Bạn đã học tính chất của tích phân, nhưng tính chất chỉ cho bạn cách biến đổi, còn muốn tính ra con số cụ thể thì bạn cần biết nguyên hàm của từng hàm số. May mắn là các hàm số sơ cấp — hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác, hàm lũy thừa — đều có nguyên hàm quen thuộc, và tích phân của chúng trên một đoạn đều tính được bằng công thức Newton–Leibniz chỉ trong vài dòng. Bài này tổng hợp toàn bộ các công thức đó thành một bảng tra cứu mà bạn sẽ dùng suốt chương trình Toán 12.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ tích phân của các hàm số sơ cấp một cách có hệ thống: hàm mũ eˣ và aˣ, hàm phân thức 1/x, hàm lượng giác sin x và cos x, hàm lũy thừa xⁿ, cùng cách kết hợp chúng trong một bài toán. Bạn sẽ làm 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ nguyên hàm của mỗi hàm số sơ cấp, bạn sẽ tính được tích phân của chúng mà không cần suy nghĩ nhiều.
Tích phân của một số hàm số sơ cấp là gì?
Với hàm mũ, công thức quan trọng nhất là ∫ₐᵇ eˣ dx bằng eᵇ trừ eᵃ, vì nguyên hàm của eˣ chính là eˣ. Hàm số eˣ đặc biệt ở chỗ đạo hàm và nguyên hàm của nó đều bằng chính nó, nên tích phân của eˣ trên đoạn [a; b] chỉ là hiệu của hai giá trị eᵇ và eᵃ. Với hàm mũ cơ số a khác, công thức là ∫ₐᵇ aˣ dx bằng aᵇ trừ aᵃ rồi chia cho ln a, vì nguyên hàm của aˣ là aˣ chia ln a. Bạn hãy nhớ chia cho ln a, nếu quên bước này thì kết quả sẽ sai hoàn toàn.
Với hàm phân thức 1/x, công thức là ∫ₐᵇ (1/x)dx bằng ln trị tuyệt đối của b trừ ln trị tuyệt đối của a, với điều kiện đoạn [a; b] không chứa 0. Công thức này xuất phát từ nguyên hàm của 1/x là ln trị tuyệt đối của x. Bạn hãy chú ý điều kiện đoạn lấy tích phân không chứa 0, vì hàm số 1/x không xác định tại 0 và tích phân của nó trên đoạn chứa 0 là phân kì, không tính được bằng công thức này. Với hàm lượng giác, hai công thức bạn dùng nhiều nhất là ∫ₐᵇ sin x dx bằng cos a trừ cos b, và ∫ₐᵇ cos x dx bằng sin b trừ sin a. Bạn hãy nhớ dấu trừ trong công thức của sin x, vì nguyên hàm của sin x là trừ cos x, nên khi thay cận trên trừ cận dưới, dấu trừ sẽ đổi thành cos a trừ cos b.
Với hàm lũy thừa xⁿ với n khác trừ 1, công thức là ∫ₐᵇ xⁿ dx bằng bⁿ⁺¹ trừ aⁿ⁺¹ rồi chia cho n cộng 1, vì nguyên hàm của xⁿ là xⁿ⁺¹ chia cho n cộng 1. Trường hợp n bằng trừ 1 chính là hàm 1/x đã nói ở trên, nên bạn không được áp dụng công thức lũy thừa cho n bằng trừ 1. Ngoài ra, bạn cũng nên nhớ hai công thức lượng giác mở rộng: ∫ₐᵇ (1/cos²x)dx bằng tan b trừ tan a, và ∫ₐᵇ (1/sin²x)dx bằng trừ cot b cộng cot a, với điều kiện hàm số xác định trên đoạn lấy tích phân. Tất cả các công thức này đều suy ra trực tiếp từ bảng nguyên hàm, nên thay vì học thuộc lòng từng công thức, bạn chỉ cần nhớ vững bảng nguyên hàm rồi áp dụng công thức Newton–Leibniz.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính ∫₀¹ eˣ dx.
