Bạn có một sợi dây thun dài 2 mét. Bạn kéo nó giãn ra gấp ba lần thì được một sợi dây dài 6 mét, vẫn nằm trên cùng một đường thẳng, vẫn hướng về cùng một phía. Bạn gấp nó lại ngược chiều thì được một sợi dây vẫn dài 2 mét nhưng hướng ngược lại. Đó chính là hình ảnh trực quan nhất của phép nhân một số với một vectơ: nhân số vào, vectơ dài ra hoặc ngắn lại, có thể đổi chiều, nhưng không bao giờ rời khỏi đường thẳng chứa nó.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ công thức tích của một số với một vectơ trong không gian một cách có hệ thống: từ định nghĩa tích k·a, quy tắc về hướng và độ dài, các tính chất của phép nhân số với vectơ, cho tới điều kiện để hai vectơ cùng phương và cách biểu diễn một vectơ theo một vectơ khác, cùng 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ một câu duy nhất — nhân với số dương thì giữ nguyên hướng, nhân với số âm thì đổi chiều, độ dài nhân với trị tuyệt đối của số đó — bạn sẽ không bao giờ nhầm lẫn nữa.
Công thức tích của một số với một vectơ: nhân số vào, vectơ dài ra hoặc đổi chiều
Trước hết, bạn cần nhớ đúng định nghĩa. Cho số thực k và vectơ a khác vectơ-không. Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là k·a, được xác định như sau: vectơ k·a cùng phương với vectơ a; vectơ k·a cùng hướng với vectơ a nếu k lớn hơn 0, ngược hướng với vectơ a nếu k nhỏ hơn 0; độ dài của vectơ k·a bằng |k| nhân với độ dài của vectơ a, tức là |k·a| = |k| × |a|. Nếu k bằng 0 thì k·a là vectơ-không. Nếu a là vectơ-không thì k·a cũng là vectơ-không với mọi số k. Bạn hãy nhìn hình ở đầu bài: vectơ a có độ dài bằng 2, vectơ 3a dài gấp ba và cùng hướng với a, vectơ −a có cùng độ dài với a nhưng ngược hướng — đúng với định nghĩa vừa nêu.
Từ định nghĩa, bạn suy ra ngay điều kiện để hai vectơ cùng phương: hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho b = k·a. Nói bằng lời đời thường: hai vectơ cùng phương khi một vectơ là bản phóng to, thu nhỏ hoặc lật ngược của vectơ còn lại. Điều kiện này rất hay dùng trong các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng: ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ AB và vectơ AC cùng phương, tức là tồn tại số k sao cho vectơ AC = k × vectơ AB. Tương tự, hai đường thẳng song song với nhau khi vectơ chỉ phương của chúng cùng phương với nhau.
Phép nhân một số với một vectơ có đầy đủ các tính chất quen thuộc của phép nhân số học, và bạn nên thuộc lòng cả bốn tính chất sau. Tính chất thứ nhất: k × (a + b) = k·a + k·b — nhân một số với một tổng thì bằng tổng các tích, giống như tính chất phân phối của phép nhân số học. Tính chất thứ hai: (k + l) × a = k·a + l·a — cộng hai số rồi nhân với vectơ thì bằng tổng của hai tích. Tính chất thứ ba: k × (l·a) = (k × l)·a — nhân liên tiếp hai số với một vectơ thì bằng nhân tích của hai số đó với vectơ. Tính chất thứ tư: 1 × a = a và (−1) × a = −a — nhân với 1 thì giữ nguyên vectơ, nhân với −1 thì được vectơ đối. Bốn tính chất này cho phép bạn biến đổi các biểu thức vectơ giống như biến đổi các biểu thức số học thông thường, chẳng hạn rút gọn 2a + 3a thành 5a hay khai triển 2(a + b) thành 2a + 2b.
Một ứng dụng quan trọng của phép nhân số với vectơ là công thức trung điểm và công thức trọng tâm. Cho đoạn thẳng AB với trung điểm M, ta có vectơ MA + vectơ MB = vectơ-không, và với một điểm O bất kì, vectơ OM = (1/2) × (vectơ OA + vectơ OB). Nói bằng lời đời thường: vectơ nối từ gốc tới trung điểm bằng trung bình cộng của hai vectơ nối từ gốc tới hai đầu mút. Tương tự, cho tam giác ABC với trọng tâm G, ta có vectơ GA + vectơ GB + vectơ GC = vectơ-không, và với một điểm O bất kì, vectơ OG = (1/3) × (vectơ OA + vectơ OB + vectơ OC). Hai công thức này sẽ xuất hiện rất nhiều trong các bài toán về tọa độ trong không gian ở các bài sau, vì vậy bạn hãy ghi nhớ chúng ngay từ bây giờ. Khi cần kiểm tra nhanh một phép tính độ dài hay một phép nhân số với vectơ, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhưng việc xác định hướng của vectơ thì bạn vẫn phải tự suy luận.
