Bạn đã dùng tích phân để tính diện tích của một hình phẳng. Bây giờ, bạn sẽ dùng tích phân để tính thể tích của một vật thể trong không gian — thể tích của một chiếc bình, một khối tròn xoay, một chi tiết máy có hình dạng phức tạp. Ý tưởng vẫn giống như diện tích: bạn cắt vật thể thành vô số lát mỏng, tính thể tích của từng lát rồi cộng lại bằng tích phân. Chỉ khác là thay vì cộng diện tích các đoạn thẳng, bạn cộng thể tích các lát cắt.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ công thức tính thể tích một cách có hệ thống: thể tích của vật thể khi biết diện tích thiết diện, thể tích của khối tròn xoay khi quay một hình phẳng quanh trục Ox, cùng cách nhận biết khi nào dùng công thức nào. Bạn sẽ làm 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ thể tích bằng tích phân của diện tích thiết diện, và khối tròn xoay thì diện tích thiết diện là diện tích hình tròn, bạn sẽ tính đúng mọi bài toán dạng này.
Công thức tính thể tích của vật thể và khối tròn xoay là gì?
Thể tích của một vật thể được tính bằng tích phân của diện tích thiết diện: nếu vật thể nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x bằng a và x bằng b, và thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x có diện tích là S(x), thì thể tích của vật thể là V bằng ∫ₐᵇ S(x)dx. Công thức này có ý nghĩa rất trực quan: bạn cắt vật thể thành vô số lát mỏng có độ dày dx, mỗi lát có thể tích xấp xỉ S(x) nhân dx, rồi cộng tất cả các lát lại bằng tích phân. Chỉ cần biết diện tích thiết diện thay đổi theo x như thế nào, bạn sẽ tính được thể tích của cả vật thể.
Khối tròn xoay là trường hợp đặc biệt quan trọng nhất: khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng f(x), trục Ox và hai đường thẳng x bằng a, x bằng b quay quanh trục Ox, nó tạo thành một khối tròn xoay. Thiết diện của khối này cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x là một hình tròn có bán kính bằng trị tuyệt đối của f(x), nên diện tích thiết diện là S(x) bằng π nhân với f(x) bình phương. Thay vào công thức tổng quát, ta được V bằng π nhân với ∫ₐᵇ [f(x)]²dx. Bạn hãy nhớ hai điểm: phải bình phương f(x) trước khi lấy tích phân, và phải nhân kết quả với π. Quên một trong hai bước này là lỗi sai phổ biến nhất của dạng toán này.
Bạn hãy nhớ một vài khối tròn xoay quen thuộc để kiểm tra kết quả: quay đoạn thẳng y bằng x trên đoạn [0; h] quanh trục Ox được một hình nón có bán kính đáy bằng h và chiều cao bằng h, thể tích bằng một phần ba π nhân h³; quay hình chữ nhật tạo bởi y bằng R trên đoạn [0; h] quanh trục Ox được một hình trụ có bán kính R và chiều cao h, thể tích bằng π nhân R² nhân h; quay nửa đường tròn y bằng căn của mở ngoặc R² trừ x² đóng ngoặc trên đoạn [trừ R; R] quanh trục Ox được một hình cầu bán kính R, thể tích bằng bốn phần ba π nhân R³. Mỗi khi tính xong một bài toán thể tích, bạn hãy thử đối chiếu với các công thức quen thuộc này để kiểm tra xem kết quả của mình có hợp lí hay không.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng căn x, trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 4 quanh trục Ox.
Áp dụng công thức khối tròn xoay, V bằng π nhân với ∫₀⁴ [căn x]²dx, tức là π nhân với ∫₀⁴ x dx. Nguyên hàm của x là x² chia 2, nên ∫₀⁴ x dx bằng 16 chia 2 trừ 0 và bằng 8. Vậy V bằng 8π và xấp xỉ 25,13 đơn vị thể tích. Bạn hãy để ý: [căn x]² đơn giản thành x, nên tích phân này tính rất nhanh, và kết quả 8π là một con số đẹp. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (bình phương hàm số): Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng x², trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 1 quanh trục Ox.
Áp dụng công thức, V bằng π nhân với ∫₀¹ [x²]²dx, tức là π nhân với ∫₀¹ x⁴dx. Nguyên hàm của x⁴ là x⁵ chia 5, nên ∫₀¹ x⁴dx bằng 1/5. Vậy V bằng π/5 và xấp xỉ 0,63 đơn vị thể tích. Bạn hãy chú ý bước bình phương: [x²]² bằng x⁴ chứ không phải x², nhiều bạn quên bình phương nên tính ra π/3 thay vì π/5. Thể tích này nhỏ hơn 1 là hợp lí, vì hình phẳng ban đầu chỉ có diện tích 1/3 và quay quanh trục Ox tạo thành một khối nhỏ.
Ví dụ 3 (khối nón): Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng x, trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 3 quanh trục Ox.
