN, GTNN trên một tập, phương pháp tìm GTLN, GTNN trên đoạn bằng cách so sánh vài giá trị, cho tới cách dùng bảng biến thiên khi xét trên khoảng, cùng 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ một quy tắc duy nhất — trên một đoạn, GTLN và GTNN chỉ có thể nằm tại hai đầu mút hoặc tại các điểm cực trị bên trong — bạn sẽ không bao giờ bỏ sót ứng viên nào nữa.

Phương pháp tính GTNN – GTLN: chỉ cần so sánh vài giá trị là ra đáp án

Trước hết, bạn cần nhớ đúng định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên một tập D. Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu hai điều kiện sau cùng thỏa mãn: f(x) nhỏ hơn hoặc bằng M với mọi x thuộc D, và tồn tại một điểm x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Nói bằng lời đời thường: M là giá trị cao nhất mà hàm số đạt được trên tập D, và phải có ít nhất một điểm mà tại đó hàm số thực sự bằng M. Tương tự, số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu f(x) lớn hơn hoặc bằng m với mọi x thuộc D và tồn tại một điểm x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Bạn hãy chú ý điều kiện thứ hai: một số chỉ được gọi là GTLN hay GTNN khi hàm số thực sự đạt được nó, chứ không phải chỉ là một cận trên hay cận dưới mà hàm số tiến tới mãi mà không bao giờ chạm tới.

Định lí quan trọng nhất của bài này cho bạn sự đảm bảo về sự tồn tại: mọi hàm số liên tục trên một đoạn [a; b] đều đạt GTLN và GTNN trên đoạn đó. Nhờ định lí này, phương pháp tìm GTLN, GTNN trên đoạn trở nên rất đơn giản và chắc chắn, gồm 3 bước. Bước 1: tính đạo hàm f′(x) và giải phương trình f′(x) = 0 để tìm các điểm xᵢ thuộc khoảng (a; b). Bước 2: tính các giá trị f(a), f(b) tại hai đầu mút và f(xᵢ) tại từng điểm tới hạn bên trong. Bước 3: so sánh tất cả các giá trị vừa tính — giá trị lớn nhất trong số đó là GTLN, giá trị nhỏ nhất trong số đó là GTNN. Bạn hãy để ý: bạn chỉ cần so sánh một vài con số, không cần lập bảng biến thiên đầy đủ. Đây là phương pháp nhanh nhất và ít sai sót nhất khi làm bài trắc nghiệm.

Khi xét GTLN, GTNN trên một khoảng hoặc nửa khoảng, bạn không còn hai đầu mút để so sánh nữa, nên phải dùng bảng biến thiên. Cách làm như sau: bạn lập bảng biến thiên của hàm số trên tập đang xét, rồi đọc GTLN, GTNN từ bảng — giá trị lớn nhất trong các giá trị tại điểm cực trị và giới hạn tại các đầu mút chính là GTLN, giá trị nhỏ nhất tương tự là GTNN. Tuy nhiên, bạn phải cẩn thận: trên một khoảng mở, hàm số có thể không đạt GTLN hoặc không đạt GTNN, chẳng hạn hàm số y = x trên khoảng (0; 1) không có GTLN cũng không có GTNN, vì nó tiến tới 1 mà không bao giờ bằng 1 và tiến tới 0 mà không bao giờ bằng 0. Khi đó bạn phải trả lời rõ ràng là hàm số không có GTLN hoặc không có GTNN trên khoảng đó, thay vì cố gắng viết một con số.

