Một lớp học có 40 học sinh, chiều cao của các bạn được ghi lại thành từng nhóm: 4 bạn cao từ 150 đến dưới 155 cm, 10 bạn từ 155 đến dưới 160 cm, 14 bạn từ 160 đến dưới 165 cm… Nếu muốn biết chiều cao trung bình của cả lớp, bạn không thể cộng từng chiều cao cụ thể — vì bạn không có số liệu từng người, chỉ có số liệu theo nhóm. Lúc này, số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là công cụ bạn cần: mỗi nhóm được đại diện bằng một giá trị duy nhất, rồi lấy trung bình có trọng số theo tần số của từng nhóm.
Bài này sẽ hướng dẫn bạn tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm một cách có hệ thống: từ khái niệm giá trị đại diện của một nhóm, công thức trung bình có trọng số, cách lập bảng tính nhanh không bị nhầm, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là số đặc trưng đầu tiên và quan trọng nhất của mẫu số liệu ghép nhóm — học chắc bài này thì hai bài trung vị, tứ phân vị và mốt sau đó sẽ dễ hơn rất nhiều.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm: mỗi nhóm một "đại diện"
Khi dữ liệu được cho dưới dạng ghép nhóm, mỗi nhóm [a; b) gồm các giá trị nằm trong khoảng từ a đến dưới b, và bạn không biết chính xác từng giá trị trong nhóm. Để tính trung bình, người ta dùng giá trị đại diện của nhóm, kí hiệu xᵢ, là trung điểm của khoảng: xᵢ = (a + b)/2. Ví dụ nhóm [0; 5) có giá trị đại diện là 2,5; nhóm [5; 10) có giá trị đại diện là 7,5; nhóm [10; 15) có giá trị đại diện là 12,5. Bạn hãy hình dung giá trị đại diện như "người đại diện" của cả nhóm — mọi giá trị trong nhóm đều được thay bằng con số này khi tính toán.
Công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + … + nₖxₖ)/N, trong đó nᵢ là tần số của nhóm thứ i (số giá trị thuộc nhóm đó), xᵢ là giá trị đại diện của nhóm thứ i, và N = n₁ + n₂ + … + nₖ là cỡ mẫu, tức là tổng số giá trị trong mẫu. Đây chính là trung bình có trọng số: nhóm nào có tần số lớn thì giá trị đại diện của nhóm đó ảnh hưởng nhiều hơn đến kết quả cuối cùng.
Bạn cần lưu ý một điều quan trọng: số trung bình cộng tính từ mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ của số trung bình cộng thật (tính từ dữ liệu gốc chưa ghép nhóm), vì bạn đã thay mỗi giá trị thật bằng giá trị đại diện của nhóm chứa nó. Sai số này thường nhỏ khi các nhóm hẹp, và nó là cái giá phải trả để xử lí dữ liệu lớn một cách gọn nhẹ. Trong đề thi, người ta luôn chấp nhận kết quả tính theo công thức này — bạn không cần lo về sai số, chỉ cần tính đúng công thức.
Để tính nhanh và tránh nhầm, bạn nên lập một bảng với bốn cột: nhóm, tần số nᵢ, giá trị đại diện xᵢ, và tích nᵢxᵢ. Điền từng hàng, cộng tổng cột nᵢ được N, cộng tổng cột nᵢxᵢ được tử số, rồi chia cho nhau. Cách làm này giúp bạn kiểm soát từng con số — chỉ cần một tích nᵢxᵢ sai là cả đáp án sai theo. Một mẹo nhỏ nữa: nếu tất cả các giá trị đều tăng thêm một hằng số c thì số trung bình cũng tăng thêm c; nếu tất cả nhân với một hằng số k thì số trung bình cũng nhân với k. Tính chất này giúp bạn kiểm tra nhanh kết quả. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm: nhóm [0; 5) có tần số 3, nhóm [5; 10) có tần số 7, nhóm [10; 15) có tần số 2.
Trước hết, bạn xác định giá trị đại diện của từng nhóm: x₁ = (0 + 5)/2 = 2,5; x₂ = (5 + 10)/2 = 7,5; x₃ = (10 + 15)/2 = 12,5. Cỡ mẫu là N = 3 + 7 + 2 = 12. Áp dụng công thức: x̄ = (3 × 2,5 + 7 × 7,5 + 2 × 12,5)/12 = (7,5 + 52,5 + 25)/12 = 85/12 ≈ 7,08. Vậy số trung bình cộng của mẫu là khoảng 7,08. Bạn hãy để ý: nhóm [5; 10) có tần số lớn nhất (7 trên tổng số 12) nên kết quả 7,08 nằm trong nhóm này — đó là dấu hiệu cho thấy bạn tính đúng, vì trung bình luôn bị "kéo" về phía nhóm đông nhất.
Ví dụ 2 (thời gian đi học): Khảo sát thời gian đi từ nhà đến trường của 25 học sinh: nhóm [0; 10) phút có 8 bạn, nhóm [10; 20) phút có 12 bạn, nhóm [20; 30) phút có 5 bạn. Tính thời gian trung bình.