Một điểm bạn cần lưu ý là phép nhân số với vectơ khác hẳn phép nhân hai vectơ với nhau. Nhân một số với một vectơ cho ra một vectơ — cùng phương với vectơ ban đầu. Nhân hai vectơ với nhau theo tích vô hướng cho ra một số, còn theo tích có hướng cho ra một vectơ vuông góc với cả hai vectơ ban đầu. Vì vậy, khi bạn thấy biểu thức k·a với k là một số thì kết quả là vectơ, nhưng khi bạn thấy biểu thức a·b với a và b đều là vectơ thì kết quả là một số. Bạn đừng nhầm lẫn hai phép toán này với nhau khi làm bài tập.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho vectơ a có độ dài |a| = 2. Tính độ dài của vectơ 3a.
Áp dụng công thức |k·a| = |k| × |a| với k = 3, ta được |3a| = |3| × |a| = 3 × 2 = 6. Vì k = 3 lớn hơn 0 nên vectơ 3a cùng hướng với vectơ a và dài gấp ba lần vectơ a. Bạn hãy đối chiếu với hình ở đầu bài: vectơ 3a là mũi tên màu đỏ dài gấp ba mũi tên màu xanh của vectơ a, cả hai đều chỉ về cùng một phía. Đây cũng chính là ví dụ mẫu trong danh sách công thức của bài này, bạn hãy ghi nhớ nó vì nó là trường hợp đơn giản nhất của công thức |k·a| = |k| × |a|.
Ví dụ 2: Cho vectơ a có độ dài |a| = 5. Tính độ dài của vectơ −2a và xác định hướng của nó so với vectơ a.
Áp dụng công thức |k·a| = |k| × |a| với k = −2, ta được |−2a| = |−2| × |a| = 2 × 5 = 10. Vì k = −2 nhỏ hơn 0 nên vectơ −2a ngược hướng với vectơ a và dài gấp hai lần vectơ a. Bạn hãy để ý: độ dài của vectơ −2a bằng 10, là một số dương, dù hệ số k mang dấu âm. Dấu âm của k chỉ ảnh hưởng tới hướng của vectơ, không ảnh hưởng tới độ dài của nó — độ dài luôn bằng trị tuyệt đối của k nhân với độ dài của vectơ ban đầu. Đây là lỗi mà nhiều bạn hay mắc phải: viết |−2a| = −10 là sai, vì độ dài không bao giờ âm.
Ví dụ 3: Cho vectơ a có độ dài |a| = 3. Tìm số thực k sao cho |k·a| = 15.
Áp dụng công thức |k·a| = |k| × |a|, ta có |k| × 3 = 15, nên |k| = 5. Vậy k = 5 hoặc k = −5. Bạn hãy để ý bài toán này có hai đáp án: với k = 5, vectơ 5a cùng hướng với a và dài gấp năm lần; với k = −5, vectơ −5a ngược hướng với a và cũng dài gấp năm lần. Cả hai vectơ đều có độ dài bằng 15. Đây là một dạng bài rất hay gặp trong đề thi: tìm k để vectơ k·a có độ dài cho trước. Bạn phải nhớ phương trình |k| = 5 cho hai nghiệm k = 5 và k = −5, đừng bỏ sót nghiệm âm.
Ví dụ 4: Cho đoạn thẳng AB với trung điểm M. Chứng minh rằng với điểm O bất kì, vectơ OM = (1/2) × (vectơ OA + vectơ OB).
