Công thức tọa độ trung điểm, trọng tâm: bài tập lớp 10

Bạn đã bao giờ chơi bập bênh chưa? Muốn hai bạn ngồi hai đầu mà bập bênh cân bằng, bạn phải đặt điểm tựa đúng vào giữa — không lệch sang bên nào. Điểm tựa đó chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đầu bập bênh. Còn nếu có ba bạn ngồi ở ba đỉnh của một tấm ván hình tam giác, muốn tấm ván cân bằng trên một điểm tựa duy nhất thì điểm tựa phải đặt ở trọng tâm của tam giác. Trong mặt phẳng tọa độ, cả hai điểm đặc biệt này đều tìm được bằng một cách tính rất giống nhau: lấy trung bình cộng của các tọa độ. Bài này sẽ cho bạn thấy vì sao chỉ một phép tính trung bình lại giải quyết được cả hai bài toán.

Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm nằm chính giữa A và B, cách đều hai đầu mút. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến, và nó nằm ở vị trí "cân bằng" của tam giác. Nghe thì có vẻ hai khái niệm này chẳng liên quan gì đến nhau, nhưng công thức tọa độ của chúng lại là anh em ruột: tọa độ trung điểm bằng trung bình cộng tọa độ hai đầu mút, tọa độ trọng tâm bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh. Chỉ cần nhớ "muốn tìm điểm giữa thì cộng lại rồi chia đều", bạn sẽ làm được mọi bài tập dạng này mà không cần học thuộc lòng từng công thức riêng lẻ.

Trung điểm lấy trung bình cộng hai đầu mút, trọng tâm lấy trung bình cộng ba đỉnh

Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB), trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là M((xA + xB) / 2; (yA + yB) / 2). Công thức này nói một điều rất trực quan: hoành độ của điểm giữa bằng trung bình cộng hai hoành độ, tung độ của điểm giữa bằng trung bình cộng hai tung độ. Bạn có thể hiểu vì sao như vậy bằng cách nghĩ về trục số: điểm giữa của hai số a và b trên trục số là (a + b) / 2, và mặt phẳng tọa độ chẳng qua là hai trục số vuông góc với nhau — một trục nằm ngang cho hoành độ, một trục thẳng đứng cho tung độ. Áp dụng quy tắc điểm giữa cho từng trục, bạn nhận được ngay công thức trên.

Cho tam giác ABC với A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC), trọng tâm G của tam giác có tọa độ là G((xA + xB + xC) / 3; (yA + yB + yC) / 3). Bạn hãy để ý mẫu số là 3 vì có ba đỉnh, và tử số là tổng tọa độ của cả ba đỉnh. Công thức này cũng có thể hiểu theo nghĩa trung bình cộng: trọng tâm là "điểm trung bình" của ba đỉnh. Một cách nhớ khác là dùng tính chất của đường trung tuyến: trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ số 2 : 1 kể từ đỉnh, và từ tính chất đó người ta cũng suy ra được công thức trung bình cộng này. Trong chương trình lớp 10, bạn chỉ cần thuộc và áp dụng công thức, nhưng hiểu được ý nghĩa trung bình cộng sẽ giúp bạn nhớ lâu hơn nhiều.

Hai công thức này còn có một ứng dụng ngược rất hay gặp trong đề thi: khi đã biết trọng tâm và hai đỉnh, bạn có thể tìm đỉnh còn lại. Chẳng hạn, biết trọng tâm G và hai đỉnh A, B, bạn tìm đỉnh C bằng cách giải ngược công thức: xC = 3 × xG − xA − xB và yC = 3 × yG − yA − yB. Tương tự, biết trung điểm M và một đầu mút A, bạn tìm đầu mút còn lại bằng xB = 2 × xM − xA và yB = 2 × yM − yA. Dạng bài tìm điểm còn thiếu này xuất hiện rất thường xuyên, vì nó kiểm tra xem bạn có hiểu thật sự công thức hay chỉ học vẹt. Bạn hãy luyện cả hai chiều — tính điểm giữa khi biết hai đầu, và tìm đầu còn lại khi biết điểm giữa — thì dạng nào cũng làm được.