Giá trị đại diện của các nhóm là x₁ = 5, x₂ = 15, x₃ = 25 (đơn vị phút). Cỡ mẫu N = 8 + 12 + 5 = 25. Số trung bình là x̄ = (8 × 5 + 12 × 15 + 5 × 25)/25 = (40 + 180 + 125)/25 = 345/25 = 13,8 phút. Vậy thời gian đi học trung bình của 25 bạn là 13,8 phút. Bạn có thể diễn giải kết quả này cho người nghe: một học sinh "điển hình" trong mẫu mất khoảng gần 14 phút để đến trường.
Ví dụ 3 (chiều cao học sinh): Chiều cao của 40 học sinh được thống kê: [150; 155) có 4 bạn, [155; 160) có 10 bạn, [160; 165) có 14 bạn, [165; 170) có 8 bạn, [170; 175) có 4 bạn. Tính chiều cao trung bình.
Giá trị đại diện lần lượt là 152,5; 157,5; 162,5; 167,5 và 172,5 cm. Bạn lập bảng tính: 4 × 152,5 = 610; 10 × 157,5 = 1 575; 14 × 162,5 = 2 275; 8 × 167,5 = 1 340; 4 × 172,5 = 690. Tổng các tích là 610 + 1 575 + 2 275 + 1 340 + 690 = 6 490. Cỡ mẫu N = 4 + 10 + 14 + 8 + 4 = 40. Vậy x̄ = 6 490/40 = 162,25 cm. Chiều cao trung bình của lớp là 162,25 cm. Bạn hãy để ý phân phối này khá đối xứng quanh nhóm giữa [160; 165) — và số trung bình 162,25 cũng nằm ngay trong nhóm đó, phù hợp với cảm nhận trực quan.
Ví dụ 4 (điểm kiểm tra): Điểm kiểm tra Toán của 20 học sinh được ghép nhóm: [0; 2) có 1 bạn, [2; 4) có 3 bạn, [4; 6) có 5 bạn, [6; 8) có 6 bạn, [8; 10) có 5 bạn. Tính điểm trung bình.
Giá trị đại diện của các nhóm là 1, 3, 5, 7 và 9. Bạn tính các tích: 1 × 1 = 1; 3 × 3 = 9; 5 × 5 = 25; 6 × 7 = 42; 5 × 9 = 45. Tổng các tích là 1 + 9 + 25 + 42 + 45 = 122. Cỡ mẫu N = 1 + 3 + 5 + 6 + 5 = 20. Vậy điểm trung bình là x̄ = 122/20 = 6,1. Bạn có thể nhận xét thêm: điểm trung bình 6,1 cho thấy mặt bằng chung của lớp ở mức khá, và vì nhóm [6; 8) đông nhất nên kết quả nằm trong khoảng này là hợp lí. Nếu muốn học tiếp số đặc trưng tiếp theo, bạn hãy xem bài trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng đầu mút của nhóm thay vì giá trị đại diện.
Nhiều bạn tính trung bình của nhóm [0; 5) bằng 0 hoặc bằng 5 thay vì 2,5. Cách tránh: bạn hãy nhớ giá trị đại diện là trung điểm của khoảng — luôn bằng (đầu trái + đầu phải)/2.
Lỗi 2: Quên nhân giá trị đại diện với tần số.
Nhiều bạn cộng các giá trị đại diện rồi chia cho số nhóm, tức là tính trung bình của các xᵢ mà bỏ qua nᵢ. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức có trọng số — mỗi giá trị đại diện phải được nhân với tần số của nhóm nó trước khi cộng lại.
Lỗi 3: Chia cho số nhóm thay vì chia cho cỡ mẫu N.
Nhiều bạn tính đúng tử số rồi chia cho số nhóm k thay vì chia cho tổng tần số N. Cách tránh: bạn hãy luôn cộng tổng cột tần số để được N trước, rồi mới chia — và kiểm tra xem N có bằng tổng số liệu đề bài cho hay không.
Lỗi 4: Tính sai giá trị đại diện khi nhóm có độ dài khác nhau.
Nhiều bạn quen tay lấy trung điểm bằng cách cộng 5 vào đầu trái, nhưng nếu nhóm là [0; 4) thì giá trị đại diện là 2 chứ không phải 5. Cách tránh: bạn hãy tính trung điểm theo công thức (a + b)/2 cho từng nhóm, đừng áp dụng máy móc một con số cố định.
Lỗi 5: Làm tròn quá sớm trong quá trình tính.
Nhiều bạn làm tròn từng tích nᵢxᵢ hoặc từng giá trị đại diện về số nguyên rồi mới cộng, khiến đáp án lệch khỏi đáp án đúng. Cách tránh: bạn hãy giữ nguyên phân số hoặc số thập phân đầy đủ trong suốt quá trình tính, chỉ làm tròn ở kết quả cuối cùng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ lập bảng tần số – giá trị đại diện – tích trước khi tính.