Áp dụng công thức, V bằng π nhân với ∫₀³ x²dx. Nguyên hàm của x² là x³ chia 3, nên ∫₀³ x²dx bằng 27 chia 3 và bằng 9. Vậy V bằng 9π và xấp xỉ 28,27 đơn vị thể tích. Bạn hãy kiểm tra bằng công thức hình nón: khối này là hình nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 3, thể tích bằng một phần ba π nhân 3² nhân 3, tức là 9π, khớp hoàn toàn với kết quả vừa tính bằng tích phân. Đây là cách kiểm tra rất hay: mỗi khi tính thể tích khối tròn xoay, bạn hãy xem khối đó có phải là hình nón, hình trụ hay hình cầu quen thuộc hay không.
Ví dụ 4 (thể tích vật thể tổng quát): Một vật thể có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một hình vuông có cạnh bằng x, với x chạy từ 0 tới 2. Tính thể tích của vật thể đó.
Diện tích thiết diện là S(x) bằng x², vì thiết diện là hình vuông cạnh x. Áp dụng công thức thể tích vật thể, V bằng ∫₀² x²dx. Nguyên hàm của x² là x³ chia 3, nên V bằng 8 chia 3 trừ 0 và bằng 8/3, xấp xỉ 2,67 đơn vị thể tích. Bạn hãy để ý: bài này không có π vì vật thể không phải khối tròn xoay, thiết diện là hình vuông chứ không phải hình tròn. Việc phân biệt thiết diện là hình gì quyết định công thức S(x), và đó là bước quan trọng nhất của dạng toán này.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên nhân với π trong công thức khối tròn xoay.
Nhiều bạn tính V bằng ∫ₐᵇ [f(x)]²dx mà quên nhân với π. Cách tránh: bạn hãy nhớ diện tích thiết diện hình tròn là π nhân với bán kính bình phương, nên công thức thể tích khối tròn xoay luôn có π ở phía trước tích phân.
Lỗi 2: Quên bình phương f(x) trước khi lấy tích phân.
Nhiều bạn tính V bằng π nhân với ∫ₐᵇ f(x)dx thay vì π nhân với ∫ₐᵇ [f(x)]²dx. Cách tránh: bạn hãy nhớ bán kính của thiết diện là f(x), diện tích hình tròn là π nhân với bán kính bình phương, nên phải bình phương f(x) rồi mới lấy tích phân. Ví dụ với f(x) bằng x², bạn phải lấy tích phân của x⁴ chứ không phải x².
Lỗi 3: Dùng sai cận của tích phân.
Nhiều bạn lấy tích phân từ 0 tới số liệu cho trong đề mà không kiểm tra hình phẳng thật sự giới hạn bởi những đường nào. Cách tránh: bạn hãy xác định hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị, trục Ox và hai đường thẳng nào, rồi lấy hoành độ của hai đường thẳng đó làm cận, hoặc giải phương trình f(x) bằng 0 để tìm cận khi đề không cho.
Lỗi 4: Nhầm diện tích thiết diện S(x) với hàm số f(x).
Nhiều bạn thấy thiết diện là hình vuông cạnh x thì viết S(x) bằng x thay vì x². Cách tránh: bạn hãy nhớ S(x) là diện tích của thiết diện, không phải độ dài cạnh hay bán kính. Thiết diện hình vuông cạnh x có diện tích x², thiết diện hình tròn bán kính f(x) có diện tích π nhân với f(x) bình phương.
Lỗi 5: Dùng công thức quay quanh Ox cho khối quay quanh Oy.
Nhiều bạn tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy bằng π nhân với ∫[f(x)]²dx theo biến x. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức V bằng π nhân với ∫ₐᵇ [f(x)]²dx chỉ đúng khi quay quanh trục Ox. Khi quay quanh trục Oy, bạn phải đổi vai trò của x và y, tức là biểu diễn x theo y rồi lấy tích phân theo y. Nếu muốn ôn lại công thức diện tích làm nền tảng, bạn hãy xem bài công thức tính diện tích hình phẳng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ bình phương f(x) và nhân với π khi tính thể tích khối tròn xoay.
