Bạn có bao giờ rơi vào tình huống này chưa: bạn biết 3/4 số tiền trong ống heo của mình là 18 nghìn đồng, nhưng lại không nhớ trong ống heo có tất cả bao nhiêu tiền? Hay cô giáo nói 12,8% số học sinh toàn trường là học sinh giỏi, tổng cộng 64 bạn, rồi hỏi cả trường có bao nhiêu học sinh — và bạn đứng hình vì đề bài cho "một phần", mà lại hỏi "cả cái"? Đây chính là dạng toán ngược mà bài viết này sẽ giúp bạn làm chủ: tìm một số khi chỉ biết giá trị của một phần của nó. Nghe thì lạ, nhưng thật ra nó xuất hiện trong đời sống nhiều hơn bạn tưởng — từ tiền tiết kiệm, điểm kiểm tra cho đến số học sinh cả trường.
Trước khi bắt đầu, bạn hãy nhớ lại bài toán xuôi mà mình đã học: muốn tìm 3/4 của 24, ta tính 24 × 3/4 = 18. Bài toán hôm nay đi ngược lại: biết 3/4 của một số là 18, hỏi số đó là bao nhiêu? Câu trả lời là 24 — nhưng làm thế nào để tìm ra 24 từ con số 18 và phân số 3/4? Đó là điều bài viết này sẽ dạy bạn, theo đúng chương trình Toán 6 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống" (Bài 31: Một số bài toán về tỉ số và tỉ số phần trăm). Học xong, bạn sẽ thấy dạng toán "ngược" này không hề đáng sợ — nó chỉ là bài toán xuôi viết ngược lại mà thôi.
1. Câu chuyện của chiếc ống heo: vì sao phải học bài toán ngược?
Hãy tưởng tượng bạn có một ống heo. Bạn đã bỏ vào đó một số tiền, rồi một hôm bạn lấy ra 3/4 số tiền để mua một cuốn sách giá 18 nghìn đồng. Mua xong, bạn chợt thắc mắc: "Vậy trong ống heo của mình lúc đầu có bao nhiêu tiền nhỉ?" Bạn biết 3/4 của số tiền là 18 nghìn, bạn cần tìm toàn bộ số tiền. Đây là một bài toán thực tế 100% — và nó chính là dạng toán của bài hôm nay.
Bạn có thể thử đoán mò: nếu số tiền là 20 nghìn thì 3/4 của nó là 15 nghìn, chưa đủ 18 nghìn. Nếu số tiền là 24 nghìn thì 3/4 của nó là 24 × 3/4 = 18 nghìn — đúng rồi! Vậy đáp số là 24 nghìn. Cách đoán mò này đúng, nhưng chậm và không chắc chắn. Bài học hôm nay sẽ cho bạn một công thức để tính thẳng ra đáp số, không cần đoán mò nữa.
Điều thú vị là dạng toán này không chỉ có trong sách vở. Khi người ta nói "đã bán được 60% số vé, tức là 300 vé, hỏi tổng cộng có bao nhiêu vé", hay "giảm giá 30% thì còn 350 nghìn, hỏi giá gốc là bao nhiêu", thì tất cả đều là cùng một dạng toán: biết giá trị của một phần, tìm toàn bộ. Ai nắm được công thức này thì đi chợ, tính giảm giá, tính điểm thi đều nhanh hơn người khác một bước.
2. Công thức thứ nhất: tìm một số khi biết giá trị một phân số của nó
Công thức của bài toán này rất gọn: nếu m/n của số x bằng b thì x = b : m/n = b × n/m. Nói bằng lời: muốn tìm một số khi biết m/n của nó bằng b, ta lấy b chia cho m/n — tức là lấy b nhân với phân số đảo ngược n/m.
