Bạn có điểm kiểm tra của cả lớp, đã xếp thành từng nhóm. Số trung bình cho bạn biết điểm "điển hình" là bao nhiêu, nhưng nó có một điểm yếu: chỉ cần một vài điểm 0 hoặc điểm 10 cực đoan là trung bình bị kéo lệch ngay. Trung vị thì khác — nó là giá trị đứng chính giữa khi xếp tất cả theo thứ tự, nên vài giá trị cực đoan không làm nó lung lay. Cùng với hai tứ phân vị Q1 và Q3, trung vị cho bạn bức tranh đầy đủ về cách dữ liệu phân bố: một nửa lớp ở đâu, một nửa còn lại ở đâu, và khoảng giữa của lớp rộng hay hẹp.
Bài này sẽ hướng dẫn bạn tính trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm một cách có hệ thống: từ cách xác định nhóm chứa trung vị bằng tần số tích lũy, công thức nội suy tuyến tính trong nhóm, cách tính Q1 và Q3 theo cùng một nguyên tắc, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học tiếp nối trực tiếp của bài số trung bình cộng — bạn nên nắm chắc công thức trung bình trước khi đọc tiếp.
Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: tìm nhóm chứa rồi nội suy
Trung vị của một mẫu số liệu, kí hiệu Me, là giá trị chia mẫu thành hai nửa bằng nhau: một nửa các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Me, một nửa lớn hơn hoặc bằng Me. Với mẫu số liệu ghép nhóm, bạn không có dữ liệu từng giá trị nên không thể xếp thứ tự trực tiếp. Thay vào đó, bạn dùng tần số tích lũy để tìm nhóm chứa trung vị: đó là nhóm đầu tiên mà tần số tích lũy (cộng dồn từ nhóm đầu tiên) đạt hoặc vượt quá N/2, trong đó N là cỡ mẫu.
Sau khi tìm được nhóm chứa trung vị, bạn tính trung vị bằng công thức: Me = l + ((N/2 − F)/f) × h, trong đó l là đầu trái của nhóm chứa trung vị, F là tần số tích lũy của các nhóm đứng trước nhóm đó, f là tần số của nhóm chứa trung vị, và h là độ dài của nhóm (hiệu hai đầu mút). Ý nghĩa của công thức này rất trực quan: bạn cần đi thêm (N/2 − F) vị trí nữa trong nhóm để chạm tới vị trí giữa, và bạn giả thiết các giá trị trong nhóm phân bố đều nên mỗi vị trí chiếm một đoạn h/f.
Tứ phân vị được tính theo đúng nguyên tắc đó, chỉ khác vị trí cần tìm. Tứ phân vị thứ nhất Q1 là giá trị mà một phần tư dữ liệu nằm dưới nó, ứng với vị trí N/4. Tứ phân vị thứ ba Q3 là giá trị mà ba phần tư dữ liệu nằm dưới nó, ứng với vị trí 3N/4. Công thức hoàn toàn tương tự: Q1 = l + ((N/4 − F)/f) × h và Q3 = l + ((3N/4 − F)/f) × h, trong đó l, F, f, h được xác định theo nhóm chứa Q1 hoặc Q3 tương ứng. Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ΔQ = Q3 − Q1, cho biết độ phân tán của nửa giữa dữ liệu — ΔQ càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung quanh trung vị.
Bạn cần lưu ý hai điểm. Thứ nhất, nhóm chứa là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng vị trí cần tìm — chữ "đầu tiên" rất quan trọng, vì nếu vị trí cần tìm đúng bằng tần số tích lũy của một nhóm thì nhóm đó chính là nhóm chứa, không phải nhóm sau. Thứ hai, trung vị và tứ phân vị tính từ mẫu ghép nhóm cũng chỉ là giá trị xấp xỉ, giống như số trung bình cộng, vì chúng dựa trên giả thiết dữ liệu phân bố đều trong nhóm. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: nhóm [0; 5) có tần số 3, nhóm [5; 10) có tần số 7, nhóm [10; 15) có tần số 2.