Câu 1: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng căn x, trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 4 quanh trục Ox bằng
A. 8π
B. 4π
C. 16π
D. 2π
Câu 2: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng x², trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 1 quanh trục Ox bằng
A. π/3
B. π/5
C. π/2
D. π
Câu 3: Một vật thể có thiết diện vuông góc với trục Ox tại x là hình vuông có cạnh bằng x, với x chạy từ 0 tới 2. Thể tích của vật thể đó bằng
A. 8/3
B. 4
C. 2
D. 8
Câu 4: Thể tích khối nón tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng x, trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 3 quanh trục Ox bằng
A. 3π
B. 9π
C. 27π
D. 6π
Câu 5: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng căn x, trục Ox và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 1 quanh trục Ox bằng
A. π/2
B. π
C. π/4
D. 2π
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (8π) đúng: V bằng π nhân với ∫₀⁴ x dx, mà ∫₀⁴ x dx bằng 8 nên V bằng 8π. Đáp án B sai vì 4π là một nửa của đáp án đúng. Đáp án C sai vì 16π gấp đôi đáp án đúng. Đáp án D sai vì 2π không có cơ sở tính toán nào.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (π/5) đúng: V bằng π nhân với ∫₀¹ x⁴dx, mà ∫₀¹ x⁴dx bằng 1/5 nên V bằng π/5. Đáp án A sai vì π/3 là kết quả khi quên bình phương x². Đáp án C sai vì π/2 là một nửa của π. Đáp án D sai vì π là kết quả khi lấy tích phân của x² mà quên chia cho 5.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A (8/3) đúng: Diện tích thiết diện S(x) bằng x², nên V bằng ∫₀² x²dx bằng 8/3. Đáp án B sai vì 4 là 2², không phải tích phân. Đáp án C sai vì 2 là cận trên, không phải thể tích. Đáp án D sai vì 8 là 2³, không phải kết quả của tích phân.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (9π) đúng: V bằng π nhân với ∫₀³ x²dx, mà ∫₀³ x²dx bằng 9 nên V bằng 9π, khớp với công thức hình nón một phần ba π nhân 3² nhân 3. Đáp án A sai vì 3π là một phần ba của đáp án đúng. Đáp án C sai vì 27π gấp ba lần đáp án đúng. Đáp án D sai vì 6π không có cơ sở tính toán nào.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (π/2) đúng: V bằng π nhân với ∫₀¹ x dx, mà ∫₀¹ x dx bằng 1/2 nên V bằng π/2. Đáp án B sai vì π là kết quả khi quên nhân với 1/2. Đáp án C sai vì π/4 là một nửa của đáp án đúng. Đáp án D sai vì 2π gấp bốn lần đáp án đúng.
Câu hỏi thường gặp về thể tích của vật thể và khối tròn xoay
Hỏi: Vì sao công thức khối tròn xoay lại có số π?
Đáp: Vì thiết diện của khối tròn xoay là một hình tròn, và diện tích hình tròn bằng π nhân với bán kính bình phương. Khi quay đồ thị y bằng f(x) quanh trục Ox, bán kính của thiết diện tại x bằng trị tuyệt đối của f(x), nên diện tích thiết diện là π nhân với f(x) bình phương, và số π xuất hiện trong công thức thể tích là vì vậy.
Hỏi: Thể tích của vật thể tổng quát tính như thế nào?
Đáp: Thể tích của vật thể bằng tích phân của diện tích thiết diện theo biến x: V bằng ∫ₐᵇ S(x)dx, trong đó S(x) là diện tích của thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x. Công thức này đúng với mọi vật thể, không chỉ khối tròn xoay, miễn là bạn biết S(x).
Hỏi: Khối tròn xoay quanh trục Ox khác khối tròn xoay quanh trục Oy như thế nào?
Đáp: Khi quay quanh trục Ox, bạn lấy tích phân theo biến x của π nhân với f(x) bình phương. Khi quay quanh trục Oy, bạn phải biểu diễn x theo y rồi lấy tích phân theo biến y của π nhân với x bình phương. Hai công thức đối xứng nhau qua việc đổi vai trò của x và y, nên bạn đừng dùng nhầm công thức này cho trường hợp kia.
Hỏi: Thể tích có thể tính bằng tích phân trong trường hợp nào?
Đáp: Thể tích tính được bằng tích phân khi bạn biết diện tích thiết diện S(x) dưới dạng một hàm số của x trên một đoạn [a; b]. Điều này đúng với hầu hết các vật thể có hình dạng được tạo thành từ đồ thị của một hàm số, chẳng hạn khối tròn xoay, hình nón, hình trụ và hình cầu.
Hỏi: Công thức thể tích có ứng dụng gì trong thực tế?
Đáp: Rất nhiều. Kĩ sư dùng tích phân để tính thể tích của một bình chứa có hình dạng phức tạp, thể tích của một chi tiết máy tiện tròn xoay, hay dung tích của một bể nước có mặt cắt thay đổi. Mọi bài toán thể tích của một vật thể có thiết diện biến thiên đều có thể đưa về tích phân.
Kết luận
Công thức tính thể tích chỉ gói gọn trong hai ý: thể tích vật thể bằng tích phân của diện tích thiết diện S(x), và thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox bằng π nhân với tích phân của f(x) bình phương. Bạn hãy nhớ ba điều: xác định đúng diện tích thiết diện S(x) trước khi lấy tích phân, bình phương f(x) rồi mới lấy tích phân, và luôn nhân kết quả với π khi tính khối tròn xoay. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính thể tích của bất kì vật thể nào được tạo thành từ đồ thị hàm số — từ một khối nón đơn giản cho tới một bình chứa có hình dạng phức tạp.