Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian lớp 12

Một chiếc máy bay không người lái bay về phía đông 3 mét, rồi bay lên cao 4 mét. Hỏi cuối cùng nó cách điểm xuất phát bao xa? Nếu bạn chỉ cộng 3 với 4 thì được 7 mét — và đó là đáp án sai. Vì hai chuyển động vuông góc với nhau, khoảng cách thật sự là 5 mét, theo đúng định lí Py-ta-go. Bài toán nhỏ này chứa đựng toàn bộ nội dung của bài học hôm nay: cộng hai vectơ không phải là cộng hai con số, mà là cộng hai mũi tên có hướng, và kết quả phụ thuộc vào góc giữa chúng.

Bài này sẽ giúp bạn làm chủ công thức tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian một cách có hệ thống: từ định nghĩa vectơ trong không gian, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, cho tới công thức tính độ dài của vectơ tổng bằng tích vô hướng, cùng 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ một hình ảnh duy nhất — hai vectơ cộng lại thành đường chéo của hình bình hành mà chúng tạo thành — bạn sẽ không bao giờ cộng vectơ như cộng số nữa.

Công thức tổng và hiệu của hai vectơ: đường chéo của hình bình hành

Trước hết, bạn cần nhớ lại định nghĩa vectơ trong không gian. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng: nó có điểm đầu, điểm cuối, có độ dài và có hướng. Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, dù điểm đầu của chúng có thể khác nhau. Vectơ đối của vectơ a là vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với a, kí hiệu là −a. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối, độ dài bằng 0 và không có hướng xác định. Trong không gian, mọi tính chất của vectơ mà bạn đã học ở lớp 10 trong mặt phẳng đều còn đúng, chỉ khác là các vectơ giờ đây có thể chỉ theo bất kì hướng nào trong không gian ba chiều.

Tổng của hai vectơ được định nghĩa bằng quy tắc ba điểm: cho ba điểm A, B, C bất kì trong không gian, ta có vectơ AB cộng vectơ BC bằng vectơ AC. Nói bằng lời đời thường: đi từ A tới B rồi đi tiếp từ B tới C thì cũng giống như đi thẳng từ A tới C. Từ quy tắc ba điểm, người ta suy ra quy tắc hình bình hành: cho hình bình hành ABCD, ta có vectơ AB cộng vectơ AD bằng vectơ AC. Nói cách khác, tổng của hai vectơ có chung điểm đầu là đường chéo của hình bình hành mà hai vectơ đó là hai cạnh kề. Bạn hãy nhìn hình ở đầu bài: vectơ a nằm ngang, vectơ b nằm dọc, vectơ tổng a + b là đường chéo OC của hình chữ nhật OACB. Đây chính là hình ảnh bạn cần ghi nhớ mỗi khi cộng hai vectơ.

Hiệu của hai vectơ được định nghĩa thông qua vectơ đối: a trừ b bằng a cộng với vectơ đối của b, tức là a − b = a + (−b). Về mặt hình học, nếu hai vectơ a và b có chung điểm đầu O, với a = OA và b = OB, thì vectơ hiệu a − b là vectơ BA — vectơ nối từ đầu mút của vectơ trừ tới đầu mút của vectơ bị trừ. Bạn hãy nhớ câu này: hiệu của hai vectơ là vectơ nối từ đầu của vectơ trừ tới đầu của vectơ bị trừ. Trong hình ở đầu bài, vectơ a − b là đường chéo còn lại của hình bình hành, nối từ B tới A. Quy tắc này rất hay dùng khi bạn cần tính vectơ nối hai điểm: với hai điểm A, B bất kì, vectơ AB bằng vectơ OB trừ vectơ OA, trong đó O là một điểm gốc tùy ý.

Để tính độ dài của vectơ tổng, bạn dùng công thức liên quan tới tích vô hướng: |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b. Trong đó a·b là tích vô hướng của hai vectơ, bằng |a| × |b| × cos của góc giữa hai vectơ. Công thức này chính là định lí hàm số cô-sin áp dụng cho tam giác tạo bởi hai vectơ. Khi hai vectơ vuông góc với nhau, tích vô hướng bằng 0 nên công thức trở thành |a + b|² = |a|² + |b|² — đúng với định lí Py-ta-go mà bạn thấy trong ví dụ mở đầu. Khi hai vectơ cùng hướng, góc giữa chúng bằng 0 độ, tích vô hướng đạt giá trị lớn nhất nên |a + b| = |a| + |b|. Khi hai vectơ ngược hướng, góc giữa chúng bằng 180 độ nên |a + b| = ||a| − |b||. Tương tự, độ dài của vectơ hiệu là |a − b|² = |a|² + |b|² − 2a·b. Khi cần kiểm tra nhanh một phép tính độ dài hay một giá trị căn bậc hai, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhưng việc xác định góc giữa hai vectơ thì bạn vẫn phải tự suy luận bằng hình học.