Cỡ mẫu là N = 3 + 7 + 2 = 12, nên vị trí của trung vị là N/2 = 6. Bạn tính tần số tích lũy: nhóm [0; 5) tích lũy được 3, nhóm [5; 10) tích lũy được 3 + 7 = 10. Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy đạt hoặc vượt 6 là nhóm [5; 10), vì 10 ≥ 6. Vậy nhóm chứa trung vị là [5; 10), với l = 5, F = 3 (tần số tích lũy trước nhóm này), f = 7, h = 5. Áp dụng công thức: Me = 5 + ((6 − 3)/7) × 5 = 5 + 15/7 ≈ 5 + 2,14 = 7,14. Vậy trung vị của mẫu là khoảng 7,14.
Ví dụ 2 (tứ phân vị của cùng mẫu số liệu): Tính Q1, Q3 và khoảng tứ phân vị của mẫu ở ví dụ 1.
Với Q1, vị trí cần tìm là N/4 = 3. Tần số tích lũy của nhóm [0; 5) là 3, đã đạt đúng vị trí 3, nên nhóm chứa Q1 là [0; 5), với l = 0, F = 0, f = 3, h = 5. Vậy Q1 = 0 + ((3 − 0)/3) × 5 = 5. Với Q3, vị trí cần tìm là 3N/4 = 9. Nhóm [5; 10) có tần số tích lũy 10 ≥ 9 nên là nhóm chứa Q3, với l = 5, F = 3, f = 7, h = 5. Vậy Q3 = 5 + ((9 − 3)/7) × 5 = 5 + 30/7 ≈ 5 + 4,29 = 9,29. Khoảng tứ phân vị là ΔQ = Q3 − Q1 ≈ 9,29 − 5 = 4,29. Bạn hãy để ý: Q1 = 5 đúng bằng đầu phải của nhóm đầu tiên — điều này xảy ra vì vị trí N/4 trùng đúng với tần số tích lũy của nhóm đó.
Ví dụ 3 (chiều cao học sinh): Chiều cao của 40 học sinh: [150; 155) có 4 bạn, [155; 160) có 10 bạn, [160; 165) có 14 bạn, [165; 170) có 8 bạn, [170; 175) có 4 bạn. Tính Me, Q1, Q3 và khoảng tứ phân vị.
Cỡ mẫu N = 40. Vị trí trung vị là N/2 = 20. Tần số tích lũy: [150; 155) là 4, [155; 160) là 14, [160; 165) là 28. Nhóm đầu tiên đạt hoặc vượt 20 là [160; 165), nên Me = 160 + ((20 − 14)/14) × 5 = 160 + 30/14 ≈ 162,14 cm. Vị trí Q1 là N/4 = 10, nhóm chứa là [155; 160) vì tích lũy 14 ≥ 10: Q1 = 155 + ((10 − 4)/10) × 5 = 155 + 3 = 158 cm. Vị trí Q3 là 3N/4 = 30, nhóm chứa là [165; 170) vì tích lũy 36 ≥ 30: Q3 = 165 + ((30 − 28)/8) × 5 = 165 + 1,25 = 166,25 cm. Khoảng tứ phân vị là ΔQ = 166,25 − 158 = 8,25 cm. Bạn có thể diễn giải: một nửa số học sinh có chiều cao từ 158 cm đến 166,25 cm, và chiều cao "giữa" của lớp là khoảng 162,14 cm.
Ví dụ 4 (điểm kiểm tra): Điểm kiểm tra Toán của 20 học sinh: [0; 2) có 1 bạn, [2; 4) có 3 bạn, [4; 6) có 5 bạn, [6; 8) có 6 bạn, [8; 10) có 5 bạn. Tính trung vị và khoảng tứ phân vị.
Cỡ mẫu N = 20, vị trí trung vị là 10. Tần số tích lũy: [0; 2) là 1, [2; 4) là 4, [4; 6) là 9, [6; 8) là 15. Nhóm đầu tiên đạt hoặc vượt 10 là [6; 8), nên Me = 6 + ((10 − 9)/6) × 2 = 6 + 1/3 ≈ 6,33. Vị trí Q1 là 5, nhóm chứa là [4; 6) vì tích lũy 9 ≥ 5: Q1 = 4 + ((5 − 4)/5) × 2 = 4,4. Vị trí Q3 là 15, nhóm chứa là [6; 8) vì tích lũy 15 ≥ 15: Q3 = 6 + ((15 − 9)/6) × 2 = 6 + 2 = 8. Khoảng tứ phân vị là ΔQ = 8 − 4,4 = 3,6. Bạn hãy để ý: Q3 = 8 đúng bằng đầu phải của nhóm [6; 8) — lại là trường hợp vị trí cần tìm trùng đúng với tần số tích lũy của nhóm. Nếu muốn ôn lại số trung bình cộng của cùng các mẫu này, bạn hãy xem bài số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng N/2 sai cách — lấy vị trí trung vị là (N + 1)/2.