Một điểm bạn cần lưu ý là GTLN, GTNN khác với cực đại, cực tiểu. Cực đại, cực tiểu là khái niệm địa phương — chỉ so sánh với các giá trị xung quanh trong một lân cận nhỏ. GTLN, GTNN là khái niệm toàn cục trên cả tập đang xét — phải lớn hơn hoặc nhỏ hơn mọi giá trị khác trên tập đó. Một hàm số có thể có nhiều điểm cực đại, nhưng GTLN trên đoạn chỉ là giá trị lớn nhất trong số các giá trị cực đại và các giá trị tại hai đầu mút. Ngược lại, GTLN trên đoạn có thể đạt tại đầu mút, nơi hàm số không đạt cực trị gì cả. Ví dụ hàm số y = x² − 4x + 3 trên đoạn [0; 3] đạt GTLN bằng 3 tại x = 0 — đầu mút bên trái — trong khi điểm cực tiểu x = 2 cho GTNN bằng −1. Khi cần kiểm tra nhanh một giá trị hàm số hay một phép tính đạo hàm, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhưng việc so sánh các ứng viên thì bạn vẫn phải tự làm bằng tay.

Phương pháp này còn là nền tảng của các bài toán tối ưu trong thực tế. Khi một bài toán yêu cầu tìm kích thước để diện tích lớn nhất, chi phí nhỏ nhất hay lợi nhuận cao nhất, bạn hãy làm theo 3 bước quen thuộc: bước 1, lập hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo một biến; bước 2, tìm tập xác định thực tế của biến đó — chẳng hạn độ dài phải dương, thời gian phải nằm trong một khoảng; bước 3, dùng phương pháp trên đoạn hoặc bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN. Nhiều bạn làm sai các bài toán thực tế không phải vì không biết tính đạo hàm, mà vì quên bước 2 — lấy nhầm tập xác định — nên kết quả cuối cùng không còn ý nghĩa thực tế nữa.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x² − 4x + 3 trên đoạn [0; 3].
Hàm số liên tục trên đoạn [0; 3] nên chắc chắn đạt GTLN và GTNN. Đạo hàm y′ = 2x − 4. Giải y′ = 0 ta được x = 2, điểm này thuộc khoảng (0; 3) nên là ứng viên. Tính các giá trị: y(0) = 3, y(2) = 4 − 8 + 3 = −1, y(3) = 9 − 12 + 3 = 0. So sánh ba số 3, −1 và 0: số lớn nhất là 3, số nhỏ nhất là −1. Vậy GTLN của hàm số trên đoạn [0; 3] bằng 3, đạt tại x = 0; GTNN bằng −1, đạt tại x = 2. Bạn hãy đối chiếu với đồ thị ở đầu bài: điểm cao nhất của đoạn đồ thị nằm tại đầu trái (0; 3), điểm thấp nhất nằm tại đáy parabol (2; −1) — đúng với kết quả vừa tính. Đây cũng chính là ví dụ mẫu trong danh sách công thức của bài này.

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x³ − 3x trên đoạn [−2; 2].
Hàm số liên tục trên đoạn [−2; 2] nên chắc chắn đạt GTLN và GTNN. Đạo hàm y′ = 3x² − 3. Giải y′ = 0 ta được x = −1 hoặc x = 1, cả hai điểm đều thuộc khoảng (−2; 2) nên đều là ứng viên. Tính các giá trị: y(−2) = −8 + 6 = −2, y(−1) = −1 + 3 = 2, y(1) = 1 − 3 = −2, y(2) = 8 − 6 = 2. So sánh bốn số −2, 2, −2 và 2: số lớn nhất là 2, số nhỏ nhất là −2. Vậy GTLN của hàm số trên đoạn [−2; 2] bằng 2, đạt tại x = −1 và x = 2; GTNN bằng −2, đạt tại x = −2 và x = 1. Bạn hãy để ý một điều thú vị: GTLN đạt tại cả một điểm cực đại bên trong và một đầu mút, GTNN cũng vậy. Điều này nhắc bạn rằng khi so sánh, bạn không được bỏ qua bất kì ứng viên nào, kể cả khi hai ứng viên cho cùng một giá trị.

Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = −x² + 2x + 3 trên đoạn [0; 3].
Hàm số liên tục trên đoạn [0; 3] nên chắc chắn đạt GTLN và GTNN. Đạo hàm y′ = −2x + 2. Giải y′ = 0 ta được x = 1, điểm này thuộc khoảng (0; 3) nên là ứng viên. Tính các giá trị: y(0) = 3, y(1) = −1 + 2 + 3 = 4, y(3) = −9 + 6 + 3 = 0. So sánh ba số 3, 4 và 0: số lớn nhất là 4, số nhỏ nhất là 0. Vậy GTLN của hàm số trên đoạn [0; 3] bằng 4, đạt tại x = 1; GTNN bằng 0, đạt tại x = 3. Bạn hãy để ý: GTNN đạt tại đầu mút bên phải x = 3, nơi hàm số không đạt cực trị gì cả. Nếu bạn chỉ tìm cực trị mà quên tính giá trị tại hai đầu mút, bạn sẽ trả lời sai GTNN của bài này.

Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + 1/x trên đoạn [1; 2].
Hàm số liên tục trên đoạn [1; 2] nên chắc chắn đạt GTLN và GTNN. Đạo hàm y′ = 1 − 1/x². Giải y′ = 0 ta được x² = 1, tức là x = 1 hoặc x = −1. Trong hai nghiệm này, chỉ có x = 1 thuộc đoạn [1; 2] nhưng nó trùng với đầu mút, nên không tạo thêm ứng viên mới bên trong. Tính các giá trị: y(1) = 1 + 1 = 2, y(2) = 2 + 1/2 = 5/2. So sánh hai số 2 và 5/2: số lớn nhất là 5/2, số nhỏ nhất là 2. Vậy GTLN của hàm số trên đoạn [1; 2] bằng 5/2, đạt tại x = 2; GTNN bằng 2, đạt tại x = 1. Bạn hãy kiểm tra thêm bằng bảng biến thiên: y′ = 1 − 1/x² lớn hơn 0 với mọi x thuộc (1; 2] nên hàm số đồng biến trên đoạn, vì vậy GTNN đạt tại đầu trái và GTLN đạt tại đầu phải — khớp hoàn toàn với kết quả vừa tính. Nếu muốn ôn lại cách xét tính đơn điệu, bạn hãy xem bài quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Chỉ tìm cực trị mà quên tính giá trị tại hai đầu mút.
Nhiều bạn tìm GTLN, GTNN trên đoạn mà chỉ so sánh các giá trị cực trị, bỏ qua f(a) và f(b). Cách tránh: bạn hãy nhớ GTLN, GTNN trên đoạn có thể đạt tại đầu mút. Với hàm số y = −x² + 2x + 3 trên đoạn [0; 3], GTNN bằng 0 đạt tại đầu mút x = 3, không phải tại điểm cực trị nào. Bạn luôn phải tính đủ f(a), f(b) và f(xᵢ) rồi mới so sánh.

Lỗi 2: Lấy điểm tới hạn nằm ngoài đoạn đang xét.
Nhiều bạn giải f′(x) = 0 được x = 5 rồi tính f(5) để so sánh dù đoạn đang xét chỉ là [0; 3]. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra từng nghiệm của f′(x) = 0 xem có thuộc khoảng (a; b) hay không, chỉ giữ lại những nghiệm nằm bên trong đoạn. Nghiệm nằm ngoài đoạn không phải là ứng viên và không được đưa vào so sánh.

Lỗi 3: Nhầm lẫn giữa GTLN, GTNN với giá trị cực đại, cực tiểu.
Nhiều bạn hỏi GTLN trên đoạn thì trả lời giá trị cực đại, hỏi GTNN thì trả lời giá trị cực tiểu. Cách tránh: bạn hãy nhớ GTLN, GTNN là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên toàn bộ tập đang xét, còn cực đại, cực tiểu chỉ là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong một lân cận nhỏ. GTLN trên đoạn là số lớn nhất trong các giá trị cực đại và các giá trị tại hai đầu mút.