Nguyên hàm của eˣ là eˣ, nên theo công thức Newton–Leibniz, ∫₀¹ eˣ dx bằng e¹ trừ e⁰, tức là e trừ 1 và xấp xỉ 1,72. Kết quả này có ý nghĩa hình học: diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng eˣ, trục hoành và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 1 đúng bằng e trừ 1 đơn vị diện tích. Bạn hãy nhớ e xấp xỉ 2,718 nên e trừ 1 xấp xỉ 1,718, làm tròn thành 1,72. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (hàm lượng giác): Tính tích phân từ 0 đến π/2 của cos x.
Nguyên hàm của cos x là sin x, nên tích phân từ 0 đến π/2 của cos x bằng sin của π/2 trừ sin 0, tức là 1 trừ 0 và bằng 1. Bạn hãy để ý: trên đoạn từ 0 tới π/2, hàm số cos x giảm từ 1 xuống 0, diện tích dưới đồ thị của nó đúng bằng 1. Nếu bạn đổi thành sin x thì kết quả vẫn bằng 1, vì tích phân từ 0 đến π/2 của sin x bằng cos 0 trừ cos của π/2, tức là 1 trừ 0 và bằng 1. Hai kết quả bằng nhau không phải ngẫu nhiên, mà vì đồ thị của sin x và cos x đối xứng nhau qua đường thẳng x bằng π/4 trên đoạn này.
Ví dụ 3 (hàm phân thức): Tính tích phân từ 1 đến e của 1/x.
Nguyên hàm của 1/x là ln trị tuyệt đối của x. Vì x chạy từ 1 tới e nên x luôn dương, ta được phép bỏ dấu trị tuyệt đối. Vậy tích phân từ 1 đến e của 1/x bằng ln e trừ ln 1, tức là 1 trừ 0 và bằng 1. Kết quả này rất đẹp và hay được dùng làm bài tập mẫu: diện tích dưới đồ thị y bằng 1/x trên đoạn [1; e] đúng bằng 1 đơn vị diện tích. Bạn hãy nhớ ln e bằng 1 và ln 1 bằng 0, hai giá trị logarit này xuất hiện rất thường xuyên trong các bài tích phân.
Ví dụ 4 (kết hợp hai hàm lượng giác): Tính tích phân từ 0 đến π/2 của (sin x cộng cos x).
Tách thành tích phân từ 0 đến π/2 của sin x cộng tích phân từ 0 đến π/2 của cos x. Theo ví dụ 2, mỗi tích phân đều bằng 1, nên tổng bằng 2. Bạn cũng có thể tính bằng cách tìm nguyên hàm của sin x cộng cos x là trừ cos x cộng sin x, rồi thay cận: tại π/2 được 0 cộng 1 bằng 1, tại 0 được trừ 1 cộng 0 bằng trừ 1, lấy hiệu được 1 trừ mở ngoặc trừ 1 đóng ngoặc và bằng 2. Hai cách cho cùng một kết quả, và bạn nên làm quen với cả hai vì tùy bài toán mà một trong hai cách sẽ nhanh hơn.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên chia cho ln a khi tính tích phân của aˣ.
Nhiều bạn viết ∫₀¹ 2ˣ dx bằng 2 trừ 1 và bằng 1, trong khi đáp án đúng là 1 chia ln 2 và xấp xỉ 1,44. Cách tránh: bạn hãy nhớ nguyên hàm của aˣ là aˣ chia ln a, chỉ riêng eˣ mới không cần chia vì ln e bằng 1.
Lỗi 2: Viết ∫ₐᵇ sin x dx bằng cos b trừ cos a.
Nhiều bạn quên dấu trừ của nguyên hàm sin x nên viết sai thứ tự. Cách tránh: bạn hãy nhớ nguyên hàm của sin x là trừ cos x, nên khi thay cận trên trừ cận dưới, kết quả là cos a trừ cos b. Bạn hãy viết rõ nguyên hàm trừ cos x trước khi thay cận, đừng làm tắt trong đầu.