Nhiều bạn áp dụng công thức trung vị của mẫu số liệu không ghép nhóm rồi nhầm sang bài ghép nhóm. Cách tránh: bạn hãy nhớ với mẫu ghép nhóm, vị trí của trung vị luôn là N/2, của Q1 là N/4, của Q3 là 3N/4 — không cộng thêm 1.
Lỗi 2: Chọn nhầm nhóm chứa trung vị.
Nhiều bạn lấy nhóm có tần số lớn nhất làm nhóm chứa trung vị, hoặc lấy nhóm mà tần số tích lũy vừa vượt quá N/2 nhưng bỏ qua nhóm trước đó đã đạt đúng N/2. Cách tránh: bạn hãy liệt kê tần số tích lũy từng nhóm rồi chọn nhóm đầu tiên có giá trị lớn hơn hoặc bằng vị trí cần tìm — làm theo thứ tự, không đoán.
Lỗi 3: Nhầm F với tần số của nhóm chứa.
Nhiều bạn lấy F bằng tần số của chính nhóm chứa trung vị thay vì tần số tích lũy của các nhóm đứng trước nó. Cách tránh: bạn hãy nhớ F là "những gì đã có trước khi vào nhóm chứa" — đếm từ nhóm đầu tiên đến hết nhóm ngay trước nhóm chứa.
Lỗi 4: Dùng sai độ dài nhóm h.
Nhiều bạn lấy h bằng đầu phải của nhóm hoặc bằng tần số của nhóm. Cách tránh: bạn hãy nhớ h là độ dài khoảng, bằng đầu phải trừ đầu trái — ví dụ nhóm [5; 10) có h = 5, nhóm [0; 2) có h = 2.
Lỗi 5: Nhầm lẫn trung vị với số trung bình.
Nhiều bạn tính xong trung vị lại so sánh với trung bình rồi "sửa" cho hai số bằng nhau, hoặc dùng công thức trung bình để tính trung vị. Cách tránh: bạn hãy nhớ trung vị và trung bình là hai số đặc trưng khác nhau — với dữ liệu lệch, chúng có thể chênh nhau khá nhiều, và đó là điều bình thường.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ lập cột tần số tích lũy trước khi tìm nhóm chứa.
Câu 1: Mẫu số liệu ghép nhóm: [0; 5) có tần số 3, [5; 10) có tần số 7, [10; 15) có tần số 2. Trung vị của mẫu xấp xỉ bằng
A. 7,14
B. 7,5
C. 5
D. 10
Câu 2: Với mẫu số liệu ở câu 1, tứ phân vị thứ nhất Q1 bằng
A. 5
B. 7,14
C. 2,5
D. 9,29
Câu 3: Với mẫu số liệu ở câu 1, tứ phân vị thứ ba Q3 xấp xỉ bằng
A. 5
B. 7,14
C. 9,29
D. 10
Câu 4: Với mẫu số liệu ở câu 1, khoảng tứ phân vị ΔQ xấp xỉ bằng
A. 4,29
B. 2,14
C. 5
D. 7,14
Câu 5: Chiều cao của 40 học sinh: [150; 155) có 4 bạn, [155; 160) có 10 bạn, [160; 165) có 14 bạn, [165; 170) có 8 bạn, [170; 175) có 4 bạn. Nhóm chứa trung vị là
A. [155; 160)
B. [160; 165)
C. [165; 170)
D. [150; 155)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | C | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: N = 12, vị trí trung vị là 6, nhóm chứa là [5; 10) vì tần số tích lũy 10 ≥ 6. Me = 5 + ((6 − 3)/7) × 5 = 5 + 15/7 ≈ 7,14. Đáp án B sai vì 7,5 là giá trị đại diện của nhóm [5; 10), không phải trung vị. Đáp án C sai vì đó là đầu trái của nhóm chứa. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 10.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Vị trí Q1 là N/4 = 3, nhóm [0; 5) có tần số tích lũy đúng bằng 3 nên là nhóm chứa Q1. Q1 = 0 + ((3 − 0)/3) × 5 = 5. Đáp án B sai vì đó là trung vị, không phải Q1. Đáp án C sai vì đó là giá trị đại diện của nhóm [0; 5). Đáp án D sai vì đó là Q3, không phải Q1.