Bạn đang lái xe trên một con đường cong. Tại mỗi thời điểm, hướng đi của bạn chính là hướng của đường thẳng chạm vào con đường tại đúng vị trí bạn đang đứng — đường thẳng ấy gọi là tiếp tuyến. Trong toán học, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cũng có ý nghĩa tương tự: nó là đường thẳng chạm vào đồ thị tại đúng điểm đó và có cùng hướng đi với đồ thị tại điểm đó. Hệ số góc của tiếp tuyến chính là đạo hàm của hàm số tại điểm đó — và đó là một trong những ý nghĩa hình học đẹp nhất của đạo hàm.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số một cách có hệ thống: từ định nghĩa tiếp tuyến và ý nghĩa hình học của đạo hàm, công thức phương trình tiếp tuyến, cho tới các dạng bài thường gặp — viết tiếp tuyến tại một điểm, viết tiếp tuyến khi biết hệ số góc, viết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước — cùng 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ một công thức duy nhất — y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀) — bạn sẽ viết được mọi phương trình tiếp tuyến trong chương trình lớp 12.
Phương pháp tìm tiếp tuyến: một điểm, một hệ số góc là đủ
Trước hết, bạn cần nhớ đúng định nghĩa và ý nghĩa hình học của đạo hàm. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x₀; f(x₀)) là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc bằng f′(x₀). Nói bằng lời đời thường: đạo hàm tại một điểm cho bạn biết đồ thị đang dốc lên hay dốc xuống tại điểm đó, và dốc bao nhiêu. Nếu f′(x₀) dương thì tiếp tuyến dốc lên từ trái sang phải, nếu f′(x₀) âm thì tiếp tuyến dốc xuống, nếu f′(x₀) bằng 0 thì tiếp tuyến nằm ngang. Điểm M gọi là tiếp điểm — điểm mà tại đó đường thẳng chạm vào đồ thị.
Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; f(x₀)) là y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀). Bạn hãy nhớ công thức này bằng cách hiểu từng thành phần: f(x₀) là tung độ của tiếp điểm, f′(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến, còn (x − x₀) là độ lệch theo phương ngang tính từ tiếp điểm. Khi x = x₀, công thức cho y = f(x₀) — đúng là tung độ của tiếp điểm. Khi x tăng thêm 1 đơn vị, y tăng thêm f′(x₀) đơn vị — đúng với ý nghĩa của hệ số góc. Đây là dạng phương trình đường thẳng đi qua một điểm với hệ số góc cho trước mà bạn đã học ở lớp 10, chỉ khác là hệ số góc ở đây được tính bằng đạo hàm.
Quy trình viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm gồm 3 bước. Bước 1: tính f(x₀) — tung độ của tiếp điểm. Bước 2: tính đạo hàm f′(x) rồi thay x = x₀ để được hệ số góc k = f′(x₀). Bước 3: thay vào công thức y = k(x − x₀) + f(x₀) rồi rút gọn. Bạn hãy cẩn thận ở bước 2: nhiều bạn tính đúng f′(x) nhưng thay số sai khi tính f′(x₀), chẳng hạn tính f′(1) của hàm số y = x² thành 1 thay vì 2. Một cách kiểm tra nhanh: hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên parabol y = x² bằng đúng hai lần hoành độ của điểm đó, vì f′(x) = 2x.
Ngoài dạng cơ bản trên, bạn còn gặp hai dạng bài mở rộng. Dạng thứ nhất: viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k. Khi đó bạn giải phương trình f′(x) = k để tìm hoành độ tiếp điểm x₀, rồi tính f(x₀) và viết phương trình như dạng cơ bản. Dạng này có thể cho không có, một hoặc nhiều tiếp điểm tùy thuộc vào số nghiệm của phương trình f′(x) = k. Dạng thứ hai: viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A cho trước mà không nằm trên đồ thị. Khi đó bạn gọi tiếp điểm là M(x₀; f(x₀)), viết phương trình tiếp tuyến theo x₀, rồi dùng điều kiện đường thẳng đi qua A để giải tìm x₀. Dạng này thường dẫn tới một phương trình bậc cao và có thể cho nhiều tiếp tuyến khác nhau đi qua cùng một điểm A. Khi cần kiểm tra nhanh một giá trị đạo hàm hay giải một phương trình, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhưng việc lập phương trình tiếp tuyến thì bạn vẫn phải tự làm bằng tay.