Lỗi 3: Tính tích phân của 1/x trên đoạn chứa 0.
Nhiều bạn tính ∫₋₁¹ (1/x)dx bằng ln 1 trừ ln 1 và bằng 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ hàm số 1/x không xác định tại 0, nên tích phân trên đoạn chứa 0 là phân kì và không tính được bằng công thức Newton–Leibniz. Trước khi tính, bạn hãy kiểm tra đoạn lấy tích phân có chứa điểm hàm số không xác định hay không.
Lỗi 4: Quên dấu trị tuyệt đối trong ln khi tính ∫(1/x)dx.
Nhiều bạn viết ∫ₐᵇ (1/x)dx bằng ln b trừ ln a mà không kiểm tra dấu của a và b. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đúng là ln trị tuyệt đối của b trừ ln trị tuyệt đối của a, và chỉ khi a, b cùng dương thì bạn mới được bỏ dấu trị tuyệt đối.
Lỗi 5: Áp dụng công thức lũy thừa cho n bằng trừ 1.
Nhiều bạn tính ∫₁² (1/x)dx bằng mở ngoặc 2⁰ trừ 1⁰ đóng ngoặc chia 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức ∫xⁿdx bằng xⁿ⁺¹ chia cho n cộng 1 chỉ đúng khi n khác trừ 1, còn trường hợp n bằng trừ 1 chính là hàm 1/x với nguyên hàm là ln trị tuyệt đối của x. Nếu muốn ôn lại các tính chất chung của tích phân, bạn hãy xem bài các công thức về tính chất của tích phân.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tra đúng nguyên hàm của từng hàm số sơ cấp trước khi thay cận.
Câu 1: Tích phân ∫₀¹ eˣ dx bằng
A. e trừ 1
B. e
C. 1
D. e cộng 1
Câu 2: Tích phân tích phân từ 1 đến e của 1/x bằng
A. 0
B. 1
C. e
D. ln 2
Câu 3: Tích phân tích phân từ 0 đến π/2 của cos x bằng
A. 0
B. π/2
C. 1
D. trừ 1
Câu 4: Tích phân tích phân từ 0 đến π/2 của sin x bằng
A. 1
B. 0
C. 2
D. π/2
Câu 5: Tích phân ∫₀¹ 2ˣ dx bằng
A. 1
B. 2
C. 1 chia ln 2
D. ln 2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | A | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (e trừ 1) đúng: Nguyên hàm của eˣ là eˣ, nên ∫₀¹ eˣ dx bằng e trừ 1. Đáp án B sai vì e là giá trị tại cận trên, chưa trừ giá trị tại cận dưới. Đáp án C sai vì 1 là cận trên, không phải kết quả. Đáp án D sai vì dấu phải là trừ chứ không phải cộng.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (1) đúng: tích phân từ 1 đến e của 1/x bằng ln e trừ ln 1, tức là 1 trừ 0 và bằng 1. Đáp án A sai vì 1/x dương trên đoạn [1; e] nên tích phân phải dương. Đáp án C sai vì e là cận trên, không phải kết quả. Đáp án D sai vì ln 2 là tích phân của 1/x trên đoạn [1; 2].