Một điểm bạn cần lưu ý là công thức trọng tâm chỉ đúng với tam giác, không áp dụng cho tứ giác hay các hình khác. Với tứ giác, "điểm trung bình" của bốn đỉnh không có ý nghĩa hình học đặc biệt như trọng tâm tam giác. Ngoài ra, khi tính toán, bạn hãy cẩn thận với phân số: tọa độ trọng tâm thường là phân số vì phải chia cho 3, chẳng hạn (7 / 3; 2 / 3). Bạn đừng vội làm tròn thành số thập phân khi đề bài không yêu cầu, vì làm tròn sớm sẽ làm sai kết quả ở các bước sau. Nếu muốn ôn lại cách tính tọa độ vectơ nối hai điểm, bạn hãy xem bài liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ của vectơ.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(6; 0), C(0; 6). Tìm trọng tâm G của tam giác và trung điểm của cạnh AB.
Bạn tính trọng tâm G bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh: xG = (0 + 6 + 0) / 3 = 6 / 3 = 2, yG = (0 + 0 + 6) / 3 = 6 / 3 = 2. Vậy G(2; 2). Trung điểm của cạnh AB là điểm M với xM = (0 + 6) / 2 = 3, yM = (0 + 0) / 2 = 0, tức là M(3; 0). Bạn hãy kiểm tra lại bằng hình dung: tam giác ABC là tam giác vuông tại A với hai cạnh góc vuông nằm trên hai trục tọa độ, trọng tâm G(2; 2) nằm bên trong tam giác, gần gốc tọa độ hơn là gần cạnh huyền — đúng với tính chất trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ số 2 : 1 kể từ đỉnh.

Ví dụ 2 (trung điểm của hai điểm bất kì): Cho hai điểm A(1; 2) và B(5; 6). Tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Bạn lấy trung bình cộng từng tọa độ: xM = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3, yM = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4. Vậy M(3; 4). Bạn hãy kiểm tra lại bằng vectơ: vectơ AM = (3 − 1; 4 − 2) = (2; 2), vectơ MB = (5 − 3; 6 − 4) = (2; 2), hai vectơ bằng nhau nên M đúng là trung điểm. Cách kiểm tra bằng vectơ này rất hữu ích khi bạn muốn chắc chắn đáp án của mình đúng. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 3 (trọng tâm cho ra phân số): Cho tam giác ABC với A(−1; 0), B(3; 4), C(5; −2). Tìm trọng tâm G của tam giác.
Bạn cộng tọa độ ba đỉnh rồi chia cho 3: xG = (−1 + 3 + 5) / 3 = 7 / 3, yG = (0 + 4 + (−2)) / 3 = 2 / 3. Vậy G(7 / 3; 2 / 3). Bạn hãy giữ nguyên kết quả dưới dạng phân số, đừng đổi thành số thập phân gần đúng 2,33 và 0,67 trừ khi đề bài yêu cầu làm tròn. Bạn cũng nên kiểm tra lại phép cộng: −1 + 3 = 2, 2 + 5 = 7, đúng; 0 + 4 = 4, 4 − 2 = 2, đúng. Trọng tâm có tọa độ phân số là chuyện bình thường, bạn đừng hoảng khi thấy kết quả không phải số nguyên.

Ví dụ 4 (tìm đỉnh còn thiếu): Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 1), đỉnh A(0; 0) và đỉnh B(3; 0). Tìm tọa độ đỉnh C.
Bạn giải ngược công thức trọng tâm: xC = 3 × xG − xA − xB = 3 × 1 − 0 − 3 = 0, yC = 3 × yG − yA − yB = 3 × 1 − 0 − 0 = 3. Vậy C(0; 3). Bạn hãy kiểm tra lại: trọng tâm của tam giác A(0; 0), B(3; 0), C(0; 3) là ((0 + 3 + 0) / 3; (0 + 0 + 3) / 3) = (1; 1), đúng với G đã cho. Dạng bài tìm đỉnh còn thiếu này rất hay gặp trong đề kiểm tra, vì nó đòi hỏi bạn phải biến đổi công thức chứ không chỉ thay số.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Quên chia cho 2 khi tính trung điểm, quên chia cho 3 khi tính trọng tâm.
Nhiều bạn cộng tọa độ các đỉnh lại rồi quên mất bước chia, nên đáp án lớn gấp 2 hoặc gấp 3 lần đáp án đúng. Cách tránh: sau khi cộng xong, bạn hãy tự hỏi "có mấy điểm?" — hai điểm thì chia 2, ba điểm thì chia 3 — rồi mới viết kết quả.

