Bạn mở một cánh cửa bằng cách xoay tay nắm. Lực bạn tác dụng nằm trong mặt phẳng của cánh cửa, nhưng cánh cửa lại quay quanh một trục thẳng đứng, vuông góc với mặt phẳng đó. Trong toán học lớp 12, phép toán mô tả chính xác hiện tượng này có tên là tích có hướng của hai vectơ: nhân hai vectơ với nhau, bạn được một vectơ thứ ba vuông góc với cả hai vectơ ban đầu, với độ dài bằng diện tích của hình bình hành tạo bởi hai vectơ đó.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ tích có hướng của hai vectơ trong không gian một cách có hệ thống: từ định nghĩa và công thức tính bằng định thức, các tính chất quan trọng nhất, cách dùng tích có hướng để tính diện tích hình bình hành và thể tích hình hộp, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ tích có hướng vuông góc với cả hai vectơ và đổi dấu khi đổi thứ tự, bạn đã nắm được chìa khóa của cả bài học.
Tích có hướng của hai vectơ là gì?
Cho hai vectơ a⃗ = (x₁; y₁; z₁) và b⃗ = (x₂; y₂; z₂) trong không gian Oxyz. Tích có hướng của hai vectơ, kí hiệu là a⃗ × b⃗, là một vectơ được xác định bằng công thức a⃗ × b⃗ = (y₁ · z₂ − z₁ · y₂; z₁ · x₂ − x₁ · z₂; x₁ · y₂ − y₁ · x₂). Bạn hãy để ý: mỗi thành phần của tích có hướng là một định thức cấp hai tạo bởi hai thành phần còn lại của hai vectơ, với dấu xen kẽ. Thành phần thứ nhất dùng y và z, thành phần thứ hai dùng z và x, thành phần thứ ba dùng x và y, và bạn luôn lấy tích chéo trừ đi tích chéo ngược lại.
Tích có hướng có ba tính chất hình học mà bạn cần thuộc lòng. Thứ nhất, vectơ a⃗ × b⃗ vuông góc với cả vectơ a⃗ và vectơ b⃗, tức là (a⃗ × b⃗) · a⃗ = 0 và (a⃗ × b⃗) · b⃗ = 0. Thứ hai, độ dài của tích có hướng bằng diện tích của hình bình hành tạo bởi hai vectơ: |a⃗ × b⃗| = |a⃗| · |b⃗| · sin(a⃗, b⃗). Thứ ba, hướng của a⃗ × b⃗ tuân theo quy tắc bàn tay phải: khi bạn nắm bàn tay phải sao cho các ngón tay cong từ a⃗ sang b⃗ thì ngón cái chỉ hướng của a⃗ × b⃗. Từ quy tắc này, bạn suy ra a⃗ × b⃗ = −(b⃗ × a⃗), tức là đổi thứ tự hai vectơ thì tích có hướng đổi dấu. Khi cần kiểm tra lại một phép tính định thức, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Tích có hướng bằng vectơ 0 khi và chỉ khi hai vectơ cùng phương với nhau, tức là a⃗ × b⃗ = 0⃗ khi và chỉ khi a⃗ và b⃗ cùng phương hoặc một trong hai là vectơ 0. Đây là cách kiểm tra cùng phương bằng tọa độ rất hay dùng trong bài tập. Ngoài ra, tích có hướng còn dùng để tính diện tích: diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ a⃗ và b⃗ bằng |a⃗ × b⃗|, còn diện tích tam giác tạo bởi hai vectơ bằng một nửa của |a⃗ × b⃗|. Trong bài học về phương trình mặt phẳng, bạn sẽ dùng tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, vì vectơ pháp tuyến phải vuông góc với hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho a⃗ = (1; 0; 0) và b⃗ = (0; 1; 0). Tính a⃗ × b⃗.