Vì sao công thức này đúng? Bạn hãy nghĩ thế này: m/n của x bằng b nghĩa là x × m/n = b. Muốn tìm x, ta phải "gỡ" phân số m/n ra khỏi x — mà muốn gỡ một phép nhân thì ta làm phép chia ngược lại: x = b : m/n. Mà chia cho một phân số thì bằng nhân với phân số đảo ngược của nó, nên x = b × n/m. Bạn đã học phép chia phân số ở bài trước rồi, nên bước này không có gì mới — chỉ là áp dụng lại kiến thức cũ vào một bài toán mới mà thôi.
Bạn hãy đọc kĩ công thức một lần nữa và ghi nhớ điểm quan trọng nhất: bài toán ngược dùng phép chia, không dùng phép nhân. Bài toán xuôi (tìm m/n của b) thì lấy b × m/n. Bài toán ngược (tìm số khi biết m/n của nó bằng b) thì lấy b : m/n. Hai bài toán này giống nhau ở chỗ đều có hai con số b và m/n, nhưng khác nhau ở phép tính — và đó là chỗ dễ nhầm nhất của cả bài. Bạn cứ nhớ: "biết một phần, tìm cả cái — thì chia", còn "biết cả cái, tìm một phần — thì nhân".
Một mẹo nhỏ giúp bạn không bao giờ nhầm: sau khi tính ra đáp số, hãy thử lại bằng bài toán xuôi. Nếu bạn tìm được x = 24 từ "3/4 của x bằng 18", hãy kiểm tra ngay: 3/4 của 24 có bằng 18 không? 24 × 3/4 = 18 — đúng! Thói quen thử lại chỉ tốn 5 giây nhưng cứu bạn khỏi rất nhiều lỗi sai.
3. Công thức thứ hai: tìm một số khi biết giá trị phần trăm của nó
Phần trăm cũng chỉ là một dạng phân số đặc biệt: p% chính là p/100. Vì vậy công thức cho phần trăm cũng giống hệt công thức trên, chỉ thay m/n bằng p/100: nếu p% của số x bằng b thì x = b : p/100 = b × 100/p. Nói bằng lời: muốn tìm một số khi biết p% của nó bằng b, ta lấy b chia cho p rồi nhân với 100.
Ví dụ trong sách giáo khoa: số có giá trị 2,5% bằng 200 là số nào? Áp dụng công thức: x = 200 : 2,5/100 = 200 × 100/2,5 = 20.000 ÷ 2,5 = 8.000. Thử lại: 2,5% của 8.000 là 8.000 × 2,5 ÷ 100 = 200 — đúng! Bạn thấy không, công thức phần trăm và công thức phân số là một — chỉ khác ở chỗ p% phải đổi thành p/100 trước khi tính.
Có hai cách tính với phần trăm, bạn chọn cách nào cũng được: cách thứ nhất là đổi p% thành phân số p/100 rồi làm như công thức phân số; cách thứ hai là tính "1% của số đó bằng bao nhiêu" rồi nhân với 100. Ví dụ: 12,8% của số học sinh toàn trường là 64 bạn. Cách thứ hai làm như sau: 1% số học sinh là 64 : 12,8 = 5 bạn, vậy 100% số học sinh là 5 × 100 = 500 bạn. Cách này rất trực quan và ít bị nhầm — nhiều bạn thích cách này hơn vì nó kể một câu chuyện rõ ràng: cứ 1% là 5 bạn, cả 100% là 500 bạn.
Bạn cần nhớ một điều: khi đề bài cho phần trăm, đừng bao giờ quên chia cho 100. Lỗi phổ biến nhất là lấy b chia cho p mà quên nhân với 100 — ví dụ 25% của một số là 6 mà tính 6 : 25 = 0,24 thì sai hoàn toàn. Đáp số đúng là 6 : 25 × 100 = 24. Bạn cứ tự nhắc mình: "phần trăm thì phải có 100 trong phép tính".
4. Cách làm bài toán ngược trong 3 bước
Để không bao giờ làm sai dạng toán này, bạn hãy làm theo 3 bước sau đây — giống như một công thức nấu ăn, cứ làm đúng từng bước là ra món ngon.
Bước 1: Đọc đề và xác định dạng bài.