Lỗi 2: Nhầm lẫn công thức trung điểm với công thức trọng tâm.
Nhiều bạn tính trọng tâm tam giác bằng cách lấy trung bình cộng của chỉ hai đỉnh, hoặc tính trung điểm bằng cách cộng cả ba đỉnh rồi chia 3. Cách tránh: bạn hãy đếm số điểm trong bài — đoạn thẳng có hai đầu mút thì chia 2, tam giác có ba đỉnh thì chia 3 — và ghi rõ ra nháp trước khi tính.

Lỗi 3: Cộng sai dấu khi có tọa độ âm.
Nhiều bạn tính (−1 + 3 + 5) / 3 thành 5 / 3 hoặc 9 / 3 vì cộng nhầm dấu của số âm. Cách tránh: bạn hãy cộng từng bước một ra nháp, viết rõ dấu của từng số hạng, đừng cộng nhẩm cả ba số cùng lúc.

Lỗi 4: Làm tròn phân số quá sớm.
Nhiều bạn đổi 7 / 3 thành 2,33 ngay từ đầu rồi dùng số làm tròn đó để tính tiếp, khiến kết quả cuối cùng lệch đi. Cách tránh: bạn hãy giữ nguyên phân số trong suốt quá trình tính toán, chỉ làm tròn ở bước cuối cùng nếu đề bài yêu cầu.

Lỗi 5: Nhầm trọng tâm với trung điểm của một cạnh.
Nhiều bạn lấy trung điểm của cạnh BC làm trọng tâm của tam giác, nhưng trọng tâm nằm trên đường trung tuyến, cách đỉnh một đoạn bằng 2 / 3 độ dài đường trung tuyến chứ không nằm ở chân đường trung tuyến. Cách tránh: bạn hãy nhớ trọng tâm là điểm chung của ba đường trung tuyến, còn trung điểm chỉ là điểm giữa của một cạnh.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ quy tắc: trung điểm thì cộng hai rồi chia 2, trọng tâm thì cộng ba rồi chia 3.

Câu 1: Cho hai điểm A(0; 0) và B(6; 0). Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm nào?
A. (3; 0)
B. (0; 3)
C. (6; 0)
D. (2; 0)

Câu 2: Cho hai điểm A(1; 2) và B(5; 6). Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm nào?
A. (2; 3)
B. (3; 4)
C. (6; 8)
D. (4; 3)

Câu 3: Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(6; 0), C(0; 6). Trọng tâm G của tam giác là điểm nào?
A. (3; 0)
B. (2; 2)
C. (0; 6)
D. (6; 0)

Câu 4: Cho tam giác ABC với A(1; 1), B(4; 1), C(1; 4). Trọng tâm G của tam giác là điểm nào?
A. (3; 2)
B. (1; 2)
C. (2; 2)
D. (4; 1)

Câu 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(0; 0), đỉnh A(3; 0) và đỉnh B(0; 3). Tọa độ đỉnh C bằng bao nhiêu?
A. (3; 3)
B. (0; 0)
C. (−3; 3)
D. (−3; −3)

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (3; 0) đúng: Trung điểm có hoành độ (0 + 6) / 2 = 3 và tung độ (0 + 0) / 2 = 0, nên là điểm (3; 0). Đáp án B (0; 3) sai vì bạn đã đổi chỗ hoành độ và tung độ. Đáp án C (6; 0) sai vì đó là điểm B, không phải trung điểm. Đáp án D (2; 0) sai vì 2 là kết quả của phép chia 6 cho 3 — bạn đã dùng nhầm công thức trọng tâm.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B (3; 4) đúng: Hoành độ trung điểm bằng (1 + 5) / 2 = 3, tung độ bằng (2 + 6) / 2 = 4, nên trung điểm là (3; 4). Đáp án A (2; 3) sai vì bạn đã lấy trung bình cộng của (1; 2) với chính nó. Đáp án C (6; 8) sai vì bạn cộng tọa độ hai điểm mà quên chia cho 2. Đáp án D (4; 3) sai vì bạn đã đổi chỗ hoành độ và tung độ của đáp án đúng.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (2; 2) đúng: Trọng tâm có hoành độ (0 + 6 + 0) / 3 = 2 và tung độ (0 + 0 + 6) / 3 = 2, nên G(2; 2). Đáp án A (3; 0) sai vì đó là trung điểm của cạnh AB, không phải trọng tâm. Đáp án C (0; 6) sai vì đó là đỉnh C. Đáp án D (6; 0) sai vì đó là đỉnh B.