Vì M là trung điểm của AB nên vectơ MA + vectơ MB = vectơ-không. Mặt khác, theo quy tắc ba điểm, vectơ MA = vectơ MO + vectơ OA và vectơ MB = vectơ MO + vectơ OB. Cộng hai đẳng thức lại, ta được vectơ-không = 2 × vectơ MO + vectơ OA + vectơ OB, tức là 2 × vectơ OM = vectơ OA + vectơ OB. Chia cả hai vế cho 2, ta được vectơ OM = (1/2) × (vectơ OA + vectơ OB). Công thức này cho bạn một cách tính nhanh vectơ nối tới trung điểm mà không cần vẽ hình. Nếu muốn ôn lại phép cộng hai vectơ — phép toán thường đi kèm với phép nhân số với vectơ — bạn hãy xem bài công thức tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Viết độ dài của vectơ k·a bằng k × |a| mà quên trị tuyệt đối.
Nhiều bạn viết |−2a| = −2 × |a| = −10. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đúng là |k·a| = |k| × |a|, trong đó |k| là trị tuyệt đối của k. Với k = −2 và |a| = 5, độ dài đúng là |−2a| = 2 × 5 = 10, là một số dương. Độ dài của vectơ không bao giờ âm.
Lỗi 2: Nhầm hướng của vectơ k·a khi k âm.
Nhiều bạn nghĩ vectơ −2a cùng hướng với vectơ a vì chỉ chú ý tới độ dài gấp hai lần. Cách tránh: bạn hãy nhớ k lớn hơn 0 thì cùng hướng, k nhỏ hơn 0 thì ngược hướng. Vectơ −2a ngược hướng với vectơ a và dài gấp hai lần. Bạn có thể nhớ bằng hình ảnh sợi dây thun: nhân với số âm giống như lật ngược sợi dây lại.
Lỗi 3: Cho rằng hai vectơ cùng phương thì phải cùng hướng.
Nhiều bạn thấy hai vectơ ngược hướng nhau thì kết luận chúng không cùng phương. Cách tránh: bạn hãy nhớ cùng phương bao gồm cả cùng hướng và ngược hướng. Hai vectơ cùng phương khi chúng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, bất kể hướng của chúng. Vectơ a và vectơ −a cùng phương với nhau dù chúng ngược hướng.
Lỗi 4: Áp dụng sai tính chất phân phối khi biến đổi biểu thức vectơ.
Nhiều bạn viết k × (a + b) = k·a + b mà quên nhân k với b. Cách tránh: bạn hãy nhớ tính chất phân phối k × (a + b) = k·a + k·b — số k phải nhân với cả hai vectơ trong ngoặc. Tương tự, (k + l) × a = k·a + l·a — cả hai số đều phải nhân với vectơ a. Bạn hãy biến đổi chậm rãi từng bước như khi làm với biểu thức số học.
Lỗi 5: Nhầm lẫn giữa tích của một số với một vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.
Nhiều bạn thấy biểu thức a·b thì nghĩ kết quả là một vectơ. Cách tránh: bạn hãy nhìn vào từng thừa số — nếu một thừa số là số thực và thừa số còn lại là vectơ thì kết quả là vectơ; nếu cả hai thừa số đều là vectơ và phép nhân là tích vô hướng thì kết quả là một số. Với k là số thực, k·a là vectơ. Với a và b đều là vectơ, a·b là một số.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định dấu của k trước khi kết luận về hướng của vectơ.
Câu 1: Cho vectơ a có độ dài |a| = 2. Độ dài của vectơ 3a bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 5
C. 6
D. 3
Câu 2: Cho vectơ a có độ dài |a| = 2. Độ dài của vectơ −2a bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 4
C. −4
D. 1
Câu 3: Vectơ 2a cùng hướng hay ngược hướng với vectơ a?
A. Cùng hướng
B. Ngược hướng
C. Vuông góc
D. Bằng vectơ-không
Câu 4: Cho vectơ a có độ dài |a| = 5. Độ dài của vectơ −a bằng bao nhiêu?
A. −5
B. 5
C. 0
D. 10
Câu 5: Vectơ k·a ngược hướng với vectơ a khi nào?