Bạn hãy tìm trong đề bài cụm từ "của nó bằng" hoặc "của số đó bằng". Nếu đề bài cho một phần của số cần tìm và hỏi số đó là bao nhiêu, thì đó là bài toán ngược — dùng phép chia. Ví dụ: "3/4 của một số bằng 18. Tìm số đó" — dạng ngược. Còn "Tìm 3/4 của 24" — dạng xuôi, dùng phép nhân. Bước này quan trọng nhất, vì xác định sai dạng bài thì mọi bước sau đều sai theo.
Bước 2: Viết công thức rồi thay số vào.
Với phân số: x = b : m/n = b × n/m. Với phần trăm: x = b : p × 100. Bạn hãy viết công thức ra giấy trước, rồi mới thay số vào — đừng tính nhẩm ngay trong đầu. Viết ra giấy giúp bạn thấy rõ mình đang chia cho phân số nào, nhân với số nào, và tránh nhầm lẫn giữa tử số với mẫu số.
Bước 3: Tính từng bước và thử lại.
Tính phép chia phân số bằng cách nhân với phân số đảo ngược, rút gọn trước khi nhân nếu có thể. Sau khi ra đáp số, thử lại bằng bài toán xuôi: lấy đáp số nhân với m/n (hoặc p%) xem có bằng b không. Nếu bằng thì đáp số đúng, nếu không bằng thì quay lại bước 2 kiểm tra.
Bạn có thể dùng máy tính Casio online để kiểm tra nhanh phép chia phân số của mình, đặc biệt khi các con số không được đẹp. Nhưng bạn vẫn nên tự tính bằng tay trước — máy tính chỉ để đối chiếu, còn kĩ năng tính toán là của bạn.
5. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): 3/4 của một số bằng 18. Tìm số đó.
Đây là ví dụ gốc của bài. Áp dụng công thức: x = 18 : 3/4 = 18 × 4/3. Rút gọn trước khi nhân: 18 và 3 cùng chia hết cho 3, ta được 6 × 4 = 24. Vậy số cần tìm là 24.
Thử lại: 3/4 của 24 là 24 × 3/4 = 18 — đúng với đề bài. Bạn thấy đấy, rút gọn trước khi nhân giúp phép tính gọn hơn rất nhiều: thay vì tính 18 × 4 = 72 rồi 72 : 3 = 24, ta rút gọn ngay từ đầu và chỉ cần tính 6 × 4 = 24.
Ví dụ 2 (phần trăm): 25% của một số bằng 6. Tìm số đó.
Áp dụng công thức phần trăm: x = 6 : 25 × 100. Tính 6 : 25 = 0,24, rồi 0,24 × 100 = 24. Vậy số cần tìm là 24.
Thử lại: 25% của 24 là 24 × 25 ÷ 100 = 6 — đúng! Bạn cũng có thể làm theo cách "1% bằng bao nhiêu": 1% của số đó là 6 : 25 = 0,24, vậy cả số đó (100%) là 0,24 × 100 = 24. Cả hai cách đều ra 24, bạn chọn cách nào thấy dễ hiểu hơn.
Ví dụ 3 (bài toán thực tế): Số học sinh giỏi của một trường tiểu học là 64 em, chiếm 12,8% số học sinh toàn trường. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh?
Đây là bài toán thực tế trong sách giáo khoa. Ta biết 12,8% số học sinh toàn trường bằng 64, cần tìm toàn trường có bao nhiêu học sinh.
Áp dụng công thức: số học sinh toàn trường là 64 : 12,8 × 100. Tính 1% trước: 64 : 12,8 = 5 (học sinh). Vậy 100% là 5 × 100 = 500 học sinh.
Thử lại: 12,8% của 500 là 500 × 12,8 ÷ 100 = 64 — đúng! Vậy trường đó có 500 học sinh. Bài toán này cho thấy dạng toán ngược không chỉ nằm trong sách — nhà trường dùng nó để tính tổng số học sinh từ số học sinh giỏi, cửa hàng dùng nó để tính tổng số vé từ số vé đã bán.