Câu 1: Mẫu số liệu ghép nhóm: [0; 10) có tần số 4, [10; 20) có tần số 6. Số trung bình cộng của mẫu là
A. 11
B. 10
C. 12
D. 9
Câu 2: Mẫu số liệu ghép nhóm: [0; 5) có tần số 2, [5; 10) có tần số 3. Số trung bình cộng của mẫu là
A. 5
B. 5,5
C. 6
D. 7,5
Câu 3: Giá trị đại diện của nhóm [10; 20) là
A. 10
B. 20
C. 15
D. 30
Câu 4: Một mẫu có cỡ N = 20 và tổng nᵢxᵢ = 300. Số trung bình cộng của mẫu là
A. 15
B. 20
C. 10
D. 300
Câu 5: Mẫu số liệu ghép nhóm: [0; 4) có tần số 5, [4; 8) có tần số 5. Số trung bình cộng của mẫu là
A. 2
B. 6
C. 4
D. 5
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | A | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Giá trị đại diện là x₁ = 5 và x₂ = 15; x̄ = (4 × 5 + 6 × 15)/10 = (20 + 90)/10 = 11. Đáp án B sai vì 10 là cỡ mẫu, không phải trung bình. Đáp án C sai vì đó là kết quả khi tính nhầm x₂ = 16. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 9.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Giá trị đại diện là x₁ = 2,5 và x₂ = 7,5; x̄ = (2 × 2,5 + 3 × 7,5)/5 = (5 + 22,5)/5 = 27,5/5 = 5,5. Đáp án A sai vì đó là kết quả khi quên nhân với tần số: (2,5 + 7,5)/2 = 5. Đáp án C sai vì không có cơ sở nào cho ra 6. Đáp án D sai vì đó là giá trị đại diện của nhóm thứ hai, không phải trung bình.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: Giá trị đại diện là trung điểm của khoảng: (10 + 20)/2 = 15. Đáp án A sai vì đó là đầu trái của nhóm. Đáp án B sai vì đó là đầu phải của nhóm. Đáp án D sai vì đó là tổng hai đầu mút, không phải trung điểm.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Áp dụng công thức x̄ = (tổng nᵢxᵢ)/N = 300/20 = 15. Đáp án B sai vì đó là cỡ mẫu N. Đáp án C sai vì không có cơ sở nào cho ra 10. Đáp án D sai vì đó là tử số, chưa chia cho N.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: Giá trị đại diện là x₁ = 2 và x₂ = 6; x̄ = (5 × 2 + 5 × 6)/10 = (10 + 30)/10 = 4. Đáp án A sai vì đó là giá trị đại diện của nhóm thứ nhất. Đáp án B sai vì đó là giá trị đại diện của nhóm thứ hai. Đáp án D sai vì đó là tần số của mỗi nhóm, không phải trung bình.
Câu hỏi thường gặp về số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm
Hỏi: Giá trị đại diện của một nhóm là gì?
Đáp: Là trung điểm của khoảng xác định nhóm đó, tính bằng (đầu trái + đầu phải)/2. Ví dụ nhóm [0; 5) có giá trị đại diện là 2,5; nhóm [10; 20) có giá trị đại diện là 15.
Hỏi: Vì sao số trung bình tính từ mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ?
Đáp: Vì bạn đã thay mỗi giá trị thật trong nhóm bằng giá trị đại diện của nhóm đó. Nếu các giá trị thật phân bố lệch trong nhóm thì kết quả sẽ lệch đôi chút so với trung bình thật tính từ dữ liệu gốc.
Hỏi: Nhóm có tần số lớn nhất ảnh hưởng thế nào đến số trung bình?
Đáp: Nhóm đông nhất "kéo" số trung bình về phía mình mạnh nhất, vì giá trị đại diện của nó được nhân với tần số lớn nhất trong công thức. Vì vậy số trung bình thường nằm trong hoặc gần nhóm có tần số lớn nhất.
Hỏi: Có thể tính số trung bình khi các nhóm có độ dài khác nhau không?
Đáp: Có. Công thức vẫn đúng: bạn tính giá trị đại diện của từng nhóm theo (a + b)/2 rồi áp dụng trung bình có trọng số như bình thường. Độ dài nhóm khác nhau không làm thay đổi công thức.
Hỏi: Số trung bình cộng dùng để làm gì trong thực tế?
Đáp: Nó cho bạn một con số duy nhất đại diện cho "mức độ điển hình" của cả mẫu — ví dụ chiều cao trung bình của một lớp, thời gian đi học trung bình, điểm trung bình của một khối. Nhờ đó bạn có thể so sánh nhanh hai tập thể khác nhau mà không cần nhìn vào toàn bộ dữ liệu.
Kết luận
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ gói gọn trong một công thức: x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + … + nₖxₖ)/N, trong đó xᵢ là giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm thứ i. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn tính giá trị đại diện bằng (a + b)/2, luôn nhân với tần số trước khi cộng, và luôn chia cho tổng tần số N chứ không phải số nhóm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính số trung bình cộng của bất kì mẫu số liệu ghép nhóm nào trong đề thi.