Lỗi 4: Kết luận hàm số có GTLN, GTNN trên khoảng mở mà không kiểm tra.
Nhiều bạn thấy bảng biến thiên có điểm cực đại là kết luận ngay đó là GTLN trên khoảng đang xét. Cách tránh: bạn hãy nhớ trên khoảng mở, hàm số có thể không đạt GTLN hoặc GTNN. Bạn phải xem xét cả giới hạn của hàm số tại các đầu mút của khoảng: nếu hàm số tiến tới vô cực thì không có GTLN, nếu nó tiến tới một giá trị mà không bao giờ đạt được thì cũng không có GTLN bằng giá trị đó.

Lỗi 5: Tính sai giá trị hàm số tại điểm tới hạn.
Nhiều bạn tính đúng xᵢ nhưng thay số sai khi tính f(xᵢ), chẳng hạn tính y(2) của hàm y = x² − 4x + 3 thành 1 thay vì −1. Cách tránh: bạn hãy thay số chậm rãi từng bước và kiểm tra lại bằng cách tính nhẩm một lần nữa. Với hàm bậc hai, bạn có thể kiểm tra nhanh bằng công thức đỉnh parabol: đỉnh của y = x² − 4x + 3 nằm tại x = 2 với giá trị y = −1.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính đủ giá trị tại hai đầu mút và tại mọi điểm tới hạn bên trong trước khi so sánh.

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x² − 4x + 3 trên đoạn [0; 3] bằng bao nhiêu?
A. 3
B. −1
C. 0
D. 2

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² − 4x + 3 trên đoạn [0; 3] bằng bao nhiêu?
A. 3
B. 0
C. −1
D. −2

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ − 3x trên đoạn [−2; 2] bằng bao nhiêu?
A. 2
B. −2
C. 0
D. −1

Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số y = −x² + 2x + 3 trên đoạn [0; 3] bằng bao nhiêu?
A. 3
B. 4
C. 0
D. 1

Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1/x trên đoạn [1; 2] bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 5/2
C. 1
D. 3

Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Đạo hàm y′ = 2x − 4, y′ = 0 khi x = 2. Tính y(0) = 3, y(2) = −1, y(3) = 0. Số lớn nhất trong ba số là 3 nên GTLN bằng 3, đạt tại x = 0. Đáp án B sai vì −1 là GTNN. Đáp án C sai vì 0 là giá trị tại đầu mút x = 3, không phải lớn nhất. Đáp án D sai vì không có điểm nào cho giá trị 2.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Đạo hàm y′ = 2x − 4, y′ = 0 khi x = 2. Tính y(0) = 3, y(2) = −1, y(3) = 0. Số nhỏ nhất trong ba số là −1 nên GTNN bằng −1, đạt tại x = 2. Đáp án A sai vì 3 là GTLN. Đáp án B sai vì 0 là giá trị tại đầu mút x = 3, không phải nhỏ nhất. Đáp án D sai vì không có điểm nào cho giá trị −2.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Đạo hàm y′ = 3x² − 3, y′ = 0 khi x = −1 hoặc x = 1. Tính y(−2) = −2, y(−1) = 2, y(1) = −2, y(2) = 2. Số nhỏ nhất trong bốn số là −2 nên GTNN bằng −2, đạt tại x = −2 và x = 1. Đáp án A sai vì 2 là GTLN. Đáp án C sai vì 0 là giá trị tại x = 0, không phải nhỏ nhất. Đáp án D sai vì không có điểm nào cho giá trị −1.

Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Đạo hàm y′ = −2x + 2, y′ = 0 khi x = 1. Tính y(0) = 3, y(1) = 4, y(3) = 0. Số lớn nhất trong ba số là 4 nên GTLN bằng 4, đạt tại x = 1. Đáp án A sai vì 3 là giá trị tại đầu mút x = 0. Đáp án C sai vì 0 là GTNN. Đáp án D sai vì không có điểm nào cho giá trị 1.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Đạo hàm y′ = 1 − 1/x², y′ = 0 khi x = 1 hoặc x = −1, trong đó chỉ x = 1 thuộc đoạn [1; 2] và trùng với đầu mút. Tính y(1) = 2, y(2) = 5/2. Số nhỏ nhất trong hai số là 2 nên GTNN bằng 2, đạt tại x = 1. Đáp án B sai vì 5/2 là GTLN. Đáp án C sai vì không có điểm nào cho giá trị 1. Đáp án D sai vì không có điểm nào cho giá trị 3.