Ví dụ 4 (nâng cao): Một cửa hàng đã bán 3/5 số gạo trong kho, còn lại 120 kg gạo. Hỏi lúc đầu trong kho có bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
Đây là dạng bài nâng cao hơn một chút, vì đề bài không cho trực tiếp "một phần bằng bao nhiêu" mà cho "phần còn lại". Bạn phải tự tìm ra phần còn lại chiếm bao nhiêu phần của cả kho.
Bước 1: Đã bán 3/5 số gạo, vậy số gạo còn lại chiếm 1 − 3/5 = 2/5 số gạo lúc đầu.
Bước 2: Ta biết 2/5 số gạo lúc đầu bằng 120 kg, nên số gạo lúc đầu là 120 : 2/5 = 120 × 5/2 = 300 kg.
Thử lại: 3/5 của 300 là 180 kg đã bán, còn lại 300 − 180 = 120 kg — đúng với đề bài. Vậy lúc đầu trong kho có 300 kg gạo.
Bài này dạy bạn một kĩ năng quan trọng: đôi khi đề bài không cho sẵn phân số của phần đã biết, mà bạn phải tự tính ra nó bằng cách lấy 1 trừ đi phần đã cho. Cứ nhớ: "cả cái" luôn là 1, phần còn lại = 1 − phần đã dùng.
6. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm bài toán ngược với bài toán xuôi — lấy b nhân với m/n thay vì chia.
Với đề "3/4 của một số bằng 18, tìm số đó", nhiều bạn tính 18 × 3/4 = 13,5 rồi ghi đáp số 13,5. Sai! Vì 18 là giá trị của 3/4 số cần tìm, nên số cần tìm phải lớn hơn 18, không thể là 13,5. Cách tránh: sau khi tính xong, hãy hỏi "đáp số của mình có lớn hơn b không?" — trong bài toán ngược, đáp số luôn lớn hơn b (vì b chỉ là một phần của nó). Nếu đáp số nhỏ hơn b thì chắc chắn bạn đã làm ngược phép tính.
Lỗi 2: Quên đổi phần trăm sang phân số — chia cho p mà quên nhân với 100.
Với đề "25% của một số bằng 6", nhiều bạn tính 6 : 25 = 0,24 rồi dừng lại. Sai! Vì 25% chỉ là 25/100, nên phải tính 6 : 25 × 100 = 24. Cách tránh: mỗi khi thấy dấu % trong đề bài, hãy viết ngay "× 100" vào giấy nháp để nhắc mình. Hoặc dùng cách "1% bằng bao nhiêu": 1% là 6 : 25 = 0,24, cả số là 0,24 × 100 = 24 — cách này khó quên bước nhân 100 hơn.
Lỗi 3: Đảo ngược phân số sai khi chia.
Khi tính 18 : 3/4, nhiều bạn nhân với 3/4 thay vì nhân với 4/3, ra 18 × 3/4 = 13,5. Cách tránh: khi chia cho một phân số, bạn hãy viết rõ phân số đảo ngược ra giấy — đảo ngược của 3/4 là 4/3 (tử số và mẫu số đổi chỗ cho nhau) — rồi mới nhân. Bạn cũng có thể nhớ bằng câu: "chia phân số thì nhân đảo ngược".
Lỗi 4: Không rút gọn trước khi nhân, tính nhẩm sai.
Khi tính 18 × 4/3, nhiều bạn nhân 18 × 4 = 72 rồi mới chia cho 3, và tính nhẩm 72 : 3 sai thành 21 hoặc 27. Cách tránh: rút gọn trước khi nhân — 18 và 3 cùng chia hết cho 3, còn 6 × 4 = 24. Rút gọn sớm giúp các con số nhỏ lại, ít sai hơn.
Lỗi 5: Không thử lại đáp số.