Giải thích Câu 4 — Đáp án C (2; 2) đúng: Hoành độ trọng tâm bằng (1 + 4 + 1) / 3 = 6 / 3 = 2, tung độ bằng (1 + 1 + 4) / 3 = 6 / 3 = 2, nên G(2; 2). Đáp án A (3; 2) sai vì bạn đã cộng nhầm hoành độ thành 9 rồi chia 3. Đáp án B (1; 2) sai vì bạn đã lấy hoành độ của đỉnh A làm hoành độ trọng tâm. Đáp án D (4; 1) sai vì đó là tọa độ của đỉnh B.

Giải thích Câu 5 — Đáp án D (−3; −3) đúng: Giải ngược công thức trọng tâm: xC = 3 × 0 − 3 − 0 = −3, yC = 3 × 0 − 0 − 3 = −3, nên C(−3; −3). Đáp án A (3; 3) sai vì bạn đã quên đổi dấu khi giải ngược. Đáp án B (0; 0) sai vì đó là tọa độ trọng tâm, không phải đỉnh C. Đáp án C (−3; 3) sai vì bạn chỉ đổi dấu hoành độ mà quên đổi dấu tung độ.

Câu hỏi thường gặp về trung điểm và trọng tâm

Hỏi: Vì sao tọa độ trung điểm lại bằng trung bình cộng của hai đầu mút?
Đáp: Vì trên mỗi trục tọa độ, điểm giữa của hai số a và b là (a + b) / 2. Mặt phẳng tọa độ gồm hai trục vuông góc với nhau, nên áp dụng quy tắc điểm giữa cho từng trục, bạn nhận được hoành độ trung điểm bằng trung bình cộng hai hoành độ và tung độ trung điểm bằng trung bình cộng hai tung độ.

Hỏi: Trọng tâm có phải là trung điểm của một cạnh nào đó không?
Đáp: Không, trọng tâm là điểm nằm bên trong tam giác, là giao điểm của ba đường trung tuyến. Nó nằm trên mỗi đường trung tuyến, cách đỉnh một đoạn bằng 2 / 3 độ dài đường trung tuyến và cách chân đường trung tuyến một đoạn bằng 1 / 3 độ dài đó. Trung điểm chỉ là điểm giữa của một cạnh, nằm trên biên của tam giác.

Hỏi: Tọa độ trọng tâm có thể là phân số không?
Đáp: Có, rất thường xuyên, vì phải chia tổng ba tọa độ cho 3. Bạn hãy giữ nguyên kết quả dưới dạng phân số như 7 / 3, đừng vội đổi thành số thập phân gần đúng khi đề bài không yêu cầu làm tròn.

Hỏi: Biết trọng tâm và hai đỉnh thì tìm đỉnh thứ ba như thế nào?
Đáp: Bạn giải ngược công thức: xC = 3 × xG − xA − xB và yC = 3 × yG − yA − yB. Tương tự, biết trung điểm M và một đầu mút A thì đầu mút còn lại là xB = 2 × xM − xA và yB = 2 × yM − yA. Dạng bài này rất hay gặp trong đề thi.

Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Trung điểm và trọng tâm là hai điểm đặc biệt xuất hiện trong rất nhiều bài toán hình học tọa độ: chứng minh hình bình hành, tìm tọa độ điểm còn thiếu, viết phương trình đường trung tuyến, và sau này là tính diện tích tam giác. Nếu muốn ôn lại cách tính tọa độ vectơ, bạn hãy xem bài liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ của vectơ.

Kết luận

Trung điểm và trọng tâm chỉ gói gọn trong một ý tưởng duy nhất: lấy trung bình cộng. Trung điểm của đoạn thẳng AB là ((xA + xB) / 2; (yA + yB) / 2), trọng tâm của tam giác ABC là ((xA + xB + xC) / 3; (yA + yB + yC) / 3). Bạn hãy nhớ ba điều: đếm đúng số điểm để chia cho đúng mẫu số, giữ nguyên phân số khi kết quả không phải số nguyên, và luyện cả chiều thuận lẫn chiều ngược của công thức. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tìm trung điểm, trọng tâm hay đỉnh còn thiếu trong bất kì bài toán nào — và hiểu thêm vì sao điểm cân bằng của một hình lại nằm đúng ở vị trí trung bình của các đỉnh.