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (1) đúng: Nguyên hàm của cos x là sin x, nên tích phân từ 0 đến π/2 của cos x bằng sin của π/2 trừ sin 0, tức là 1 trừ 0 và bằng 1. Đáp án A sai vì cos x dương trên đoạn [0; π/2] nên tích phân phải dương. Đáp án B sai vì π/2 là cận trên, không phải kết quả. Đáp án D sai vì dấu của đáp án bị ngược.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (1) đúng: Nguyên hàm của sin x là trừ cos x, nên tích phân từ 0 đến π/2 của sin x bằng cos 0 trừ cos của π/2, tức là 1 trừ 0 và bằng 1. Đáp án B sai vì sin x dương trên đoạn [0; π/2] nên tích phân phải dương. Đáp án C sai vì 2 là tổng của hai tích phân sin và cos, không phải một tích phân. Đáp án D sai vì π/2 là cận trên, không phải kết quả.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C (1 chia ln 2) đúng: Nguyên hàm của 2ˣ là 2ˣ chia ln 2, nên ∫₀¹ 2ˣ dx bằng mở ngoặc 2 trừ 1 đóng ngoặc chia ln 2, tức là 1 chia ln 2 và xấp xỉ 1,44. Đáp án A sai vì quên chia cho ln 2. Đáp án B sai vì 2 là giá trị tại cận trên, chưa trừ và chưa chia. Đáp án D sai vì ln 2 là mẫu số, không phải kết quả.
Câu hỏi thường gặp về tích phân của hàm số sơ cấp
Hỏi: Vì sao nguyên hàm của 1/x lại là ln trị tuyệt đối của x?
Đáp: Vì đạo hàm của ln trị tuyệt đối của x bằng 1/x với mọi x khác 0, cả x dương lẫn x âm. Dấu trị tuyệt đối đảm bảo logarit luôn xác định, vì logarit chỉ nhận số dương. Khi x dương, ln trị tuyệt đối của x chính là ln x.
Hỏi: Hàm số eˣ có gì đặc biệt trong tích phân?
Đáp: Hàm số eˣ là hàm số duy nhất có đạo hàm và nguyên hàm đều bằng chính nó. Vì vậy tích phân của eˣ trên đoạn [a; b] chỉ là eᵇ trừ eᵃ, không cần chia cho bất cứ số nào. Đây là lí do số e xuất hiện khắp nơi trong giải tích và xác suất.
Hỏi: Tích phân của sin x và cos x trên một chu kì bằng bao nhiêu?
Đáp: Tích phân của sin x và cos x trên một chu kì đầy đủ, chẳng hạn từ 0 tới 2π, đều bằng 0, vì phần diện tích phía trên trục hoành và phía dưới trục hoành triệt tiêu lẫn nhau. Nhưng trên nửa chu kì từ 0 tới π, tích phân của sin x bằng 2, còn tích phân của cos x bằng 0.
Hỏi: Khi nào nên dùng bảng tích phân hàm số sơ cấp?
Đáp: Bạn dùng bảng này khi hàm số dưới dấu tích phân là một hàm số sơ cấp hoặc tổng của vài hàm số sơ cấp, chẳng hạn eˣ cộng x² hoặc sin x cộng 1/x. Khi hàm số phức tạp hơn, chẳng hạn tích của hai hàm số, bạn cần phương pháp đổi biến số hoặc tích phân từng phần.
Hỏi: Diện tích dưới đồ thị y bằng eˣ trên đoạn [0; 1] xấp xỉ 1,72 có ý nghĩa gì?
Đáp: Nó cho biết hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y bằng eˣ, trục hoành và hai đường thẳng x bằng 0, x bằng 1 có diện tích xấp xỉ 1,72 đơn vị diện tích. Vì eˣ tăng từ 1 tới khoảng 2,72 trên đoạn này, diện tích nằm giữa 1 và 2,72 là hoàn toàn hợp lí.
Kết luận
Tích phân của các hàm số sơ cấp chỉ gói gọn trong bảng nguyên hàm quen thuộc: eˣ giữ nguyên, aˣ chia ln a, 1/x thành ln trị tuyệt đối, sin x thành trừ cos x, cos x thành sin x, xⁿ thành xⁿ⁺¹ chia cho n cộng 1. Bạn hãy nhớ ba điều: chia cho ln a khi gặp aˣ, giữ dấu trị tuyệt đối khi gặp 1/x, và nhớ dấu trừ trong công thức của sin x. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính tích phân của bất kì hàm số nào được tạo thành từ các hàm số sơ cấp — và đó là bước đệm để bạn bước sang các ứng dụng hình học của tích phân ngay sau đây.