Một điểm bạn cần lưu ý là tiếp tuyến có thể cắt đồ thị tại những điểm khác ngoài tiếp điểm. Ví dụ tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ tại điểm (1; 1) là đường thẳng y = 3x − 2, đường thẳng này còn cắt đồ thị tại một điểm nữa. Điều này hoàn toàn bình thường: định nghĩa tiếp tuyến chỉ yêu cầu đường thẳng chạm vào đồ thị tại tiếp điểm với cùng hướng đi, không yêu cầu nó không được cắt đồ thị ở nơi khác. Vì vậy, bạn đừng ngạc nhiên khi giải phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị mà tìm được thêm nghiệm ngoài x₀.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 1.
Bước 1: tính tung độ của tiếp điểm: f(1) = 1² = 1, nên tiếp điểm là M(1; 1). Bước 2: tính đạo hàm f′(x) = 2x, thay x₀ = 1 được hệ số góc k = f′(1) = 2 × 1 = 2. Bước 3: thay vào công thức y = k(x − x₀) + f(x₀), ta được y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 2 + 1 = 2x − 1. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2x − 1. Bạn hãy đối chiếu với đồ thị ở đầu bài: đường thẳng màu đỏ y = 2x − 1 chạm vào parabol y = x² tại đúng điểm M(1; 1) và đi lên với hệ số góc bằng 2 — đúng với kết quả vừa tính. Đây cũng chính là ví dụ mẫu trong danh sách công thức của bài này.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ tại điểm có hoành độ x₀ = 1.
Bước 1: tính tung độ của tiếp điểm: f(1) = 1³ = 1, nên tiếp điểm là M(1; 1). Bước 2: tính đạo hàm f′(x) = 3x², thay x₀ = 1 được hệ số góc k = f′(1) = 3 × 1² = 3. Bước 3: thay vào công thức y = k(x − x₀) + f(x₀), ta được y = 3(x − 1) + 1 = 3x − 3 + 1 = 3x − 2. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3x − 2. Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm: x³ = 3x − 2, tức là x³ − 3x + 2 = 0, phân tích thành (x − 1)²(x + 2) = 0. Nghiệm kép x = 1 ứng với tiếp điểm, nghiệm đơn x = −2 ứng với giao điểm còn lại của tiếp tuyến với đồ thị. Việc xuất hiện nghiệm kép tại tiếp điểm chính là dấu hiệu cho thấy đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại đó.
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 2.
Bước 1: tính tung độ của tiếp điểm: f(2) = 2² = 4, nên tiếp điểm là M(2; 4). Bước 2: tính đạo hàm f′(x) = 2x, thay x₀ = 2 được hệ số góc k = f′(2) = 2 × 2 = 4. Bước 3: thay vào công thức y = k(x − x₀) + f(x₀), ta được y = 4(x − 2) + 4 = 4x − 8 + 4 = 4x − 4. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4x − 4. Bạn hãy so sánh với ví dụ 1: cùng một parabol y = x² nhưng tại x₀ = 2, tiếp tuyến dốc hơn — hệ số góc bằng 4 thay vì 2 — vì càng xa đỉnh parabol, đồ thị càng dốc. Đây chính là ý nghĩa hình học của đạo hàm: f′(x) = 2x tăng dần khi x tăng, nên tiếp tuyến ngày càng dốc khi bạn đi sang phải.
Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/x tại điểm có hoành độ x₀ = 1.
Bước 1: tính tung độ của tiếp điểm: f(1) = 1/1 = 1, nên tiếp điểm là M(1; 1). Bước 2: tính đạo hàm f′(x) = −1/x², thay x₀ = 1 được hệ số góc k = f′(1) = −1/1² = −1. Bước 3: thay vào công thức y = k(x − x₀) + f(x₀), ta được y = −1 × (x − 1) + 1 = −x + 1 + 1 = −x + 2. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −x + 2. Bạn hãy để ý dấu của hệ số góc: f′(1) = −1 âm nên tiếp tuyến dốc xuống từ trái sang phải, đúng với dáng điệu của nhánh đồ thị y = 1/x ở phía bên phải trục tung — hàm số đang giảm nên tiếp tuyến phải dốc xuống. Nếu muốn ôn lại cách tính đạo hàm của hàm phân thức, bạn hãy xem bài quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm lẫn giữa hoành độ tiếp điểm và hệ số góc.
Nhiều bạn viết phương trình tiếp tuyến của y = x² tại x₀ = 1 thành y = 1 × (x − 1) + 1, tức là lấy hoành độ làm hệ số góc. Cách tránh: bạn hãy nhớ hệ số góc là f′(x₀), không phải x₀. Với hàm số y = x² tại x₀ = 1, hệ số góc là f′(1) = 2, nên phương trình tiếp tuyến đúng là y = 2x − 1.