Trong không gian, bạn còn gặp quy tắc hình hộp — mở rộng của quy tắc hình bình hành lên ba chiều. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có vectơ AB cộng vectơ AD cộng vectơ AA′ bằng vectơ AC′. Nói bằng lời đời thường: tổng của ba vectơ là ba cạnh kề của hình hộp thì bằng đường chéo của hình hộp đó. Quy tắc này rất hay dùng khi bạn làm việc với hình hộp chữ nhật và hình lập phương, chẳng hạn để tính độ dài đường chéo của hình hộp: nếu ba cạnh kề có độ dài a, b, c và đôi một vuông góc với nhau thì đường chéo có độ dài bằng căn bậc hai của a² + b² + c². Đây chính là định lí Py-ta-go trong không gian ba chiều.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai vectơ a và b có độ dài |a| = 3, |b| = 4 và a vuông góc với b. Tính độ dài của vectơ a + b.
Vì hai vectơ a và b vuông góc với nhau nên tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là a·b = 0. Áp dụng công thức |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b, ta được |a + b|² = 3² + 4² + 2 × 0 = 9 + 16 = 25. Vậy |a + b| = 5. Bạn hãy đối chiếu với hình ở đầu bài: hai vectơ a và b là hai cạnh kề của một hình chữ nhật có cạnh 3 và 4, vectơ tổng a + b là đường chéo của hình chữ nhật đó, và độ dài đường chéo đúng bằng 5 theo định lí Py-ta-go — bộ ba số 3, 4, 5 quen thuộc. Đây cũng chính là ví dụ mẫu trong danh sách công thức của bài này, bạn hãy ghi nhớ nó vì bộ ba 3, 4, 5 sẽ xuất hiện lại trong nhiều bài tập về sau.

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a và b có độ dài |a| = 6, |b| = 8 và a vuông góc với b. Tính độ dài của vectơ a + b và vectơ a − b.
Vì a vuông góc với b nên a·b = 0. Áp dụng công thức, ta được |a + b|² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, nên |a + b| = 10. Tương tự, |a − b|² = |a|² + |b|² − 2a·b = 36 + 64 − 0 = 100, nên |a − b| = 10. Bạn hãy để ý một điều thú vị: khi hai vectơ vuông góc với nhau thì vectơ tổng và vectơ hiệu có cùng độ dài. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau — một tính chất quen thuộc mà bạn đã biết từ hồi học hình học lớp 8. Bộ ba số 6, 8, 10 cũng là bộ ba Py-ta-go, gấp đôi bộ ba 3, 4, 5 trong ví dụ 1.

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng vectơ AB + vectơ AD + vectơ AA′ = vectơ AC′.
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho mặt đáy ABCD, ta có vectơ AB + vectơ AD = vectơ AC. Tiếp theo, áp dụng quy tắc ba điểm cho ba điểm A, C, C′, ta có vectơ AC + vectơ CC′ = vectơ AC′. Mà vectơ CC′ bằng vectơ AA′ vì chúng là hai cạnh bên của hình hộp, cùng hướng và cùng độ dài. Thay vào, ta được vectơ AB + vectơ AD + vectơ AA′ = vectơ AC′. Đây chính là quy tắc hình hộp. Bạn hãy ghi nhớ quy tắc này: tổng của ba vectơ là ba cạnh kề của hình hộp thì bằng đường chéo của hình hộp. Quy tắc này sẽ giúp bạn tính nhanh nhiều vectơ trong các bài toán về hình hộp chữ nhật và hình lập phương ở các bài sau.

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có AB = 5, AD = 12 và AB vuông góc với AD. Tính độ dài của vectơ AC.
Vì ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành, vectơ AC = vectơ AB + vectơ AD. Vì AB vuông góc với AD nên tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0. Áp dụng công thức, ta được |AC|² = |AB|² + |AD|² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, nên |AC| = 13. Bạn hãy để ý: hình bình hành ABCD trong bài này thực chất là một hình chữ nhật vì hai cạnh kề vuông góc với nhau, và đường chéo AC đúng bằng 13 theo bộ ba Py-ta-go 5, 12, 13. Nếu muốn ôn lại cách nhân một số với một vectơ — phép toán thường đi kèm với phép cộng vectơ — bạn hãy xem bài công thức tích của một số với một vectơ trong không gian.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Cộng độ dài của hai vectơ như cộng hai con số.
Nhiều bạn thấy |a| = 3 và |b| = 4 thì viết ngay |a + b| = 7. Cách tránh: bạn hãy nhớ độ dài của vectơ tổng phụ thuộc vào góc giữa hai vectơ. Chỉ khi hai vectơ cùng hướng thì |a + b| mới bằng |a| + |b|. Khi hai vectơ vuông góc với nhau, |a + b| = √( |a|² + |b|² ) = 5 chứ không phải 7.