Bạn áp dụng công thức từng thành phần: thành phần thứ nhất là 0 · 0 − 0 · 1 = 0, thành phần thứ hai là 0 · 0 − 1 · 0 = 0, thành phần thứ ba là 1 · 1 − 0 · 0 = 1. Vậy a⃗ × b⃗ = (0; 0; 1). Bạn hãy kiểm tra lại: vectơ i⃗ × j⃗ = k⃗ là đẳng thức cơ bản nhất của tích có hướng, vì vectơ đơn vị trên trục Ox nhân có hướng với vectơ đơn vị trên trục Oy cho ra vectơ đơn vị trên trục Oz theo quy tắc bàn tay phải.
Ví dụ 2: Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6). Tính a⃗ × b⃗.
Bạn tính từng thành phần bằng định thức: thành phần thứ nhất là 2 · 6 − 3 · 5 = 12 − 15 = −3, thành phần thứ hai là 3 · 4 − 1 · 6 = 12 − 6 = 6, thành phần thứ ba là 1 · 5 − 2 · 4 = 5 − 8 = −3. Vậy a⃗ × b⃗ = (−3; 6; −3). Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách tính tích vô hướng của kết quả với từng vectơ ban đầu: (−3; 6; −3) · (1; 2; 3) = −3 + 12 − 9 = 0 và (−3; 6; −3) · (4; 5; 6) = −12 + 30 − 18 = 0, cả hai đều bằng 0 nên vectơ kết quả vuông góc với cả hai vectơ ban đầu, đúng như tính chất của tích có hướng.
Ví dụ 3: Cho a⃗ = (1; 0; 0) và b⃗ = (0; 2; 0). Tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ a⃗ và b⃗.
Bạn tính tích có hướng a⃗ × b⃗ = (0 · 0 − 0 · 2; 0 · 0 − 1 · 0; 1 · 2 − 0 · 0) = (0; 0; 2). Bạn tính độ dài |a⃗ × b⃗| = √(0 + 0 + 4) = 2. Vậy diện tích hình bình hành bằng 2. Bạn hãy nhận ra kết quả này cũng đúng với hình học phẳng: hai vectơ có độ dài 1 và 2, vuông góc với nhau, tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 1 · 2 = 2. Nếu hai vectơ không vuông góc, bạn vẫn dùng đúng công thức diện tích bằng |a⃗ × b⃗|, chỉ cần tính tích có hướng trước rồi mới lấy độ dài.
Ví dụ 4: Cho a⃗ = (2; 0; 0) và b⃗ = (3; 0; 0). Tính a⃗ × b⃗ và nhận xét.
Bạn tính từng thành phần: thành phần thứ nhất là 0 · 0 − 0 · 0 = 0, thành phần thứ hai là 0 · 3 − 2 · 0 = 0, thành phần thứ ba là 2 · 0 − 0 · 3 = 0. Vậy a⃗ × b⃗ = (0; 0; 0) = 0⃗. Bạn nhận xét: hai vectơ a⃗ và b⃗ cùng nằm trên trục Ox nên cùng phương với nhau, do đó tích có hướng của chúng bằng vectơ 0. Đây chính là cách kiểm tra cùng phương bằng tích có hướng: nếu a⃗ × b⃗ = 0⃗ và cả hai vectơ đều khác vectơ 0 thì hai vectơ cùng phương.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm thứ tự các định thức, tính sai dấu của thành phần thứ hai.
Nhiều bạn tính thành phần thứ hai là x₁ · z₂ − z₁ · x₂ thay vì z₁ · x₂ − x₁ · z₂. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức theo vòng tròn x → y → z → x: thành phần x dùng y và z, thành phần y dùng z và x, thành phần z dùng x và y, và mỗi thành phần luôn lấy tích thuận trừ tích ngược theo đúng thứ tự vòng tròn.
Lỗi 2: Nghĩ tích có hướng là một số.
Nhiều bạn tính a⃗ × b⃗ rồi cho ra một số như tích vô hướng. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích có hướng cho kết quả là một vectơ có ba thành phần tọa độ, còn tích vô hướng cho kết quả là một số. Khi đề bài hỏi một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đã cho thì bạn dùng tích có hướng, khi hỏi một số như góc hay độ dài thì bạn dùng tích vô hướng.
Lỗi 3: Nghĩ a⃗ × b⃗ bằng b⃗ × a⃗.