Lỗi 2: Quên tính tung độ của tiếp điểm.
Nhiều bạn viết phương trình tiếp tuyến thành y = f′(x₀)(x − x₀) mà quên cộng f(x₀). Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đầy đủ là y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀). Nếu bạn quên số hạng f(x₀), đường thẳng của bạn sẽ đi qua gốc tọa độ thay vì đi qua tiếp điểm. Bạn luôn có thể kiểm tra lại bằng cách thay x = x₀ vào phương trình vừa viết: kết quả phải bằng f(x₀).
Lỗi 3: Tính sai đạo hàm tại điểm.
Nhiều bạn tính đúng f′(x) = 2x nhưng thay x₀ = 1 lại được f′(1) = 1. Cách tránh: bạn hãy thay số chậm rãi và kiểm tra lại. Với f′(x) = 2x, f′(1) = 2 × 1 = 2. Với f′(x) = 3x², f′(1) = 3 × 1² = 3. Một lỗi thường gặp khác là quên bình phương khi tính đạo hàm của hàm số y = x³: f′(x) = 3x² chứ không phải 3x.
Lỗi 4: Viết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước mà nhầm điểm đó là tiếp điểm.
Nhiều bạn thấy đề cho điểm A(0; −1) và yêu cầu viết tiếp tuyến đi qua A thì lấy ngay A làm tiếp điểm. Cách tránh: bạn hãy nhớ điểm A cho trước chưa chắc đã nằm trên đồ thị, nên chưa chắc đã là tiếp điểm. Bạn phải gọi tiếp điểm là M(x₀; f(x₀)) với x₀ chưa biết, viết phương trình tiếp tuyến theo x₀, rồi dùng điều kiện đường thẳng đi qua A để giải tìm x₀.
Lỗi 5: Rút gọn sai khi triển khai công thức.
Nhiều bạn viết y = 2(x − 1) + 1 thành y = 2x − 1 là đúng, nhưng có bạn viết thành y = 2x − 3 vì tính 2 × (−1) + 1 thành −3. Cách tránh: bạn hãy triển khai từng bước một: 2(x − 1) = 2x − 2, rồi 2x − 2 + 1 = 2x − 1. Đừng vội rút gọn trong đầu khi các con số có dấu âm.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính đủ cả tung độ tiếp điểm và hệ số góc trước khi viết phương trình.
Câu 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 1 là đường thẳng nào sau đây?
A. y = 2x − 1
B. y = x + 1
C. y = 2x + 1
D. y = x − 1
Câu 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 2 bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ tại điểm có hoành độ x₀ = 1 là đường thẳng nào sau đây?
A. y = 3x − 2
B. y = 3x + 2
C. y = x − 2
D. y = 3x − 1
Câu 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 0 là đường thẳng nào sau đây?
A. y = x
B. y = 0
C. y = 1
D. y = −x
Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/x tại điểm có hoành độ x₀ = 1 là đường thẳng nào sau đây?
A. y = −x + 2
B. y = x + 2
C. y = −x − 2
D. y = x − 2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | A | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Tung độ tiếp điểm là f(1) = 1, hệ số góc là f′(1) = 2 × 1 = 2. Phương trình tiếp tuyến là y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1. Đáp án B sai vì lấy hoành độ làm hệ số góc. Đáp án C sai vì rút gọn 2(x − 1) + 1 thành 2x + 1 là sai dấu. Đáp án D sai vì hệ số góc phải bằng 2 chứ không phải 1.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Đạo hàm f′(x) = 2x, thay x₀ = 2 được f′(2) = 2 × 2 = 4. Vậy hệ số góc bằng 4. Đáp án A sai vì 2 là hệ số góc tại x₀ = 1. Đáp án B sai vì không có điểm nào trên parabol y = x² có hệ số góc bằng 3 tại hoành độ nguyên. Đáp án D sai vì 1 là tung độ của tiếp điểm tại x₀ = 1, không phải hệ số góc.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Tung độ tiếp điểm là f(1) = 1, hệ số góc là f′(1) = 3 × 1² = 3. Phương trình tiếp tuyến là y = 3(x − 1) + 1 = 3x − 2. Đáp án B sai vì rút gọn sai dấu. Đáp án C sai vì hệ số góc phải bằng 3 chứ không phải 1. Đáp án D sai vì 3(x − 1) + 1 = 3x − 2 chứ không phải 3x − 1.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Tung độ tiếp điểm là f(0) = 0, hệ số góc là f′(0) = 2 × 0 = 0. Phương trình tiếp tuyến là y = 0 × (x − 0) + 0 = 0, tức là trục hoành. Đáp án A sai vì đường thẳng y = x có hệ số góc bằng 1. Đáp án C sai vì đường thẳng y = 1 không đi qua gốc tọa độ. Đáp án D sai vì đường thẳng y = −x có hệ số góc bằng −1.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Tung độ tiếp điểm là f(1) = 1, hệ số góc là f′(1) = −1/1² = −1. Phương trình tiếp tuyến là y = −1 × (x − 1) + 1 = −x + 2. Đáp án B sai vì hệ số góc phải bằng −1 chứ không phải 1. Đáp án C sai vì rút gọn −(x − 1) + 1 thành −x − 2 là sai dấu. Đáp án D sai vì vừa sai hệ số góc vừa sai tung độ.