Câu hỏi thường gặp về GTLN, GTNN của hàm số

Hỏi: Hàm số nào cũng có GTLN và GTNN trên đoạn đang xét phải không?
Đáp: Chỉ những hàm số liên tục trên đoạn mới chắc chắn có GTLN và GTNN, theo định lí về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Nếu hàm số gián đoạn trên đoạn — chẳng hạn hàm phân thức có mẫu số bằng 0 tại một điểm trong đoạn — thì nó có thể không có GTLN hoặc GTNN. Bạn phải kiểm tra tính liên tục trước khi áp dụng phương pháp so sánh.

Hỏi: GTLN có nhất thiết đạt tại điểm cực đại không?
Đáp: Không. GTLN trên đoạn có thể đạt tại đầu mút, nơi hàm số không đạt cực trị gì cả. Với hàm số y = x² − 4x + 3 trên đoạn [0; 3], GTLN bằng 3 đạt tại đầu mút x = 0. Vì vậy, bạn luôn phải tính giá trị tại hai đầu mút rồi mới so sánh.

Hỏi: Trên khoảng mở, khi nào hàm số có GTLN, GTNN?
Đáp: Bạn phải dùng bảng biến thiên và xem xét giới hạn tại các đầu mút. Nếu bảng biến thiên cho thấy hàm số có điểm cực đại và giới hạn tại hai đầu đều nhỏ hơn giá trị cực đại đó thì điểm cực đại chính là GTLN. Ngược lại, nếu hàm số tiến tới vô cực ở một đầu thì nó không có GTLN. Tương tự với GTNN.

Hỏi: Vì sao phải kiểm tra điểm tới hạn có thuộc đoạn hay không?
Đáp: Vì chỉ những điểm tới hạn nằm bên trong đoạn mới là ứng viên cho GTLN, GTNN. Một điểm tới hạn nằm ngoài đoạn không ảnh hưởng gì tới giá trị của hàm số trên đoạn đó. Ví dụ hàm số y = x + 1/x trên đoạn [1; 2] có đạo hàm bằng 0 tại x = −1, nhưng điểm này nằm ngoài đoạn nên bạn không được tính f(−1) để so sánh.

Hỏi: Học GTLN, GTNN để làm gì trong thực tế?
Đáp: Rất nhiều bài toán thực tế là bài toán tối ưu: rào vườn sao cho diện tích lớn nhất, chọn kích thước hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất, chọn mức sản xuất sao cho lợi nhuận cao nhất. Tất cả đều đưa về việc tìm GTLN hoặc GTNN của một hàm số. Nắm chắc phương pháp này, bạn sẽ giải được cả một họ bài toán ứng dụng trong đề thi tốt nghiệp. Nếu muốn ôn lại cách tìm cực trị — bước đầu tiên của phương pháp này — bạn hãy xem bài phương pháp tính cực trị của hàm số.

Kết luận

Phương pháp tính GTLN, GTNN trên đoạn chỉ gói gọn trong 3 bước: tính đạo hàm và tìm các điểm tới hạn bên trong, tính giá trị hàm số tại hai đầu mút và tại các điểm tới hạn đó, rồi so sánh để chọn ra số lớn nhất và số nhỏ nhất. Bạn hãy nhớ luôn tính đủ giá trị tại hai đầu mút, chỉ giữ lại các điểm tới hạn nằm trong đoạn, và phân biệt rõ GTLN, GTNN với cực đại, cực tiểu. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tìm GTLN, GTNN của bất kì hàm số nào trong chương trình lớp 12, kể cả các bài toán tối ưu trong thực tế.