Nhiều bạn áp dụng tính giao hoán của phép nhân số cho tích có hướng. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích có hướng không có tính giao hoán mà có tính phản giao hoán: a⃗ × b⃗ = −(b⃗ × a⃗). Đổi thứ tự hai vectơ thì tích có hướng đổi dấu toàn bộ, vì hướng của nó tuân theo quy tắc bàn tay phải.
Lỗi 4: Quên kiểm tra tích có hướng vuông góc với cả hai vectơ ban đầu.
Nhiều bạn tính xong tích có hướng mà không kiểm tra lại nên không phát hiện lỗi tính toán. Cách tránh: bạn hãy tính tích vô hướng của kết quả với từng vectơ ban đầu, cả hai đều phải bằng 0. Nếu một trong hai khác 0 thì chắc chắn bạn đã tính sai một thành phần nào đó.
Lỗi 5: Tính diện tích hình bình hành bằng |a⃗| · |b⃗|.
Nhiều bạn lấy tích hai độ dài làm diện tích mà quên nhân với sin của góc giữa hai vectơ. Cách tránh: bạn hãy nhớ diện tích hình bình hành bằng |a⃗ × b⃗| = |a⃗| · |b⃗| · sin(a⃗, b⃗), chỉ khi hai vectơ vuông góc thì sin bằng 1 và diện tích mới bằng tích hai độ dài. Nếu muốn ôn lại cách tính tích vô hướng bằng tọa độ, bạn hãy xem bài biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính từng thành phần bằng định thức.
Câu 1: Cho a⃗ = (1; 0; 0) và b⃗ = (0; 1; 0). Tích có hướng a⃗ × b⃗ bằng
A. (0; 0; 1)
B. (0; 0; −1)
C. (1; 1; 0)
D. (0; 0; 0)
Câu 2: Vectơ a⃗ × b⃗ vuông góc với vectơ nào sau đây?
A. Chỉ vectơ a⃗
B. Chỉ vectơ b⃗
C. Cả vectơ a⃗ và vectơ b⃗
D. Không vuông góc với vectơ nào
Câu 3: Vectơ b⃗ × a⃗ bằng
A. a⃗ × b⃗
B. −(a⃗ × b⃗)
C. 0⃗
D. a⃗ · b⃗
Câu 4: Cho a⃗ = (1; 2; 3) và b⃗ = (4; 5; 6). Tích có hướng a⃗ × b⃗ bằng
A. (−3; 6; −3)
B. (3; −6; 3)
C. (12; 10; 6)
D. (0; 0; 0)
Câu 5: Hai vectơ a⃗ và b⃗ khác vectơ 0 cùng phương với nhau thì a⃗ × b⃗ bằng
A. (1; 0; 0)
B. 0⃗
C. a⃗
D. Không xác định
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A ((0; 0; 1)) đúng: Bạn tính a⃗ × b⃗ = (0 · 0 − 0 · 1; 0 · 0 − 1 · 0; 1 · 1 − 0 · 0) = (0; 0; 1). Đáp án B sai vì đó là b⃗ × a⃗, ngược hướng với a⃗ × b⃗. Đáp án C sai vì bạn đã cộng hai vectơ thay vì nhân có hướng. Đáp án D sai vì hai vectơ không cùng phương nên tích có hướng khác vectơ 0.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (cả vectơ a⃗ và vectơ b⃗) đúng: Tích có hướng a⃗ × b⃗ vuông góc với cả hai vectơ a⃗ và b⃗, tức là (a⃗ × b⃗) · a⃗ = 0 và (a⃗ × b⃗) · b⃗ = 0. Đáp án A sai vì vectơ này còn vuông góc với b⃗. Đáp án B sai vì vectơ này còn vuông góc với a⃗. Đáp án D sai vì tích có hướng luôn vuông góc với cả hai vectơ ban đầu.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (−(a⃗ × b⃗)) đúng: Tích có hướng có tính phản giao hoán: b⃗ × a⃗ = −(a⃗ × b⃗). Đáp án A sai vì tích có hướng không có tính giao hoán. Đáp án C sai vì b⃗ × a⃗ chỉ bằng vectơ 0 khi hai vectơ cùng phương. Đáp án D sai vì a⃗ · b⃗ là một số, còn b⃗ × a⃗ là một vectơ.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A ((−3; 6; −3)) đúng: Bạn tính từng thành phần: 2 · 6 − 3 · 5 = −3, 3 · 4 − 1 · 6 = 6, 1 · 5 − 2 · 4 = −3, được (−3; 6; −3). Đáp án B sai vì đó là b⃗ × a⃗, đổi dấu toàn bộ. Đáp án C sai vì bạn đã nhân từng cặp tọa độ tương ứng như tích vô hướng. Đáp án D sai vì hai vectơ không cùng phương nên tích có hướng khác vectơ 0.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (0⃗) đúng: Hai vectơ cùng phương thì tích có hướng của chúng bằng vectơ 0. Đáp án A sai vì (1; 0; 0) là một vectơ đơn vị, không liên quan tới hai vectơ đã cho. Đáp án C sai vì tích có hướng là một vectơ mới, không bằng một trong hai vectơ ban đầu. Đáp án D sai vì tích có hướng luôn xác định với mọi cặp vectơ.