Câu hỏi thường gặp về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Hỏi: Tiếp tuyến có thể cắt đồ thị tại điểm khác ngoài tiếp điểm không?
Đáp: Có thể. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ tại điểm (1; 1) là đường thẳng y = 3x − 2, đường thẳng này còn cắt đồ thị tại điểm (−2; −8). Định nghĩa tiếp tuyến chỉ yêu cầu đường thẳng chạm vào đồ thị tại tiếp điểm với cùng hướng đi, không cấm nó cắt đồ thị ở nơi khác.
Hỏi: Làm thế nào để viết tiếp tuyến khi biết hệ số góc?
Đáp: Bạn giải phương trình f′(x) = k để tìm hoành độ tiếp điểm x₀, rồi tính f(x₀) và viết phương trình như dạng cơ bản. Ví dụ viết tiếp tuyến của y = x² có hệ số góc bằng 4: giải 2x = 4 được x₀ = 2, tiếp điểm là (2; 4), phương trình tiếp tuyến là y = 4x − 4. Phương trình f′(x) = k có thể cho không có, một hoặc nhiều nghiệm, tương ứng với không có, một hoặc nhiều tiếp tuyến.
Hỏi: Làm thế nào để viết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước?
Đáp: Bạn gọi tiếp điểm là M(x₀; f(x₀)), viết phương trình tiếp tuyến theo x₀ là y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀), rồi thay tọa độ của điểm cho trước vào phương trình để giải tìm x₀. Ví dụ viết tiếp tuyến của y = x² đi qua điểm A(0; −1): phương trình tiếp tuyến tại x₀ là y = 2x₀(x − x₀) + x₀², thay x = 0, y = −1 được −x₀² = −1, tức là x₀ = 1 hoặc x₀ = −1, nên có hai tiếp tuyến là y = 2x − 1 và y = −2x − 1.
Hỏi: Hệ số góc của tiếp tuyến cho biết điều gì về đồ thị?
Đáp: Hệ số góc bằng đạo hàm tại điểm đó, cho biết đồ thị đang dốc lên hay dốc xuống và dốc bao nhiêu. Hệ số góc dương nghĩa là đồ thị đang đi lên, hệ số góc âm nghĩa là đồ thị đang đi xuống, hệ số góc bằng 0 nghĩa là tiếp tuyến nằm ngang — đó chính là dấu hiệu của điểm cực trị. Hệ số góc càng lớn thì đồ thị càng dốc.
Hỏi: Học tiếp tuyến để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Tiếp tuyến là ứng dụng trực tiếp và đẹp nhất của đạo hàm: nó cho bạn ý nghĩa hình học của đạo hàm và là công cụ để xấp xỉ hàm số bằng hàm bậc nhất gần một điểm. Trong chương trình lớp 12, tiếp tuyến còn xuất hiện trong các bài toán tương giao và bài toán tìm tham số để hai đồ thị tiếp xúc nhau. Nếu muốn ôn lại ý nghĩa của đạo hàm qua tính đơn điệu, bạn hãy xem bài quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Kết luận
Phương pháp tìm tiếp tuyến chỉ gói gọn trong một công thức: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀). Bạn hãy nhớ 3 bước làm bài — tính tung độ tiếp điểm f(x₀), tính hệ số góc k = f′(x₀), thay vào công thức rồi rút gọn — và luôn kiểm tra lại bằng cách thay x = x₀ vào phương trình vừa viết để xem có được f(x₀) hay không. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để viết phương trình tiếp tuyến của bất kì đồ thị nào trong chương trình lớp 12, kể cả các dạng mở rộng khi biết hệ số góc hoặc khi tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.