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: Vị trí Q3 là 3N/4 = 9, nhóm chứa là [5; 10). Q3 = 5 + ((9 − 3)/7) × 5 = 5 + 30/7 ≈ 9,29. Đáp án A sai vì đó là Q1. Đáp án B sai vì đó là trung vị. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 10.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: ΔQ = Q3 − Q1 ≈ 9,29 − 5 = 4,29. Đáp án B sai vì 2,14 là phần lẻ của trung vị (15/7), không phải khoảng tứ phân vị. Đáp án C sai vì đó là Q1. Đáp án D sai vì đó là trung vị.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: N = 40, vị trí trung vị là 20. Tần số tích lũy: [150; 155) là 4, [155; 160) là 14, [160; 165) là 28 — nhóm đầu tiên đạt hoặc vượt 20 là [160; 165). Đáp án A sai vì tích lũy của nhóm này mới là 14, chưa đạt 20. Đáp án C sai vì đó là nhóm chứa Q3. Đáp án D sai vì tích lũy của nhóm này mới là 4.
Câu hỏi thường gặp về trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Hỏi: Trung vị khác số trung bình ở điểm nào?
Đáp: Trung vị là giá trị đứng giữa khi xếp dữ liệu theo thứ tự, còn số trung bình là tổng các giá trị chia cho số lượng. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi vài giá trị cực đoan, còn số trung bình thì có — vì vậy khi dữ liệu lệch, hai số này chênh nhau khá nhiều.
Hỏi: Vì sao phải dùng tần số tích lũy để tìm nhóm chứa trung vị?
Đáp: Vì tần số tích lũy cho bạn biết đã có bao nhiêu giá trị nằm trước nhóm đang xét. Nhóm đầu tiên mà tần số tích lũy đạt hoặc vượt N/2 chính là nơi "vị trí giữa" rơi vào — đó là nhóm chứa trung vị.
Hỏi: Nếu vị trí cần tìm đúng bằng tần số tích lũy của một nhóm thì nhóm chứa là nhóm nào?
Đáp: Là chính nhóm đó, không phải nhóm sau. Ví dụ vị trí Q1 là 3 và nhóm [0; 5) có tần số tích lũy đúng bằng 3 thì nhóm chứa Q1 là [0; 5), và Q1 bằng đầu phải của nhóm đó.
Hỏi: Khoảng tứ phân vị ΔQ cho biết điều gì?
Đáp: ΔQ = Q3 − Q1 cho biết độ rộng của khoảng chứa nửa giữa của dữ liệu. ΔQ nhỏ nghĩa là dữ liệu tập trung, ΔQ lớn nghĩa là dữ liệu phân tán. Người ta thường dùng ΔQ để phát hiện giá trị ngoại lệ.
Hỏi: Có thể tính trung vị khi các nhóm có độ dài khác nhau không?
Đáp: Có. Công thức vẫn đúng: bạn xác định nhóm chứa bằng tần số tích lũy, rồi dùng độ dài h của chính nhóm đó trong công thức nội suy. Mỗi nhóm dùng độ dài riêng của mình.
Kết luận
Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ gói gọn trong một quy trình ba bước: tính tần số tích lũy để tìm nhóm chứa, rồi áp dụng công thức nội suy Me = l + ((N/2 − F)/f) × h (tương tự cho Q1 với N/4 và Q3 với 3N/4). Bạn hãy nhớ ba điều: nhóm chứa là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy đạt hoặc vượt vị trí cần tìm, F là tần số tích lũy của các nhóm đứng trước nhóm chứa, và h là độ dài của nhóm chứa. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính trung vị và tứ phân vị của bất kì mẫu số liệu ghép nhóm nào trong đề thi.