Câu hỏi thường gặp về tích có hướng của hai vectơ
Hỏi: Tích có hướng khác tích vô hướng như thế nào?
Đáp: Tích có hướng cho kết quả là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ ban đầu, còn tích vô hướng cho kết quả là một số. Tích có hướng dùng để tìm vectơ pháp tuyến và tính diện tích, còn tích vô hướng dùng để tính góc và kiểm tra vuông góc.
Hỏi: Công thức tính tích có hướng bằng tọa độ là gì?
Đáp: Với a⃗ = (x₁; y₁; z₁) và b⃗ = (x₂; y₂; z₂), tích có hướng bằng a⃗ × b⃗ = (y₁ · z₂ − z₁ · y₂; z₁ · x₂ − x₁ · z₂; x₁ · y₂ − y₁ · x₂). Bạn hãy nhớ theo vòng tròn x → y → z → x để không nhầm thứ tự và dấu.
Hỏi: Quy tắc bàn tay phải là gì?
Đáp: Quy tắc bàn tay phải xác định hướng của tích có hướng: bạn nắm bàn tay phải sao cho các ngón tay cong từ vectơ a⃗ sang vectơ b⃗ thì ngón cái chỉ hướng của a⃗ × b⃗. Ví dụ i⃗ × j⃗ = k⃗ vì ngón cái chỉ lên trục Oz khi các ngón tay cong từ Ox sang Oy.
Hỏi: Tích có hướng dùng để tính diện tích như thế nào?
Đáp: Diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ a⃗ và b⃗ bằng |a⃗ × b⃗|, còn diện tích tam giác tạo bởi hai vectơ bằng một nửa của |a⃗ × b⃗|. Bạn tính tích có hướng trước rồi lấy độ dài của nó.
Hỏi: Khi nào tích có hướng bằng vectơ 0?
Đáp: Tích có hướng bằng vectơ 0 khi và chỉ khi hai vectơ cùng phương với nhau hoặc một trong hai là vectơ 0. Bạn dùng tính chất này để kiểm tra hai vectơ có cùng phương hay không trong bài tập tọa độ không gian.
Kết luận
Tích có hướng của hai vectơ chỉ gói gọn trong một công thức: a⃗ × b⃗ = (y₁ · z₂ − z₁ · y₂; z₁ · x₂ − x₁ · z₂; x₁ · y₂ − y₁ · x₂), với ba tính chất quan trọng là vuông góc với cả hai vectơ ban đầu, độ dài bằng diện tích hình bình hành và đổi dấu khi đổi thứ tự. Bạn hãy nhớ ba điều: tính từng thành phần bằng định thức theo vòng tròn x → y → z → x, kiểm tra lại bằng cách tính tích vô hướng với từng vectơ ban đầu, và tích có hướng bằng vectơ 0 thì hai vectơ cùng phương. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính tích có hướng, tìm vectơ pháp tuyến và tính diện tích trong mọi bài toán vectơ không gian — và đó là nền tảng để bạn học tiếp phương trình mặt phẳng và đường thẳng ở các bài sau.