Lỗi 2: Nhầm chiều của vectơ hiệu.
Nhiều bạn viết vectơ AB trừ vectơ AC bằng vectơ BC thay vì vectơ CB. Cách tránh: bạn hãy nhớ vectơ hiệu là vectơ nối từ đầu của vectơ trừ tới đầu của vectơ bị trừ. Vectơ AB trừ vectơ AC: vectơ bị trừ là AB có đầu là B, vectơ trừ là AC có đầu là C, nên hiệu là vectơ CB — nối từ C tới B. Bạn luôn có thể kiểm tra lại bằng quy tắc ba điểm: vectơ AC cộng vectơ CB bằng vectơ AB, nên vectơ AB trừ vectơ AC bằng vectơ CB.

Lỗi 3: Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hai vectơ không có chung điểm đầu.
Nhiều bạn thấy hai vectơ bất kì là vẽ ngay một hình bình hành rồi lấy đường chéo làm tổng. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy tắc hình bình hành chỉ áp dụng khi hai vectơ có chung điểm đầu. Nếu hai vectơ không có chung điểm đầu, bạn phải tịnh tiến một trong hai vectơ sao cho chúng có chung điểm đầu rồi mới áp dụng quy tắc. Nhờ tính chất vectơ bằng nhau không phụ thuộc vào vị trí, việc tịnh tiến này luôn thực hiện được.

Lỗi 4: Quên dấu của tích vô hướng trong công thức độ dài.
Nhiều bạn viết |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b nhưng khi tính lại dùng dấu trừ, hoặc ngược lại. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức độ dài của vectơ tổng có dấu cộng, công thức độ dài của vectơ hiệu có dấu trừ. Bạn có thể nhớ bằng hình ảnh: khi hai vectơ cùng hướng, vectơ tổng dài nhất nên công thức phải có dấu cộng; khi hai vectơ cùng hướng, vectơ hiệu ngắn nhất nên công thức phải có dấu trừ.

Lỗi 5: Nhầm lẫn giữa vectơ và độ dài của vectơ.
Nhiều bạn hỏi vectơ AB + vectơ AD bằng bao nhiêu thì trả lời 5, trong khi đáp án đúng là vectơ AC. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ câu hỏi — nếu đề hỏi vectơ tổng thì bạn phải trả lời bằng một vectơ, nếu đề hỏi độ dài của vectơ tổng thì bạn mới trả lời bằng một con số. Vectơ AB + vectơ AD = vectơ AC, còn |vectơ AB + vectơ AD| = |vectơ AC| = 5.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định góc giữa hai vectơ trước khi tính độ dài của vectơ tổng hoặc vectơ hiệu.

Câu 1: Cho hai vectơ a và b có độ dài |a| = 3, |b| = 4 và a vuông góc với b. Độ dài của vectơ a + b bằng bao nhiêu?
A. 7
B. 5
C. 1
D. 25

Câu 2: Cho hai vectơ a và b có độ dài |a| = 3, |b| = 4 và a vuông góc với b. Độ dài của vectơ a − b bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 7
C. 5
D. 12

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD, vectơ AB + vectơ AD bằng vectơ nào sau đây?
A. Vectơ AC
B. Vectơ BD
C. Vectơ CA
D. Vectơ DB

Câu 4: Cho hai vectơ a và b có độ dài |a| = 6, |b| = 8 và a vuông góc với b. Độ dài của vectơ a + b bằng bao nhiêu?
A. 14
B. 10
C. 2
D. 48

Câu 5: Cho hai vectơ a và b có độ dài |a| = 5, |b| = 12 và a vuông góc với b. Độ dài của vectơ a − b bằng bao nhiêu?
A. 7
B. 17
C. 13
D. 60

Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Vì a vuông góc với b nên a·b = 0. Áp dụng công thức |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b = 9 + 16 = 25, nên |a + b| = 5. Đáp án A sai vì 7 = 3 + 4 là kết quả của việc cộng độ dài như cộng số, không đúng với vectơ. Đáp án C sai vì 1 = 4 − 3 là hiệu độ dài. Đáp án D sai vì 25 là bình phương của độ dài, không phải độ dài.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Vì a vuông góc với b nên a·b = 0. Áp dụng công thức |a − b|² = |a|² + |b|² − 2a·b = 9 + 16 = 25, nên |a − b| = 5. Đáp án A sai vì 1 = 4 − 3 là hiệu độ dài. Đáp án B sai vì 7 = 3 + 4 là tổng độ dài. Đáp án D sai vì 12 = 3 × 4 là tích độ dài, không liên quan tới độ dài của vectơ hiệu.

Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Theo quy tắc hình bình hành, vectơ AB + vectơ AD = vectơ AC, trong đó AC là đường chéo của hình bình hành ABCD. Đáp án B sai vì vectơ BD là đường chéo còn lại, bằng vectơ AD − vectơ AB. Đáp án C sai vì vectơ CA là vectơ đối của vectơ AC. Đáp án D sai vì vectơ DB bằng vectơ AB − vectơ AD.

Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Vì a vuông góc với b nên a·b = 0. Áp dụng công thức |a + b|² = 36 + 64 = 100, nên |a + b| = 10. Đáp án A sai vì 14 = 6 + 8 là tổng độ dài. Đáp án C sai vì 2 = 8 − 6 là hiệu độ dài. Đáp án D sai vì 48 = 6 × 8 là tích độ dài.

Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: Vì a vuông góc với b nên a·b = 0. Áp dụng công thức |a − b|² = 25 + 144 = 169, nên |a − b| = 13. Đáp án A sai vì 7 = 12 − 5 là hiệu độ dài. Đáp án B sai vì 17 = 12 + 5 là tổng độ dài. Đáp án D sai vì 60 = 5 × 12 là tích độ dài.

Câu hỏi thường gặp về tổng và hiệu của hai vectơ

Hỏi: Cộng hai vectơ trong không gian khác gì cộng hai vectơ trong mặt phẳng?
Đáp: Không khác gì về quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và công thức độ dài đều còn đúng trong không gian. Điểm khác duy nhất là trong không gian, hai vectơ có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng với một vectơ thứ ba, nên bạn cần thêm quy tắc hình hộp khi cộng ba vectơ là ba cạnh kề của một hình hộp.

Hỏi: Vì sao khi hai vectơ vuông góc thì vectơ tổng và vectơ hiệu có cùng độ dài?
Đáp: Vì khi a vuông góc với b, tích vô hướng a·b bằng 0 nên cả hai công thức |a + b|² và |a − b|² đều bằng |a|² + |b|². Về mặt hình học, điều này có nghĩa là hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau — một tính chất quen thuộc của hình chữ nhật.

Hỏi: Vectơ AB trừ vectơ AC bằng vectơ nào?
Đáp: Bằng vectơ CB. Bạn hãy nhớ quy tắc: hiệu của hai vectơ là vectơ nối từ đầu của vectơ trừ tới đầu của vectơ bị trừ. Vectơ bị trừ là AB có đầu là B, vectơ trừ là AC có đầu là C, nên hiệu là vectơ CB. Bạn có thể kiểm tra lại bằng quy tắc ba điểm: vectơ AC cộng vectơ CB bằng vectơ AB.

Hỏi: Quy tắc hình hộp dùng để làm gì?
Đáp: Quy tắc hình hộp cho bạn tổng của ba vectơ là ba cạnh kề của một hình hộp: vectơ AB + vectơ AD + vectơ AA′ = vectơ AC′. Quy tắc này rất hay dùng để tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật và hình lập phương, cũng như để biểu diễn một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng cho trước.

Hỏi: Học cộng, trừ vectơ để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Đây là nền tảng của toàn bộ chương vectơ trong không gian: từ cộng, trừ vectơ bạn sẽ học tới tích vô hướng, tích có hướng, rồi tới tọa độ của vectơ trong hệ Oxyz và phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu. Mọi công thức tọa độ sau này đều bắt nguồn từ các quy tắc hình học mà bạn học trong bài này. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài công thức tích của một số với một vectơ trong không gian.

Kết luận

Công thức tổng và hiệu của hai vectơ chỉ gói gọn trong hai quy tắc hình học: quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành, cùng với công thức độ dài |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b và |a − b|² = |a|² + |b|² − 2a·b. Bạn hãy nhớ vectơ tổng là đường chéo của hình bình hành, vectơ hiệu nối từ đầu của vectơ trừ tới đầu của vectơ bị trừ, và khi hai vectơ vuông góc với nhau thì độ dài của vectơ tổng và vectơ hiệu đều tính bằng định lí Py-ta-go. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để cộng, trừ bất kì hai vectơ nào trong không gian.