A. k > 0
B. k < 0
C. k = 0
D. k = 1
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | B | A | B | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C đúng: Áp dụng công thức |k·a| = |k| × |a| với k = 3, ta được |3a| = 3 × 2 = 6. Đáp án A sai vì 2 là độ dài của vectơ a ban đầu. Đáp án B sai vì 5 = 3 + 2 là tổng của k và |a|, không phải tích. Đáp án D sai vì 3 là hệ số k, không phải độ dài của vectơ 3a.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Áp dụng công thức |k·a| = |k| × |a| với k = −2, ta được |−2a| = |−2| × 2 = 2 × 2 = 4. Đáp án A sai vì 2 là độ dài của vectơ a ban đầu. Đáp án C sai vì độ dài không bao giờ âm, −4 không thể là độ dài của một vectơ. Đáp án D sai vì không có phép tính nào cho ra 1.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Vì hệ số k = 2 lớn hơn 0 nên vectơ 2a cùng hướng với vectơ a. Đáp án B sai vì vectơ ngược hướng với a là vectơ có hệ số âm, chẳng hạn −2a. Đáp án C sai vì vectơ 2a cùng phương với vectơ a chứ không vuông góc. Đáp án D sai vì vectơ 2a có độ dài bằng 4, khác vectơ-không.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Áp dụng công thức |k·a| = |k| × |a| với k = −1, ta được |−a| = |−1| × 5 = 1 × 5 = 5. Đáp án A sai vì độ dài không bao giờ âm. Đáp án C sai vì vectơ −a có độ dài bằng 5, khác vectơ-không. Đáp án D sai vì 10 = 2 × 5 là độ dài của vectơ 2a, không phải của vectơ −a.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Theo định nghĩa, vectơ k·a ngược hướng với vectơ a khi k nhỏ hơn 0. Đáp án A sai vì khi k lớn hơn 0, vectơ k·a cùng hướng với vectơ a. Đáp án C sai vì khi k = 0, vectơ k·a là vectơ-không, không có hướng xác định. Đáp án D sai vì khi k = 1, vectơ k·a bằng chính vectơ a nên cùng hướng với a.
Câu hỏi thường gặp về tích của một số với một vectơ
Hỏi: Hai vectơ cùng phương có nhất thiết cùng hướng không?
Đáp: Không. Cùng phương bao gồm cả cùng hướng và ngược hướng. Hai vectơ a và −a cùng phương với nhau dù chúng ngược hướng. Điều kiện để hai vectơ cùng phương là tồn tại số k sao cho vectơ này bằng k lần vectơ kia, trong đó k có thể dương hoặc âm.
Hỏi: Vectơ-không có hướng không, và nó có cùng phương với mọi vectơ không?
Đáp: Vectơ-không không có hướng xác định, nhưng theo quy ước, nó cùng phương với mọi vectơ. Điều này có nghĩa là với mọi vectơ a, tồn tại số k = 0 sao cho vectơ-không = 0 × a. Quy ước này giúp các định lí về cùng phương phát biểu được gọn gàng mà không cần loại trừ trường hợp vectơ-không.
Hỏi: Làm thế nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng vectơ?
Đáp: Bạn chứng minh hai vectơ nối ba điểm đó cùng phương với nhau. Ví dụ để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, bạn chứng minh vectơ AB và vectơ AC cùng phương, tức là tồn tại số k sao cho vectơ AC = k × vectơ AB. Đây là phương pháp chuẩn để chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian.
Hỏi: Công thức trung điểm dùng để làm gì?
Đáp: Công thức vectơ OM = (1/2) × (vectơ OA + vectơ OB) cho bạn vectơ nối từ gốc tới trung điểm của đoạn AB mà không cần vẽ hình. Công thức này là nền tảng của công thức tọa độ trung điểm trong hệ Oxyz mà bạn sẽ học ở bài sau, và cũng là bước đầu tiên để chứng minh các tính chất của trọng tâm tam giác và trọng tâm tứ diện.
Hỏi: Học tích của một số với một vectơ để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Đây là phép toán nền tảng để bạn học tọa độ của vectơ trong hệ Oxyz: mọi vectơ trong không gian đều biểu diễn được thành tổ hợp của ba vectơ đơn vị, và các phép toán tọa độ đều bắt nguồn từ phép nhân số với vectơ và phép cộng vectơ. Nắm chắc bài này, bạn sẽ học các bài về tọa độ, mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu rất nhanh. Nếu muốn ôn lại phép cộng vectơ, bạn hãy xem bài công thức tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian.
Kết luận
Công thức tích của một số với một vectơ chỉ gói gọn trong một quy tắc: |k·a| = |k| × |a|, với k lớn hơn 0 thì cùng hướng với a, k nhỏ hơn 0 thì ngược hướng với a. Bạn hãy nhớ bốn tính chất của phép nhân số với vectơ, điều kiện cùng phương b = k·a, và hai công thức trung điểm, trọng tâm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để nhân bất kì số nào với bất kì vectơ nào trong không gian, và để dùng phép toán này chứng minh thẳng hàng, song song và các tính chất hình học khác.