Nhiều bạn tính xong là ghi đáp số ngay, không kiểm tra. Cách tránh: hãy tập thói quen thử lại bằng bài toán xuôi — chỉ tốn 5 giây nhưng bắt được hầu hết lỗi sai. Nếu thử lại không khớp với đề bài thì chắc chắn có chỗ sai, hãy quay lại kiểm tra từng bước.
7. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ làm đúng 3 bước: xác định dạng bài, viết công thức rồi thay số, tính từng bước và thử lại.
Câu 1: 2/3 của một số bằng 16. Số đó là bao nhiêu?
A. 10
B. 24
C. 32
D. 12
Câu 2: 40% của một số bằng 60. Số đó là bao nhiêu?
A. 24
B. 100
C. 150
D. 240
Câu 3: 3/5 số học sinh lớp 6A là 24 bạn. Lớp 6A có bao nhiêu học sinh?
A. 40
B. 15
C. 30
D. 45
Câu 4: Một thùng dầu đã dùng 30% thì còn lại 35 lít. Hỏi thùng dầu lúc đầu chứa bao nhiêu lít dầu?
A. 50
B. 45
C. 105
D. 70
Câu 5: 5/8 của một số bằng 35. Số đó là bao nhiêu?
A. 56
B. 28
C. 40
D. 64
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | A | A | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (24) đúng: Áp dụng x = b : m/n = 16 : 2/3 = 16 × 3/2 = 24. Thử lại: 2/3 của 24 là 16 — đúng. Đáp án A (10) sai vì không có phép tính nào cho ra 10 từ 16 và 2/3. Đáp án C (32) sai vì lấy 16 × 2 = 32, nhầm phép chia phân số thành phép nhân với tử số. Đáp án D (12) sai vì tính 16 × 3/4 = 12, nhầm phân số 2/3 thành 3/4.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (150) đúng: x = 60 : 40 × 100 = 1,5 × 100 = 150. Thử lại: 40% của 150 là 60 — đúng. Đáp án A (24) sai vì tính 60 × 40 ÷ 100 = 24 — đó là bài toán xuôi (tìm 40% của 60), không phải bài toán ngược. Đáp án B (100) sai vì lấy 60 : 60 × 100, nhầm 40% thành 60%. Đáp án D (240) sai vì tính 60 : 25 × 100 = 240, nhầm 40% thành 25%.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A (40) đúng: Số học sinh lớp 6A là 24 : 3/5 = 24 × 5/3 = 40 bạn. Thử lại: 3/5 của 40 là 24 — đúng. Đáp án B (15) sai vì tính 24 × 5/8 = 15, dùng nhầm phân số 5/8. Đáp án C (30) sai vì tính 24 : 4/5 = 30, nhầm 3/5 thành 4/5. Đáp án D (45) sai vì tính 24 : 8/15 = 45, nhầm lẫn khi đổi phân số.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (50) đúng: Đã dùng 30% nên còn lại 100% − 30% = 70% số dầu. Ta biết 70% bằng 35 lít, nên lúc đầu thùng chứa 35 : 70 × 100 = 50 lít. Thử lại: 30% của 50 là 15 lít đã dùng, còn 50 − 15 = 35 lít — đúng. Đáp án B (45) sai vì tính 35 : 70 × 90 = 45, nhầm 100% thành 90%. Đáp án C (105) sai vì tính 35 : 100 × 300, nhầm lẫn hoàn toàn. Đáp án D (70) sai vì lấy 35 : 50 × 100 = 70, dùng nhầm số liệu.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (56) đúng: x = 35 : 5/8 = 35 × 8/5 = 56. Rút gọn: 35 và 5 cùng chia hết cho 5, còn 7 × 8 = 56. Thử lại: 5/8 của 56 là 35 — đúng. Đáp án B (28) sai vì tính 35 × 4/5 = 28, nhầm phân số 5/8 thành 4/5. Đáp án C (40) sai vì tính 35 : 7/8 = 40, nhầm 5/8 thành 7/8. Đáp án D (64) sai vì tính 35 : 5/8 mà không rút gọn rồi tính nhầm 280 : 5 = 64 (thật ra 280 : 5 = 56).
8. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Làm sao để phân biệt bài toán xuôi và bài toán ngược?
Đáp: Bạn hãy đọc đề bài và hỏi: "Đề bài cho mình cả cái hay chỉ cho một phần?" Nếu đề bài cho cả số rồi hỏi một phần của nó — ví dụ "Tìm 3/4 của 24" — thì đó là bài toán xuôi, dùng phép nhân. Nếu đề bài cho giá trị của một phần rồi hỏi cả số — ví dụ "3/4 của một số bằng 18, tìm số đó" — thì đó là bài toán ngược, dùng phép chia. Cụm từ "của nó bằng" hoặc "của số đó bằng" là dấu hiệu nhận biết bài toán ngược.
Hỏi: Vì sao đáp số của bài toán ngược luôn lớn hơn số đã cho?
Đáp: Vì số đã cho (b) chỉ là một phần của số cần tìm (x), mà một phần thì luôn nhỏ hơn cả cái — trừ khi phần đó là 100% hoặc 1/1. Ví dụ 3/4 của 24 là 18, thì 24 lớn hơn 18. Nhờ vậy bạn có thể kiểm tra nhanh: nếu tính ra đáp số nhỏ hơn b thì chắc chắn bạn đã làm sai phép tính, hãy kiểm tra lại ngay.
Hỏi: Có thể làm bài toán phần trăm mà không đổi ra phân số không?
Đáp: Được. Bạn dùng cách "1% bằng bao nhiêu": lấy b chia cho p để được 1%, rồi nhân với 100 để được cả số. Ví dụ 25% của một số là 6 thì 1% là 6 : 25 = 0,24, cả số là 0,24 × 100 = 24. Cách này không cần viết phân số p/100, rất phù hợp khi bạn tính bằng máy tính hoặc tính nhẩm.
Hỏi: Khi nào thì dùng công thức phân số, khi nào dùng công thức phần trăm?
Đáp: Đề bài cho phân số thì dùng công thức phân số (x = b × n/m), đề bài cho phần trăm thì dùng công thức phần trăm (x = b : p × 100). Hai công thức này thật ra là một, vì p% chính là p/100. Bạn chỉ cần nhớ: thấy dấu % thì chia cho p rồi nhân với 100; thấy phân số m/n thì nhân với phân số đảo ngược n/m.
Hỏi: Bài toán ngược có ứng dụng gì trong đời sống?
Đáp: Rất nhiều. Khi cửa hàng giảm giá 30% còn 350 nghìn, bạn dùng bài toán ngược để tính giá gốc: 350 : 70 × 100 = 500 nghìn. Khi biết 64 bạn học sinh giỏi chiếm 12,8% cả trường, bạn tính được cả trường có 500 học sinh. Khi biết đã bán 60% số vé là 300 vé, bạn tính được tổng cộng có 500 vé. Ai giỏi dạng toán này thì tính tiền, tính giảm giá đều nhanh hơn người khác.
9. Kết luận
Tìm một số khi biết giá trị một phân số của nó và tìm một số khi biết giá trị phần trăm của nó là hai mặt của cùng một bài toán ngược: nếu m/n của x bằng b thì x = b × n/m, và nếu p% của x bằng b thì x = b : p × 100. Bạn chỉ cần nhớ ba điều: xác định đúng dạng bài bằng cụm từ "của nó bằng", dùng phép chia thay vì phép nhân, và thử lại đáp số bằng bài toán xuôi. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán ngược trong chương trình lớp 6 — từ tiền tiết kiệm trong ống heo đến số học sinh cả trường. Và khi cần tính nhanh hay kiểm tra lại phép chia phân số của mình, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn. Nếu muốn ôn lại thứ tự tính toán khi làm các phép tính nhiều bước, bạn hãy xem lại bài dấu ngoặc và thứ tự thực hiện phép tính — vì tính đúng thứ tự là điều kiện để mọi công thức đều cho ra đáp số đúng.